数学知识巧解学案：向量加法运算及其几何意义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、向量的加法求任意两个向量和的运算，叫做向量的加法，两个向量的和仍是向量。由于向量是自由平移的对两个向量进行求和的过程,可按以下两个法则进行。1。三角形法则已知非零向量a、b，在平面内任取一点A,作=a，=b，则向量叫做向量a、b的和，记作a+b,即a+b=+=。（1）利用向量加法的三角形法则求两个向量的和如图2-2—1（1)、（2)、（3)中,=a，=b，则+=。图2-2—1图2—2—1的（1）、（2）、（3）中各有两个向量,只要把其中一个向量的起点平移，使之与第二个向量的终点重合，则从第一个向量的起点指向第二个向量终点的向量,就是两个向量的和向量.(2)向量加法的三角形法则适用的范围及应用①三角形法则对于两个向量共线时也适用.对于零向量,课本规定a+0=0+a=a（a≠0),我们可利用三角形法则，通过几何作图法作出a+0，0+a，a，观察结果,去认识规定的合理性.图2—2—2②任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点即可，如:=+，如图2-2-2所示，这里的O点具有任意性.学法一得对于首尾相连的两个向量的和，等于以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量，这就是向量加法的三角形法则的几何意义。记忆要诀不管平面内的点O选在何处，对于首尾相连的两个向量的和向量,它的方向总是由第一个向量的起点指向第二个向量的终点。二、平行四边形法则1。以同一点A为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线就是a与b的和。这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。图2-2-32.用向量加法的平行四边形法则求两个向量的和时要注意以下几点：（1）当两个向量共线时,不能用平行四边形法则求和，因为不可能以两平行向量为邻边作平行四边形,所以，平行四边形法则对于两个向量共线时是不适用的。(2）用向量加法的平行四边形法则求两个向量的和时，可在空间任取一点O,使两个向量的起点同时移到点O上去，也可把其中一个向量的起点移到另一个向量的起点上去,再作和.学法一得以从同一点O出发的两个向量为邻边作平行四边形，则从公共点O出发的对角线表示的向量就是两个向量的和，这就是向量加法的平行四边形法则的几何意义。三、向量加法的交换律和结合律1.向量加法的交换律先看看求两个向量和时，两个向量相加的次序能否交换。图2—2-4让我们回到加法的定义.已知向量a、b，如图2—2—4所示，作=a,=b，如果A、B、C不共线,则=a+b。再看看b+a等于什么？作=b,连结，如果我们能证明=a,那么也就证明了加法交换律成立.由作图可知,==b，所以四边形ABCD是平行四边形（为什么?）,这就证明了=a，即加法交换律成立。2。向量加法的结合律图2-2—5如图2-2-5，作=a，=b,=c，由向量加法的定义，知=+=a+b，=+=b+c,所以=+=(a+b)+c,=+=a+（b+c),从而(a+b）+c=a+(b+c),即向量的加法满足结合律.学法一得与实数的运算相类比，向量也满足交换律和结合律，利用向量的运算律，可有效地简化向量的运算。四、向量加法的多边形法则由两个向量加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个(有限）向量相加。现以四个向量为例说明，如图2—2-6。图2—2-6已知向量a、b、c、d，在平面上任选一点O,作=a，=b，=c，=d,则=+++=a+b+c+d.已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时,其中各向量的和就是0.记忆要诀n个向量首尾顺次相连，首起为起，终终为终点的向量叫做n个向量的和向量。典题•热题知识点一向量加法的三角形法则例1某人先位移向量a:“向东走3km"，接着再位移向量b：“向北走3km"，求a+b。解：如图2—2-7所示，适当选取比例尺，作图2-2-7=a=“向东3km”，=b=“向北3km”，=+=a+b.因为△ABC为直角三角形,所以｜|=（km）.又∠AOB=45°，所以a+b表示向东北走km。例2用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.图2—2-8如图2—2-8，已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，且AO=OC，DO=OB.求证：四边形ABCD是平行四边形.思路分析：要证明四边形是平行四边形，只要证明某一组对边平行且相等即可。由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量.解:由已知得=，=.∵=+=+=，且A、D、B、C不在同一直线上。故四边形ABCD是平行四边形.例3轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40nmile（海里)到达B处,再由B处沿正北方向行驶40nmile到达C处。求此时轮船与A港的相对位置。思路分析：如图2-2—9,设、分别表示轮船发生的位移，轮船到达C处可由确定，则=+.图2—2-9解：设、分别表示轮船的两次位移，则表示轮船的合位移，=+。在Rt△ADB中,∠ADB=90°，∠DAB=30°，|｜=40nmile，所以｜｜=20nmile，||=203nmile。在Rt△ADC中,∠ADC=90°，||=60nmile，所以｜｜=nmile。因为||=2｜|,所以∠CAD=60°.答:轮船此时位于A港东偏北60°,且距A港nmile的C处。方法归纳向量的模可通过勾股定理求解，方向可通过锐角的三角函数的定义求解。知识点二平行四边形法则例4已知正方形的边长为1，=a，=b,=c,试作向量a+b+c。解:如图2—2-10,由已知得a+b=+=，又=c，所以延长AC至E，使||=||，则a+b+c=，|｜=。图2—2-10例5两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1=40N，方向向东,F2=30N，方向向北,求它们的合力。解：如图2—2-11所示，表示F1，表示F2.以、为邻边作OACB，则表示合力F.图2-2—11在Rt△OAC中，|｜=40N,｜｜=｜｜=30N。由勾股定理,得F=｜｜=（N).设合力F与力F1的夹角为θ，则tanθ==0.75。所以θ≈37°。答：合力大小为50N，方向向东偏北37°。知识点三和向量的模例6若|｜=8，|｜=5，则｜的取值范围是()A.[3,8］B。(3，8）C.［3.13］D.(3,13）思路分析：∵=—，当、同向时，｜｜=8-5=3;当、反向时，｜|=8+5=13；当、不共线时，3≤|｜≤13.答案：C例7下列命题①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么,a+b的方向必与a、b之一的方向相同；②△ABC中，必有++=0;③若++=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点;④若a、b均为非零向量,则|a+b｜与|a｜+｜b|一定相等。其中真命题的个数为()A。0B。1C思路分析：①假命题。当a+b=0时，命题不成立。②真命题。③假命题。当A、B、C三点共线时也可以有++=0。④假命题。只有当a与b同向时，相等，其他情况均为｜a+b|〉｜a|+｜b|.答案：B方法归纳(1)当向量a、b共线且同向时，｜a+b｜=｜a|+|b|；(2)当向量a、b共线且反向时，若｜a｜>|b|，则|a+b｜=｜a|-|b|；若｜a｜〈|b|，则｜a+b｜=|b｜-｜a｜。因为三角形中两边之和大于第三边，由向量加法的几何意义不难知道，当a与b不共线时,恒有｜a+b|〈|a｜+|b|，即两个向量和的长度小于两个向量长度之和。在一般情况下,有|a+b|≤｜a|+|b|.问题•探究方案设计探究问题课堂上老师布置作两个向量的和，同学们选择的始点通常都是不相同的，那么选择不同的始点作出的向量都相等吗?或许你会认为,这还需要理由吗，这是“显然”成立的。到底这种“显然"是否正确，你能否设计一个方案逻辑地说明这个问题？探究思路：如图2—2—12，在平面内任取一点A，以A为始点依次作向量=a，=b，连结向量，则由三角形法则知=a+b。再任取一点A′，以A′为始点依次作向量=a，=b,连结向量。图2-2-12由于==a,故四边形AA′B′B为平行四边形，则AA′∥BB′且AA′=BB′。由==b,则四边形BB′C′C为平行四边形，则BB′∥CC′且BB′=CC′。所以AA′∥CC′且AA′=CC′,即四边形AA′C′C为平行四边形.则AC∥A′C′且AC=A′C′。又与方向相同，所以=.探究结论：选择不同的始点作出的向量和都相等。于是你所认为的“显然”是非常正确的，你的直觉没有欺骗你.思想方法探究问题如果已知五个四边形ACPH，AMBE,AHBT,BMHK，CKXP都是平行四边形(所有四边形的顶点按同一方向排列),那么四边形ABTE也是平行四边形，你能证明这个问题吗？从中你能体会什么样的数学思