基于数学综合问题解决的思维能力培养（人大附中王宇）

基于数学综合问题解决的

思维能力培养

2018.9.14

中国人民大学附属中学

王宇解决综合问题，学生的思维能力从哪里来？学生学习时的困惑·不能识别图形中的基本几何元素·不能根据条件和图形获得基本几何结论·对于证明的目标找不到切入点.·做了很多题，但还是感觉迷茫.老师教学时的困惑·课时紧张，综合问题只能考试前后讲·讲了很多题，其实学生掌握的并不多解决综合问题，学生的思维能力从哪里来？化整为零，平时渗透结合规律，专题引导反馈练习，螺旋上升一、化整为零，平时渗透例1.圆的概念“到定点的距离等于定长的点的集合”追问：①到定点O的距离小于定长2的点的集合是什么②到定点C的距离大于等于2，且小于等于4的点的集合是什么？数形结合，轨迹思想例2.例题已知⊙O的半径为3，点P在平面上，且OP=1，点Q在⊙O上，问PQ的最大与最小值.追问：点P为平面上一点，点Q在⊙O上，若PQ≤1，请问点P组成的集合是什么，怎样描述？轨迹思想2017年北京中考29题例3.

关于圆中的角的关系每堂课都引导学生关注学到的角的关系例4.已知AB是⊙O的直径，C为圆上一点，CE⊥AB于E，弦BD∥OC，求证∠OCD=∠BCE.

通过例题来讲解基本结论的具体应用

圆周角定理直径所对圆周角垂径定理例5.讲授切线的判定与性质问题1：怎样利用判定定理证明切线？追问：①连半径，证垂直，怎样证明垂直？（证直角）②怎样证直角？（导角）问题2：由切线性质可以得到什么结论？追问：从90°角出发我们可以获得哪些信息？（导角，Rt△勾股）关注问题本质引导学生发散24．如图，A，B，C三点在⊙O上，直径BD平分∠ABC，过点D作DE∥AB交BC于点E，在BC的延长线上取一点F，使得EF=DE．（1）求证：DF是⊙O的切线；例6.

2018年1月海淀期末考试证切线—90°—导角直径所对圆周角平行得到内错角等DE=EF得到等腰底角等二、结合规律，专题引导

几何问题的认知规律画图画图是几何学习的基本功通过画图，学生初步了解图形信息识图先看图，观察图形中的几何元素再看条件，确认问题的已知信息猜想根据图形条件，可能得到哪些结论按边、角、三角形、四边形……等分类整理推理去伪存真，严谨证明例7.圆的概念把基本功的训练落实到平时例8.圆周角定理习题课追问：已知线段AB，平面内所有满足∠ACB=30°的点C组成的图形是什么，请画出来.90°呢？例9.中考总复习专题课“垂直与平行”例10.2018年2月人大附中摸底例11.中考复习专题课《角》利用中考题，整理回顾经典的导角模型例12.一堂试卷讲评课（2018.6海淀二模）例12.一堂试卷讲评课（2018.6海淀二模）如图，等边△ABC中，D是边BC上的一点，∠BAD=α例12.一堂试卷讲评课（2018.6海淀二模）（1）连接AD，点E是点B关于直线AD的对称点，连接AE，BE，CE.

①

依题意补全图形；

②

请问你可以得到哪些结论？开放式的问题设计，更关注学生的分析能力例12.一堂试卷讲评课（2018.6海淀二模）（2）在（1）的条件下，将点C关于直线BE对称，得到点F，连接EF，CF.

①依题意补全图形；②请问你可以得到哪些结论？增加复杂度，螺旋式上升锻炼学生能力例12.一堂试卷讲评课（2018.6海淀二模）（3）再进一步，连接AF，延长FE与AD交于G，与AB交于H，请问你还可以得到哪些结论？例12.一堂试卷讲评课（2018.6海淀二模）（4）回归海淀二模27题，类比完成证明例12.一堂试卷讲评课（2018.6海淀二模）例13.一堂交流课（2018.7陕西旬邑）问题简单些适应不同层次的学生还想讲哪些专题？抛砖引玉平行与垂直线段角几何问题的形成与演化条件的发散与思索从结论出发的几何方法整理

函数研究和学习的规律内容定义域、值域、最值、增减性、对称性、图象名称、图象位置……方法图象法、解析式法、列表法特性课本所学三种函数的共性与特性动态参数的变化对于函数图象的影响例14.中考总复习专题课《函数的性质》2016年海淀一模14题例15.专题课《如何从函数图象中获取信息》例16.总复习专