导学案数学第九章92922总体百分位数的估计

9.2.2总体百分位数的估计【学习目标】1.结合实例,能用样本估计百分位数2.理解百分位数的统计含义【素养达成】数据分析数据分析百分位数1.总体百分位数的估计一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100p)%的数据大于或等于这个值.2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤第1步:按从小到大排列原始数据.第2步:计算i=n×p%.第3步:若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据,若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.3.四分位数第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数,其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.温馨提示:中位数是第50百分位数.【教材深化】百分位数的特点(1)一组数据的百分位数可能是这组数据中的数,也可能不是这组数据中的数;(2)第0百分位数为这组数据中最小的数,第100百分位数为这组数据中最大的数;(3)一组数据的某些百分位数可能是同一数.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)第p百分位数一定是样本中的一个数.(×)提示:第p百分位数不一定是样本中的一个数.(2)样本容量越大,求出的第p百分位数对总体的估计越接近.(√)提示:样本容量越大,样本越接近于总体,所以第p百分位数对总体的估计越接近.(3)一组样本数据的75%分位数一定大于25%分位数.(×)提示:若数据均相等,则其75%分位数等于25%分位数.类型一百分位数的计算(数据分析、数学运算)【典例1】(链接教材P203例2、P204例3)从某公司生产的产品中,任意抽取12件,得到它们的质量(单位:kg)如下:7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0,分别求出这组数据的25%,75%,95%分位数.【解析】将所有数据从小到大排列,得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,因为共有12个数据,所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4,则25%分位数是8.0+8.32=8.15,75%分位数是8.【总结升华】总体百分位数估计需要注意的两个问题(1)总体百分位数估计的基础是样本百分位数的计算,因此计算准确是关键;(2)由于样本容量比较少,对总体的估计可能存在误差,因此对总体百分位数的估计一般是估计值而非精确值.【即学即练】1.(2024·武汉高一检测)从小到大排列的数据1,2,3,x,4,5,6,7,8,y,9,10的下四分位数为()A.3 B.3+xC.8 D.8+y【解析】选B.一共有12个数据,12×25%=3,故下四分位数为第3个数据和第4个数据的平均数,即3+x2.(2024·营口高一检测)某校高一年级25个班参加艺术节合唱比赛,通过简单随机抽样,获得了其中8个班的比赛得分如下:91,89,90,92,93,87,91,94,则这组数据的80%分位数为()A.87 B.91 C.92 D.93【解析】选D.将题中数据从小到大排列,为87,89,90,91,91,92,93,94,而8×80%=6.4,所以80%分位数是第7个数据为93.【补偿训练】(2024·安阳高一检测)已知甲、乙两组按从小到大的顺序排列的数据:甲组:27,28,37,m,40,50;乙组:24,n,34,43,48,52.若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数分别对应相等,则mn等于(A.127 B.107 C.43 【解析】选B.因为30%×6=1.8,50%×6=3,所以甲、乙两组的第30百分位数分别为28,n,所以n=28,甲、乙两组的第50百分位数分别为372+m2,342+432=38.5,所以372+m2=38.5,所以m=40,所以类型二统计图表中的百分位数(数据分析、数学运算)【典例2】(一题多解)为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了100名同学进行调查,结果显示这些同学的支出都在[10,50](单位:元),其频率分布直方图如图所示,估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数.(结果保留两位小数)【解析】方法一:由频率分布直方图可得,(0.01+0.023)×10=0.33,(0.01+0.023+0.037)×10=0.7,所以第65百分位数应位于[30,40)内,所以样本数据的第65百分位数为30+10×0.65-所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元.方法二:由方法一知第65百分位数应位于[30,40),设为x,则0.01×10+0.023×10+(x30)×0.037=0.65,解得x≈38.65(元),所以估计学生课外读物支出的样本数据的第65百分位数为38.65元.【总结升华】频率分布直方图中第p百分位数的求解方法模仿中位数的求解思路(1)确定第p百分位数所在的区间[a,b).(2)确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%,fb%,则第p百分位数为a+p%-fa%f【补偿训练】1.某市政府为了节约生活用水,计划在本市实行居民生活用水定额管理,即确定一个居民用水量标准m,使得86%的居民生活用水不超过这个标准.在本市居民中随机抽取了100户家庭,统计其某年的月均用水量(单位:吨),通过数据分析得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a,m的值;(2)如果我们称m为这组数据的86%分位数,那么这组数据的50%分位数是多少?【解析】(1)由频率分布直方图得,(0.16+0.30+0.40+0.50+0.30+0.16+a+a+a)×0.5=1,解得a=0.06.由频率分布直方图得月均用水量在[0,3)内的频率为1(0.16+0.06+0.06)×0.5=0.86.因为计划在本市实行居民生活用水定额管理,即确定一个居民用水量标准m,使得86%的居民生活用水不超过这个标准.所以m≈3.(2)由频率分布直方图知,数据在[0,2)内的频率为(0.06+0.16+0.30+0.40)×0.5=0.46,在[2,2.5)内的频率为0.50×0.5=0.25,所以这组数据的50%分位数是2+0.5-0.462.为了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下这60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗?(结果保留一位小数)【解析】由题意知分别落在各区间上的频数在[80,90)上为60×0.15=9,在[90,100)上为60×0.25=15,在[100,110)上为60×0.3=18,在[110,120)上为60×0.2=12,在[120,130]上为60×0.1=6,从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上,由100+10×0.5-0.第75百分位数一定落在区间[110,120)上,由110+10×0.75-0.7综上可知,第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3cm,112.5cm.类型三总体百分位数的运用(数据分析、数学建模)【典例3】(2024·南京高一检测)某商场为了制定合理的停车收费政策,需要了解顾客的停车时长(单位:min).现随机抽取了该商场到访顾客的100辆汽车进行调查,将数据分成6组:(0,100],(100,200],(200,300],(300,400],(400,500],(500,600],并整理得到如下频率分布直方图.(1)若某天该商场到访顾客的汽车辆数为1000,根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间(400,600]内的车辆数.(2)为了吸引顾客,该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务.若以第30百分位数为标准,请你根据频率分布直方图,给出确定免费停车时长标准的建议(数据取整数).【解析】(1)设停车时长在(400,500]内的频率为x,(0.0002+0.0013+0.0016+0.0032+0.0034)×100+x=1解得x=0.03,所以样本中停车时长在区间(400,600]内的频率为0.03+0.0002×100=0.05,故估计该天停车时长在区间(400,600]内的车辆数是1000×0.05=50.(2)设免费停车时长不超过ymin.停车时长在(0,100]内的频率为0.13<0.3,停车时长在(0,200]内的频率为0.13+0.32=0.45>0.3,所以y∈(100,200],则由0.13+(y100)×0.0032=0.3,得y≈153,故确定免费停车时长为153min.【补偿训练】某学科能力测试共有12万考生参加,成绩采用15级分,测试成绩分布图如图,试估计成绩高于11级分的人数为()