第二十二章 二次函数 数学活动 教学设计 2024-2025学年人教版九年级数学上册

第二十二章二次函数数学活动教学设计2024-2025学年人教版九年级数学上册主备人备课成员设计意图本教学设计旨在通过人教版九年级数学上册第二十二章二次函数的学习，引导学生深入理解二次函数的性质，通过数学活动的形式，提高学生的探究能力和解决问题的能力，培养他们的数学思维和创新意识。核心素养目标培养学生运用二次函数模型解决实际问题的能力，提升数学建模和数据分析素养；增强学生的逻辑推理和空间想象能力，培养他们的几何直观和数学抽象思维；通过合作学习，培养学生沟通与协作的能力，形成积极的数学学习态度和科学探究精神。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了一次函数的基本概念、图像和性质，具备了解函数图像的平移、伸缩等变换能力。此外，学生对一元二次方程的解法也有所了解，能够进行因式分解和配方法求解。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

九年级学生对数学仍保持较高的兴趣，尤其对图形与几何部分。他们在解决问题时具备较强的逻辑推理能力，但部分学生可能对抽象概念的理解存在困难。学习风格上，学生既有独立学习者，也有偏好合作学习的个体。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

学生在理解二次函数的图像性质时，可能会对对称轴、顶点坐标等概念感到困惑。此外，将二次函数应用于解决实际问题，如求解最值、判断函数图像与坐标轴的交点等，可能需要学生具备较强的空间想象能力和数学建模能力。部分学生可能因为缺乏实践经验，难以将理论知识与实际问题相结合。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源-多媒体课件：包含二次函数图像、性质、解法等教学内容的演示文稿

-教学挂图：二次函数图像的标准形状、对称轴、顶点等几何图形

-数学工具：计算器、函数图像绘制软件

-教学平台：学校内部教学资源库、在线学习平台

-信息化资源：二次函数相关的教学视频、互动练习软件

-教学手段：课堂讲解、小组讨论、实际操作、练习题解答教学过程一、导入新课

（教师）同学们，我们已经学习了一次函数，了解了函数图像和性质。今天，我们将进入新的学习领域——二次函数。二次函数是高中数学中非常重要的一个部分，它不仅广泛应用于自然科学、工程技术等领域，而且在日常生活中也有着广泛的应用。那么，二次函数有哪些特点呢？今天我们就一起来探究。

（学生）期待学习二次函数，想了解它的特点和应用。

二、新课讲授

1.二次函数的定义

（教师）首先，我们来定义一下二次函数。二次函数是指形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c是常数。同学们，谁能告诉我，二次函数的图像是什么样的？

（学生）二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

（教师）很好，二次函数的图像确实是一个抛物线。接下来，我们来探究一下二次函数的性质。

2.二次函数的性质

（教师）二次函数的性质主要包括以下几个方面：

（1）对称性：二次函数的图像关于对称轴对称，对称轴的方程为x=-b/2a。

（2）顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)。

（3）开口方向：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

（4）图像与坐标轴的交点：当x=0时，y=c，即二次函数的图像与y轴交于点(0,c)；当y=0时，解一元二次方程ax^2+bx+c=0，得到二次函数的图像与x轴的交点。

（教师）同学们，谁能举例说明二次函数的性质在生活中的应用？

（学生）比如，抛物线运动、物体的运动轨迹等。

3.二次函数的应用

（教师）二次函数在解决实际问题中有着广泛的应用。下面，我们来举例说明：

（1）求解二次函数的最值

（教师）对于形如y=ax^2+bx+c的二次函数，当a>0时，函数的最小值为顶点的y坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的y坐标。

（学生）明白了，求最值就是找到顶点坐标。

（2）求解二次函数图像与坐标轴的交点

（教师）当y=0时，解一元二次方程ax^2+bx+c=0，得到二次函数的图像与x轴的交点。

（学生）这个方程的解法我们之前学过。

（3）判断二次函数图像与坐标轴的交点个数

（教师）当判别式Δ=b^2-4ac>0时，二次函数的图像与x轴有两个交点；当Δ=0时，二次函数的图像与x轴有一个交点；当Δ<0时，二次函数的图像与x轴没有交点。

（学生）这个方法可以帮助我们判断函数图像与坐标轴的交点个数。

三、课堂练习

（教师）下面，我们来做一些练习题，巩固一下今天所学的内容。

1.求二次函数y=2x^2-4x+1的最小值。

2.判断二次函数y=x^2-2x+1与x轴的交点个数。

3.求二次函数y=-x^2+4x-3的图像与x轴的交点坐标。

（学生）认真听讲，积极思考，独立完成练习题。

四、课堂小结

（教师）今天，我们学习了二次函数的定义、性质和应用。通过学习，我们知道了二次函数的图像是一个抛物线，具有对称性、顶点坐标、开口方向等性质。同时，我们还学习了如何求解二次函数的最值、判断二次函数图像与坐标轴的交点个数等实际问题。

（学生）通过今天的学习，我对二次函数有了更深入的了解，知道了它在生活中的应用。

五、课后作业

（教师）请同学们课后完成以下作业：

1.复习今天所学的二次函数知识，总结二次函数的性质和应用。

2.尝试将二次函数应用于实际问题，如抛物线运动、物体的运动轨迹等。

（学生）认真完成课后作业，巩固所学知识。拓展与延伸六、拓展与延伸

1.提供与本节课内容相关的拓展阅读材料：

-《二次函数在实际问题中的应用》：介绍二次函数在物理学、工程学、经济学等领域的应用案例，如抛物线运动轨迹、优化问题等。

-《二次函数的图像变换》：探讨二次函数图像的平移、伸缩、旋转等变换，以及这些变换对函数性质的影响。

-《二次函数的根与系数的关系》：研究二次方程ax^2+bx+c=0的根与系数之间的关系，如韦达定理。

-《二次函数的导数》：引入导数的概念，探讨二次函数的导数与函数的单调性、极值点之间的关系。

2.鼓励学生进行课后自主学习和探究：

-学生可以尝试将二次函数应用于实际问题的解决，如设计一个抛物线模型来模拟物体的运动轨迹，或者解决一个优化问题。

-鼓励学生探索二次函数图像的对称性，通过实验或计算验证对称轴的性质。

-学生可以研究二次函数的导数，尝试证明二次函数的导数与其极值点的关系，并探究导数在判断函数单调性中的作用。

-鼓励学生查阅相关资料，了解二次函数在数学史上的地位和影响，以及它在不同学科中的应用和发展。

-通过小组合作，让学生共同探讨二次函数的复杂问题，如解析几何中的抛物线性质，以及解析几何与二次函数的结合应用。教学反思与改进教学反思是教师专业成长的重要环节，通过反思教学过程，我们可以更好地了解自己的教学效果，发现教学中的不足，从而不断改进教学方法，提升教学质量。以下是我对本次“第二十二章二次函数”教学的一些反思与改进措施。

1.教学内容的选择与呈现

在本次教学中，我尝试将二次函数的性质与实际应用相结合，通过实例让学生理解二次函数在现实生活中的重要性。然而，我发现部分学生对二次函数的性质理解不够深入，对于如何将理论知识应用于实际问题还存在困难。因此，我计划在未来的教学中，更加注重对二次函数性质的教学，通过更多的实例和练习，帮助学生建立知识体系，提高他们的应用能力。

2.学生参与度的激发

虽然我在课堂上鼓励学生积极参与讨论和练习，但部分学生仍然表现出被动学习的态度。为了提高学生的参与度，我打算在未来的教学中采用更多互动式教学方法，如小组合作、角色扮演等，让学生在活动中主动探究，提高他们的学习兴趣。

3.教学资源的利用

本次教学中，我使用了多媒体课件、教学挂图等资源，但发现部分学生对于多媒体资源的依赖性较强，缺乏自主阅读和思考的能力。为了培养学生的自主学习能力，我计划在未来的教学中，适当减少对多媒体资源的依赖，鼓励学生通过阅读教材、查阅资料等方式获取知识。

4.教学评价的多元化

在本次教学中，我主要采用课堂练习和课后作业来评价学生的学习效果。然而，这种评价方式较为单一，无法全面反映学生的学习情况。为了更全面地评价学生的学习成果，我计划在未来的教学中，采用多元化评价方式，如课堂提问、小组展示、学生自评和互评等，以更客观地了解学生的学习状况。

5.教学方法的创新

在教学过程中，我发现部分学生对于二次函数的图像变换和性质理解较为困难。为了解决这一问题，我计划在未来的教学中，尝试引入几何画板等软件，通过动态演示二次函数图像的变化，帮助学生直观地理解二次函数的性质。

6.教学反思活动的设计

为了在教学后评估教学效果并识别需要改进的地方，我计划设计以下教学反思活动：

-教学后，组织学生进行课堂反馈，了解他们对教学内容的理解和掌握程度。

-收集学生的作业和练习，分析他们在学习过程中遇到的问题和困难。

-与同事进行教学研讨，交流教学心得，共同探讨改进教学的方法。

-定期进行自我反思，总结教学过程中的优点和不足，制定改进措施。教学评价与反馈1.课堂表现：

学生在课堂上的表现总体积极，能够认真听讲，积极参与讨论。在讲解二次函数的性质时，学生们能够跟随教师的思路，对对称轴、顶点坐标等概念有了较为清晰的认识。在解决实际问题时，学生们能够运用所学知识，尝试解决一些简单的应用题。

2.小组讨论成果展示：

在小组讨论环节，学生们能够主动参与，积极分享自己的观点。例如，在讨论二次函数图像与坐标轴的交点时，学生们提出了多种求解方法，如配方法、因式分解等。通过小组讨论，学生们不仅巩固了知识，还学会了如何与他人合作，共同解决问题。

3.随堂测试：

随堂测试结果显示，大部分学生能够正确掌握二次函数的基本性质和解题方法。但在测试中也发现了一些问题，如部分学生对二次函数图像的开口方向和对称轴的理解不够深入，以及在解决复杂问题时缺乏逻辑思维能力。

4.学生自评与互评：

学生自评方面，大部分学生能够认识到自己在二次函数学习中的优点和不足，如对图像变换的理解较好，但在解决实际问题时需要进一步提高。互评环节中，学生们能够客观地评价同伴的表现，提出建设性的意见和建议。

5.教师评价与反馈：

针对课堂表现，教师对学生的积极参与和良好互动给予肯定，同时也指出了部分学生在学习过程中存在的问题。例如，对于二次函数图像的理解，教师建议学生通过绘制图像来加深印象；对于解题方法，教师鼓励学生多尝试不同的解法，以提高解题能力。

针对小组讨论成果展示，教师认为学生们在讨论中表现出了良好的团队合作精神，但在讨论过程中也存在一些问题，如部分学生发言不够积极，讨论内容不够深入。教师建议在未来的讨论中，学生们要更加主动地参与，提高讨论质量。

针对随堂测试，教师对学生们在二次函数学习上的进步表示满意，同时也指出了部分学生在解题过程中的错误。教师建议学生们在课后加强练习，提高解题速度和准确性。

针对学生自评与互评，教师认为学生们能够认真对待评价，客观地评价自己和同伴。教师鼓励学生们在今后的学习中，继续保持这种良好的评价习惯，不断提升自己的学习能力。

教师总结：

本次教学评价与反馈表明，学生们在二次函数学习上取得了一定的进步，但仍存在一些问题。在今后的教学中，教师将继续关注学生的个体差异，采取针对性的教学方法，帮助学生克服学习中的困难，提高他们的数学素养。内容逻辑关系①二次函数的定义与性质

-重点知识点：二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c（a≠0），对称轴x=-b/2a，顶点坐标(-b/2a,c-b^2/4a)。

-重点词句：开口方向、对称性、顶点、判别式、开口向上、开口向下。

②二次函数图像与坐标轴的关系

-重点知识点：图像与y轴交点、图像与x轴交点、判别式Δ=b^2-4ac的应用。

-重点词句：y轴交点、x轴交点、Δ>0、Δ=0、Δ<0、一元二次方程。

③二次函数的实际应用

-重点知识点：求解二次函数的最值、解决实际问题中的应用案例。

-重点词句：最值、优化问题、抛物线运动、几何直观、数学建模。课后作业1.求二次函数y=-2x^2+4x-3的顶点坐标和对称轴方程。

解：由于a=-2，b=4，c=-3，根据顶点坐标公式，顶点坐标为：

x=-b/(2a)=-4/(2*(-2))=1

y=c-b^2/(4a)=-3-4^2/(4*(-2))=-3-4=-7

因此，顶点坐标为(1,-7)。

对称轴方程为x=-b/(2a)=1。

2.判断二次函数y=x^2-6x+8与x轴的交点个数。

解：计算判别式Δ=b^2-4ac，其中a=1，b=-6，c=8。

Δ=(-6)^2-4*1*8=36-32=4

因为Δ>0，所以二次函数与x轴有两个交点。

3.求二次函数y=2x^2-x-3的图像与x轴的交点坐标。

解：解一元二次方程2x^2-x-3=0。

使用因式分解法：(2x+1)(x-3)=0

解得x=-1/2或x=3

因此，交点坐标