四川省内江市资中县球溪高级中学2024-2025学年高一上学期期末考试（火箭班）数学试题

球溪高级中学学年（上）高一期末考试（火箭班）数学考生注意：．本试卷分选择题和非选择题两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效．．考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性求出集合，解不等式求出集合，再根据集合交集的定义求解即可.【详解】因为，所以，所以，又，所以.故选：B.2.已知函数有且仅有3个零点，则的最大值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】由题可得函数为奇函数，在上有且只有1个零点，然后利用零点存在定理可得不合题意，当时利用数形结合可得适合题意，进而即得答案.【详解】因为第1页/共17页所以，故为奇函数，且为的零点，所以在上有且只有1个零点，又，，，故零点均位于区间内，当时，，，故存在使得，又，故存在使得，所以在上至少存在两个零点，故不符合题意；当时，由，可得，作出函数与函数的大致图象，由图形可知函数与函数的有3有且仅有3个零点，适合题意，所以的最大值为4.故选：C．3.已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】第2页/共17页【分析】先由在R上单调递增求得的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义即得.【详解】由在上单调递增，得，解得，故“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.故选：A.4.数学上用“”表示连乘运算，例如：.设函数，记，，则使成立的m的最小值为（）A.8B.9C.10D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得的表达式，然后根据，利用对数运算等知识求得正确答案.【详解】，，，，即，解得或，又，所以使成立的m的最小值为9.故选：B.5.函数的大致图象是（）第3页/共17页A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的定义域，即可判断B、D，再根据函数在上的单调性排除C.【详解】函数，令，解得，所以函数定义域为，故排除B、D；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，故排除C.故选：A6.设的外心为最大时，的外接圆半径为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】设外接圆半径为，根据向量数量积的运算律结合重心的性质与二倍角的余弦公式得，再利用导数求出极大值点即可.【详解】设外接圆半径为，第4页/共17页则根据重心向量公式有，则，令，此时，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；故当最大时，的外接圆半径为.故选；D7.已知为定义在上的奇函数，当时，，则方程实数根的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的定义求出的解析式，进而解方程即可.【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，当时，，，当时，，，第5页/共17页综上，当时，令无解；当时，令解得；当时，令无解；当时，令解得；当时，令，解得，综上实数根的个数为个，故选：C8.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再证明当时，，由此确定正确选项.【详解】函数定义域为，定义域关于原点对称，因为，第6页/共17页，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，当时，，，故，选项ABD都不同时符合以上所有特征，选项C符合以上特征，故函数的部分图象大致为选项C的图象.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数（且）的图象恒过定点B.函数与表示同一个函数C.函数的最小值为3D.若关于x的不等式的解集为或，则【答案】AB【解析】AB断C，根据二次不等式的解集及韦达定理求解即可判断D.【详解】对于A，因（且）恒过定点，故函数的图象恒过定点，故A正确；对于B，函数与的定义域为，且，，故它们为同一个函数，故B正确；第7页/共17页对于C，，当且仅当时取等号，但方程无解，等号不成立，故C错误；对于D，依题意关于x的方程有两根为和2，故必有解得所以，故D错误．故选：AB10.下列选项正确的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】对于A，利用作差法即可判断；对于B，利用指数运算即可判断；对于C，利用指数函数单调性，并借助中间量1，即可判断；对于D，利用指数、对数的运算及对数函数的性质可判断.【详解】对于A，因为，所以，故A错误；对于B，因为，所以，即，故B正确；对于C，因为，，所以，故C正确；对于D，因为，又，所以，即，所以，即，故D正确.故选：BCD.第8页/共17页在天文观测中，某恒星的亮度随时间，单位：百年）的变化曲线可以用函数来描述．观测发现在和时，该恒星的亮度均为，而在时，恒星处于最亮状态，则下列说法正确的有（）A.在区间内，恒星亮度变化曲线的对称轴一定是奇数条B.在区间内，恒星的亮度为的次数一定是偶数次C.在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次D.在区间内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次【答案】BC【解析】【分析】对取特殊即可排除A选项和D选项；由三角函数的对称性及最值判断B选项和C选项；【详解】当时，在区间内恒星亮度变化曲线有2条对称轴，故A错误；由于时，恒星处于最亮状态，即函数取最大值，可解得，故，则是函数的对称轴，区间关于对称，故恒星的亮度为的次数一定是偶数次，B正确；因为当和时，该恒星的亮度均为，且时恒星处于最亮状态，，故，则，即时取最小值，在内，恒星达到最暗的次数一定是偶数次，在内，由于区间关于对称，且时取最小值，故恒星达到最暗的次数一定是奇数次，故在区间内，恒星达到最暗的次数一定是奇数次，故C正确；当时，，在区间内恒星达到最暗的次数只有1次，故D错误．故选：BC．【点睛】方法点睛，本题重点考查的内容是三角函数的图像及性质，通过三角函数的最值及对称性来解决本题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分．第9页/共17页12.已知某个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为__________.【答案】2【解析】【分析】将圆心角转化为弧度制后借助弧长公式计算即可得.【详解】rad，故.故答案为：2.13.若函数有且仅有两个零点，则实数b的一个取值为______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据零点概念对两段进行计算，分析，结合指数函数性质得解.【详解】令，当时，由0，得，即为函数的一个零点，故当时，有一解，即有一解，得.则.故答案为：（答案不唯一,都可以）.14.设函数的定义域为为的导函数，，则_______．【答案】89【解析】【分析】由题设可得且函数的值.【详解】由，则，所以，则，即，且，第10页/共17页则．故答案为：89四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合.（2）已知，求的值;（3）已知，且，求的值.【答案】（1）①，②；（2）；（3）.【解析】1）根据任意角的概念和阴影部分表示的角，数形结合求出答案；（2）利用齐次化求出，再利用齐次化化简，代入求值即可；（3）两边平方，结合同角三角函数关系求出，平方求出，并根据，得到，，求出.1第11页/共17页，②；（2），故，解得，；（3）两边平方得，故，所以，，因，所以，由于，故，所以，故.16.已知集合.（1）若A中有且仅有1个元素，求实数m的值；（2）若，求实数m的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解；（2、结合m的取值范围.【小问1详解】若，方程化为，此时方程有且仅有一个根；第12页/共17页若，则当且仅当方程的判别式，即时，方程有两个相等的实根，此时集合中有且仅有一个元素，所以实数m的值为或；【小问2详解】，因为，所以，由（1）知时，，不符合，当时，若，解得，此时，符合，若，解得，此时方程的根为，集合，符合，若，由，则可得，此时有且，无解，综上所述：实数m的取值范围为.17.已知函数．（1）求的最小值；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）2（2）【解析】1）利用基本不等式的性质，利用取等条件，得到答案.（2）利用函数单调性，得到不等式进行计算，得到答案.【小问1详解】，当且仅当即时取等号，故的最小值为2，第13页/共17页【小问2详解】易知在上单调递增，因为，故，整理得，即，解得，故所求．18.渔场中鱼群的最大养殖量为，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量小于，以便留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量和实际养殖量与空闲率（空闲率是空闲量与最大养殖量的比值）的乘积成正比，比例系数为．（1）写出y关于x的函数关系式，并求鱼群年增长量y的最大值；（2）当鱼群年增长量y达到最大值时，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】1y关于x值；（2）由题意得，即，结合，即可得到结果.【小问1详解】由题意，空闲率为，关于x的函数关系式是：，，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时，．第14页/共17页【小问2详解】由（1）知,当鱼群年增长量y达到最大值时，，由题意有，即，，又，的取值范围为．19.已知函数.（1）讨论函数的奇偶性；（2）记，若与在有两个互异的交点，交点横坐标分别为，且，求证：.【答案】（1）时，为偶函数；时，为非奇非偶函数；（2）证明见解析.【解析】1时，（2）求得在上解析式，并分析其单调性，结合题意，求得的范围以及之间的关系；证明.【小问1详解】易知定义域为，关于原点对称；又，故，故当时，，为偶函数；当时，，且，故此时为非奇非偶函数.小问2详解】第15页/共1