数学知识巧解学案：平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精疱工巧解牛知识•巧学一、平面几何中的向量方法用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面,解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量,这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了.用向量法(即以向量和向量的运算为工具，对几何元素及其关系进行讨论）证明几何问题需把点、线、面等几何要素直接归为向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些结果翻译成点、线、面的相应结果，可简单地表述为：〔形到向量〕-—〔向量的运算〕-—〔向量和数到形〕。学法一得用向量法证明几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题;③把运算结果“翻译”成几何关系.二、向量在物理中的应用向量还具有强烈的物理学实际背景.物理学中有两种基本量：标量和矢量。矢量遍布在物理学的很多分支,它包括力、位移、速度、加速度、动量等.虽然，物理学中的矢量与数学中的向量并不完全相同，例如力，它除了有方向和大小，还有作用点；数学中的向量则只有方向和大小，没有作用点。但是，这并不影响向量在物理学中的作用.学法一得向量在物理中的应用，实际上就是先把物理问题转化成数学问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象.在学习过程中，一要体会如何把物理问题转化成数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型，二要体会如何利用数学模型的解来解释物理现象.典题•热题知识点一用向量方法证明几何问题例1已知AD、BE、CF分别是△ABC的三条高,求证：AD、BE、CF相交于同一点。思路分析：本题主要考查向量在几何中的应用。通常情况下，用向量作工具证明几何问题时，往往要先设一些向量作为基本向量，我们假设两条高BE、CF交于点H，再证明AD与BC垂直即可说明结论成立。图2-5-2证明：如图2—5-2，AD、BE、CF是△ABC的三条高，设BE、CF交于点H，=a，=b，=h，则=h—a，=h—b，=b-a。∵⊥,⊥，∴（h—a）·b=0，（h—b)·a=0。∴(h-a)·b=(h—b）·a。化简得h·（b—a）=0。∴⊥。∴AH与AD重合，即AD、BE、CF交于一点。例2在△ABC中，点D和E分别在边BC与AC上，且BD=BC,CE=CA，AD与BE交于点R,证明RD=AD,RE=BE。图2—5—3解:设=e1,=e2。取｛e1,e2}为基底，下面我们将用基底表示出来。设=λ,=μ。由于=+=e1+(e2-e1)=e1+e2,=+=—e1+e2，∴=λ=λe1+λe2，①=μ=-μe1+μe2。==（1—μ）e1+μe2,②根据唯一性，由①和②可得λ=1—μ，。解得λ=，μ=。于是AR=AD,RD=AD;BR=BE，RE=BE.巧解提示：由A、D、R三点共线，可设=λ+（1-λ)=λ+(1-λ)。③由B、E、R三点共线，又设=μ+(1-μ）=μ+(1—μ）.④根据唯一性，由③④可得λ=，μ=。将之代入③④得=+，=+，即，。∴RD=AD，RE=。例3如图2-5—4所示,在△ABC中，设=a，AC=b，=c,=λa（0<λ〈1),=μb(0〈μ〈1），试用向量a、b表示c。图2—5-4思路分析:本题实质是平面向量基本定理的应用，因a、b不共线,故c可用a、b表示.鉴于图形中三角形较多,所以需要从中找出相关的三角形,利用向量的加法、减法和向量相等的条件求解。事实上，若令λ=μ=的话，则点P就成为△ABC的重心。解：∵与共线，∴==m（-）=m(μb-a)。∴=+=a+m（μb—a)=（1-m）a+mμb.①又∥,∴=n=n(—)=n（λa—b）。∴=+=b+n(λa-b）=nλa+(1—n)b.②由①②，得(1—m）a+mμb=nλa+（1—n)b.∵a、b不共线，∴即解之,得m=，n=1—。将m、n代入①式，得c=（1—m)a+mμb=.知识点二选择适当的直角坐标系，用坐标法解决有关几何问题例4已知△ABC中，∠C是直角，CA=CB,D是CB的中点，E是AB上一点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE.图2—5—5证明：建立如图2-5-5所示的直角坐标系，设A（a，0)，则B（0，a)，E(x,y)。∵D是BC的中点，∴D(0，）。又∵AE=2EB，即=,即(x—a，y)=2(-x，a-y)，∴解之，得x=，y=.要证AD⊥CE，只需证与垂直，即·=0。∵=(0，）-（a,0）=(-a，)，==(),∴·=。∴⊥,即AD⊥CE。方法归纳在未给出点的坐标的题目中，选用坐标法往往要考虑几何图形的特点，如直角三角形、正方形等用坐标法有时比较方便.例5如图2-5—6，四边形AOBE是菱形,其对角线OE在x轴上。在OB的延长线上取一点C，AC交BE于点D.若∠AOE=60°，BC=m，菱形的边长为l，求点D的坐标.图2-5-6思路分析：欲求点A、C的坐标,必须要用∠EOA=60°，∠EOC=300°。这是解此题的出发点。解：∵=(｜｜cos60°，||sin60°)=(），=（｜|cos300°，|｜sin300°）=（），∴=—=(）。即。①又与共线，=（l-x，-y)，故,即.将y=(x-l)代入①，得,。∴D点的坐标是(,）。例6如图2—5—7，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角θ取何值时,的值最大？并求出这个最大值.图2—5-7思路分析：本小题主要考查向量的概念、平面向量的运算法则，考查运用向量及函数知识的能力.注意图形与坐标系的转化及向量的联系.解：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图2-5-8所示的平面直角坐标系。图2-5—8设|AB｜=c，|AC|=b，则A(0，0）、B(c,0）、C(0，b）,且｜PQ|=2a，｜BC｜=a.设点P的坐标为(x，y)，则Q（—x，—y）,∴=（x-c，y），=(—x，—y—b），=(-c，b)，=(-2x，-2y).∴·=(x—c）（—x）+y（-y—b)=—(x2+y2）+cx-by.∵cosθ=，∴cx-by=a2cosθ.∴·=—a2+a2cosθ.故当cosθ=1，即θ=0°(与方向相同)时，·最大，其最大值为0。方法归纳对于平面几何问题，除了用综合法和解析法对其证明外，还可引入向量，通过向量的线性运算或建立坐标系通过坐标运算去求解。知识点三向量在物理中的应用例7一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地,然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60°，并且A、C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移.图2-5-9解:如图2—5—9所示,设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意，的方向是北偏西60°,|｜=1000km；的方向是南偏西60°，｜|=2000km，所以∠BAC=60°。过点B作东西基线的垂线，交AC于点D,则△ABD为正三角形.所以BD=CD=1000km，∠CBD=∠BCD=∠BDA=30°。所以∠ABC=90°.BC=ACsin60°=2000×(km)，｜|=（km).所以，飞机从B地到C地的位移大小是km,方向是南偏西30°。例8已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上)，大小为50N,一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0。02的水平平面上运动了20m。问力F和摩擦力f所做的功分别为多少?（g=10m/s2）图2-5-10解:如图2-5-10所示,设木块的位移为s，则F·s=|F｜｜s｜cos30°=50×20×(J）.将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1｜=｜F|sin30°=50×=25（N)，所以，摩擦力f的大小为|f｜=｜μ(G-F1）|=（80-25)×0。02=1。1（N).因此f·s=｜f||s｜cos180°=1。1×20×（-1）=—22（J）.即F和f所做的功分别是J和-22J.问题•探究方案设计探究问题向量的运算是用向量解决问题的重要途径，特别是数量积，它涉及平行、垂直等重要的位置关系.我们通过学习平面向量的坐标表示和坐标运算，以及平面向量的数量积，提出怎样用向量坐标表示向量数量积的问题,那么这些问题具体如何解决,该怎样应用？探究思路：将数量积的坐标形式用于表示距离、角、垂直、平行等关系.探究结论:对于平面向量的数量积，我们有结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，将其进一步推广就有：①设a=(x，y），a2=｜a｜2=x2+y2或|a｜=；②设A、B两点的坐标分别为(xA，yA）、(xB，yB),｜AB｜=，这就是平面内两点间的距离公式；③设a=（x1，y1），b=(x2，y2），向量a、b的夹角为θ，cosθ=；④设a=（x1，y1）,b=（x2，y2）,则a⊥b的充要条件是a⊥bx1x2+y1y2=0。在学习时，一方面要注意与前面的知识进行联系，要熟悉向量的数量积的定义以及它的有关性质;另一方面，坐标运算是向量运算的一种重要的形式，因此要熟练掌握向量的数量积的坐标表示，注意有关的结论,并能熟练地应用它们解决有关的问题。在学习过程中，注重养成独立思考钻研的习惯和能力，初步了解对立统一的辩证思想，灵活处理向量与三角函数、不等式、解析几何、立体几何相结合的题目.思维发散探究问题已知a、b是两个非零向量，且满足｜a|=｜b|=|a—b｜,试探究求a与a+b夹角的方法。探究过程：基于向量表示上的差异,也就是表示方法上的不同，解本题常见的有三种方法.一是利用向量加减法的几何意义，用数形结合的方法求夹角；二是利用已知条件,找出a的长度与a·b及a的长度与a+b长度间的关系.再利用夹角公式求解；三是设出向量a、b后再利用夹角公式求解.探究结论：方法一:根据向量加法的几何意义作图，如右图所示。图2—5—11在平面内任取一点O，作=a，=b，以，为邻边作平行四边形OACB。由于|a｜=｜b｜=｜a-b|,所以OACB为菱形，CO平分∠AOB，且∠AOB=60°.所以∠AOC=30°，即a与a+b的夹角为30°.方法二：由｜a|=|b|，得|a|2=｜b|2，又由｜b|=|a—b｜，得｜b|2=｜a-b|2=｜a