高三数学二轮复习第二篇数学思想三分类讨论思想

三、分类讨论思想第1页思想解读思想解读应用类型分类讨论思想是将一个较复杂数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题,经过对基础性问题解答来实现处理原问题思想策略,对问题实施分类与整合,分类标准等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思绪,降低问题难度.1.由数学概念而引发分类讨论:如绝对值意义、不等式定义、二次函数定义、直线倾斜角等.2.由数学运算要求而引发分类讨论:如除法运算中除数不为零,偶次方根被开方数为非负数,对数运算中真数与底数要求,指数运算中底数要求,不等式中两边同乘一个正数、负数,三角函数定义域,等差、等比数列{an}前n项和公式等.3.由性质、定理、公式限制引发分类讨论:如函数单调性、基本不等式等.4.由图形不确定性而引发分类讨论:如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.5.由参数改变而引发分类讨论:如一些含有参数问题,因为参数取值不一样而造成所得结果不一样或因为对不一样参数值要利用不一样求解或证实方法等.第2页总纲目录应用一

由概念、法则、公式引发分类讨论应用二

由图形位置或形状引发分类讨论应用三

由参数改变引发分类讨论第3页应用一

由概念、法则、公式引发分类讨论例若函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,2]上最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)

在[0,+∞)上是增函数,则a=

.答案

解析

g(x)=(1-4m)

在[0,+∞)上是增函数,应有1-4m>0,即m<

.当a>1时,f(x)=ax为增函数,由题意知

⇒m=

,与m<

矛盾.当0<a<1时,f(x)=ax为减函数,由题意知

⇒m=

,满足m<

.故a=

.第4页【技法点评】因为f(x)=ax(a>0,且a≠1)中a范围没有确定,故应对a

进行分类讨论.第5页跟踪集训1.已知a,b>0,且a≠1,b≠1.若logab>1,则

()A.(a-1)(b-1)<0

B.(a-1)(a-b)>0C.(b-1)(b-a)<0

D.(b-1)(b-a)>0答案

D

logab>1⇔logab-logaa>0⇔loga

>0⇔

或

即

或

当

时,0<b<a<1,所以b-1<0,b-a<0;当

时,b>a>1,所以b-1>0,b-a>0.所以(b-1)(b-a)>0,故选D.第6页2.设等比数列{an}公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…),则q取值范围为

.第7页答案(-1,0)∪(0,+∞)解析因为{an}是等比数列,Sn>0,所以a1=S1>0,q≠0,当q=1时,Sn=na1>0,当q≠1时,Sn=

>0,即

>0(n=1,2,3,…),则有①

或②

由①得-1<q<1,由②得q>1.又q≠0,故q取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).第8页应用二

由图形位置或形状引发分类讨论例已知变量x,y满足不等式组

表示是一个直角三角形围成平面区域,则实数k=

()A.-

B.

C.0

D.-

或0第9页解析不等式组

表示可行域如图(阴影部分)所表示,由图可知,因为不等式组

表示平面区域是直角三角形,所以直线y=kx+1与直线x=0或y=2x垂直.

答案

D结合图形可知k值为0或-

.第10页【技法点评】(1)本题中直角顶点位置不定,影响k取值,故需按直

角顶点不一样位置进行讨论.(2)包括几何问题时,因为几何元素形状、位置改变不确定性,需要

依据图形特征进行分类讨论.第11页跟踪集训1.(安徽合肥第一次模拟)设圆x2+y2-2x-2y-2=0圆心为C,直线l过(0,

3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2

,则直线l方程为

()A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0答案

B当直线l斜率不存在时,计算出弦长为2

,符合题意;当直线l斜率存在时,可设直线l方程为y=kx+3,由弦长为2

可知,圆心到该直线距离为1,从而有

=1,解得k=-

,综上,直线l方程为x=0或3x+4y-12=0,选B.第12页2.设F1,F2是椭圆

+

=1左、右焦点,P是椭圆上一点.已知P,F1,F2是直角三角形三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则

值为

.第13页答案

或2解析若∠PF1F2=90°,此时不符合题意,应舍去,若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,又由题意可知|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2

,解得|PF1|=

,|PF2|=

,所以

=

.若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,解得|PF1|=4或2,又|PF1|>|PF2|,所以|PF1|=4,|PF2|=2,所以

=2.综上知,

值为

或2.第14页应用三

由参数改变引发分类讨论例已知函数f(x)=x2-ax,g(x)=mx+nlnx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线

斜率为1,曲线y=g(x)在x=2处取得极小值2-2ln2.(1)求函数f(x),g(x)解析式;(2)若不等式f(x)+g(x)≥x2-k(x-1)对任意x∈(0,1]恒成立,求实数k取值

范围.解析(1)f'(x)=2x-a,则有f'(1)=2-a=1,所以a=1,f(x)=x2-x.因为g'(x)=m+

,所以

故

所以g(x)=x-2lnx.第15页(2)f(x)+g(x)=x2-2lnx,令h(x)=f(x)+g(x)-x2+k(x-1)=k(x-1)-2lnx,x∈(0,1],所以h'(x)=k-

=

.①当k≤0时,h'(x)<0,h(x)在(0,1]上单调递减,所以h(x)min=h(1)=0.②当0<k≤2时,h'(x)=

≤0,h(x)在(0,1]上单调递减,所以h(x)min=h(1)=0.③当k>2时,h'(x)<0在

上恒成立,h'(x)>0在

上恒成立,所以h(x)在

上单调递减,在

上单调递增,又由题意得h(x)min=h第16页

<h(1)=0,故h(x)≥0在(0,1]上不恒成立.总而言之,实数k取值范围为(-∞,2].【技法点评】(1)本题第(2)问在研究函数最值时,对参数k进行了分

类讨论.(2)若碰到题目中含有参数问题,经常结合参数意义及对结果影

响进行分类讨论,此种题目为含参型,应全方面分析参数改变引发结论

改变情况,参数有几何意义时还要考虑适当地利用数形结合思想,分类

要做到分类标准明确,不重不漏.第17页跟踪集训1.(课标全国Ⅱ,20,12分)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处切线方程;(2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a取值范围.第18页解析(1)f(x)定义域为(0,+∞).当a=4时,f(x)=(x+1)lnx-4(x-1),f'(x)=lnx+

-3,f'(1)=-2,f(1)=0.曲线y=f(x)在(1,f(1))处切线方程为2x+y-2=0.(2)当x∈(1,+∞)时,f(x)>0等价于lnx-

>0.设g(x)=lnx-

,则g'(x)=

-

=

,g(1)=0.(i)当a≤2,x∈(1,+∞)时,x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0,故g'(x)>0,g(x)在(1,+∞)

上单调递增,所以g(x)>0;(ii)当a>2时,令g'(x)=0得第19页x1=a-1- ,x2=a-1+ .由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x∈(1,x2)时,g'(x)<0,g(x)在(1,x2)上单调递减,因

此g(x)<0.综上,a取值范围是(-∞,2].第20页2.(河北石家庄模拟)已知函数f(x)=

+lnx-2,a∈R.(1)当a=8时,求函数f(x)单调区间;(2)是否存在实数a,使函数f(x)在(0,e2]上有最小值2?若存在,求出a值,

若不存在,请说明理由.第21页解析(1)由题意知f(x)定义域为(0,+∞).∵a=8,∴f(x)=

+lnx-2.∴f'(x)=

+

=

,令f'(x)>0,得x>8,f(x)在(8,+∞)上单调递增,令f'(x)<0,得0<x<8,f(x)在(0,8)上单调递减;∴f(x)单调递增区间为(8,+∞),单调递减区间为(0,8).(2)存在.∵f(x)=

+lnx-2(x>0),∴f'(x)=

+

=

(x>0).(i)当a≤0时,f'(x)>0恒成立,即f(x)在(0,e2]上单调递增,无最小值,不满足

题意.第22页(ii)当a>0时,令f'(x)=0,得x=a,所以当f'(x)>0时,x>a,当f'(x)<0时,0<x<a,此时函数f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减.若a>e2,则函数f(x