复习课（第1课时解三角形）课件高一下学期数学人教B版

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数学

必修第四册复习课第1课时解三角形知识梳理构建体系知识网络要点梳理1.正弦定理的内容是什么?2.余弦定理的内容是什么?提示:在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos

A,b2=a2+c2-2accos

B,c2=a2+b2-2abcos

C【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)正弦定理在钝角三角形中可能不成立.(

)(2)若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形.(

)(3)解三角形时,只能用一次正弦定理或余弦定理.(

)(4)在三角形中求角时,利用余弦定理不易产生增解.(

)×××√专题归纳核心突破专题一应用正弦定理、余弦定理解三角形【例1】

已知△ABC三个顶点分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0).(2)若c=5,求sinA的值.分析:(1)根据向量数量积运算列方程求c;(2)用正弦定理、余弦定理求解.解斜三角形有下列几种情况.反思感悟已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a,B,C)正弦定理由A+B+C=180°求出角A;由正弦定理求出b与c;S△ABC=.在有解时只有一解【变式训练1】

已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量专题二判断三角形的形状【例2】

在△ABC中,

=c2,且acosB=bcosA,试判断△ABC的形状.分析:分析化简条件,得到边(角)之间的关系,从而判断△ABC的形状.由acos

B=bcos

A,得2Rsin

Acos

B=2Rsin

Bcos

A(R为△ABC外接圆的半径),得到sin(A-B)=0,所以A-B=0,即A=B=C=60°,所以△ABC为等边三角形.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两条途径:(1)化边为角;(2)化角为边.常见具体方法有:①通过正弦定理实施边角转换;②通过余弦定理实施边角转换;③通过三角变换找出角之间的关系;④通过三角函数值符号的判断及正弦、余弦函数有界性的讨论.另外要注意b2+c2-a2>0⇔A为锐角,b2+c2-a2=0⇔A为直角,b2+c2-a2<0⇔A为钝角.反思感悟【变式训练2】

在△ABC中,若sinA+cosA=,则这个三角形是(

)A.钝角三角形

B.直角三角形C.锐角三角形

D.等边三角形答案:A∵0°<A<180°,sin

A>0,∴cos

A<0,∴90°<A<180°,故选A.专题三解三角形的实际应用【例3】

如图所示,某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asinωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,);赛道的后一部分为折线段MNP,为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°.(1)求A,ω的值和M,P两点间的距离;(2)应如何设计,才能使折线段赛道MNP最长?分析:(1)分析图象及数据可求出A,ω,进而求得M,P两点间的距离;(2)连接MP,以∠PMN=θ为自变量,以MNP的长度为因变量,建立函数解析式,运用函数的方法求最大值.(2)如图所示,连接MP.在△MNP中,∠MNP=120°,MP=5,设∠PMN=θ,则0°<θ<60°.因为0°<θ<60°,所以60°<θ+60°<120°.所以当θ+60°=90°,即θ=30°时,折线段赛道MNP最长.故将∠PMN设计为30°时,折线段赛道MNP最长.解三角形应用题常见的几种情况(1)实际问题经抽象概括后,若已知量与未知量全部集中在一个三角形中,则可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,若已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形,则需作出这些三角形,先解够条件的三角形,再逐步求出其他三角形中的解,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程,解方程得出所要求的解.反思感悟【变式训练3】

如图,某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处,小区里有两条笔直的小路AD,DC,且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走到A用了6分钟.若此人步行的速度为50米/分,求该扇形的半径OA的长(精确到1米).解法一:设该扇形的半径为r米,由题意,得CD=500米,DA=300米,∠CDO=60°.在△CDO中,CD2+OD2-2·CD·OD·cos

60°=OC2,即5002+(r-300)2-2×500×解法二:连接AC,作OH⊥AC,交AC于点H,由题意,得CD=500米,AD=300米,∠CDA=120°.高考体验考点一

利用正弦定理、余弦定理解三角形1.(2021全国乙,理15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b=

.

2.(2021浙江,14)在△ABC中,∠B=60°,AB=2,M是BC的中点,AM=,则AC=

,cos∠MAC=

.

解析:在△ABM中,由余弦定理,得AM

2=AB2+BM

2-2AB·BMcos

60°,即BM

2-2BM-8=0,解得BM=4或BM=-2(舍去).∵M是BC的中点,∴MC=4,BC=8.3.(2023全国甲,理16)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=

.

答案:24.(2022全国乙,理17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C-A).(1)证明:2a2=b2+c2;(1)证明:∵sin

Csin(A-B)=sin

Bsin(C-A),∴sin

Csin

Acos

B-sin

Csin

Bcos

A=sin

Bsin

Ccos

A-sin

Bsin

Acos

C,∴a+b+c=14.故△ABC的周长为14.5.(2021新高考Ⅰ,19)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.(1)证明:由正弦定理,得BD·b=ac=b2,则BD=b.(2)解:由(1)知BD=b,∵AD=2DC,∵∠BDA+∠BDC=π,∴cos∠BDA+cos∠BDC=0.∵b2=ac,∴9c2-33ac+18a2=0.考点二

用正弦定理、余弦定理解决实际问题6.(2021全国乙,理9节选)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=(

)答案:A解析:如图,连接FD并延长交AB于点M,则FM⊥AB,AB=AM+BM.设∠BDM=α,∠BFM=β,则∠BHE=α,∠FCG=β,答案:B7.(2021全国甲,理8节选)三角高程测量法的一个示意图如图所示.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一