2025年陕西西安交大附中高考模拟数学试卷试题（含答案详解）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年陕西省西安市创新港交大附中高考数学三模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x||x−1|<2}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=(

)A.{−1,0} B.{−1,3} C.{0,1,2} D.{1,2,3}2.若z−2z=i，则z=(

)A.−1+i B.−1−i C.1−i D.1+i3.已知向量a=(4,0)，b=(x,3)，若(a+2bA.−1 B.0 C.1 D.24.半径为4的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为(

)A.23π3 B.435.已知sin(α+β)=1725，sinαcosA.2425 B.−2425 C.76.已知圆O：x2+y2=2上一点P(1,1)关于x轴的对称点为Q，M是圆O上异于P，Q的任意型一点，若MP，MQ分别交x轴于点R，SA.2 B.2 C.27.已知函数f(x)=2ax−lnx,x>0,2x2+(2a+3)x+2,x≤0,∀x∈(A.[12e,12] B.[8.现有一排方块，其中某些方块间有间隔.从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余方块的位置，称为一次操作.如图所示，状态为(3,2)的方块：可以通过一次操作变成以下状态中的任何一种：(3,1)，(3)，(2,2)，(1,2)或(1,1,2).游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人获胜.对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利的是(

)

A.(3,2,1) B.(4,2) C.(2,1,1) D.(5,3)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是(

)A.数据8，6，4，11，3，7，9，10的上四分位数为9

B.若0<P(C)<1，0<P(D)<1，且P(D−)=1−P(D|C)，则C，D相互独立

C.根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为y=0.4x+a，若其中一个散点坐标为(−a,5.4)，则a=9

D.将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据(x1,y1)，(x2,y2)，…，10.设函数f(x)=1−cos(πx)A.曲线y=f(x)存在对称轴 B.曲线y=f(x)存在对称中心

C.f(x)≤2211.已知椭圆Γ：x29+y24=1，直线l：2x+3y+12=0.A1，A2是椭圆的左、右顶点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，过直线l上任意一点P作椭圆Γ的切线PM，PN，切点分别为M，N，椭圆上任意一点Q(异于A1，A.直线MN过定点

B.F1，F2，B1，B2四点共圆

C.当MN//l时，(−32,−1)是线段三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1，F13.在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线y=x2+a与y2=14.对7个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为______.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a(cosC+3sinC)=b+c.

(1)求A.

(2)若b=5，c=2，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，

(Ⅰ)求AM；

16.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线C上点M(2,y0)满足|MF|=3.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设点D(−1,0)，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：x=1是17.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是梯形，AB//CD，AB=2CD=2，AD=4，∠BAD=60∘，PD⊥CD，E为AB的中点，M为CE的中点.

(1)证明：PM⊥AB；

(2)若PA=15，N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为15618.(本小题17分)

已知函数f(x)=3x2−8sin(x+φ)，其中|φ|≤π.

(1)若函数f(x)是偶函数，求φ；

(2)当φ=0时，讨论函数f(x)在[0,+∞)上的零点个数；

(3)若∀x≥0，f(x)≥019.(本小题17分)

设n≥3，对于数列a1，a2，…，an，若对任意k∈{1,2,…，n−1}，a1+a2+…+ak与ak+1+ak+2+…+an均为非负数或者均为负数，则称数列a1，a2，…，an为强数列.

(1)判断数列sin0，sinπ2，sinπ，sin3π2，sin2π与数列cos0，cosπ2，cosπ，cos3π2，cos2π分别是否为强数列；答案和解析1.【答案】C

【解析】解：集合A={x||x−1|<2}={x|−1<x<3}，B={−1,0,1,2,3}，

所以A∩B={0,1,2}.

故选：C.

解不等式化简集合A，再利用交集的定义求解．

本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】D

【解析】解：若z−2z=i，

则z(1−i)=2，

故z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)1−i3.【答案】C

【解析】解：由题意可知，a+2b=(4+2x,6)，a−b=(4−x,−3)，

由(a+2b)⊥(a−b4.【答案】C

【解析】解：显然圆锥的母线长为l=4，设圆锥的底面半径为r，则2πr=4π，即r=2，

所以圆锥的高ℎ=l2−r2=23，

圆锥的体积5.【答案】D

【解析】解：由sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=1725，且sinαcos6.【答案】B

【解析】解：由题意圆O：x2+y2=2上一点P(1,1)关于x轴的对称点为Q，M是圆O上异于P，Q的任意型一点，若MP，MQ分别交x轴于点R，S，

可得Q(1,−1)，

设M(x0,y0)，则x02+y02=2，

则MP:y−1y0−1=x−1x0−1，MQ:y+1y0+17.【答案】A

【解析】解：f(x)⋅f(−x)≥0等价于(2ax−lnx)⋅[2x2−(2a+3)x+2]≥0，

即(2a−lnxx)⋅[x+1x−(a+32)]≥0，

故有2a−lnxx≥0x+1x−(a+32)≥0或2a−lnxx≤0x+1x−(a+32)≤0在x∈(12,+∞)上恒成立，

即a≥lnx2xx+1x≥(a+32)或a≤lnx2xx+1x≤(a+32)在x∈(12,+∞)上恒成立，

令ℎ(x)=lnx2x，得ℎ′(x)=2−2lnx4x2，

当x∈(12,e)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)8.【答案】A

【解析】解：游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人获胜，

对于以下开局状态，

对于A，(3,2,1)经过甲操作可以变为：

(3,2)，(3,1)，(3,1,1)，(2,2,1)，(1,2,1)或(1,1,2,1).

对于(3,2)，乙操作成(2,2)；对于(3,1)，乙操作成(1,1)；

对于(3,1,1)，乙操作成(1,1,1,1)；对于(2,2,1)，乙操作成(2,2)；

对于(1,2,1)，乙操作成(1,1)；对于(1,1,2,1)，乙操作成(1,1,1,1).

此时甲操作后，乙可以采取对称策略，

保证自己能拿到最后一个方块，无论如何乙都能赢，故A正确；

对于B，甲将(4,2)操作为(2,2)，此时乙可以操作为(2)，(2,1)，(1,2)，甲必胜，故B错误；

对于C，甲将(2,1,1)操作为(1,1)，甲必胜，故C错误；

对于D，甲将(5,3)操作为(1,2,3)，由选项A知甲必胜，故D错误．

故选：A.

对于选项A，可以通过例举所有的可行性，在甲操作后，乙采取对称策略，即可保证自己能赢；对于选项B、C、D，可通过操作验证，甲赢．

本题考查简单的合理推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】BD

【解析】解：对于A，把数据从小到大排列为：3，4，6，7，8，9，10，11，

因为8×75%=6，

所以数据的上四分位数为9+102=9.5，故A错误；

对于B，因为P(D−)=1−P(D|C)，所以P(D|C)=P(D)，

由条件概率公式得P(D|C)=P(CD)P(C)，

得到P(CD)=P(C)⋅P(D)，即C，D相互独立，故B正确；

对于C，散点不一定在回归直线上，不能直接代入直线方程，故C错误；

对于D，由于R2=1−i=1n(yi−yi)2i=1n(yi−y−)2，yi变成了10.【答案】ACD

【解析】解：A中，因为f(x)=2sin2πx2(x−1)2+2=2|sinωx2|(x−1)2+2，

又x=1是y=2sin(π2x)的一条对称轴，也是y=(x−1)2+2的对称轴，

所以曲线y=f(x)存在对称轴x=1，故A正确；

B：f(a−x)+f(a+x)=2|sinπ2(a−x)|(a−x−1)2+2+2|sinπ2(a+x)|(a+x−1)2+2，恒不为常数，

所以曲线y=f(x)不存在对称中心，故B错误；

11.【答案】ABD

【解析】解：设P(x0,y0)，则直线MN的方程为xx09+yy04=1，

又由于2x0+3y0+12=0，故有x0(2x−3y)−18(y+1)=0，故直线MN过定点R(−32,−1)，故A正确；

设Q(x1,y1)，则Q处的切线为xx19+yy14=1，

令x=±3，得B1(−3,4(x1+3)3y1)，B2(3,4(3−x1)3y1)，而F1(−5,0)，故F1B1⋅F1B2=0，

同理F2B1⋅F2B2=0，

12.【答案】3【解析】解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点为F1，F2，P为双曲线上一点，

因为PF1⊥x轴，所以PF1为通径的一半，故|PF1|=b2a，

在Rt△PF13.【答案】38【解析】解：由两抛物线y=x2+a与y2=22x相切，可知，两抛物线y=x2+a与y2=22x只可能在第一象限相切；如图，

设两个抛物线相切于(x0,y0)，y=x2+a在该点处的切线的斜率为2x0，

抛物线y2=22x在第一象限的图象为函数14.【答案】136243【解析】解：对7个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，

0个红格，共27种；

1个红格，共C7126种；

2个红格，共C6225种；

3个红格，共C5324种；

4个红格，共15.【答案】解：(1)因为a(cosC+3sinC)=b+c，

所以由正弦定理得：sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，

因为sinB=sin(π−A−C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以3sinAsinC−cosAsinC−sinC=0，

因为sinC≠0，所以3sinA−cosA−1=0，

所以sin(A−π6)=12，

又因为0<A<π，所以−π6<A−π6<5π6，

所以A−π6=π6，解得A=π3；

【解析】(1)由正弦定理和正弦和角公式得到3sinA−cosA−1=0，由辅助角公式和特殊角的三角函数值得到A=π3；

(2)(Ⅰ)AM=12(AB+AC)两边平方得AM2=394，开方求出答案；

(Ⅱ)由AM与BN的夹角等于16.【答案】解：(1)依题意有，抛物线y2=2px的准线方程为x=−p2，

由抛物线的定义有|MF|=xM+p2=2+p2=3，解得p=2，

所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)证明：根据题意，直线AB斜率不为0，设其方程为：x=my−1，由(1)有F(1,0)，

联立x=my−1y2=4x，消去x得y2−4my+4=0，Δ=16m2−16>0，解得m>1或m<−1，

A(x1【解析】(1)根据抛物线的定义即可求得；

(2)根据题意，直线AB斜率不为0，设其方程为：x=my−1，和抛物线方程联立，根据韦达定理可得kFA+kFB=0，即直线FA17.【答案】解：(1)证明：在梯形ABCD中，连接交BD于CE一点，

因为BE=CD且BE//CD，所以四边形CDBE为平行四边形，

所以BD与CE的交点即为CE中点M.

由已知可得，AB=2，AD=4，∠BAD=60∘，由余弦定理得BD=23，

所以三角形为直角三角形，所以AB⊥BD，

又AB//CD，PD⊥CD，所以AB⊥PD，且BD∩PD=D，所以AB⊥平面PBD，

又PM⊂平面PBD，所以AB⊥PM.

(2)由(1)知，CD⊥平面PDM，

如图，以D为坐标原点，分别以DB，DC为x，y轴，垂直于底面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A(23,−2,0)，C(0,1,0)，

设P(x,0,z)，则N(x2,12,z2)，AN=(x2−23,52,z2)，

易知平面PDM的一个法向量为n=(0,1,0)，

设直线AN与平面PDM所成角为θ，

则sinθ=|cos【解析】(1)利用勾股定理证明AB⊥BD垂直，再利用题干得AB⊥PD，即可得到AB⊥平面PBD，即可得到结论．

(2)建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量求法解得高度h，即可求得四棱锥的体积．

本题考查线线垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为函数f(x)=3x2−8sin(x+φ)是偶函数，所以f(−x)=f(x).

即3x2−8sin(−x+φ)=3x2−8sin(x+φ)，

即sin(−x+φ)=sin(x+φ)，

所以sinφcosx−sinxcosφ=sinφcosx+sinxcosφ，

所以sinxcosφ=0恒成立，即cosφ=0，

因为|φ|≤π，

得φ=±π2.

(2)当φ=0时，f(x)=3x2−8sinx，f(0)=0，f′(x)=6x−8cosx，

令ℎ(x)=6x−8cosx，则ℎ′(x)=6+8sinx，

当x≥π时，f(x)>3π2−8>0恒成立，

当0<x<π时，ℎ(x)=6+8sinx>0，ℎ(x)=f′(x)单调递增，

又f′(0)=−8<0，f′(π)=6π+8>0，

所以存在x1∈(0,π)，使得f′(x1)=0.

x∈(0,x1)，f′(x)<0，f(x)单调递减，x∈(x1,+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，

而f(0)=0，f(x1)<0，f(π)=3π2>0，所以在(x1,π)上存在一个零点．

综上，函数f(x)在[0,+∞)有两个零点．

(3)当x≥23π时，f(x)>4π23−8>0；当0≤x<23π时，f(0)=−8sinφ≥0，

则φ∈[−π,0].

(ⅰ)当φ∈[−π,−2π3]时，x+φ∈[−π,0),sin(x+φ)<0,f(x)>0成立；

(ⅱ)当φ∈(−2π【解析】(1)由偶函数的定理建立等式，求出φ；

(2)代入φ=0，得到f(0)=0，写出f′(x)，令ℎ(x)=f′(x)后在求导．由f(x)解析式可知当x≥π时，f(x)>0恒成立．当0<x<π时，ℎ(x)>0，得到f′(x)单调递增，由二分法知道f′(x