蜀山二模数学试题及答案

蜀山二模数学试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题[X]分，共[X]分）

1.若等差数列{an}中，a1=3，d=2，则a10=（）

A.17B.19C.21D.23

2.函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图像开口向上，且顶点坐标为（-1，-4），则a的值为（）

A.1B.2C.-1D.-2

3.已知复数z=2+i，那么|z+3i|^2的值为（）

A.13B.17C.19D.25

二、填空题（每题[X]分，共[X]分）

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=4，b=6，且cosA=1/2，则c=______。

5.若等比数列{an}中，a1=3，q=2，则前5项和S5=______。

6.已知函数f(x)=x^2-4x+3，若存在实数x，使得f(x)=0，则x的取值范围为______。

三、解答题（每题[X]分，共[X]分）

7.（X分）已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且f(1)=2，f(-1)=0，f(3)=8，求a、b、c的值。

8.（X分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，且cosA=1/2，求△ABC的面积。

四、解答题（每题[X]分，共[X]分）

9.（X分）已知数列{an}满足an=2an-1+1，且a1=1，求该数列的前n项和Sn。

10.（X分）在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于直线y=x的对称点为P'，求点P'的坐标。

五、证明题（每题[X]分，共[X]分）

11.（X分）已知等差数列{an}中，a1=2，d=3，证明：对于任意的正整数n，an>0。

12.（X分）已知函数f(x)=x^3-3x+1，证明：对于任意的实数x，有f(x)≥1。

六、综合题（每题[X]分，共[X]分）

13.（X分）已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），且f(0)=2，f(1)=3，f(2)=5，求函数f(x)的图像与x轴的交点坐标。

14.（X分）在平面直角坐标系中，点A（2，3），点B（4，1），点C（x，y）在直线y=kx+b上，且△ABC的面积为6，求k和b的值。

试卷答案如下：

一、选择题

1.A

解析思路：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，代入a1=3，d=2，n=10，计算得a10=3+(10-1)*2=21。

2.B

解析思路：函数f(x)的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，代入a=1，b=-4，计算得顶点坐标为(2,-4)，因此a=1。

3.C

解析思路：复数的模长公式为|z|=√(x^2+y^2)，代入z=2+i，计算得|z+3i|=|2+i+3i|=|2+4i|=√(2^2+4^2)=√(4+16)=√20=2√5，所以|z+3i|^2=(2√5)^2=20。

二、填空题

4.5

解析思路：由余弦定理得c^2=a^2+b^2-2ab*cosA，代入a=4，b=6，cosA=1/2，计算得c^2=4^2+6^2-2*4*6*1/2=16+36-24=28，所以c=√28=2√7。

5.31

解析思路：等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，代入a1=3，q=2，n=5，计算得S5=3*(1-2^5)/(1-2)=3*(1-32)/(-1)=3*31=93。

6.x≤1或x≥3

解析思路：由f(x)=x^2-4x+3=0，得x^2-4x+3=0，因式分解得(x-1)(x-3)=0，所以x=1或x=3。

三、解答题

7.a=1，b=-2，c=2

解析思路：由f(1)=2，得a+b+c=2；由f(-1)=0，得a-b+c=0；由f(3)=8，得9a+3b+c=8。解这个方程组得a=1，b=-2，c=2。

8.面积为6

解析思路：由余弦定理得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，代入a=3，b=4，cosA=1/2，计算得c=5。由三角形面积公式S=1/2*bc*sinA，代入b=4，c=5，cosA=1/2，计算得sinA=√3/2，所以面积S=1/2*4*5*√3/2=10√3/2=5√3。

四、解答题

9.Sn=n^2+n

解析思路：由an=2an-1+1，得an-1=2an-2+1，两式相减得an=2(an-1-an-2)，即an=2(an-1-an-2)。因此，数列{an}是等比数列，公比为2，首项为1，所以Sn=a1*(1-2^n)/(1-2)=n*(2^n-1)。

10.P'的坐标为(3，2)

解析思路：点P关于直线y=x的对称点P'的坐标为(x，y)，满足x=y，所以P'的坐标为(3，2)。

五、证明题

11.an>0

解析思路：由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=2，d=3，得an=2+3(n-1)=3n-1。因为n为正整数，所以3n-1>0。

12.f(x)≥1

解析思路：由f(x)=x^3-3x+1，得f'(x)=3x^2-3。令f'(x)=0，得x=±1。当x<1或x>1时，f'(x)>0，函数单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减。因此，f(x)在x=-1时取得最小值，f(-1)=(-1)^3-3*(-1)+1=1，所以f(x)≥1。

六、综合题

13.交点坐标为(1，0)和(3，0)

解析思路：由f(0)=2，得c=2；由f(1)=3，得a+b+2=3，即a+b=1；由f(2)=5，得4a+2b+2=5，即4a+2b=3。解这个方程组得a=1，b=0，所以f(x)=x^2+1。令f(x)=0，得x^2+1=0，解得x=±i，所以交点坐标为(1，0)和(3，0)。

14.k=1，b=-1

解析思路：由