2023年甘肃省武威市中考数学模拟试卷（四）（附答案解析）

2023年甘肃省武威市中考数学模拟试卷（四）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。

1.（3分）4的倒数是（）

A.-4B.4c-4

2.（3分）C60的发现使人类了解到一个全新的碳世界.如图是C6O的分子结构图，包括20

个正六边形和12个正五边形，其中正五边形的一个内角的大小是（）

A.72°B.90uC.108」D.120“

3.（3分）乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500米.若用x（米）

表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则x满足的关系为（）

A.,r<3500B.%W3500C.X23500D.x>3500

4.（3分）关于x的一元二次方程f-3x-%+l=0有实数根，则々的取值范围是（）

A.k>一8C.kV8D.k<|

44

5.（3分）如图，△ABC和AOE/是以点。为位似中心的位似图形.若幽=2,则下列结

ED5

论正确的是（）

0A20B

'AD=50E

"烟2AC

FE"5

△DEF

6.（3分）5月31日是世界无烟日，小林为了了解所住小区成年人吸烟的人数，随机调查了

10（）个成年人，结果有16个成年人吸烟.关于此次调查，下列说法错误的是（)

A.调查的方式是抽样调查

B.样本容量是100

C.小林还需要知道小区里成年人的人数

D.小林所住小区共有16个成年人吸烟

7.（3分）利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离

为（）

A.3B.3近C.4D.6

8.（3分）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“桧子楼六十三，百根腿地里钻，

两者各几何？”其大意为：蛤子和楼共有63个，共有100条腿，间有多少个蛤子，多少

个楼？（椅子有一条腿，楼有两条腿）设箱子有x个，楼有），个，则F列方程组正确的

是（）

fx+y=63_fx+2y=63

A.<D•<

x+2y=100x+y=100

4

cfx-y=63D卜y=63

x+2y=1001x-2y=100

9.（3分）如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角形，俯

视图是直径为6的圆，则这个几何体的全面积是（）

俯视图

A.24TTB.217TC.15KD.127T

10.（3分）如图①，动点尸从正六边形的A点出发，沿A一r一£一。一。以的速度匀

速运动到点G图②是点P运动时，的面积1y（c〃『）随着时间x（s）的变化的关

系图象，则正六边形的边长为（）

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。

11.（3分）计算牛!§=.

12.（3分）分解因式：a4-1=.

2

13.（3分）若a是方程『+x-1=0的一个解，则代数式，一的值是_________.

a-1

14.（3分）如图，平行四边形4BCO中,对角线AC、8。相交于点O,过点。的直线分别

交AD.BC十点E、F,若AB=2,BC=3,/AOC=6（T,则图中阴影部分的面枳

是____________________.

15.（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点4（1,1）,以点。为旋转中心，将点A逆

时针旋转到点8的位置，则标的长为

16.<3分）如图，任意将图中的某白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是中

心对称图形的概率是

17.（3分）掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球,

22.（6分）人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技小组的成员小星在一次就餐中,

对餐厅使用的“送菜机器人”很感兴趣，于是他与小组成员一起研制了一个简易的智能

机器人.如图（1）,机器人底座48固定在桌面/（桌面足够大）上，且ABVLAB=BC

=30an,CD=20athBC和C。可以分别绕点8,。自由转动，且AB,BC,CQ始终在

同一平面内.机器人工作时，某时刻的示意图如图（2）所示，ZABC=150°,ZBCD

=100。，求此时点。到桌面/的距离（结果保留一位小数）.

参考数据：sin200~0.34,cos200=0.94,tan200多0.36,-1.73，V5^2.24.

AA

图⑴图⑵

23.（6分）某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，

共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两

名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的

可能性相同.

交通安全消防安全饮食安全校园安全

（1）甲选择“校园安全”主题的概率为;

（2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率.

四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算

步骤。

24.（7分）“垃圾分类新时尚，文明之风我先行”.某地自开展“创卫、创文工作”以来，

广大群众积极参与各项工作.新修订的生活垃圾分类标准为厨余垃圾、有害垃圾、其他

垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小珂所在的小区随机抽

取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试.将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，

绘制成如下频数分布表和频数分布直方图：

线上垃圾分类知识测试频数分布表

成绩分组频数

50«603

60«709

70WxV80m

80«9012

90«1008

C.成绩在80WXV90这一组的成绩为80,81,82,83,83,85,86,86,87,88,88,

89.

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中，〃的值为；

（2）请补全频数分布图；

（3）小到居住的社区大约有居民2000人，若测试成绩达到80分为良好，那么估计小珂

所在的社区成绩良好的人数约为人；

（4）若测试成绩在前十五名的居民可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章.已知居民A

的得分为87分，请说明居民4是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？

线上垃圾分类知识测试频数分布直方图

25.（7分）如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，△/W。的边44垂直于x轴，垂

足为点反比例函数），=K（x>0）的图象经过A。的中点C,交A4于点。，且AO=

X

3.若点。的坐标为（4,〃）.

（1）求反比例函数y=区的表达式.

（2）设点石是x轴上一动点，若△。石8的面积等于6,求点E的坐标.

26.(8分)如图，AB是00的直径，。是00上一点，0QJ_AC于点。，过点A作C。的

切线，交0D的延长线于点P,连接PC并延长与43的延长线交于点E.

(1)求证：PC是O。的切线；

(2)若PC=6,tanE=2,求8E的长.

4

27.(8分)某校数学活动小组探究了如下数学问题：

(1)问题发现：如图1,△A8C中，N8AC=90°,A8=AC.点尸是底边8c上一点，

连接4P,以AP为腰作等腰RtZkAPQ,且NR\Q=90°,连接CQ.求证：BP=CQ；

(2)变式探究：如图2,△A4C中，N84C=90。，AB=AC.点。是腰48上一点，连

接CP,以CP为底边作等腰心△CPQ,连接4Q,判断BP和4。的数量关系，并说明理

由；

(3)问题解决：如图3,正方形ABC。的边长为10,点P是边48上一点，以。P为对

角线作正方形O£PQ,连接AQ.若设正方形。EPQ的面积为y,AQ=x.求)，与x的函

数关系式.

图3

28.（10分）如图，抛物线y」J+bx+c与坐标轴相交于人（0,-2）,B（4,0）两点，

2

点D为直线人8下方抛物线上一动点，过点。作x轴的垂线，垂足为G；0G交直线

于点E.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求EO的最大值；

（3）过点4的直线y=-〃+8交），轴于点C,交直线DG于点”，〃是y轴上一点，当

四边形BEHF是矩形时，求点H的坐标.

2023年甘肃省武威市中考数学模拟试卷（四）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项。

1.（3分）4的倒数是（）

A.-4B.4C.-AD.-1

44

【答案】D

【分析】根据倒数的定义：乘枳是1的两个数，即可求解.

【解答】解：4的倒数是

4

故选：D.

【点评】本题主要考杳了倒数的定义，正确理解定义是解题关锲.

2.（3分）。6。的发现使人类了解到•个全新的碳世界.如图是C6O的分子结构图，包括20

个正六边形和12个正五边形，其中正五边形的一个内角的大小是（）

A.72°B.90°C.108,D.120°

【答案】C

【分析】根据多边形的内角和公式及正多边形性质计算即可.

【解答】解：:•正五边形的内角和为：（5-2）X18O0=540",

・•・该正五边形的每个内角为：540。-5=108°,

故选：C.

【点评】本题考查多边形的内角和与正多边形的性质，此为基础且重要知识点，必须熟

练掌握.

3.（3分）乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500米.若用x（米）

表示乌鞘岭主峰的海拔高度，则x满足的关系为（）

A.xV3500B.%W3500C.x^35OOD.x>3500

【答案】。

【分析】根据乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界和主峰海拔超过3500米得出答案

即可.

【解答】解：•・•乌鞘岭是陇中高原和河西走廊的天然分界，主峰海拔超过3500米，x(米)

表示乌鞘岭主峰的海拔高度，

•••Q35OO,

故选：D.

【点评】本题考查了不等式的意义，能正确列出不等式是解此题的关键.

4.(3分)关于x的一元二次方程』-3x-%+l=0有实数根，则女的取值范围是()

A.k>・$B.C.&D.

4.44飞4

【答案】B

【分析】先根据判别式的意义得到△=(-3)2-4X1X(-A+I)20,然后解关于k

的一元一次不等式即可.

【解答】解：根据题意得：△=(-3)2-4XlX(-R1)20,

解得k，-立.

4

故选：B.

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(40)的根与A=b2-4ac

有如下关系：当八>0时,，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的

实数根；当△<()时，方程无实数根.

5.(3分)如图，△ABC和△OEF是以点。为位似中心的位似图形.若胆=2,则下列结

ED5

论正确的是()

B毁上

*0E"5

s

C,上至上D.里3

S5FE5

八AnDEmF

【答案】B

【分析】根据位似三角形的性质逐项分析即可得出答案.

【解答】解：:△ABC和△。£尸是以点。为位似中心的位似图形，延上，

ED5

.•.空=2,故A错误，不符合题意；

0D5

毁上，故8正确，符合题意；

0E5

A

^AK=（2）24故C错误，不符合题意；

SA_525

△DEF

里3,故。错误，不符合题意.

DF5

故选：B.

【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相

交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

6.（3分）5月31日是世界无烟日，小林为了了解所住小区成年人吸烟的人数，随机调查了

100个成年人，结果有16个成年人吸烟.关于此次调查，下列说法错误的是（）

A.调查的方式是抽样调查

B.样本容量是100

C.小林还需要知道小区里成年人的人数

D.小林所住小区共有16个成年人吸烟

【答案】。

【分析】直接利用样本容量的定义以及抽样调查的定义分别分析得出答案.

【解答】解：A、调查的方式是抽样调查，原说法正确，故此选项不符合题意；

8、样本容量是100,原说法正确，故此选项不符合题意；

C小林还需要知道小区里成年人的人数，原说法正确，故此选项不符合题意；

。、小林所住小区占工-=16%的成年人吸烟，原说法错误，故此选项符合题意.

100

故选：D.

【点评】此题主要考查了样本容量以及抽样调查的定义，正确把握相关定义是解题关键.

7.（3分）利用圆的等分，在半径为3的圆中作出如图的图案，则相邻两等分点之间的距离

为（)

A.3B.3V3C.4D.6

【答案】A

【分析】如图，连接。4,。从根据等边三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：如图，连接CM,OB,

VZAOB=^—=60°,OA=OB,

6

，△人08是等边三角形，

・"B=OA=3,

・•・相邻两等分点之间的距离为3,

故选：A.

【点评】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，熟练掌握正六边形的性

质是解题的关键.

8.（3分）古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“皓子楼六十三，百根腿地里钻，

两者各几何？”其大意为：裕子和楼共有63个，共有100条腿，问有多少个粉子，多少

个楼？（殆子有一条腿，楼有两条腿）设桧子有x个，楼有y个，则下列方程组正确的

是（）

fx+y=63口fx+2y=63

x+2y=100x均=100

Cfx-y=63D[xq=63

x+2y=100x-2y=100

【答案】A

【分析】根据“拾子和楼共有63个，共有100条腿”，即可得出关于x,y的二元一次方

程组，此题得解.

【解答】解：•・•蛤子和楼共有63个，

，x+y=63；

•・•拾子和楼共有100条腿,

.*.x+2y=100.

/_

・••根据题意可列出方程组.

（2+2y=100

故选：A.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元•次方程组，找准等量关系，正确列出二元

一次方程组是解题的关键.

9.（3分）如图是一个几何体的三视图，主视图和左视图均是面积为12的等腰三角形，俯

视图是直径为6的圆，则这个几何体的全面积是（）

俯视图

A.24nB.21irC.15nD.12n

【答案】A

【分析】依据题意可得这个几何体为圆锥，其全面积=侧面积+底面积.

【解答】解：圆锥的高=12X2+6=4,

母线长=^42+（64-2）2=5，

圆锥的全面积=TTX（64-2）2+TTX（64-2）X5=9ir+15n=24n.

故选：A.

【点评】本题考查由三视图判断几何体，圆锥的计算.用到的知识点为：有2个视图为

三角形，另个视图为圆的几何体是圆锥.

10.（3分）如图①，动点P从正六边形的A点出发，沿以lan/s的速度匀

速运动到点C,图②是点。运动时，△A6的面积），（0/）随着时间x（s）的变化的关

系图象，则正六边形的边长为（）

【答案】B

【分析】由图②得，点〃运动过程中，△ACP的面积的最大值为3d§”户,此时点P在

点E上,由题得△AC£为等边三角形，根据面积公式求出AC,进而求出边长.

【解答】解：由图②得，点户运动过程中，△ACP的面积的最大值为3d

此时点P在点E上，由题得△ACE为等边三角形，

艮哗AC2=375,

4

,\AC=2^J~3cm,

VZ5=120°,BA=RC,

AC=1：

•*.AB=2cni.

故答案为：B.

【，点评】本题考查了动点问题的函数图象的分析，等边三角形面积公式是解题关键.

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。

11.（3分）计算知/=-2.

【答案】-2.

【分析】一个数x的立方等于“，即/=〃，则设个数x即为。的立方根，记作x=%,

据此即可求得答案.

【解答】解：返=-2,

故答案为：-2.

【点评】本题考查立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握.

12.（3分）分解因式：J-i=（/+］）（“+［）（〃-1）.

【答案】见试题解答内容

【分析】运用平方差公式进行两次分解即可.

【解答】解：1,

=(/+J)(^2-1),

=(a2+1)(〃+1)(a-1).

故答案为：(a2+l)(«+1)(4-1).

【点评】本题考查了用平方差公式分解因式，注意利用平方差公式进行两次分解，注意

分解要彻底.

2

13.(3分)若。是方程f+x-1=0的一个解.，则代数式，一的值是-1.

a-l

【答案】-I.

2

【分析】将“代入一元二次方程可以得到J=1然后代入代数式，一中计算即可.

a-l

【解答】解：:a是方程»+.”1=0的一个解，

/.cP+a-1=0,

a2=1-a，

a-l

=l-a

a71

=-1,

故答案为：-1.

【点评】本题考查一元二次方程的解，明确方程的解一定使得方程成立是解题的关健.

14.(3分)如图，平行四边形A8CD中，对角线AC、日。相交于点。，过点。的直线分别

交AD.BC于点E、F,若A4=2,BC=3,NAQC=60°,则图中阴影部分的面积是

3a

1•

2.

【分析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出

结果.

【解答】解：•・•平行匹边形A8CO中，对角线AC、相交于点O,

:・S/\AFO=S/、CEO,

・•・阴影部分面积等于△8C。的面积，即为nABCO面积的一半,

过点C作C匕LAD于点P,

,:CD=AB=2,ZADC=6(r,

・・・。尸=1,CP=43,

S平行四边形人BCO=BC、CP=3、巧，

・•・阴影部分面积为2返，

2

故答案为：百巨.

2

【点评】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解

题关键.

15.(3分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,1),以点。为旋转中心，将点A逆

时针旋转到点8的位置，则靠的氏为一亚2L_.

【分析】由点人(1,1),可得。4=J而工=、历，点A在第一象限的角平分线上，

那么408=45°,再根据弧长公式计算即可.

【解答】解：•・•点4(1,1),

/.OA=712+12=V2＞点A在第一象限的角平分线上，

•・•以点。为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，

；・NAOB=45°,

...标的长为45几乂夜=亚三

1804

故答案为返2L.

4

【点评】本题考查了弧长公式：/=匚2里（弧长为/,圆心角度数为〃，圆的半径为R）,

180

也考杳了坐标与图形变化-旋转，求出以及NAO4=45°是解题的关键.

16.（3分）如图，任意将图中的某一白色方块涂黑后，能使所有黑色方块构成的图形是中

心对称图形的概率是1.

一2一

2

【分析】把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,

那么这个图形称为中心对称图形，结合概率公式计算即可.

【解答】解：如图，当涂黑1、2、3区域时，所有黑色方块构成的图形是中心对称图形,

•二p（是中心对称图形）44

0乙

故答案为：1.

【点评】本题考查了中心对称图形的定义，概率的计算，正确理解中心对称图形的定义，

掌握概率公式是解题的关键.

17.（3分）掷实心球是滨州市中考体育测试中的一个项目，如图所示，一名男生掷实心球，

实心球行进的路线是一段抛物线，已知实心球出手时离地面2米，当实心球行进的水平

距离为4米时达到最高点，此时离地面3.6米，这名男生此次抛掷实心球的成绩是」

【答案】10.

【分析】已知抛物线的顶点（4,3.6）,抛物线与），轴的交点（0,2）,可设抛物线的顶点

式，并求出解析式；要得到实心球的成绩，即求出与工轴交点对应的x的值即可.

【解答】解：抛物线的顶点（4,3.6）,设抛物线的解析式为：），=a（x-4）2+3.6

把（0,2）代入解析式可求得

2

抛物线的解析式为：y=—L（X-4）+3.6

当产。时，4（X-4）2+3.6=0

解得：X1=-2（舍去），X2=10,

即这名男生此次抛掷实心球的成绩是10米；

故答案为：10.

【点评】本撅考杳点的坐标的求法及二次函数的实际应用，此题为数学建模撅，借助二

次函数解决实际问题.

18.（3分）如图，四边形48CO是平行四边形，以点B为圆心，的长为半径作弧交4。

于点E,分别以点C、E为圆心，大于工CE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线8P

2

交八。的延长线于点F,ZCBE=60°,BC=4,则85的长为4y.

【答案】473.

【分析】由尺规作图知8£=BC=4,BF平分NCBE,再利用平行线的性质和角平分线的

定义可知BE=3E=4,过点E作EH工BF丁H,则再根据含30°角的直角三

角形的性质可得BH=?M，从而得出BF的长.

【解答】解：由尺规作图知8E=3C=4,/好平分NC4E,

・・・NCB〃=NEB尸=,/cBE=30°，

•・•四边形ABCD是平行四边形，

：,AD//BC,

:,/F=/CBF,

：,ZF=ZEBF=3Qa,

:・BE=FE,

过点E作EHLBF于H,则BH=FH,

・2"=暴=2，

乙

:,BH=MEH=2时,

:・BF=2BH=4a，

故答案为：473.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的性质等知识，证

明8£=石尸是解题的关键.

三、解答题：本大题共5小题，共26分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算

步骤。

19.（4分）计算：卜2|-2cos45°+（A）\

【答案】见试题解答内容

【分析】利用负整数指数辕的性质以及零指数箱的性质和特殊角的三角函数值分别化简

得出答案.

【解答】解：原式=1+2-2XY1+4

2

-7-V2.

【点评】此题主要考查了负整数指数幕的性质以及零指数幕的性质和特殊角的三角函数

值等知识，正确化简各数是解题关键.

20.（4分）化简：一^--------J—

x2-2x+lx2-x2X2-2X

【答案】

X-1

【分析】先通分算括号内的，把除化为乘,再约分即可.

【解答】解：原式=[―J-J、].区(£1),

(x-1)2x(x-1)x+1

=2x-x+l.2x(x-1)

x(x-1)2x+1

=x+1.2x(xT)

x(x-1)之x+1

2

x-1

【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质，把分式通分和

约分.

21.(6分)今年是“一带一路”倡议提出及建设开启的十周年.十年来，我国与151个国

家、32个国际组织签署了20()余份共建“一带一路”合作文件，在基础设施建设、能源

建设、交通运输、脱贫等多个方面取得成果，为多个国家的合作发展带来好消息.如图，

北京与雅典、莫斯科建立了“一带一路”贸易合作关系，记北京为A地，莫斯科为B地,

雅典为。地，若想建一个货物中转仓，使其到A,B,C三地的距离相等，那么如何选择

中转仓的位置？请你用尺规作图设计出中转仓的位置P,保留作图痕迹，不用说明理由，

并描黑作图痕迹.

【答案】作图见解析过程.

【分析】作线段AB,AC的垂直平分线交于点P,点P即为所求.

【解答】解：如图，点尸即为所求.

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关

键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

22.（6分）人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技小组的成员小星在一次就餐中,

对餐厅使用的“送菜机器人”很感兴趣，于是他与小组成员一起研制了一个简易的智能

机器人.如图（1）,机器人底座A8固定在桌面/（桌面足够大）上，且ABLLAB=BC

=30a〃，CD=20cin,BC和CO可以分别绕点。自由转动，且A4,BC,CQ始终在

同一平面内.机器人工作时，某时刻的示意图如图（2）所示，N/WC=I5O°,NBCD

=100°,求此时点。到桌面/的距离（结果保留一位小数）.

参考数据：sin200—.34,cos20°~0.94,tan200比0.36,V3^1.73>遥比2・24・

AA

图⑴图⑵

【答案】此时点。到桌面/的距离约为49.2cm.

【分析】过点作。立L/,垂足为七，过点C作。F_LA8,交八区的延长线于点尸，延长

/C与EQ相交于点G,根据题意可得：EG工FG,人产=日7,根据垂直定义可得NCF8=

NCGO=90°,再利用平角定义可得NCBF=30°,从而利用直角三角形的两个锐角互

余可得NFCB=60°,然后利用平角定义可得NGCQ=20°,在中，利用锐角

三角函数的定义求出3尸的长，从而求出A尸的长，最后在Rt^CQG中，利用锐角三角

函数的定义求出。G的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答.

【解答】解：过点。作。从L/,垂足为E,过点。作CELA6,交的延长线于点P,

延长FC与EO相交「点G,

AE

由题意得：EGLFG,AF=EG,

:・/CFB=/CGD=90°,

VZABC=\50°,

AZCBF=1800-ZABC=30a，

：.ZFCB=W-ZCBF=6()°,

VZBCD=100°,

AZGCD=180°-NBCD-NFCB=20°,

在RtABCF中，BC=30cm,

・・・BF=8C・cos30°=30义返=15a(cm),

2

'：AB=30cm,

：,AF=AB+BF=(3O+15V3)cm,

：.GE=AF=(3O+15V3)cm,

在Rt^COG中，CD=20an,

ADG=CD-sin20<!弋20X0.34=6.8(cin),

：,DE=EG-DG=30+15^3-6.8弋49.2(cm),

••・此时点D到桌面/的距离约为49.2cm.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的

辅助线是解题的关键.

23.(6分)某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，

共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两

名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的

可能性相同.

交通安全消防安全饮食安全校园安全

(1)甲选择“校园安全”主题的概率为-1;

-4-

(2)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率.

【答案】(1)1；

4

（2）旦.

4

【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；

（2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用

概率公式求解即可.

【解答】解：（1）由题意，甲选择“校园安全”主题的概率为』，

4

故答案为：1.

4

（2）设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D,

共有16种等可•能的结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种，

则甲和乙选择不同主题的概率为」2=3.

164

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.画树状图法可以不重复不遗漏的

列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.用到的知识点为：概率所求情况数与总

情况数之比.

四、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算

步骤。

24.（7分）“垃圾分类新时尚，文明之风我先行”.某地自开展“创卫、创文工作”以来，

广大群众积极参与各项工作.新修订的生活垃圾分类标准为厨余垃圾、有害垃圾、其他

垃圾和可回收物四类，为了促使居民更好地了解垃圾分类知识，小珂所在的小区随机抽

取了50名居民进行线上垃圾分类知识测试.将参加测试的居民的成绩进行收集、整理，

绘制成如下频数分布表和频数分布直方图：

a.线上垃圾分类知识测试频数分布表

成绩分组频数

50«603

60«709

70«80m

8(0V9O12

90<A<1008

C.成绩在80WxV90这一组的成绩为80,81,82,83,83,85,86,86,87,88,88,

89.

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中，〃的值为18；

（2）请补全频数分布图：

（3）小到居住的社区大约有居民200（）人，若测试成绩达到80分为良好，那么估计小珂

所在的社区成绩良好的人数约为800人:

（4）若测试成绩在前十五名的居民可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章.已知居民A

的得分为87分，请说明居民4是否可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章？

线上垃圾分类知识测试频数分布直方图

（2）作图见解析部分；

（3）800；

（4）居民A可以领到“垃圾分类知识小达人”奖章.

【分析】（1）根据题意，可以得到样本容量，然后即可计算出〃?的值；

（2）根据频数分布表中的数据和〃?的值，可以将频数分布表补充完整；

（3）根据题目中的数据，可以计算出小珂所在的社区良好的人数；

（4）根据题目中的数据，可以得到88分是第多少名，从而可以得到居民A是否可以领

到“垃圾分类知识小达人”奖章.

【解答】解：（1）由题意可得.表中，〃的值为：50-3-9-12-8=18.

故答案为：18；

(2)由(1)值机的值为18,

由频数分布表可知80WxV90这•组的频数为12,

补全的频数分布直方佟如图所示：

线上垃圾分类知识测试频数分布直方图

(3)估计小珂所在的社区良好的人数约为2000X丝电=800(人),

50

故答案为:800；

(4)由题意可得，87分是第12名，

故居民人可以领到“坨圾分类知识小达人”奖章.

【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图、用样本估计总体、样本容量，解答木

题的关键是明确频率=频数♦总数.

25.(7分)如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，AABO的边AB垂直于x轴，垂

足为点8,反比例函数y=K(x>0)的图象经过A。的中点C,交AB于点D,且AO=

x

3.若点。的坐标为(4,〃).

(1)求反比例函数y=区的表达式.

(2)设点E是x轴上一动点，若ACEB的面积等于6,求点E的坐标.

（2）（-2,0）或（10,0）.

【分析】（I）根据线段中点的概念求出点C的坐标，解方程组求出匕得出反比例函数

的解析式；

（2）设点E的坐标为（x,0）,根据△CE8的面积等于6求出x的值即可.

【解答】解：（1）•・•点。的坐标为（4,〃），AD=3,

・••点A的坐标为（4,什3）,

•・•点C是AO的中点，

・••点C的坐标为（2,生旦），

2

把点C、。的坐标代入y=K,

x

4n=k

得2X小

乙

解得：（吟

Ik=4

则反比例函数的解析式为：产士

x

（2）设点£的坐标为（x,0）,

由（1）知，C（2,2）.

：SACBE=^-BEX2=6,

2

:・BE=6,

当点E在点3左侧时,E（-2,0）；

当点正在点8右侧时，E（10,0）.

综上所述，点E的坐标为（-2,0）或（10,0）.

【点评】本题考查的是待定系数法求反比例函数解析式，熟知待定系数法求反比例函数

解析式的一般步骤是解题的关键.

26.（8分）如图，48是0。的直径，。是。。上一点，OQ_LAC于点。，过点A作。。的

切线，交0。的延长线于点P,连接PC并延长与A8的延长线交于点£.

（1）求证：PC是。。的切线：

（2）若PC=6,tanE=2,求8E的长.

4

【答案】见解答.

【分析】（1）如图，连接0C由“垂径定理”可知，。。垂直平分4。，所以NA0P=N

COP,由S/1S可证明△。人PgZXCOP,所以NOCP=/O/1P,由切线的性质可知，ZOAP

=90°,所以/0C尸=90°,即OC_L?C,由此可得结论；

（2）连接BC,根据正切函数可得AE的长，利用勾股定理可得PE的长，因为AB是。0

的直径，所以NAC8=90°=ZECO,所以NEC8=NAC。，因为。4=0C,所以NQ4C

=ZACO=ZECB,易证△£Q?SAE4C,所以EC：EA=EB：EC,代入数值可得答案.

【解答】证明：（1）如图，连接OC,

VOD1AC,0D经过原点,

垂直平分AC,

JZAOP=ZCOP,

在也。/1尸和△C。尸中，

rOA=OC

,ZAOP=ZCOP^

OP=OP

•••△0/1尸且△COP(SAS),

：・40CP=N0AP,

•・•布是o。的切线，

・•・2040=90°,

.".ZOCP=90°,BPOC±PC,

•••PC是O。的切线.

(2)连接BC,如图,

•••/W是。。的直径，

，NAC8=90°=NECO,

，/ECB+/BCO=NRCO+NACO,

，NEC8=NAC。，

\'OA=OC,

/.ZOAC=ZACO=ZECB,

*：ZE=ZE,

：AECBsREAC,

：,ECtEA=EB：EC,

:,Ed=EA*EB,

VtanE=-^.=—,B4=B4=6,

AE4

22=22=0,

・・・AE=8,^=VAP+AEV6+8L

：・EC=PE=PC=4,

：,BE=^-=2.

【点评】本题考查了切线的性质及判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定

和性质，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的闰题.

27.(8分)某校数学活动小组探究了如下数学问题:

(1)问题发现：如图1,/XABC中，ZBAC=90°,A8=AC.点P是底边8C上一点，

连接AR以A尸为腰作等腰RtaAPQ,且N%Q=90°,连接CQ.求证：BP=CQ；

(2)变式探究：如图2,△ABC中，ZBAC=90°,A8=AC.点P是腰AB上一点，连

接CP,以CP为底边作等腰RtZXCPQ,连接AQ,判断8户和AQ的数量关系，并说明理

由；

(3)问题解决：如图3,正方形ABCO的边长为1(),点P是边人8上一点，以DP为对

角线作正方形OEP。，连接AQ.若设正方形OEPQ的面积为y,AQ=x.求y与x的函

数关系式.

图1图2图3

【答案】(1)证明见解答过程；

(2)BP=V2AQ.理由见解答过程；

(3)>'=V2-1OV2A+1OO.

【分析】(1)根据已知条件利用边角边证明△4APgZ\ACQ,再利用仝等三角形的性质

即可得到BP和CQ的数最关系；

(2)根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边成比例且夹角相

等的判定定理证明△CBPs^CAQ,之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP和

AQ的数量关系；

(3)连接B。，先由正方形的性质判断出△84。和△PQ。都是等腰直角三角形，再利用

与第二问同样的方法证出△6P£>S/^AQO,由相似比求出6Q,再由勾股定理求得DP,

则可列出关系式.

【解答】(1)证明：•••△4PQ是等腰直角三角形，NBIQ=90°,

二在△ABC中，NBAC=90°,AB=AC

f：AP=AQ,ZBAP+zlPAC=ZCAQ+Zf^C.

：.ZBAP=ZCAQ

在△AS”和△ACQ4«,

rAB=AC

<ZBAP=ZCAQ,

AP=AQ

〜△ACQ(SAS'),

：.BP=CQ；

(2)解:BPWEAQ.理由如下：

•••△CPQ是等腰直角三角形，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC

AZACB=ZQCP=45a,或£=2^,

PCBC2

•・•ZBCP+ZACP=ZACQ+ZACP=45°,

：.ZBCP=ZACQ.

,△C3Ps△CAQ,

.QCACAQV2

“PC-BC-BP-2'

・•・BP=V2AQ：

(3)解：如图，连接BD.

•・•四边形ABC。是正方形，四边形。EPQ是正方形,

・