导学案数学专题突破课四空间中的平行关系

专题突破课四空间中的平行关系——寸辖制轮寻专题,纲举目张谋突破空间中的平行关系是本章的重点,也是高考的命题热点.利用图形,结合判定与性质定理,作出相应的辅助线,灵活转化线面关系是解决这类问题的关键.类型一直线与平面平行的判定与性质【典例1】如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.(1)求证:PQ∥平面DCC1D1;(2)求PQ的长;(3)求证:EF∥平面BB1D1D.【解析】(1)连接AC,CD1,因为P,Q分别是AD1,AC的中点,所以PQ∥CD1.又因为PQ⊄平面DCC1D1,CD1⊂平面DCC1D1,所以PQ∥平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQ=12D1C=2(3)取B1C1的中点E1,连接EE1,FE1,B1D1,则有FE1∥B1D1,EE1∥BB1,所以平面EE1F∥平面BB1D1D.又因为EF⊂平面EE1F,所以EF∥平面BB1D1D.【总结升华】线线、线面平行的证明方法方法关键利用线面平行的判定定理证线面平行在该平面内找或作一条直线,证其与已知直线平行利用面面平行的性质证线面平行过该线找或作一平面,证明其与已知平面平行利用线面平行的性质证线线平行过线作平面,产生交线【补偿训练】如图所示,三棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,设D是A1C1上的点,且A1B∥平面B1CD.求A1D∶DC1的值.【解析】设B1C∩BC1=E,连接DE,因为A1B∥平面B1CD,A1B⊂平面A1BC1,平面A1BC1∩平面B1CD=DE,平面A1BC1∩平面ABB1A1=A1B,所以A1B∥DE,因为E为BC1的中点,所以D为A1C1的中点,所以A1D∶DC1的值为1.类型二平面与平面平行的判定与性质【典例2】如图所示,在四棱锥PABCD中,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AD=4,AB=BC=2,∠PAB=90°,点E是线段AB的中点,点F在线段PA上,且EF∥平面PCD,直线PD与平面CEF交于点H,求线段CH的长.【解析】因为直线PD与平面CEF交于点H,所以平面CEF∩平面PCD=CH.因为EF∥平面PCD,所以EF∥CH,过点H作HM∥AP交AD于点M,连接CM,因为EF∩AP=F,CH∩HM=H,所以平面AEF∥平面CHM.因为平面AEF∩平面ABCD=AE,平面CHM∩平面ABCD=CM,所以AE∥CM.又因为BC∥AM,所以四边形ABCM为平行四边形,所以AM=2.又因为AD=4,所以M是AD的中点,则H为PD的中点,因为∠PAB=90°,所以∠HMC=90°,所以CH=CM2+MH【总结升华】1.判定面面平行的四种方法(1)面面平行的定义,即判断两个平面没有公共点.(2)面面平行的判定定理.(3)垂直于同一条直线的两平面平行.(4)平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,必须是与第三个平面的交线.【补偿训练】如图,在三棱锥PABC中,△PAB是正三角形,G是△PAB的重心,D,E,H分别是PA,BC,PC的中点,点F在BC上,且BF=3FC,求证:平面DFH∥平面PGE.【证明】连接BG,由题意可得BG与GD共线,且BG=2GD,因为E是BC的中点,BF=3FC,所以F是CE的中点,所以BGGD=BEEF=2,所以GE∥DF,GE⊂平面PGE;DF⊄平面PGE,所以DF∥因为H是PC的中点,所以FH∥PE,PE⊂平面PGE,FH⊄平面PGE,所以FH∥平面PGE.因为DF∩FH=F,DF⊂平面DFH,FH⊂平面DFH,所以平面DFH∥平面PGE.类型平行关系的探索问题【典例】如图所示,正四棱锥PABCD的各棱长均为13,M为PA上的点,且PM∶MA=5∶8.(1)在线段BD上是否存在一点N,使直线MN∥平面PBC?如果存在,求出BN∶ND的值;如果不存在,请说明理由;(2)假设存在满足条件(1)的N点,求线段MN的长.【解析】(1)存在,BN∶ND=5∶8.理由如下:连接AN并延长,交BC于点E,连接PE.因为正方形ABCD中,AD∥BC,所以ENNA=BNND=又因为PMMA=58,所以MN∥PE,又因为PE⊂平面PBC,MN⊄平面PBC,所以MN∥(2)由(1)得BE∶AD=5∶8,所以BE=658在△PBE中,PE2=PB2+BE22PB·BEcos60°=132+65822×13×658×1所以PE=918因为MN∥PE,所以MN∶PE=8∶13,所以MN=918×813【总结升华】对于探索问题往往采取逆向思维(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法:①先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明其充分性;③把几何问题转化为代数问题,探索命题成立的条件.(2)对命题结论的探索常采用以下方法:首先假设结论存在,然后在这个假设下进行推理论证,如果通过推理得到了合乎情理的结论,就肯定假设,如果得到了矛盾的结论,就否定假设.【即学即练】如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别为线段AC1,A1C1的中点.(1)求证:EF∥平面BCC1B1.(2)在线段BC1上是否存在一点G,使平面EFG∥平面ABB1A1?请说明理由.【解析】(1)因为E,F分别为线段AC1,A1C1的中点,所以EF∥A1A.因为B1B∥A1A,所以EF∥B1B.又因为EF⊄平面BCC1B1,B1B⊂平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1.(2)取BC1的中点G,连接GE,GF(图略).因为E为AC1的中点,所以GE∥AB.因为GE⊄平面ABB1A1,AB⊂平面