数学知识导航曲边梯形的面积定积分

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.5定积分1.5.1曲边梯形的面积1。5。2定积分知识梳理1.直线x=a，x=b（a≠b),y=0和曲线y=f（x）所围成的图形称为__________梯形.2。如果函数f（x)在区间［a，b]上连续，用分点a=x0＜x1＜…＜xi—1＜xi＜…＜xn=b,将区间［a，b］均分成n个小区间，在每个小区间［xi—1，xi］上任取一点ξi(i=1，2,…,n），作和式，当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x）在区间［a,b］上的_____________（definiteintegral)，记作.这里a与b分别叫做积分____________与积分____________，区间［a,b］叫做积分____________,函数f(x)叫做_______，x叫做____________，f（x)dx叫做____________。3定积分的性质（1）=____________;（2）=____________;（3)=f(x）dx+____________（a＜c＜b)。知识导学要学好本节内容，必须理解定积分（f(x）≥0)的真正含义,同时熟记定积分的性质,因为只有用性质解题才能大大简化求曲边形面积的过程。疑难突破本节的重点、难点是对定积分定义的理解,尤其是“以直代曲”的思想是定积分中最重要的部分。剖析:利用定积分求曲边形的面积的实质是“化整为零"的过程。典题精讲【例1】求由直线x=1,x=2，y=0及曲线y=围成的图形的面积S。思路分析：利用求曲边梯形面积的步骤求解.解:（1)分割在区间［1，2］等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小区间:［1,］，［］，…，[，2］，记第i个区间为［]（i=1,2，…,n），其长度为Δx=。分别过上述n—1个点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如图151)，它们的面积记作:ΔS1,ΔS2,…，ΔSn.图1-5—1则小曲边梯形面积的和为S=.（2)近似代替记f(x）=,当n很大，即Δx很小时，在区间[］上，可以认为f(x）=的值变化很小，近似地等于一个常数,不妨认为它等于f（)。从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边.这样,在区间［]上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi,即在局部小范围内“以直代曲"，则有ΔSi≈ΔSi′=f（）Δx=（i=1,2,…,n).(3)求和小曲边梯形的面积和Sn=≈′=从而得到S的近似值S≈Sn=。（4)逼近分别将区间［1,2]等分成8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于S,当n趋向于+∞时,Sn无限趋近于。由此可知图形面积为.绿色通道：本题主要考查曲边梯形面积的求解方法。用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边多边形的面积，它体现了一种化整(分割)为零,积零为整(逼近)的思想方法。变式训练：求抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积S.解：（1)分割在区间［0，1］上等间隔地插入n—1个点，将它等分成n个小区间:［0,］，［,]，…，［，1］。记第i个区间为［］(i=1，2,…,n)，其长度为Δx=.分别将上述n-1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积记作：ΔS1，ΔS2,…,ΔSn。S=。（2）近似代替记f(x)=x2，当n很大,即Δx很小时,在区间[]上,可以认为f（x)=x2的值变化很小,近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f（)。就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样,在区间[]上,用小矩形的面积ΔSi′近似地代替ΔSi,即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′=f()ΔS=(）2·Δx=(）2·(i=1，2，…，n）。①(3）求和由①Sn==[0·+（)2·+…+（）2·］=[12+22+…+(n-1）2］=，从而得到S的近似值S≈Sn=（1—）(1—）。②（4)逼近分别将区间［0,1］等分成8，16，20，…等份时，可以看到随着n的不断增大，即Δx越来越小时，Sn=（1-）(1-）越来越趋近于S，而当n趋向于+∞时,②式无限趋向于,即所求面积为。【例2】利用定积分的性质,用定积分表示出下列曲线围成的平面区域的面积。(1）y=0,，x=2；(2)y=x—2,x=y2。思路分析:用定积分计算平面区域的面积，首先要确定已知曲线所围成的区域，由区域的形状选择积分变量，确定上、下限，当计算公式S=中的f(x）或g(x)是分段函数时，面积要分块计算。解：(1）曲线所围成的区域如图1—5-2所示.图1—5-2设此面积为S,则S=(2)如图1—5—3所示，曲线所围成的平面区域S=A1+A2,图1-5-3A1由y=，y=,x=1围成；A2由y=,y=x-2,x=1和x=4围成。∴A1=,A2=.∴S=.绿色通道：利用定积分求平面图形面积时，可从以下几个步骤进行:①画图，②确定积分变量，③求交点确定积分上、下限，④求定积分得面积.变式训练：计算抛物线y2=2x与直线y=x-4所围成的图形面积.解：曲线所围成的区域如图1-5—4所示.图1-5-4S=A1+A2,A1由y=，y=，x=2围成,A2由y=，y=x—4,x=2，x=8围成。∴A1==，A2=。所以S=.问题探究问题：利用求曲边梯形的理论方法能否解决汽车(或某变速物体）在某段时间内的路程问题？导思：这一问题是考查和培养学生的发散思维能力，应用所学知识解决一些未曾见过或未曾解决过的问题，体现数学中转化的思想方法。探究:若