四川省成都市2025届高三第二次诊断性检测数学试题数学试卷含答案

/四川省成都市2025届高三第二次诊断性检测数学试题数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．若，则（

）A． B．C． D．2．已知集合，则（

）A． B．C． D．3．居民消费价格指数（ConsumerPriceIndex，简称CPI），是度量一定时期内居民消费商品和服务价格水平总体变动情况的相对数，综合反映居民消费商品和服务价格水平的变动趋势和变动程度.下图是2024年11月9日国家统计局公布的2024年10月各类商品及服务价格同比和环比涨跌幅情况（同比，环比），下列结论正确的是（

）A．2024年10月份食品烟酒类价格低于2023年10月份食品烟酒类价格B．2024年10月份教育文化娱乐类价格低于2024年9月份教育文化娱乐类价格C．2024年9月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格D．2024年9月份居住类价格高于2023年10月份居住类价格4．已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中3个红球，2个白球.从袋中不放回地依次随机取出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（

）A． B． C． D．6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（

）A． B． C． D．7．已知双曲线的右焦点为，若关于直线的对称点在上，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．8．若函数有极值，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知函数，则（

）A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．在上单调递减D．在上有2个零点10．已知数列的通项公式，前项和为，则（

）A．数列为等差数列B．，使得C．当时，取得最小值D．数列的最大项的值为11．如图，在直棱柱中，，是中点.过作与平面平行的平面，若平面平面，则（

）A．四点共面B．棱柱没有外接球C．直线所成的角为D．四面体与四面体的公共部分的体积为三、填空题（本大题共3小题）12．已知角的终边过点，则.13．设函数，若的图象过点，且曲线在处的切线也过点，则.14．对于一个平面图形，如果存在一个圆能完全覆盖住这个平面图形，则称这个图形被这个圆能够完全覆盖，其中我们把能覆盖平面图形的最小圆称为最小覆盖圆.则曲线的最小覆盖圆的半径为.四、解答题（本大题共5小题）15．在中，角的对边分别是，已知.(1)求；(2)若，且的周长为，求.16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)求平面与平面的夹角的大小．17．已知椭圆上的动点总满足关系式，且椭圆与抛物线有共同的焦点是椭圆与抛物线的一个公共点，.(1)求抛物线的方程和椭圆的标准方程；(2)过点的直线交抛物线于两点，交椭圆于两点，若，求直线的方程.18．某答题挑战赛规则如下：比赛按轮依次进行，只有答完一轮才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮系统随机地派出一道通识题或专识题，派出通识题的概率为，派出专识题的概率为.已知某选手答对通识题与专识题的概率分别为，且各轮答题正确与否相互独立.(1)求该选手在一轮答题中答对题目的概率；(2)记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，（i）求；（ii）证明：存在实数，使得数列为等比数列.19．对于给定集合，若存在非负实数，对任意的满足：成立，则称集合具有性质.(1)证明：集合具有性质；(2)若集合具有性质，求的最小值；(3)若集合具有性质，求的最大值.

参考答案1．【答案】A【详解】.故选：A.2．【答案】B【详解】依题意，集合，对于AB，，A错误，B正确；对于CD，，CD错误.故选：B3．【答案】C【详解】对于A，由题可知，2024年10月份食品烟酒类价格同比涨幅为，所以2024年10月份食品烟酒类价格高于2023年10月份食品烟酒类价格，故A错误；对于B，由图可知，2024年10月份教育文化娱乐类价格环比涨幅为，所以2024年10月份教育文化娱乐类价格高于2024年9月份教育文化娱乐类价格，故B错误；对于C，2024年10月份医疗保健类价格环比涨幅为，即2024年10月份医疗保健类价格等于2024年9月份医疗保健类价格，又2024年10月份医疗保健类价格同比涨幅为，所以2024年10月份医疗保健类价格高于2023年10月份医疗保健类价格，故C正确；对于D，2024年10月份居住类价格环比涨幅为，即2024年10月份居住类价格等于2024年9月份居住类价格，又2024年10月份居住类价格同比涨幅为，所以2024年10月份居住类价格低于2023年10月份居住类价格，故D错误.故选：C.4．【答案】C【详解】由，则，化简得，所以在向量上的投影向量为.故选：C.5．【答案】D【详解】从袋中不放回地依次随机取出2个球的试验有个基本事件，取出的2个球颜色相同的事件有个基本事件，所以这2个球颜色相同的概率为.故选：D6．【答案】D【详解】令北极星与牛郎星的亮度分别为，依题意，，两式相减得，解得.故选：D7．【答案】A【详解】设，因为关于直线的对称点为，所以解得因为点在上，所以或（舍），故选：A8．【答案】A【详解】由，，则，令，，则，当时，恒成立，则，即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意；当时，令，得，当时，，则，得函数在上单调递减，又时，；时，，所以存在，使得，则函数存在极值；当时，，则时，；时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，设，，则，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，，则时，，此时函数无极值，不符合题意；当时，，且时，；时，，此时函数存在极值.综上所述，的取值范围为.故选：A.9．【答案】ACD【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确；对于B，因，即的图象关于直线不对称，B错误；对于C，当时，，因正弦函数在上单调递减，故在上单调递减，C正确；对于D，当时，，由，得或，解得或，即在上有2个零点，D正确.故选：ACD10．【答案】ABD【详解】对于A，由，得，，数列为等差数列，A正确；对于B，，，显然，B正确；对于C，，当时，数列单调递减，，，当时，数列单调递减，，，C错误；对于D，，因，当时，取最小值，当或时，，且当或时，取最小值3，所以数列的最大项的值为，D正确.故选：ABD.11．【答案】ABD【详解】在直棱柱中，平面，又，则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，对于A，，即，又直线，因此，即四点共面，A正确；对于B，在梯形中，，则为锐角，，因此，梯形无外接圆，则棱柱没有外接球，B正确；对于C，平面，平面，平面平面，则，令，连接，平面平面，同理，因此直线所成的角等于直线所成的角，由，得，则，，，直线所成的角不为，C错误；对于D，令，则点是直棱柱所在侧面矩形的中心，，四边形是平行四边形，平面，则平面，同理平面，而，平面，因此平面平面，同选项C得，而，则四边形为平行四边形，，则平面，平面，四边形的面积，四面体与四面体的公共部分为八面体，所以四面体与四面体的公共部分的体积为，D正确.故选：ABD12．【答案】10【详解】由角的终边过点，得，所以.故答案为：1013．【答案】【详解】函数，求导得，则，而，因此曲线在处的切线方程为，依题意，，所以.故答案为：14．【答案】【详解】因为把换成，方程不变，所以曲线关于轴对称；因为把换成，方程不变，所以曲线关于轴对称；因为把换成，同时把换成，方程不变，所以曲线关于坐标原点对称；因为把换成，同时把换成，方程不变，所以曲线关于直线对称，因此最小覆盖圆圆心必在坐标原点，从而最小覆盖圆的半径为曲线上点到原点距离最大值，，（当且仅当时取等号）因此最小覆盖圆的半径为故答案为：15．【答案】(1)或；(2)答案见解析.【详解】（1）在中，由及正弦定理得，而，则，又，所以或.（2）由的周长为，，得，在中，由余弦定理得，即，则，当时，，于是，，此方程无解；当时，，于是，解得或，所以当时，无解；当时，或.16．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）在四棱锥中，底面，底面，则，由底面是正方形，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为，则，令，得，则，而平面，所以平面.（2）由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.（3）由（1）知，，且，设平面的法向量为，则，取，得，，而，则，即，则的一个法向量为，因此，而，则，所以平面与平面的夹角为.17．【答案】(1)，；(2).【详解】（1）由椭圆：，得右焦点，而是抛物线的焦点，则，所以抛物线；由对称性不妨令，由，得，解得，即点，则，因此椭圆的长半轴长，短半轴，所以椭圆的标准方程为（2）直线不垂直于轴，设其方程为，，由，得，即，由消去，得，则，由消去，得，则，因此，解得，所以直线的方程为.

18．【答案】(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析.【详解】（1）设事件“一轮答题中系统派出通识题”，事件“该选手在一轮答题中答对”，依题意，，，因此，所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为.（2）（i）设事件“该选手在第轮答对题目”，各轮答题正确与否相互独立，由（1）知，，当时，挑战显然不会终止，即，当时，则第1、2轮至少答对一轮，，由概率加法公式得；同理.（ii）设事件“第轮答题结束时挑战未终止”，当时，第轮答题结束时挑战未终止的情况有两种：①第轮答对，且第轮结束时挑战未终止；②第轮答错，且第轮答对，且第轮结束时挑战未终止，因此第轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为，则，而各轮答题正确与否相互独立，因此，当时，，设存在实数，使得数列为等比数列，当时，，整理得，而，则，解得或，当时，因此当时，数列是首项为，公比为的等比数列；当时，数列是首项为，公比为的等比数列，所以存在实数或，使得数列为等比数列.19．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）要证明集合具有性质，即证明，都有，因为，所以.因为，所以，所以，都有，即集合具有性质.（2）因为，，令，则，因为，当且仅当时等号成立，所以，又集合具有性质，于是，有，即，即，成立，令，，因为函数在上单调递减，且，所以，则，所以，当且仅当时等号成立；，当且仅当或时等号成立，则，即的最小值为.（3）因为集合具有性质，由题意，得，都有，即，注意到所以，又，所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为1.又，当且仅当时等号成立，则