四川省宜宾市2024届高三下学期三模试题 数学（文） 含答案

宜宾市普通高中2021级高考适应性考试文科数学（考试时间：120分钟全卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数z满足且是z的共轭复数，则（）A．―1 B．1 C． D．3．已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是3，则对于以下数据：，，，，下列选项正确的是（）A．平均数是4，方差是6 B．平均数是4，方差是7C．平均数是5，方差是7 D．平均数是5，方差是124．若曲线的一条切线方程是，则（）A．―2 B．1 C．―1 D．e5．明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”如图所示的程序框图反映了此题的一个算法，执行图中的程序框图，则输出n＝（）A．72 B．75 C．78 D．806．下列各式中，正确的是（）A． B．C． D．7．某零售行业为了解宣传对销售额的影响，在本市内随机抽取了5个大型零售卖场，得到其宣传费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：x（万元）34567y（万元）4550606570由统计数据知y与x满足线性回归方程，其中，当宣传费用时，销售额y的估计值为（）A．89.5 B．90.5 C．92.5 D．94.58．已知函数在上单调递减且对任意满足，则不等式的解集是（）A． B． C． D．9．在直三棱柱中，，，点P在四边形内（含边界）运动，当时，点P的轨迹长度为，则该三棱柱的表面积为（）A．4 B． C． D．10．已知抛物线C：，过动点P作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C相切，则点P的轨迹是（）A．一条抛物线 B．一个圆 C．一条直线 D．一段线段11．定义在上的单调函数，对任意的都有，若方程有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．12．已知E，F分别是棱长为2的正四面体ABCD的对棱AD，BC的中点.过EF的平面与正四面体ABCD相截，得到一个截面多边形，则下列说法正确的是（）A．截面多边形不可能是平行四边形 B．截面多边形的周长是定值C．截面多边形的周长的最小值是 D．截面多边形的面积的取值范围是二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知，则的最小值为______．14．已知数列是公差不为0的等差数列，，且满足，，成等比数列，则数列前6项的和______．15．已知，为双曲线C：（，）的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，点Q的坐标为．若有最大值，则双曲线C的离心率的取值范围是______．16．已知点O，A，B，C均在同一平面内，，，，当取最大值时，BC＝______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：共60分．17．（12分）某地为调查年龄在35―50岁段人群每周的运动情况，从年龄在35―50岁段人群中随机抽取了200人的信息，将调查结果整理如下：女性男性每周运动超过2小时6080每周运动不超过2小时4020（1）根据以上信息，能否有99%把握认为该地年龄在35―50岁段人群每周运动超过2小时与性别有关？（2）在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人．再从这6人中随机抽取2人进行访谈，求这2人中至少有1人是女性的概率．参考公式：，．0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82818．（12分）已知数列满足，，（）．（1）证明：数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，若对于任意恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，，，，点E为线段PC的中点，点F在线段AB上，且．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．20．（12分）已知函数．（1）当时，求函数过原点的切线方程；（2）若有三个零点，求a的取值范围．21．（12分）已知椭圆E：的左右焦点分别为，，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于A，B两点，过焦点斜率为的直线与椭圆E交于C，D两点，且．（1）求直线与的交点N的轨迹M的方程；（2）若直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为，，，，问在（1）的轨迹M上是否存在点P，满足，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由．（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）［选修4-4：坐标系与参数方程］在平面直角坐标系中，过点的直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（）．直线l与曲线C相交于M，N两点．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）若，，成等比数列，求实数a的值．23．（10分）［选修4-5：不等式选讲］已知函数．（1）求的最小值；（2）若恒成立，求实数a的取值范围．

文科数学参考答案123456789101112CADABABDCCAD13．4 14．―24 15． 16．17．解：（1）由．知：有99%把握认为该地35-50岁年龄段人每周运动超过2小时与性别有关．（2）在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人在以上被抽取且每周运动不超过2小时的人中，按性别进行分层抽样，共抽6人，则女性抽取4人，记为：，，，，男性抽取2人，记为：，，从这6人中随机抽取2人，抽法有：，，，，，，，，，，，，，，共15种，这两人中至少有一人是女性的抽法有：，，，，，，，，，，，，，共14种，故两人中至少有一人是女性的概率18．解：（1）由题可知：，且，故是首项为2，公比为2的等比数列，，（2），，，且当n趋于时，趋近于1，所以由恒成立，可知，解得19．（1）证明：在正方形ABCD中，，又，∴在中，点E为线段PC的中点，，DE平分，在中，，过E作交CD于H，连接FH，则，在正方形ABCD中，，∴四边形AFHD是矩形，∴，又，∴平面EFH，又平面EFH，∴．（2）法一：在中，∵，，∴，在正方形ABCD中，，而，CD，平面PCD，∴平面PCD，平面ABCD，∴平面平面ABCD，交于直线CD，过P作交CD于Q，∴平面ABCD，∵，∴，，，法二：在中，∵，，∴，在正方形ABCD中，，而，CD，平面PCD，∴平面PCD，，．20．证明：（1），，设切点切线方程：切线过原点，，解得，∴切线方程：（2），当时，恒成立，所以在上单调递增，至多一个零点；当时，令，得，令，得，令，得或，所以在上单调递减，在，上单调递增．有三个零点，则即，解得，当时，，且，所以在上有唯一一个零点，同理，，所以在上有唯一一个零点，又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，综上可知a的取值范围为21．解：（1）由已知，，则：，：∴点满足即∴①②∴点P的轨迹方程是（）又，依题意可知综上可知：直线与的交点N的轨迹M的方程为：（且）（2）由题意知直线：，与椭圆方程联立，消元得，同理可得，所以，即．由（1）知，所以，令点，，解得∴存在或满足题意．22．（1）∵，∴曲线C的直角坐标方程为（），直线l的普通方程为：．（2）将直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C