陕西省汉中市多校2025届高三上学期1月期末联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页陕西省汉中市多校2025届高三上学期1月期末联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x∣log22x−1<1，B=A.x∣12<x<1 B.x∣x<32

2.在二项式x−2xA.180 B.270 C.360 D.5403.若复数z满足z+2z=1+2i，则在复平面内z所对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知平面向量a=(5,0),b=(2,−1)，则向量a+b在向量A.(6,−3) B.(4,−2) C.(2,−1) D.(5,0)5.已知an是无穷数列，a1=3，则“对任意的m,n∈N∗”，都有am+nA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知直线l1:x+y+C=0与直线l2:Ax+By+C=0交于(1,1)，则原点到直线lA.2 B.2 C.227.曲线y=sinx+1与y=lgxA.3 B.4 C.5 D.68.图①是底面边长为2的正四棱柱，直线l经过其上，下底面中心，将其上底面绕直线l顺时针旋转45∘，得图②，若△BEF为正三角形，则图②所示几何体外接球的表面积为(

)

A.(8+22)π B.(8+42)π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.随机事件A、B满足P(A)=12，P(B)=13，PA.事件A与事件B相互独立 B.P(A∪B)=16

C.10.若函数f(x)=x3−3xA.f(x)的极大值点为2

B.f(x)有且仅有2个零点

C.点(1,−2)是f(x)的对称中心

D.f(11.数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：r=a1−sinθ，克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意.已知利用关系式x=rcosθy=rsinθ和r=x2A.a=1

B.曲线经过点−1,0

C.当点x0,y0在曲线上时，−3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=ax+a(14+ln 4),x⩾ax13.在三棱锥P−ABC中，AB=BC=CA=2，PA=PB，二面角P−AB−C的大小为π3，则PA2+PB2+P14.已知椭圆C:x25+y2=1，过x轴正半轴上一定点M作直线l，交椭圆C于A,B两点，当直线l绕点M旋转时，有1|AM|2+1|BM四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c−b=2a(1)求角A;(2)若a=6，D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，且AD=1，求△ABC16.(本小题12分)

如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AA1=2(1)证明：BC1(2)若AP=λAB(0≤λ≤1)，求直线PA17.(本小题12分)已知Sn为数列{an}的前n项和，Tn为数列{bn(1)求{an(2)若T2n−S2n(3)设cn=1T18.(本小题12分)已知平面内一动圆过点P(2,0)，且该圆被y轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程;(2)梯形ABCD的四个顶点均在曲线E上，AB//CD，对角线AC与BD交于点T(2,1)．(ⅰ)求直线AB的斜率;(ⅱ)证明：直线AD与BC交于定点．19.(本小题12分)阅读以下材料：①设f’(x)为函数f(x)的导函数.若f’(x)在区间D单调递增；则称f(x)为区D上的凹函数；若f’(x)在区间②平面直角坐标系中的点P称为函数f(x)的“k切点”，当且仅当过点P恰好能作曲线y=f(x)的k条切线，其中k(1)已知函数f(x)=a(i)当a≤0时，讨论f1(ii)当a=0时，点P在y轴右侧且为f(x)的“3切点”，求点P的集合；(2)已知函数g(x)=xex，点Q在y轴左侧且为g(x)的“3切点”，写出点Q的集合(不需要写出求解过程).参考答案1.C

2.A

3.D

4.A

5.A

6.B

7.A

8.A

9.AC

10.BCD

11.ABD

12.[−2ln13.314.303,0

；

；

；

；15.解：(1)由2c−b=2asin(C−π6)

得2sinC−sinB=2sinA(sinC·cosπ6−cosC·sinπ6)

=3sinA·sinC−sinA·cosC

又sinB=sin(A+C)=sinA·cosC+cosA·sinC

所以2sinC−sinA·cosC−cosA·sinC=3sinA·sinC−16.解：(1)连接B1C，

∵四边形BCC1B1是正方形，∴B1C⊥BC1，

∵B1E=EC1，CF=C1F，∴B1C//EF，∴EF⊥BC1，

∵△A1B1C1是等边三角形，B1E=EC1，∴A1E⊥B1C1，

∵三棱柱ABC−A1B1C1是正三棱柱，∴BB1⊥平面A1B1C1，

∵A1E⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥A1E，

∵BB1⊥A1E，A1E⊥B1C1，B1B∩B1C1=B1，B1B，B1C1⊂平面BB1C1C，

∴A1E⊥平面BCC1B1，

∵BC117.(1)解：由an+2=2an+1−an，得an+2−an+1=an+1−an，所以数列{an}为等差数列，所以S5=5a3=15，所以a3=3，又b4=2a4−1=8，所以a4=4，设{an}的公差为d，即a3=a1+2d=3a4=a1+3d=4，解得a1=1d=1，所以an的通项公式是a18.解：(1)设圆心Q(x,y)，动圆半径为R，则R2=x2+(42)2=|PQ|2，

即x2+4=(x−2)2+y2．

整理得曲线E:y2=4x．

(2)设A(xA,yA)，B(xB,yB)，C(xC,yC)，D(xD,yD)，

(i)设AB中点M(xM,yM)，CD中点N(xN,yN).

kAB=yA−yBxA−xB=yA−yB14yA2−14y19.解：(1)因为fx所以f′x令ℎx所以ℎ′x(i)当a=0时，ℎ′x=6x−1，令ℎ′令ℎ′x≤0，解得故fx为区间1,+∞上的凹函数，为区间−∞,1当−14<a<0时，令ℎ′令ℎ′x≤0，解得x≤1或故fx为区间1,−2a+12a上的凹函数，为区间−∞,1当a=−14时，ℎ′x=−3(x−1)当a<−14时，令解得−2a+1令ℎ′x≤0，解得x≥1或故fx为区间−2a+12a,1上的凹函数，为区间综上所述，当a<−14时，fx为区间和1,+∞上的凸函数；当a=−14时，fx当−14<a<0时，fx为区间1,−上的凸函数；当a=0时，fx为区间1,+∞上的凹函数，为区间−∞,1(ii)当a=0时，fx故在点t,ft处的切线方程为y=设Pu,v(u>0)为fx则关于t的方程v=3即关于t的方程v=−2t令Ft所以直线y=v与曲线y=FtF′t当u>1时，Ft,F