2024年广东省广州市中考数学真题卷（含答案与解析）

机密★启用前

2024年广州市初中学业水平考试

数学

试卷共8页，25小题，满分120分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自

己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.

3.非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置

上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答

案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正

带,不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.四个数T0,-1,0,1°中，最小数是（）

A.-10B.-1C.0D.10

2.下列图案中，点。为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点0

对称的是（）

3.若。工0,则下列运算正确的是（

aaa

A.—l—=—B.

235

aaa

4.若。,则（）

A.a+3>Z?+3B.a-2>b-2C.-a<-bD.2a<2b

5.为了解公园用地面积x（单位：公顷）的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照

0</K4,4<x<8,8<%<12,12<x<16,16</K20的分组绘制了如图所示的频数分布直方

B.用地面积在8cXK12这一组的公园个数最多

C.用地面积在4<x48这一组的公园个数最少

D.这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷

6.某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的

1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交付新车文辆，根据题意，可列方程为（）

A.1.2x+l100=35060B.1.2x-l100=35060

C.1.2(%+1100)=35060D.x-1100=35060x1.2

7.如图，在“8C中，ZA=90°,AB=AC=6,。为边3C的中点，点E，尸分别在边A8,AC

上，AE=C/，则四边形AEOF的面积为（）

A.18B.9^2C.9D.6夜

8.函数y=〃V+"+c与为=二的图象如图所示，当（）时，M，力均随着x的增大而减小•

x

A.x<-\B.—1<X<0C.0cx<2D.x>\

9.如图，。0中，弦AB长为4石，点C在。。上，OC1AB,ZABC=30°.。。所在的平面内有

一点P,若OP=5,则点〃与OO的位置关系是（）

A.点一在。0上B.点尸在G。内C.点尸在OO外D.无法确定

10.如图，圆锥侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，若扇形的半径/是5,则该圆锥的体积是

（）

A亚式B.包兀C,2显D.侦兀

883

第二部分非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11.如图，直线/分别与直线。，力相交，a/fb,若Nl=71。，则N2的度数为

1

b

12.如图，把"，R2,4三个电阻串联起来，线路A3上的电流为/,电压为U,则

U=IR、+IR?+叫.当凡=20.3,/?2=31.9,4=47.8,/=2.2时，U的值为

区

13.如图，YA8CD中，BC=2,点E在D4的延长线上，BE=3,若平分NEBC,则。七=

14.若/一24—5=0,则2〃—4〃+1=.

[a2-b(a<0),

15.定义新运算：a®b=\，/例如：—2X4=(—2)2—4=0,2区3=—2+3=1.若

卜4+/?(4>0)

3

x®1=--,则x的值为______.

4

16.如图，平面直角坐标系上3,中，矩形。48C的顶点8在函数尸々x>0)的图象上，41,0),

x

C(0,2).将线段A3沿％轴正方向平移得线段A8'(点A平移后的对应点为4'),A'U交函数

y=«(x>0)的图象于点。，过点。作。£工》轴于点上，则下列结论：

②-OBD的面积等J：四边形ABDA的面积；

③A'E的最小值是血;

®AB,BD=ABB,O.

其中正确的结论有.（填写所有正确结论的序号）

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

13

17.解方程：----=—

2x-5x

18.如图，点E，尸分别在正方形ABC。的边8C,CDh,BE=3,EC=6,CF=2.求证:

（1）尺规作图：作AC边上的中线8。（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，将中线8。绕点。逆时针旋转180。得到。。，连接AO,CD.求证：四边

形A8CO是矩形.

20.关于x的方程/一2工+4-6=0有两个不等的实数根.

（1）求〃?的取值范围;

1-nrm-\m-3

（2）化简:

\m-3C~m+\

21.善于提问是应用人工智能解决问题的重要因素之一.为了解同学们的提问水平，对A，8两组同学进

行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）:

A组75788282848687889395

8组75778083858688889296

（1）求A组同学得分的中位数和众数；

（2）现从A、。两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同

一组的概率.

22.2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背

面.某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速

卜降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C,从6点测得地面D点的俯角为36.87°,

AO=17米，30=10米.

（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到〃点，求模拟装置从A点下降到3点的时间.（参考

数据：sin36.87。。0.60,cos36.87°«0.80,tan36.87°«0.75）

23.一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身

高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高了和脚长x之间近似存在一个函数关系，部分数据如

下表：

脚长•••232425262728•••

x(cm)

身高

•••156163170177184191•••

），（cm）

9s

9

8(M

85»

7

7()l

65r

6ol

55l

5

<)st

一^

^m

图

（1）在图1中描出表中数据对应的点（为历；

k

（2）根据表中数据，从y=or+仪和y=-（2wO）中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高

x

和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出X的取值范围）；

（3）如图2,某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm,请根据（2）中求出的函数解析式，估计

这个人的身高.

24.如图，在菱形ABC。中，ZC=120°.点£在射线8c上运动（不与点B,点。重合），△但关于

AE的轴对称图形为

（I）当NBA/=30。时，试判断线段AF和线段AO的数量和位置关系，并说明理由；

（2）若AB=6+6g，OO为户的外接圆，设的半径为人

①求，•的取值范围；

②连接尸。，直线/O能否与C。相切？如果能，求8E长度；如果不能，请说明理由.

25.已知抛物线G:y=ax2-6ax-o,+2a2+\（a>0）过点A（,q,2）和点8仇,2）,直线/:y=nrx+n

过点C（3,l）,交线段A8于点。，记的周长为C1,△（?"的周长为。2,且0=6+2.

（I）求抛物线G的对称轴:

（2）求〃?的值；

⑶直线/绕点c以每秒3。的速度顺时针旋转/秒后（0±<45）得到直线r,当r〃/w时，直线/'交

抛物线G于七，尸两点.

①求，的值；

②设△A"'的面积为S,若对于任意的。〉0,均有S2%成立，求女的最大值及此时抛物线G的解析

式.

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.四个数T°,-1,0,1°中，最小的数是（）

A.-10B.-IC.OD.10

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数小于

零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而

小.

【详解】解：v-10<-l<0<10,

二•最小的数是-10,

故选:A.

2.下列图案中，点。为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点0

对称的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了图形关于某点对称，掌握中心对称图形的性质是解题关键.根据对应点连线是否过点。

判断即可.

【详解】解：由图形可知，阴影部分的两个三角形关于点。对称的是C,

故选：C.

3.若。则下列运算正确的是（）

aaa_,.

A.—+T=TB-a-a~9=a

235

〃235,,

C.---=-D./=1

aaa

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了分式乘法，同底数‘暴乘法与除法，掌握相关运算法则是解题关键.通分后变为同分母

分数相加，可判断A选项；根据同底数幕相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项：根据分式乘法法则

计算，可判断C诜项：根据同底数基除法，底数不变，指数相减，可判断D诜项.

【详解】解：A、=+==与+乡=当，原计算错误，不符合题意；

23666

B、原计算正确，符合题意；

C、,原计算错误，不符合题意；

aaa~

D、/+/=〃，原计算错误，不符合题意；

故选:B.

4.若。<〃，则（）

A.。+3>〃+3B.a-2>b-2C.-a<-bD.2a<lb

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了不等式基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键.根据不等式的基本性质

逐项判断即可得.

【详解】解：A.•・•〃<〃，

：.a+3<b+3f则此项错误，不符题意；

B.♦:avb,

・•・〃一2〈〃一2,则此项错误，不符题意；

c.•・•〃<〃，

/.-a>-b,则此项错误，不符合题意;

D.'：a<b.

/.la<2b,则此项正确，符合题意：

故选：D.

5.为了解公园用地面积x(单位：公顷)的基本情况，某地随机调查了本地50个公园的用地面积，按照

0</K4,4<x<8,8<%<12,12cx<16,16</K20的分组绘制了如图所示的频数分布直方

B.用地面积在8cXK12这一组的公园个数最多

C.用地面积在4<x48这一组的公园个数最少

D.这50个公园中有一半以上的公园用地面积超过12公顷

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查的是从频数分布宜方图获取信息，根基图形信息直接可得答案.

【详解】解：由题意可得：«=50-4-16-12-8=10,故A不符合题意；

用地面积在8cx<12这一组的公园个数有16个，数量最多，故B符合题意；

川地面积在0<xW4这一组的公园个数最少，故C不符合题意；

这50个公园中有20个公园用地面积超过12公顷，不到一半，故D不符合题意；

故选B

6.某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的

1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为()

A.1.2A:+11(X)=35060B.1.2x-11(X)=35060

C.1.2(x+1100)=35060D.x-1100=35060x1.2

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题忖中的数量关系是解题关键.设该车企去年5月交付新

车工辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即

可.

【详解】解：设该车企去年5月交付新车x辆，

根据题意得：1.2x4-11(X)=35060,

故选：A.

7.如图，在金。中，NA=90。，AB=AC=6,D为边BC的中点，点E，尸分别在边48,AC

上，AE=CF,则四边形AEOF的面积为()

A.18B.9&C.9D.6上

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是

解题关键.连接AD,根据等腰直角三角形的性质以及4石=C"得出VAOEWVCDb,将四边形

AEDF的面枳转化为三角形AOC的面积再进行求解.

【详解】解：连接AZ),如图：

VZBAC=90°,AB=AC=6,点。是8c中点，AE=CF

・•・/BAD=ZB=ZC=45°,AD=BD=DC

:.VADE^VCDF，

,,S四边形4"尸=SfED+S&ADF=S公CFD+S4ADF=]^^ABC

又,：S•MAO8Lc=62x6x—=18

,*S四边形AEDF=/SABC=9

故选:c

b

8.函数y=。/+〃x+c与”二一的图象如图所示，当（）时，乂，A均随着工的增大而减小.

-x

JV

<T

A.r<—1B.—I<r<0C.0<r<2D.x>I

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键.由函数

图象可知，当X>1时，,随着x的增大而减小；内位于在一、三象限内，且%均随着x的增大而减小，据

此即可得到答案.

【详解】解：由函数图象可知，当x>l时，y随着工的增大而减小；

为位于一、三象限内，且在每一象限内乃均随着工的增大而减小，

・・・当x>l时，》，为均随着x的增大而减小，

故选：D.

9.如图，。0中，弦的长为46,点C在。0上，OC1AB,ZABC=30°.。0所在的平面内有

一点P,若。。=5,则点P与。O的位置关系是（）

A.点P在。。上B•点P在OO内C.点尸在OO外D.无法确定

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题

关键.由垂径定理可得人。=26，由圆周角定理可得NAOC=60。，再结合特殊角的正弦值，求出。。的

半径，即可得到答案.

【详解】解：如图，令OC与AB的交点为D,

・・・oc为半径，AB为弦,且OC_L44,

AD=-AB=2y/3,

2

・・•ZABC=30°

ZAOC=2ZABC=60°,

在AAOO中，ZAZX>=90°AD=2

>ZAOD=60°,。

An

•/sinZAOD=—,

OA

nA_AD_2x/3_

一一/旃一近一，即GO的半径为4,

T

•・•OP=5>4,

•・•点P在O。外，

c

10.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，若扇形的半径/是5,则该圆锥的体积是

()

72°

1

A.①B47r

b.---兀C.2扃D.里

883

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长

相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为2乃小根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进

而得出r=1,再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可.

【详解】解：设圆锥的半径为〃，则圆锥的底面周长为2Gl

圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72。的扇形，且扇形的半径/是5,

724x5

身形的弧长为-------二24，

180

圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，

/.271T=2〃，

F=1，

圆锥的高为752-12=2"，

•••圆锥的体积为xFx2«=辿万，

33

故选：D.

第二部分非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）

11.如图，直线/分别与直线。，力相交，afb,若Nl=71。，则N2的度数为

1

b

2

【答案】109°

【解析】

【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的含义，先证明N1=N3=71。，再利用邻补角的含义可得答

案.

・•・Z1=Z3=71°,

・•・Z2=180°-Z3=109°：

故答案为：109。

.如图，把凡，&三个电阻串联起来，线路上的电流为/,电压为则

12R2,A3U,

.当凡=时，的值为

U=因+IR]+IR、20.3,R2=31.9,Ry=47.8,/=2.2U

4

【答案】220

【解析】

【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键.根据

u=IR1+IR2+限,将数值代入计算即可.

【详解】解：•••。=/凡+〃?2+爪3，

当K=20.3,/?2=31.9,6=47.8,/=2.2时,

(7=20.3x2.2+31.9x2.24-47.8x2.2=(20.3+31.9+47.8)x2.2=220,

故答案为：220.

13.如图，YA8C。中，BC=2,点E在04的延长线上，BE=3,若84平分/£8C,则。七=

【答案】5

【解析】

【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关

键.由平行四边形的性质可知，AD=BC=2,BC//AD,进而得出〃4石=NER4,再由等角对等

边的性质，得到/E=AE=3,即可求出。石的长.

【详解】解：在YABCO中，BC=2,

.,AD=BC=2,BC//AD.

:2CBA=ABAE,

BA平分NEBC,

:.£CBA=4EBA,

:"AE=^EBA,

BE=AE=3>

,,DE=AD+AE=2+3=5,

故答案为：5.

14.若/一2。-5=0，则2/_4。+1=

【答案】II

【解析】

【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键.

由/一2々一5=0,得2々=5,根据对求值式子进行变形，再代入可得答案.

【详解】解：・・・。2一2。一5二0,

/.a2-2。=5，

.•.24_4〃+1=2"，一筋）+1=2><5+1=11,

故答案为：11.

〜fa2-b（a<0],

15.定义新运算：a®b=\二例如：一2㊁4二（一2）2-4=0,2㊁3=-2+3=1.若

|-6/+Z>（6/>0）

3

x®l=--,则x的值为_______

4

【答案】一，或N

24

【解析】

【分析】本题考杳了一元二次方程应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义.根据

新定义运算法则列出方程求解即可.

a1-b^a<0）

【详解】解:'：a®b=

一a+>0）

3

而工③14-

・•・①当XKO时，贝I有/一1=一一,

4

解得，x=——；

2

3

②当x>0时，—X+1=—>

4

7

解得，x=-

4

17

综上所述，x的值是一一或一，

24

故答案为：一!或z.

24

16.如图，平面直角坐标系X。》中，矩形。45。的顶点B在函数y=2(x>0)的图象上，A(l,0),

。(0.2).将线段/U5沿％轴正方向平移得线段A8'(点A平移后的对应点为A),AB'交函数

y=A*>0)的图象于点。，过点。作。轴于点E，则下列结论:

②，OBD的面积等于四边形ABDA!的面积；

③A'E的最小值是加；

④/RRD=/RR'().

其中正确的结论有.(填写所有正确结论的序号)

【答案】①②④

【解析】

【分析】由B(l,2),可得左=1x2=2,故①符合题意；如图，连接OB,OD,BD,。。与AB的交点

为K，利用攵的几何意义可得二04。的面积等于四边形A3DA的面积；故②符合题意；如图，连接AE,

证明四边形4OEO为矩形，可得当0。最小，则4E最小，设。卜,■|)(x>0),可得4E的最小值为2,

故③不符合题意；如图，设平移距离为〃，可得&(〃+1,2),证明.8fB4AOB',可得ZB,BD=ZB,OA,,

再进一步可得答案.

【详解】解：•・•41.0),CQ2),四边形QWC是矩形；

.・.。0,2).

・・.k=lx2=2,故①符合题意；

如图，连接。8,0D,BD,0D与AB的交点为K，

=

SBOKS四边形AKC4,，

••§BOK+SBKD=S四边形八KDV+SBKD»

・•.」OBD的面积等于四边形ABDA的面积；故②符合题意;

如图，连接4E,

・•・四边形4OEO为矩形，

/.ArE=OD,

・••当0。最小，则4E最小，

设Dx,-|j(x>0),

42

:.0D2=X2+—>2X—=4,

X-X

：・ODN2,

・・・4'七的最小值为2,故③不符合题意;

如图，设平移距离为〃，

・•・町鹿+1,2),

2

•・•反比例函数为)，二一，四边形W?CO为矩形，

x

・•・/39。=/3'夕=90。，+3],

：・BB=n，。4'=〃+1,87)=2-------=—,A'8'=2,

〃+1n+\

2n

1

/.HR_n_n+\_R'D,

・•・A&BDn/B'OA',

■:BrC//AO,

・•・NC?O=Z4'Q9,

：・/BBDu/BB'O,故④符合题意；

故答案为：①®@

【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与

性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.

三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

13

17.解方程：------=-.

2x-5x

【答案】人=3

【解

【分析】本题考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键，注意检验.依次去分母、去括号、移

项、合并同类项求解，检验后即可得到答案.

13

【详解】解:-——=-,

2x-5x

去分母得：x=3(2x-5),

去括号得：x=6.r-15,

移项得：,r-6x=-15,

合并同类项得：一5%二一15,

解得：x=3,

经检验，1=3是原方程的解，

二•该分式方程的解为x=3.

18.如图，点E，尸分别在正方形48CO的边8C,CO上，BE=3,EC=6,CF=2.求证:

△ABEs八ECF.

【答案】见解析

【解析】

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关健.根据正方

ADD17

形的性质，得出N5=NC=90。，AB=CB=9,进而得出「；=X，根据两边成比例且夹角相等的两个三

ECCF

角形相似即可证明.

【详解】解：・・,BE=3,EC=6,

BC=9,

四边形ABC。是正方形，

,-.AB=CB=9,ZB=ZC=90°,

Afi93BE3

•/---,-----------=—，

EC62CF2

.ABBE

~EC~~CF

又•・・N3=NC=90。，

ABES：,ECF.

19.如图,RtZXABC中,?B90?.

A

（l）尺规作图：作AC边上的中线5。（保留作图痕迹，不写作法）:

（2）在（1）所作的图中，将中线30绕点。逆时针旋转180。得到。。，连接AO,CD.求证：四边

形43c。是矩形.

【答案】（1）作图见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，旋转的性质;

（1）作出线段AC的垂直平分线ER交AC于点。，连接80,则线段80即为所求;

（2）先证明四边形A8C。为平行四边形，再结合矩形的判定川得结论.

【小问1详解】

解：如图，线段3。即为所求;

【小问2详解】

•・•由作图可得：AO=CO,由旋转可得：BO=DO,

・•・四边形A6CD为平行四边形,

■:ZA^C=90°,

・•・四边形ABCO为矩形.

20.关于x的方程W—2X+4-〃?=0有两个不等的实数根.

（1）求m的取值范围;

【答案】⑴m>3

（2）-2

【解析】

【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键;

（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；

（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可.

【小问1详解】

解：•・・关于1的方程f一2工+4-〃2=0有两个不等的实数根.

/.A=（-2）~—4xlx（4-m）>0>

解得：机>3；

【小问2详解】

解：

•_1_-_t_r_r_._m__-_1_m_-__3

I-312m+1

一（"7+1）（机-1）2fn-3

---------------------------

m-3m-[m+\

=-2：

21.善于提问是应川人工智能解决问题的重要因素之一.为了解同学们的提问水平，对A,8两组同学进

行问卷调查，并根据结果对每名同学的提问水平进行评分，得分情况如下（单位：分）：

A组75788282848687889395

8组75778083858688889296

（1）求A组同学得分的中位数和众数；

（2）现从A、A两组得分超过90分的4名同学中随机抽取2名同学参与访谈，求这2名同学恰好来自同

一组的概率.

【答案】（1）A组同学得分的中位数为85分，众数为82分：

【解析】

【分析】本题考查了中位数与众数，列表法或树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键.

(1)根据中位数和众数的定义求解即可；

(2)由题意可知，A、8两组得分超过90分的同学各有2名，画树状图法求出概率即可.

【小问1详解】

解：由题意可知，每组学生人数为10人，

，中位数为第5、6名同学得分的平均数，

84+R6

A组同学得分的中位数为------=85分，

2

•••82分出现了两次，次数最多，

•••众数为82分；

【小问2详解】

解:由题意可知，A、8两组得分超过90分的同学各有2名，

令A组的2名同学为4、人,区组的2名同学为四、B2,

画树状图如下：

开始

/T\ZNZNZN

A|B|B2AIBJB3A)A：B2A】A2B)

由树状图可知，共有12种等可能的情况，其中这2名同学恰好来自同一组的情况有4种，

41

丁•这2名同学恰好来自同一组的概率一7二二.

123

22.2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体(简称为“着上组合体”)成功着陆在月球背

面.某校综合实践小组制作了一个“看上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速

下降阶段从A点垂直下降到8点，再垂直下降到着陆点C,从3点测得地面。点的俯角为36.87。，

AQ=17米，8力=10米.

B

36.8

CD------

（1）求CO的长；

（2）若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到8点，求模拟装置从A点下降到3点的时间.（参考

数据：sin36.87°«0.60，cos36.87。。0.80,tan36.87°«0.75）

【答案】（1）CO的长约为8米；

（2）模拟装置从A点下降到4点时间为4.5秒.

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯先问题，灵活运用锐知三角函数求边长是解题关键.

（1）过点、8作BE〃CD交AD于点、E，根据余弦值求出COH勺长即可；

（2）先由勾股定理，求出AC的长，再利用正弦值求出3C的长，进而得到AB的长，然后除以速度，即

可求出下降时间.

【小问1详解】

解：如图，过点B作BE〃CD交AD于点E,

由题意可知，NDBE=36.87。,

.•"DC=36.87。，

在△5CD中，ZC=90°,BD=10米,

CD

cosZfi£>C=—,

BD

/.cus36.87n=10x0.80~8米，

即CO的长约为8米；

【小问2详解】

解：QAO=17米，CD=8米,

，AC==15米，

在△BC。中，ZC=90°,BD=10米,

•・•sinZBDC=—,

BD

BC=BDsin36.87。®l()x0.60、6米，

.•.AB=AC-AC=15-6=9米，

模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到8点，

模拟装置从A点下降到B点的时间为9+2=4.5秒，

即模拟装置从A点下降到B点的时间为4.5秒.

23.一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征.某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身

高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高），和脚长工之间近似存在一个函数关系，部分数据如

下表：

脚长

・♦♦232425262728•••

x(cm)

身高

•••156163170177184191•••

y(cm)

（I）在图I中描出表中数据对应的点（x,y）；

（2）根据表中数据，从y=or+仪。。0）和y中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高

x

和脚长的函数关系，并求出这个函数的解析式（不要求写出X的取值范围）；

（3）如图2,某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm,请根据（2）中求出的函数解析式，估计

这个人的身高.

【答案】（1）见解析（2）y=7x-5

（3）175.6cm

【解析】

【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键.

（I）根据表格数据即可描点；

⑵选择函数）=⑪工。）近似地反映身高和脚长的函数关系，将点（23J56）,（24,163）代入即可求

解；

（3）将25.8cm代入y=lx-5代入即可求解；

【小问1详解】

解：由图可知：，随着x的增大而增大,

因此选择函数y=OT+伙0）近似地反映身高和脚长的函数关系,

将点（23,156）,（24,163）代入得:

156=23。+/?

163=24。+b

a-1

解得：

b=-5

:.y=7工一5

【小问3详解】

解：将25.8cm代入y=7x-5得:

y=7x25.8-5=175.6cm

・•・佶计这个人身高175.6cm

24.如图，在菱形ABCO中，NC=120。.点E在射线8C上运动（不与点B,点。重合），八4国关于

AE的轴对称图形为ZVIEF.

B<^A>D

（1）当NBA产=30。时，试判断线段■和线段A。的数量和位置关系，并说明理由；

（2）若AB=6+65。。为防的外接圆，设OO的半径为

①求广的取值范围；

②连接尸。，直线ED能否与OO相切？如果能，求破的长度；如果不能，请说明理由.

【答案】（1）AF=AD,AF1AL）

⑵①北3+3石且，•工26+6；②能，BE=12

【解析】

【分析】（1）由菱形的性质可得NB4D=NC=120。，AB=AD^再结合轴对称的性质可得结论；

（2）①如图，设△AM的外接圆为。。，连接AC交BD于H.连接OA,OE,OF,OC,证明

»3C为等边三角形，A,E,£C共圆，ZAOE=2ZAFE=120°,。在8。上，

ZAEO=ZE4O=30°,过。作QJJLA石于J,当人上」8c时，最小，则AO最小，再进一步可得

答案；②如图，以A为圆心，AC为半径画圆，可得氏在0A上，延长C4与0A交于L，连接

DL,证明/。£。=180。-30。=150。，可得NObC=60。，△Ob为等边三角形，证明

NBA/=120。-30。=90。，可得：NB4E=NE4E=45。，BE=EF,过七作£^_1_人尸于何，再进

一步可得答案.

【小问1详解】

解：A尸=4），AF±AD;理由如下：

•・•在菱形A8CZ）中，ZC=120°,

AZBAD=ZC=120°,AB=AD^

•・•/B"=30。，

・・・z^4D=120°-30°=90o,

:.AF1AD,

由对折nJ得：AB=AF

AAF=ADx

【小问2详解】

解：①如图，设/XAEb的外接圆为。。，连接AC交8。于H.连接OA,0E,OF,OC,

•・•四边形4BCO为菱形，Z^CD=120°,

AACJ.BD,ZBC4=60°,BA=BC,

・•・ABC为等边三角形,

・•・Z/WC=ZAF£=60c=ZAC9,

・・・A,££C共圆，ZAOE=2ZAFE=\20°,0BD上,

•・•AO=OE,

・•・/AEO=440=30。，

过。作Q/_LAE于/,

AJ=EJ,AO=^—AJ，

3

・4八6A日

••AO=—AE，

3

当AE_L2C时，AE最小，则A。最小，

VAB=6+67342c=60。，

AAE=AB-sin600=（6+6@x等=3肉9,

・•・AO=今36+9）=3+3X/L

•・•点E不与8、C重合，

/.AE>9+3V3,且4EH6+6X/J，

:・，的取值范围为r之3+3敢且r工2百+6;

②。尸能为。。的切线，理由如下：

如图，以A为圆心，AC为半径画圆，

VAB=AC=AF=AD,

/.8,（7,尸,£）在64上，

延长C4与OA交于L，连接£>L,

同理可得AC/）为等边三角形，

・•・/CAP=60。，

・•・ZCLD=30°,

・•・乙CFD=180°-30°=150°,

■:DF为O的切线，

，/。田=90°,

・•・ZOFC=60%

,:OC=OF,

・•・4OCF为等边三角形,

:./COF=60。,

・•・^CAF=-ZCO