数学预习导航：诱导公式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精预习导航课程目标学习脉络1．掌握诱导公式,并会应用公式求任意角的三角函数值．2．会用诱导公式进行简单的三角函数的化简和恒等式的证明．3．通过公式的运用，学会从未知到已知,复杂到简单的转化方法．1．角α与α＋k·2π（k∈Z)的三角函数间的关系（诱导公式(一)）cos(α＋k·2π)＝cos_α,sin(α＋k·2π）＝sin_α，tan(α＋k·2π）＝tan_α．说明：(1)利用公式(一)，可以把求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值．(2）由公式可知，三角函数值有“周而复始"的变化规律，即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现．说明了角和三角函数值的对应关系是一值对多角的关系，即如果给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应．(3）公式(一)可概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等．2．角α与－α的三角函数间的关系（诱导公式(二）)cos(－α）＝cos_α，sin(－α)＝－sin_α，tan（－α)＝－tan_α．说明：（1)由公式（一)和(二)可得sin（2π－α）＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα,tan(2π－α)＝－tanα．(2）利用公式（二），可以用任意正角三角函数表示负角三角函数，从公式(二）还可以看出，余弦函数是偶函数,而正弦函数、正切函数都是奇函数．3．角α与α＋(2k＋1）π（k∈Z)的三角函数间的关系(诱导公式(三）)cos［α＋（2k＋1）π］＝－cos_α，sin［α＋（2k＋1）π］＝－sin_α，tan［α＋（2k＋1)π］＝tan_α．特别地，cos（π＋α）＝－cos_α，sin(π＋α)＝－sin_α，tan(π＋α)＝tan_α．特别提醒(1）由公式（一)和（三)可以看出，角α与α加上π的偶数倍的所有三角函数值相等；角α与α加上π的奇数倍的余弦、正弦值互为相反数；角α与α加上π的整数倍的正切值相等．即Tan（a+nπ）＝tana,n∈z．（2）因为任意角都可以化为α＋kπ（k∈Z）的形式，并使｜α｜≤eq\f(π,2），所以利用公式(一)、(二)、（三），我们可以把任意角的三角函数的求值问题转化为0到eq\f(π，2)之间的角的三角函数的求值问题．（3）利用诱导公式(二)和（三)，可得到角α与π－α的三角函数间的关系：sin(π－α）＝sin［π＋（－α)]＝－sin（－α)＝sinα，cos(π－α）＝cos［π＋（－α）]＝－cos(－α)＝－cosα．所以4．角α与α＋的三角函数间的关系(诱导公式（四）)cos＝－sin_α,sin＝cos_α．将上面公式中的α用－α替代，可得到角α与－α＋的三角函数间的关系cos＝sin_α，sin＝cos_α．由三角函数之间的关系又可得tan＝－cot_α，tan＝cot_α．自主思考1如何化简sin，cos，tan?提示：(1)sin＝－cosα，cos＝－sinα，tan＝cotα；(2)sin＝－cosα，cos＝sinα，tan＝－cotα．自主思考2试推导出，，π，,2π的三角函数值？提示:角α的弧度数π2πsinα0－10cosα－－－101tanα－－0不存在0自主思考3诱导公式的作用与规律性有哪些?提示:(1）诱导公式的作用是将任意角的三角函数转化为0°~90°角的三角函数值．（2)诱导公式的规律:续表说明：三角函数的诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系：诱导公式可以概括为角k·±α(k∈Z）的各三角函数值与角α的三角函数值之间的关系:当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值，然后在前面加上一个把α看作锐角时原函数值的符号．记忆口诀为:奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k·±α（k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中,把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．例如:诱导公式有很多组合