二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题

二次函数与一元二次方程经典教学案+典型例题1.理解二次函数与一元二次方程之间的内在联系。2.掌握通过二次函数图象求一元二次方程的近似解的方法。3.能够运用二次函数的性质解决与一元二次方程相关的实际问题，培养学生的数学应用能力和逻辑思维能力。二、教学重难点1.教学重点明确二次函数与一元二次方程的关系，即二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），当\(y=0\)时，就得到一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)。掌握利用二次函数图象求一元二次方程近似解的步骤和方法。2.教学难点理解二次函数图象与\(x\)轴交点的横坐标就是一元二次方程的解，以及如何通过图象准确地确定方程解的近似值。能将实际问题转化为二次函数与一元二次方程的问题，并运用相关知识进行求解。三、教学方法讲授法、直观演示法、讨论法、练习法相结合四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.回顾一元二次方程的一般形式\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）以及求解方法（配方法、公式法、因式分解法）。2.展示二次函数\(y=2x^23x2\)的图象，提问学生：图象与\(x\)轴有什么关系？引导学生观察图象与\(x\)轴交点的横坐标与方程\(2x^23x2=0\)的解之间的联系，从而引出本节课的主题--二次函数与一元二次方程。（二）知识讲解（20分钟）1.二次函数与一元二次方程的关系对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），当\(y=0\)时，就得到一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)。此时，二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象与\(x\)轴的交点的横坐标就是一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的解。当\(\Delta=b^24ac>0\)时，一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)有两个不相等的实数根，二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象与\(x\)轴有两个交点。当\(\Delta=b^24ac=0\)时，一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)有两个相等的实数根，二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象与\(x\)轴有一个交点。当\(\Delta=b^24ac<0\)时，一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)没有实数根，二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象与\(x\)轴没有交点。2.利用二次函数图象求一元二次方程近似解的方法步骤：画出二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象。观察图象与\(x\)轴的交点，确定交点横坐标的大致范围。在这个范围内，通过取\(x\)的值，计算对应的\(y\)值，逐步逼近方程的解。例如，求方程\(x^22x3=0\)的近似解。首先，画出二次函数\(y=x^22x3\)的图象。将其化为顶点式\(y=(x1)^24\)，可知其对称轴为\(x=1\)，顶点坐标为\((1,4)\)。再取一些特殊点，如当\(x=0\)时，\(y=3\)；当\(x=2\)时，\(y=3\)；当\(x=3\)时，\(y=0\)；当\(x=1\)时，\(y=0\)。然后，观察图象与\(x\)轴的交点为\((1,0)\)和\((3,0)\)，所以方程\(x^22x3=0\)的解为\(x_1=1\)，\(x_2=3\)。若要求近似解，比如精确到\(0.1\)，在\(x=1\)和\(x=3\)附近取值计算\(y\)值。在\(x=1\)附近，取\(x=0.9\)，\(y=(0.9)^22\times(0.9)3=0.81+1.83=0.39\)；取\(x=1.1\)，\(y=(1.1)^22\times(1.1)3=1.21+2.23=0.41\)。因为\(y\)值在\(x=1\)两侧异号，所以\(x=1\)是方程的一个解。同理，在\(x=3\)附近，取\(x=2.9\)，\(y=2.9^22\times2.93=8.415.83=0.39\)；取\(x=3.1\)，\(y=3.1^22\times3.13=9.616.23=0.41\)，可得\(x=3\)是方程的另一个解。（三）典型例题讲解（25分钟）1.例1：已知二次函数\(y=x^24x+3\)，求当\(y=0\)时\(x\)的值。解：当\(y=0\)时，方程为\(x^24x+3=0\)。因式分解得\((x1)(x3)=0\)。则\(x1=0\)或\(x3=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=3\)。也可以通过二次函数图象来求解。先将\(y=x^24x+3\)化为顶点式\(y=(x2)^21\)，其对称轴为\(x=2\)，顶点坐标为\((2,1)\)。当\(x=0\)时，\(y=3\)；当\(x=1\)时，\(y=0\)；当\(x=3\)时，\(y=0\)；当\(x=4\)时，\(y=3\)。画出图象，可直观看到与\(x\)轴交点横坐标为\(1\)和\(3\)。2.例2：利用二次函数图象求方程\(2x^23x2=0\)的近似解（精确到\(0.1\)）。解：先画出二次函数\(y=2x^23x2\)的图象。将其化为顶点式\(y=2(x\frac{3}{4})^2\frac{25}{8}\)，对称轴为\(x=\frac{3}{4}\)，顶点坐标为\((\frac{3}{4},\frac{25}{8})\)。取特殊点：当\(x=0\)时，\(y=2\)；当\(x=1\)时，\(y=232=3\)；当\(x=2\)时，\(y=862=0\)。在\(x=2\)附近取值：取\(x=1.9\)，\(y=2\times1.9^23\times1.92=7.225.72=0.48\)；取\(x=2.1\)，\(y=2\times2.1^23\times2.12=8.826.32=0.52\)。因为\(y\)值在\(x=2\)两侧异号，所以\(x=2\)是方程的一个近似解。在\(x=\frac{1}{2}\)附近取值：取\(x=0.6\)，\(y=2\times(0.6)^23\times(0.6)2=0.72+1.82=0.52\)；取\(x=0.7\)，\(y=2\times(0.7)^23\times(0.7)2=0.98+2.12=1.08\)。取\(x=0.8\)，\(y=2\times(0.8)^23\times(0.8)2=1.28+2.42=1.68\)。取\(x=0.9\)，\(y=2\times(0.9)^23\times(0.9)2=1.62+2.72=2.32\)。取\(x=1\)，\(y=2(3)2=3\)。取\(x=1.1\)，\(y=2\times(1.1)^23\times(1.1)2=2.42+3.32=3.72\)。取\(x=1.2\)，\(y=2\times(1.2)^23\times(1.2)2=2.88+3.62=4.48\)。取\(x=1.3\)，\(y=2\times(1.3)^23\times(1.3)2=3.38+3.92=5.28\)。取\(x=1.4\)，\(y=2\times(1.4)^23\times(1.4)2=3.92+4.22=6.12\)。取\(x=1.5\)，\(y=2\times(1.5)^23\times(1.5)2=4.5+4.52=7\)。取\(x=1.6\)，\(y=2\times(1.6)^23\times(1.6)2=5.12+4.82=7.92\)。取\(x=1.7\)，\(y=2\times(1.7)^23\times(1.7)2=5.78+5.12=8.88\)。取\(x=1.8\)，\(y=2\times(1.8)^23\times(1.8)2=6.48+5.42=9.88\)。取\(x=1.9\)，\(y=2\times(1.9)^23\times(1.9)2=7.22+5.72=10.92\)。因为\(y\)值在\(x=\frac{1}{2}\)两侧异号，所以\(x=0.5\)是方程的另一个近似解。综上，方程\(2x^23x2=0\)的近似解为\(x_1\approx2.0\)，\(x_2\approx0.5\)。3.例3：已知二次函数\(y=x^2+bx+c\)的图象经过点\((1,0)\)和\((0,3)\)。（1）求\(b\)，\(c\)的值。（2）当\(x\)取何值时，\(y>0\)？解：（1）把点\((1,0)\)和\((0,3)\)代入二次函数\(y=x^2+bx+c\)中，可得：\(\begin{cases}1+b+c=0\\c=3\end{cases}\)将\(c=3\)代入\(1+b+c=0\)，得\(1+b+3=0\)，解得\(b=2\)。（2）由（1）知二次函数为\(y=x^22x+3\)。当\(y=0\)时，\(x^22x+3=0\)，即\(x^2+2x3=0\)，因式分解得\((x+3)(x1)=0\)，解得\(x_1=3\)，\(x_2=1\)。二次函数\(y=x^22x+3\)的图象开口向下，所以当\(3<x<1\)时，\(y>0\)。（四）课堂练习（15分钟）1.已知二次函数\(y=3x^26x9\)，求当\(y=0\)时\(x\)的值。2.利用二次函数图象求方程\(x^2+2x5=0\)的近似解（精确到\(0.1\)）。3.已知二次函数\(y=ax^2+bx+c\)的图象经过点\((1,0)\)，\((3,0)\)和\((0,3)\)。（1）求\(a\)，\(b\)，\(c\)的值。（2）当\(x\)取何值时，\(y\)随\(x\)的增大而增大？（五）课堂小结（5分钟）1.二次函数与一元二次方程的关系：二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），当\(y=0\)时得到一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)，其图象与\(