四川省宜宾市2024届高三下学期三模试题 数学（理） 含答案

宜宾市普通高中2021级高考适应性考试理科数学（考试时间：120分钟全卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．已知集合，，若，则（）A．0 B．0或―2 C．0或2 D．2或―22．为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育新人”的党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（）A．a的值为0.005 B．估计这组数据的众数为75分C．估计成绩低于60分的有250人 D．估计这组数据的中位数为分3．下列各式中，正确的是（）A． B．C． D．4．已知虚数z满足，且是z的共轭复数，则下列结论错误的是（）A． B．C． D．5．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（）A．―2 B．1 C．―1 D．e6．在的展开式中，含x项的系数是（）A．―180 B．―90 C．90 D．1807．若，则（）A． B． C． D．8．已知正四棱锥的所有棱长均为4，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为（）A． B． C． D．9．某学校开展“五育并举”的选修课，其中体育开设了6门课，分别为篮球、足球、排球、网球、羽毛球、乒乓球，甲、乙两名学生准备从中各选择2门课学习，则甲、乙选修的课中至少有1门相同的概率为（）A． B． C． D．10．已知抛物线C：，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切于点A，B，则面积的最小值是（）A．6 B．9 C．12 D．1811．定义在上的单调函数，对任意的有恒成立，若方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．12．已知E，F分别是棱长为2的正四面体ABCD的对棱AD，BC的中点.过EF的平面与正四面体ABCD相截，得到一个截面多边形，则正确的选项是（）①截面多边形可能是三角形或四边形．②截面多边形周长的取值范围是．③截面多边形面积的取值范围是．④当截面多边形是一个面积为的四边形时，四边形的对角线互相垂直．A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知，则的最小值为______．14．已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足，，成等比数列，则数列前6项的和为______．15．已知，为双曲线C：（，）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，点Q的坐标为．若有最大值，则双曲线C的离心率的取值范围是______．16．已知点O，A，B在同一平面内且A为定点，，，C，D分别是点B轨迹上的点且，则的最大值与最小值之和是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：共60分．17．（12分）某地为调查年龄在35―50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35―50岁段人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：女性男性每周运动超过2小时6080每周运动不超过2小时4020（1）根据以上信息，能否有99%把握认为该地年龄在35―50岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？（2）用样本估计总体，从该地年龄在35―50岁段人群中随机抽取3人，设抽取的3人中每周运动不超过2小时的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82818.（12分）已知数列满足，，（）．（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，若对于任意恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上．（1）若，求证：；（2）若F是AB上靠近点B的三等分点，求平面DEF与平面DPA所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆E：的左右焦点分别为，，P是直线l：上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点．（1）求的值；（2）是否存在点P，满足？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（，，，分别为直线OA，OB，OC，OD的斜率）21．（12分）已知函数，．（1）求过原点的切线方程；（2）求证：存在，使得在区间内恒成立，且在内有解．（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.（10分）［选修4-4：坐标系与参数方程］在平面直角坐标系中，过点的直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（）．直线l与曲线C相交于M，N两点．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若，，成等比数列，求实数a的值．23．（10分）［选修4-5：不等式选讲］已知函数．（1）求的最小值；（2）若恒成立，求实数a的取值范围．

理科数学参考答案123456789101112BDCDABACCBBD13．5 14．―24 15． 16．1216．解析：根据，，可得∴，∴B点轨迹是以A为圆心，半径为2的圆．取BC的中点E，连接BD，CD，AE，DEOD，则，又，所以，，即，所以，．故的最大值与最小值之和是12．17．解：（1）由．知：有99%把握认为该地35-50岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关．（2）由已知得，，，，，，所以随机变量X的分布列为：X0123P所以18．解：（1）由题可知：，且，故是首项为2，公比为2的等比数列，，（2），，，且当n趋于时，趋近于1，所以由恒成立，可知，解得19．（1）证明：在正方形ABCD中，，又，∴在中，点E为线段PC的中点，，DE平分，在中，，过E作交CD于H，连接FH，则，在正方形ABCD中，，∴四边形AFHD是矩形，∴，又，∴平面EFH，又平面EFH，∴．（2）∵，，∴，在正方形ABCD中，，而，平面PCD，又平面ABCD，∴平面平面PCD，过D作交PC于点G，由平面平面PCD得，平面ABCD，故DA，DC，DG两两互相垂直，以D为原点，以DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，由（1）知：，，∴，F是AB上靠近点B的三等分点，∴，∴，故，，设平面DEF的法向量，故，取，故，平面DEF的一个法向量，同理：设平面ADP的法向量，，取，故，，平面ADP的一个法向量，设平面DEF与平面DPA所成的锐二面角的平面角为，则故平面DEF与平面DPA所成的锐二面角的余弦值为20．解：（1）由已知，，设，（），∴，，（2）由题意知直线：，与椭圆方程联立，消元得，同理可得，所以，即．由（1）知，所以，令点，，解得∴存在或满足题意．21．证明：（Ⅰ），，设切点切线方程：切线过原点，解得∴切线方程：（Ⅱ）∴，当时，，则，即在单调递增．且，．唯一使得∴①．∴在上单调递减，上单调递增．∴满足在区间内有唯一解只需满足即可．，将①带入化简得：即得（舍），则，此时①变形为不妨设，显然在上单调递增．，．∴，则结论得证22．（1）∵，∴曲线C的直角坐标方程为（），直线l的普通方程为：．（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C