数学知识巧解学案：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、平面向量的正交分解1.由平面向量基本定理可知，我们选定平面中的一组不共线向量作为基底，则这个平面内的任意一向量都可用这组基底唯一表示。在解决实际问题时,往往根据需要，人为地选定一组基底来表示相关的量。如图2-3-11,△ABC中，D、E分别是边、的中点。图2—3—11求证：DEBC.证明：先选定一组基底，设=a，=b，则=b-a.又∵==a，==b,∴=-=ba=（b—a)。∴=2，即△ABC中，DEBC.学法一得利用平面向量的基本定理证明向量共线的过程是：先选好一组基底，用该基底把相关的向量表示出来,再根据两向量共线的条件,确定唯一的实数，证得两向量共线，其实质是判定出两向量的方向与模的关系。2。把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。此时，这两个互相垂直的基底为正交基底.二、正交分解下向量的坐标1.向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a。由平面向量基本定理知，有且只有一对实数(x，y），使得a=xi+yj。由于向量a与有序实数对（x，y)是一一对应的，因此，我们就把（x,y)叫做向量a的(直角）坐标，记作a=（x,y）,其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标，a=（x，y）叫做向量的坐标表示。显然，i=(1，0），j=（0，1），0=（0，0).图2-3-12设向量a=（x，y），a方向相对于x轴正方向的旋转角为θ。由三角函数的定义可知：x=|a|cosθ，y=|a｜sinθ，即向量a的坐标由它的模和方向唯一确定,与它的位置无关。2.向量坐标的唯一性在直角坐标平面内，以原点O为起点作=a，则点A的位置由a唯一确定。设=xi+yj,则向量的坐标(x，y）就是点A的坐标；反过来，点A的坐标（x，y）也就是向量的坐标.图2-3—13如图2—3—13所示,==a,向量的坐标怎样表示?由向量相等的定义可知，对于一个向量,只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，这就是我们常说的自由向量.向量在移动的过程中，其坐标是不变的，此时向量的坐标等于的坐标,即相等向量的坐标相同。3。一一对应原理任何一个平面向量都有唯一的坐标表示，但是每一个坐标表示的向量却不一定是唯一的,也就是说,向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系,但和起点为坐标原点的向量是一一对应的关系。由此可见，在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系。因此在直角坐标系中，点或向量都可以看作有序实数对的直观形象。学法一得①平面向量的坐标表示是平面向量基本定理的具体运用，其关键是在直角坐标系的两坐标轴上取与正方向一致的两个单位向量作为基底，用该基底把平面直角坐标系中的某一向量表示出来.②由于向量是可以平移的，模相等方向相同的向量是相等的向量，所以平面内任一向量所对应的坐标,与把该向量的起点移至原点，终点所对应的坐标相等.三、向量的坐标运算1.加法运算对于向量的加法除了用向量线性运算的结合律和分配律去证明外，还可用几何作图的方法予以证明.设a=（x1，y1），b=（x2，y2），求a+b。图2-3-14如图2-3—14所示，=a，=b，以a、b为邻边作平行四边形，则=a+b.作BB′⊥x轴，垂足为B′,AA′⊥x轴，垂足为A′，CD⊥x轴,垂足为D，AC′⊥CD，垂足为C′.从作图过程可知Rt△BB′O≌Rt△CC′A。所以OB′=AC′=A′D，BB′=CC′。所以C点的坐标为xC=OA′+A′D=x1+x2,yC=C′D+C′C=y1+y2，即=(x1+x2，y1+y2），也就是a+b=（x1+x2，y1+y2)。也就是说:两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和.上述结论对于三个或三个以上向量加法仍然成立.2.减法运算由向量线性运算的结合律和分配律,可得a-b=（x1i+y1j）—(x2i+y2j）=（x1-x2）i+（y1—y2)j，即a—b=（x1-x2，y1-y2），也就是说：两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差.类似于向量的加法运算，也可以通过作图验证减法的坐标运算规则.3.实数与向量积的坐标如图2—3-15，已知=a,=λa，不妨设λ＞0，作AA′⊥x轴，BB′⊥x轴，垂足分别为A′、B′.图2-3—15由△AOA′∽△BOB′，∴.由,OA′=x，A′A=y,∴,，得OB′=λx,B′B=λy,即=(λx，λy)，即λa=(λx,λy）.同理可证当λ＜0时，结论也成立;当λ=0时，λa=0，结论显然也成立.综上所述，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。学法一得当λ＞0时，λa所对应的坐标可看作把a的坐标伸长(λ＞1）或缩短（0＜λ＜1）到原来的λ倍而得到；当λ＜0时，可看作把a的相反向量的坐标伸长（λ＜-1)或缩短（-1＜λ＜0)到原来的—λ倍而得到。典题•热题知识点一利用图形间的关系求坐标例1在平面内以点O的正东方向为x轴正向,正北方向为y轴的正向建立直角坐标系.质点在平面内作直线运动，分别求下列位移向量的坐标。（1）向量a表示沿东北方向移动了2个长度单位；（2）向量b表示沿北偏西30°方向移动了3个长度单位；（3)向量c表示沿南偏东60°方向移动了4个长度单位.解:设=a，=b,=c，并设P(x1，y1）,Q(x2，y2)，R（x3，y3）.图2-3-16(1）如图2—3-16，可知∠POP′=45°,|｜=2，所以a===i+j,所以a=(,).(2)因为∠QOQ′=60°，｜｜=3，所以b==+=i+j，所以b=(，）。（3)因为∠ROR′=30°，||=4,所以c==+=i—2j。所以c=（，-2）.方法归纳求解向量坐标时，常用到解直角三角形的知识或任意角的三角函数的定义.构造直角三角形是学习过程中常用到的一种解题手段。知识点二向量的坐标运算例2已知点O（0，0），A(1，2），B（4，5)及=+。求：(1）t为何值时，点P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能成为平行四边形吗？若能，求出相应的t值;若不能，请说明理由.解：(1)=+=（1+3t，2+3t）.若P在x轴上，只需2+3t=0，即t=；若P在y轴上，只需1+3t=0，即t=；若P在第二象限,则需解得—＜t＜—。（2)=（1，2），=(3—3t，3-3t）。若四边形OABP为平行四边形，需=.于是无解，故四边形OABP不能成为平行四边形。巧解提示：向量的坐标表示为用“数”的运算处理“形"的问题搭起了桥梁。向量的坐标表示实际是向量的代数表示，使向量的运算完全代数化，为几何问题的解决又提供了一种崭新的方法。知识点三求向量坐标例3已知A(0，0),B(，)，C(,），则下列计算正确的是（）A。向量的坐标为（，）B。向量的坐标为(0，)C.向量的坐标为(,)D.向量+的坐标为（0，）思路分析：利用“向量的坐标=终点坐标—起点坐标”直接得到结果。=（，)—(0，0)=（，），=（，)—（，-)=(—1，1）,=(0,0)-（，）=（,)，+=（，）+（,)=(0，)。答案：D例4在直角坐标系xOy中,已知点A(3，2）、B（—2，4），求向量+的方向和长度.解：如图2-3-17，可知=（3，2），=（-2，4）.图2-3-17设=+，则=+=(3，2)+（-2，4）=（1，6）。由两点间距离公式，得｜｜=。设相对x轴正向的转角为α,则tanα=6，使用计算器计算得α=80°32′.所以向量+的方向偏离x轴正方向约为80°32′，长度等于。知识点四利用向量坐标解综合题例5已知a=(6，—4)，b=（0，2),c=a+λb，若c的终点在直线y=x上，求实数λ的值。思路分析：此题是向量与直线结合的问题,关键是建立关于λ的等式关系.图2—3—18解：如图2—3-18所示，过A作平行于y轴的直线交直线y=x于C点，则可求得C（6，3),过C点作直线OA的平行线,交y轴于D点，则四边形AODC为平行四边形，易求得｜OD|=7，所以,即λ=。巧解提示:设c=(x，y），由题设,可得（x，y）=(6，—4）+λ(0，2），即(x，y）=（6，-4+2λ）.∴∵c的终点在直线y=x上,∴-4+2λ=×6.解得λ=.例6已知向量u=(x,y）与向量v=（y，2y—x)的对应关系用v=f(u）表示.(1)设a=(1,1），b=(1,0)，求向量f（a）及f(b)的坐标;（2)证明对于任意向量a、b及常数m、n恒有f(ma+nb)=mf（a)+nf（b)成立；（3）求使f（c）=（p，q)（p，q为常数）的向量c的坐标.思路分析：为应用题设条件,必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而使问题解决。解：(1)f（a）=（1，2×1—1)=(1，1）；f（b）=(0,2×0-1）=(0，-1）。(2)设a=（a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2）,∴f(ma+nb）=（ma2+nb2，2ma2+2nb2—ma1—nb1)，mf（a）+nf(b）=m(a2，2a2—a1）+n(b2，2b2-b1)=（ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1）。∴f(ma+nb)=mf(a）+nf(b)成立。（3)设c=（x，y)，则f（c）=（y，2y—x）=(p，q)，∴∴x=2p—q，即向量c=（2p-q，p).例7已知任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点,如图2—3-19所示。图2-3—19求证:=（+）。思路分析：根据向量加法的三角形法则或坐标运算法则可以用不同方法证明。证明:建立直角坐标系,A(x1，y1），B(x2，y2)，C(x3,y3），D（x4，y4).则=(x2-x1，y2—y1），=（x3-x4,y3-y4），∴(+)=（）.又E（），F()，则=（)，∴=（+)。巧解提示：∵E、F分别是AD、BC的中点，图2—3—20∴+=+=0。又=++，=++，两式相加得2=+，即=（+)。问题•探究材料信息探究材料:一个力可以分解为平面内任意两个方向上的力。如图2-3-21：图2—3-21拖拉机拉着耙，对耙的拉力是斜向上方的,我们可以说，这个力产生两个效果：使耙克服泥土的阻力前进，同时把耙向上提，使它不会插得太深。这两个效果相当于两个力分别产生的：一个水平的力F1使耙前进，一个竖直向上的力F2把耙上提,即力F可以用两个力F1和F2来代替,即力F被分解成两个力F1和F2。问题能不能将上面的物理知识抽象为数学知识？这一数学知识有何作用？探究过程:由物理学知识可知力是矢量，它可以抽象为数学中的向量.因此物理学中力的分解可以抽象为数学中一个平面内的向量都可以分解为两个不共线的向量，即平面内任意一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和，并且这种分解是唯一的,其实质就是平面向量基本定理。这一定理是向量坐标表示的理论基础.同时这个定理体现了化归的数学思想方法,在用向量解决几何问题时,我们可以选择适当的基底化归，从而导致问题的解决.探究结论:上面的物理知识可以抽象为数学中的平面向量基本定理，该定理是向量坐标化的理论基础，也是联系向量问题与几何问题的桥梁与纽带。方案设计探究问题试探究用向量求的值的方法。探究过程:要求可先求cos0+cos+cos+cos+cos+cos+cos的值，由于0、、、、、、这七个角每相邻两个角都相差，则可考虑在直角坐标系中构造一个边长为1的正七边形OABCDEF，且使A点的坐标为(1，0），则由此可得出、、、、、和的坐标，再利用它们的和是零向量及零向量的横坐标、纵坐标都为零即可求解。探究结论：如图2—3—22所示,将边长为1的正七边形OABCDEF放入直角坐标系中，则图2-3-22=（1，0),=（cos，sin),=(cos,sin），=（cos，sin）,=（cos，sin)，=（cos,sin)，=(cos,sin).由于++++++=0，则有cos0+cos+cos+cos+cos+cos+cos=0。又cos=cos,cos=cos，cos=cos，cos0=1，所以有1+2(cos+cos+cos）=0,即cos+cos+cos=.思想方法探究问题在数学中,我们经常遇到一个点把一条线段分成两部分，如果已经知道了两个端点的坐标，那么怎样用两个端点的坐标来表示这个分点的坐标就成为我们关心的问题。向量是解决几何问题的有效工具,能否用向量分析这一问题？探究过程：在数学上，我们把分线段成两部分的点称为定比分点，假设点P分有向线段的比为λ，即=λ，O为平面上一定点，那么会有+λ=0，=。事实上，