2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）期末难点特训（二）与圆综合有关的压轴题含解析

2023-2024学年九年级数学下册常考点微专题提分精练期末难点特训

二(与圆综合有关的压轴题)

1.抛物线与x轴交于力(-1,0)、8两点，与y轴交于点C(0,3),点。朋，3)

在抛物线上.

图1图2

⑴求抛物线的解析式；

⑵如图1,连接AC、4Q,点尸在对称轴左侧的抛物线上，若田尸4c=团。4。，求点夕的坐标；

⑶如图2,点。为第四象限抛物线上一点，经过C、D、0三点作(W,EL/的弦。质，轴，求证：点

尸在定直线上.

2.如图，已知二次函数产f+bx+c与x轴交于4(-1,o)和8(3,0)与)，轴交于C,顶点为O.

⑵若圆W过力、B、C,求圆心W的坐标.

⑶P为圆W上一动点，求PC+半产。的最小值.

3.如图1,/"CO是边长为4的正方形，以〃为圆心的E1〃与Z?C,44分别交于点E,F,还按£巴

且七尸=4.

⑴求BE的长;

⑵在平面内将图1中鲂夕'绕点8顺时针旋转360°,在旋转的过程中，

①求回CQE的取值范围；

②如图2,取。E的中点G,连接CG并延长交直线OE于点〃，点P为正方形内一动点，试求

尸〃+以+P8的最小值.

4.如图，团。是m8C的外接圆，48为直径，弦力。平分团84C,过点。作射线4C的垂线，垂足为

M,点E为线段上的动点.

⑴求证：是回。的切线；

(2)若团8=30。，AB=8,在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若

不存在，说明理由；

⑶若点石恰好运动到的角平分线上，连接CE并延长，交用0于点F,交力。于点P,连接力凡

CP=3,EF=4,求/厂的长.

5.如图，四边形ABCD内接7回0,AC为直径，AC和BD交于点E,AB=BC.

(1)求团ADB的度数；

(2)过B作AD的平行线，交AC于F,试判断线段EA,CF,EF之间满足的等量关系，并说明理由；

(3)在(2)条件下过E,F分别作AB,BC的垂线，垂足分别为G,H,连接GH,交B0于M,若

AG=3,S四边形AGMO：S四边形CHMD=8：9,求团。的半径.

BRB

Ei

CAC

o0O

DDD

管用图1备用图2

6.已知内接于用O,团。4c的平分线交团。于点。，连接。4,DC.

(1)如图①，当回C=120。时，请直接写出线段/K,4C,4Z)之间满足的等量关系式:

(2)如图②，当她力。=90。时，试探究线段/氏AC,力。之间满足的等量关系，并证明你的结论;

(2)如图2,弦AB交BC于点F,点G在EC上，NBAF=NGAF,求证：FB=FG；

(3)如图3,在(2)的条件下，弦BH分别交AF,AG于P,Q两点，PO=DH=6,AC=3出，

求QG的长.

8.定义：若抛物线小尸ad+bx+c的图象恒过定点”(如.%),则称加(%,%)为抛物线上的“不动

点”.已知：若抛物线£:y=仆2-3+工+1(〃<0).

（1）求抛物线人的不动点坐标;

（2）如图1,已知平面直角坐标系中A（—1,0）、8（1,0）、C（3,0）,以点8为圆心，。8为半径作助,

点P为姐上一点，将点C绕点P逆时针旋转90。得到点C,当点P在团8上运动时，求线段AC长

度的最大值；

（3）在（2）的条件下，若抛物线心的对称轴是直线x=2；

①求抛物线£的解析式；

②如图2,若直线PC交抛物线乙于点凤内,8）、F（x2,y2）,交y轴于点0,平面内一点4坐标为

”（4夜,&）,记4=1玉-当1,当点P在团8上运动时，求（当f的取值范围.

9.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于4、B两点,与y轴交于点。（0.6）,抛

物线的顶点坐标为£（2,8）,连结8C、BE、CE.

（1）求抛物线的表达式；

（2）判断（3BCE的形状，并说明理由；

（3）如图2,以。为圆心，血为半径作E1C,在团。上是否存在点P,使得的值最小，若

存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

10.如图，/W是0。的直径，弦CZ）_LA3于点“，连接AC,过上一点E作EG//AC交CD的

延长线于点G,连接4上交CO于点凡且GE=GF,连接C石.

A

（1）求证：EG是。的切线；

（2）延长A4交GE于点例，若拦•=］，DC=86，求的值.

HG4

11.有一组邻边相等目对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.

⑴如图1,在等邻边互补四边形48C。中，AD=CD,且力DS8C,BC=2AD,求国8的度数：

（2）如图2,四边形488内接于团0,连接。。交4c于点E（不与点。重合），若E是4c的中点,

求证：四边形48。是等邻边互补四边形；

24

⑶在（2）的条件下，延长。。交8c于点尸，交团0于点G,若8G=A8,tanZA8C=>y,AC=12,

求尸G的长；

⑷如图3,四边形力4CO内接于团。，AB=BCt4。为回。的直径，连接力。并延长交4c于点E,交

FF

团。于点八连接"C，设tanM彳"=x,—-=y,求y与；v之间的函数关系式.

AE

12.如图1,已知回0的内接四边形ABCD,AB//CD,BC//AD,AB=6,808.

DD

E

E,

⑴求证：四边形ABCD为矩形.

⑵如图2,E是4。上一点，连接CE交AD于点F,连接AC.

①当点D是CE中点时，求线段DF的长度.

②当16sZk。。/=3S-时，试证明点E为AD的中点.

⑶如图3,点E是回。上一点(点E不与4、C重合)，连接EA、EC、0E,点、/是△力EC的内

心，点M在线段OE上，且ME=2M0,则线段Ml的最小值为.

13.如图1,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-2,2),8是“轴正半轴上一动点，以为直径

画OC交x轴于点。，连结A。，过点A作AE_LAO交。。于点E,连结的，DE.

(1)求NO8E的度数

(2)求证：

(3)如图2,连结CE,过点。作CE_L8E于点尸，过点尸作/G〃CE交DE的延长线于点G,设

点3的横坐标为1.

①用含/的代数式表示。炉.

②记S=OE・EG,求S关于/的函数表达式.

14.如图，，。是四边形A3。的外接圆，宜径为10,过点。作£>P_LA4,交84的延长线于点尸,

4。平分N尸AC.

（1）如图1,若4。是；。的直径，求证：〃。与《。相切;

（2）在（1）的条件下，若PA+PD=4,求线段8C的长;

（3）如图2,若BC=CD,求AB+/U）的最大值.

15.【提出问题】

如图1,直径人4垂直弦CD于点E,AB=IO,8=8,点尸是CD延长线上异于点。的一个动点,

连结补交。于点。，连结。。交人8于点尸，则点尸的位置随着点尸位置的改变而改变.

【特殊位置探究】

（1）当。。=2时，求〔an/P和线段AQ的长：

【一般规律探究】

AF

（2）如图2,连结AC,DQ.在点。运动过程中，设OP=x,—=y.

nF

①求证：ZACQ=ZCPA；

②求｝'与x之间的函数关系式：

【解决问题】

（3）当O/=1时，求二ACQ天口-CQQ的面积之比.（直接写出答案）

期末难点特训二（与圆综合有关的压轴题）

1.抛物线与x轴交于力（・1,0）、8两点，与y轴交于点C（0,3）,点。［用，3）

在抛物线上.

⑴求抛物线的解析式；

（2）如图1,连接AC、4。，点P在对称轴左侧的抛物线上，若团PBC=^DBC,求点P的坐标；

（3）如图2,点。为第四象限抛物线上一点，经过C、。、。三点作用团.”的弦轴，求证：点

厂在定直线上.

【答案】（l）y=-1+2x+3

''39

⑶证明见解析

【分析】（1）把小。坐标代入可得关于。、C的二元一次方程组，解方程组求出4、C的值即可得

答案；

（2）如图，设8P与y轴交于点E,直线解析式为y=H+b,根据（1）中解析式可知。、8两点坐

标，可得CD//AB,利用4S力可证明皿）C8雷氏方，可得CE=CD,即可得出点E坐标，利用待定系

数法可得直线4P的解析式，联立直线8P与抛物线解析式求出交点坐标即可得答案；

（3）如图，连接MQ,加封，设。（〃?，-苏+2"+3）,尸（〃?，（）,根据C。、0尸为团M的弦可得圆心

M是C。、。尸的垂直平分线的交点，即可表示出点M坐标，根据利用两点间距离公式可

得（-〃1+2/〃+3+'一3）（々a）2=（.i）2（-nr+2in4-3+/

2+w+-/）2,整理可得/=2,即可•得答

22

案.

(1)

(-1,0)、C(0,3)在抛物线y=a?+2x+c图象上,

a-2+c=0

c=3

a=-1

解得：、，

c—3

回抛物线解析式为：＞=-f+2x+3.

(2)

如图，设8P与y轴交于点E,直线解析式为)，=依+"

回点。(/〃，3)在抛物线尸4+2x+3上，

0-nr+2m+3=3，

解得：班=2,=。(与点C重合，舍去)，

团。(2,3),

⑦CD〃AB,CD=2,

当户0时，一f+2x+3=(),

解得：$=T,々=3,

回8⑶0),

回O8=OC,

团13OC8=(3O8C=0Z)C8=45°,

在(3OC5和(3EC8中，

NDCB=NECB=45。

中BC=BC,

NDBC=NEBC

^\DCB^ECB,

团C£=CQ=2,

^OE=OC-CE=1,

0E(0,1),

[3k+b=0

解得：f=-3,

b=\

团直线BP的解析式为y=1,

y=-x2+2x+3

联立直线8P与抛物线解析式得：）1

y=-x+1

13

2

fx=3/一

解得：n（舍去），「，

如图，连接MO,MF,设。(〃?，-〃/+2〃?+3),F(w,/),

团CQ、。尸为团W的弦，

回圆心M是C。、。歹的垂直平分线的交点，

0C(0,3),D(2,3),。/75轴，

□M(1,--------------),

2

^MD=MF,

c/一〃?十2〃?+3+rc、■>/—“、■),.、■)/-in+2/n+3+r、,

0(---------------3)2+(2-1)2=(zn-1)2+(---------------1)2,

22

整理得：/=2,

回点户在定直线产2I：.

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、二次函数与一次函数

的交点问题及圆的性质，综合性强，熟练掌握相关知识及定理是解题关键.

2.如图，已知二次函数片f+bx+c与x轴交于力(-1,0)和8(3,0)与)，轴交于C,顶点为O.

⑴求二次函数解析式.

⑵若圆W过力、B、C,求圆心W的坐标.

⑶。为圆W上一动点，求PC+率PO的最小值.

【答案】⑴二次函数解析式为产己入-3；

(2)圆心W的坐标为(1,-1)；

⑶亚

2

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)设圆心W的坐标为(1,〃[),利用半径相等，列方程求解即可；

(3)连接取?并延长至点。，使瞿二黑，求得。。=还，证明团湖]郎。尸，从而得到?£>=—

WPWO22

PO,当。、尸、。三点共线时，尸C+叵PO=PC+PQ=CQ,比时最小，据此即可求解.

2

(1)

解：回二次函数y=f+6x+c与x轴交于/I(-1,0)和3(3,0),

1-b+c=0

联，

9+3b+c=0

(b=-2

解得：’,

c=-3

田二次函数解析式为y=x2-2x-3：

(2)

解:团二次函数解析式为产=fQv-3=(x⑴二4,

令x=0,则片・3,

团C(0,-3),

团二次函数尸12x3的对称轴为x=l,

团圆W过4、B、C,

团圆心VV一定在二次函数尸F2x-3的对称轴上，

团设圆心W的坐标为(1,小)，

由半径相等得：(3-1产+/=12+卜3加)2,

解得：m=-l,

团圆心W的坐标为(1,-1)；

(3)

解：连接力。并延长至点。，使签=瞿，连接P。、WP、CQ、WC,

团％点的坐标为(1,-1),

回。%x/FTFM，ow=O,

团比尸=5

WQWP河

1?1-------=---------=---------

WPW02

团忆述，

团。。=乎，

醐1。。=45°,

33

团。点的坐标为（-y,

WQWP

WPWO^PWQ,-=——，

WPwo

团丽7。画用QP,

丝_匕丽

团--------，

POWO2

团~。=芈尸。，

当C、P、0三点共线时，PC+浮PO=PC+PQ=CQ,此时最小,

33

团点。的坐标为(0,-3),。点的坐标为；),

团。。=椁2+(3+尹=乎.

【点睛】本题是二次函数综合题，主要有二次函数的图像和性质，相似三角形的性质与判定，锐角

三角函数的定义，坐标与图形的性质，两点之间，线段最短等基础知识，构造母子型相似是解第3

问的关键.

3.如图1,4?。。是边长为4的正方形，以8为圆心的回8与8C,84分别交于点E,F,还接EV,

且£尸=4.

⑴求4K的长；

⑵在平面内将图1中a8E尸绕点3顺时针旋转360°,在旋转的过程中，

①求回CQE的取值范围；

②如图2,取QE的中点G,连接CG并延长交直线。尸于点〃，点尸为正方形内一动点，试求

7W+%+P8的最小值.

【答案】(1)2&

⑵①15°<(?1CZ)E<75。②2#+2

【分析】(1)由图8加•是等腰直角三角形及勾股定理得8K的长；

(2)①当OE分别为鲂的切线时，13CQE最大或最小，由8。=28吃即可求得团©。8为30度，从

而解决；

②延长。。到以，使CQ'=CQ,连接A。，BU,首先可以证明BDFwBDE,则可看成

是她ZW绕点4顺时针旋转90度得到的，则/7EJ.OF；再证明回。〃。=90°,取CO中点O,连接

OH,将西玄绕点X顺时针旋转60。得到连接尸上89。用，当点〃、P、PL8'四点

共线时，R4+PB+PII=HR',再求出的长度即可解决.

(1)

团四边形/出。。是正方形

005=90°

EBE=BF

团团8所是等腰直角三角形

由勾股定理得：EF2=2BE2

SP2BE2=16

^BE=242

(2)

①如图，连接8。

当。石分别为mB的切线时，团CDE最大或最小

回8。为正方形的对角线

团4£>=0AB=4x/2

当点E移动到弱位置时，(3C0E最小

在肋一跳出中，BD=2BEi

团NA/*；=30。

0ZCD£；=NCDB-NBDJ=45°-30°=15°

当点E移动至I」E2位置时，^CDE最大

同理可计算得NCZ)G=75°

01504团。£>代75°

②延长。C到ZX,使CQ'=CO,连接80,BO,如图

Q£____________?'

B'

则△BDU是等腰直角三角形

^BD-Diy.ZDBE/=90°

酿BE尸是等腰直角三角形

0BF=BE,©FBE=90°

⑦QBF="BE

^,BDF^BD'E

回可看成是团尸绕点B顺时针旋转90度得到的

团G、。分别为。E、。。的中点

0GC为ADED的中位线

0CG//Z7E

国CG3DF

即团。HC=90°

取CO的中点O,连接O",则O，=gc力=2

将出绕点A顺时针旋转60°得到AA。&,连接PP、B&Q&,

⑦PB'=PB,PA=PA.N内产=60。

团APP是等边三角形，故有以=/"=PP

PH+PA+P/3+OH=PH+PP1¥Pff+OH>Off

^PHiPA\PB^OB'OH

当点〃、P、P\8'四点共线时，P〃+B4+尸8取得最小值，且最小值为O8'-O〃

(348=AB',N848'=60。

比.848是等边三角形

国AB'=B9,//WB=NA88'=60°

连接04、OB,则可得CM=OB

0OAH-OBB

团ZA9O=N88'O=300

[3夕0_148

设08交44于点M,在册“'M"中，MB'=BB'cosZABB'=—x4=2>/3

2

ao*=OM+M/T=4+26

团O9-OH=4+275-2=26+2

即PH+PA+P3最小值为26十2

【点睛】本题是一个综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直线与圆的位置关系，等腰

三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到临界状态及旋转0/1尸8是问题的

关键与难点.

4.如图，团。是酎8C的外接圆，为直径，弦力。平分团历TC,过点力作射线力C的垂线，垂足为

M,点E为线段力〃上的动点.

⑴求证：是00的切线；

(2)若姐=30。，AB=8,在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若

不存在，说明理由；

⑶若点E恰好运动到a4cB的角平分线上，连接CE并延长，交回O于点凡交AD于点、P,连接

CP=3,EF=4,求/少的长.

【答案】⑴证明见解析

(2)存在，EC+EA/的最小值为2M,理由见解析

(3)6

【分析】(1)连接。。，交.BC于点、N,通过证明四边形CNDW为矩形得出C〃)_L/W。，利用切线的

判定定理即可得出结论.

(2)过点C作C/工A8,并延长交团。「点E连接M凡交AB于点E,连接£C,利用将军饮马

模型可知此时EC+EM的值域小，由题意可得尸。为圆的直径，在RrAFDM中,利用勾股定理即可

求得结论.

(3)利用角平分线的定义和三角形的外角的性质可以判定尸为等腰三角形，证明AMEAFCt,

利用相似三角形的性质得出比例式，解关于AF的方程即可得出结论.

(1)

解：如图，连接OQ,交8c于点N,

AB为直径

.-.ZAC^=90°.

NBCM=90：

弦/。平分鲂力C,

CD=BD

:.ON工BC.

•/DM±AC,

「•四边形CNDW为矩形

:.OD1MD.

0。为圆的半径

.•・/。是团O的切线

解:在点七运动过程中，EC+EA/存在最小值，理由如下：

过点。作blAB,并延长交回。于点立连接ME交力8于点£,连接EC,则此时的值

最小

ZB=30,ZACB=90\

ZC4B=60\

弦/。平分向8/1C,

ZCAD=ZDAS=3()\

二•CO与AQ的度数为60。

AB是直径

AC=CD=BD

AB±CD,48是直径

AC=AF.

AF+AC+CD=\SO°

：.六A。为半圆

•••尸。为圆的直行

由（1）知：MO是团0的切线

:.FDA.MD.

由题意得：力8垂直平分/C

:.EC=EF.

/.EC+EM=EF+EM=FM

Z.CFD=ZDAB,ZDAB=30'

ZCFD=30\

/W=8,

/.77）=8.

由（1）知：四边形CNDW为矩形

:.MD=NC.

ONLHC

:.CN=-BC.

2

在R9CB中

BC

sinZ.CAB=,

AB

5c=八8.sin60°=8x—=A瓜

2

:.MD=CN=-BC=2y/3.

2

在Rt\FDM中

MF=〃＞尸+山=也+（2扬2=2M

・•.EC+EW的最小值为例/=2M.

解：如图

厂。2f分/4C8,ZACB=90\

ACF—乙BCF=45

/BAF=NBCF=45

力。平分N84C,

:.ZCAD=ZBAD

NPAF=NBAD+NBAF,NAPF=ZACF+NCAD,

/.NPAF=NAPF,

/.AF=FP.

:.FC=FP+CP=AF+3.

NFAB=ZACF=45°,NF=£F,

：.^FAEAFCA

.FAFE

"~FC~~FA'

：.FAi=FEFC=4(AF+3).

AF2-4AF-12=0.

解得4尸=6或A/=一2(不合题意，舍去)

.\AF=6.

M

【点睛】本题是一道圆的综合题，此题考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，轴对

称的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，连

接半径。。和利用轴对称中的将军饮马模型找出EC+EM存在最小值是解题的关键.

5.如图，四功形ABCD内接二回O,AC为直径.AC和BD交干点E.AB=BC.

（1）求团ADB的度数；

（2）过B作AD的平行线，交AC于F,试判断线段EA,CF,EF之间满足的等量关系，并说明理由；

（3）在（2）条件下过E,F分别作AB,BC的垂线，垂足分别为G,H,连接GH,交B0于M,若

AG=3,S四边形AGMO：S四边形CHMD=8：9,求团。的半径.

BRB

DDD

备用图1备用图2

【答案】(1)45°：(2)EA2+CF』EF2,理由见解析；(3)672

【分析】(1)由直径所对的圆周角为直角及等腰三角形的性质和互余关系可得答案：

(2)线段EA,CF,EF之间满足的等量关系为：EA?+CF2=EF2.如图2,设团ABE=a,回CBF呻，先证明

a+B=45°,再过B作BN团BE,使BN=BE,连接NC,判定4AE暄回CNB(SAS)、△BFEE0BFN(SAS),然

后在Rt^NFC中，由勾股定理得：CF2+CN2=NF2,将相关线段代入即可得出结论；

(3)如图3,延长GE,HF交于K,由(2)知EA2+CF2=EF2,变形推得S》BC=S矩形BGKH，S》GM=S四边

杉COMH，SABMH=S四边形AGM。,结合已知条件S内边形AGMO：S四边形CHMO=8：9»设BG=9k»BH=8k＞则CH=3+k,

求得AE的长，用含k的式子表示出CF和EF,将它们代入EA2+CF2=EF2,解得k的值，则可求得答

0AC为直径,

团团ABC=90°,

团团ACB+13BAC=9O°,

0AB=BC,

00ACB=0BAC=45°,

团圆ADB=MCB=45°；

(2)线段EA,CF,EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2=EF2.理由如下:

如图2,设SABE=a,0CBF=p,

0AD0BF,

00FRF=(?IADR=45O,

又用ABC=90°,

0a+p=45°,

过B作BNE1BE,使BN=BE,连接NC,

团AB=CB,SABE=[3CBN,BE=BN,

00AEB00CNB(SAS),

□AE=CN,0BCN=0BAE=45\

00FCN=9O°.

00FBN=a+P=0FBE,BE=BN,BF=BF,

00BFE00BFN(SAS),

0EF=FN,

团在RtSNFC中，CF2+CN2=NF2,

0EA2+CF2=EF2；

(3)如图3,延长GE,HF交于K,

B

Fh(2)EA2+CF2=EF2,

0^EA2+^-CF2=yEF2,

0SAAGE+SACFH—SAEFK，

0SAAGE+SACFH+S八边形BGEFH=SAEFK+Sh边形BGEFH，

即SAABC-Sm形BGKH'

HSAABC=yS电形BGKH，

HSAGBH—SAABO-SACBO»

团SABGM=S四边形COMH，SABMH=S四边形AGMO，

团S四边形AGMO：S四边影CHMO=8：9,

团SA8MH：SABGM=8：9,

0BM平分用GBH,

团BG：BH=9：8,

设BG=9k,BH=8k,

团CH=3+k,

团AG=3,

0AE=3V2，

0CF=V2(k+3),EF=72(8k-3),

0EA2+CF2=EF2,

回(3&)2+[五伏+3)『=[V2(8K-3)]2,

整理得：7k2-6k-1=0,

解得：ki=-y(舍去)，k2=l.

0AB=12,

团AO=¥AB=6夜，

团团。的半径为6&.

【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的相关性质及定理、全等三角形的判定与性质、多边形的

面积公式、勾股定理及解一元二次方程等知识点，熟练运用相关性质及定理是解题的关键.

6.已知./18C内接于•回O,团口C的平分线交回。于点。，连接。8,DC.

(1)如图①，当财力C=120°时，请直接写出线段力3,4C,4)之间满足的等量关系式；

(2)如图②，当勖力C=90。时，试探究线段/出，AC,力。之间满足的等量关系，并证明你的结论；

(3)如图③，若BC=m,BD=n,求的值(用含加，〃的式子表示).

AB+AC

14

【答案】(1)AB+AC=AD；(2)AB+4C=&AD,理由见解析•：(3)—

m

【分析】(1)在力。上截取力£=力&连接4E,由条件可知QL48E和团8c。都是等边三角形，可证明

^BED^BAC,可得QE=/C,则48+/C=/1Q；

(2)延长力8至点M,使连接。M,证明团MBQamCQ,可得必。=4。，证得48+/C=

无AD；

(3)延长至点N,使用V=4C,连接ON,证明帆80皿CQ,可得ND=AD,W=^CAD,证

WAD^CBD,可得把=把，可由4N=4?+4C,求出的值.

ANBCABA-AC

【详解】解：(1)如图①，在力。上截取力石=/&连接8E,

图①

能1历1C=12O°,OA4c的平分线交回。于点Q,

团团。8。=团。力。=60°,团。。8=团胡。=60°,

的485和鲂CQ都是等边三角形，

团财8£=团。8C=60°,

团团。5七=曲〃。，

又出18=4E,BC=BD,

WED^BAC(SAS),

WE=AC,

^AD=AE+DE=AB+ACi

故答案为：AB+AC=AD.

(2)AB+AC=y{2AD.理由如下：

如图②，延长力〃至点.”，使连接DW,

团四边形ABDC内接于团O,

团团M4Q=0JCO,

团团84Q=回。0=45°,

田BD=CD,

00MBD0a4CD(SAS),

^1MD=AD,(3M=0C4O=45°，

^AM=42AD,B|JAB+BM=42ADt

BAB+AC=42ADI

(3)如图③，延长44至点M使,BN=4C,连接。M

A

团四边形/4。。内接于mO,

豳NBQ=0JCQ,

^BAD=XAD,

©BD=CD,

WNBD®8(SAS),

国ND=AD,mN=0。。,

^mN=^NAD=mDBC=^DCB,

豳Ml。函C8。，

ANAD

团---=---,

BCBD

ADBD

0-----=------，

ANBC

乂AN=AB+BN=AB+AC,BC=m,BD=n,

ADBDn

0--------------------=—.

AB+ACBCm

【点睛】本题属于圆的综合题，考杳了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定

和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线解决问题.

7.A3C内接于O,CA=CB,BD为，O的直径，NDBC=30。.

（2）如图2,弦AB交BC于点F,点G在EC上，/BAF=/GAF,求证：FB=FG；

（3）如图3,在（2）的条件下，弦BH分别交AF,AG于P,Q两点，PO=DH=&,AC=3出，

求QG的长.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）QG=V7.

【分析】（1）连接CD,根据直径所对的圆周角是90度，解得NAOC=60。，继而证明人8C为等边

三角形；

（2）由（1）中结论，结合等边三角形与圆周角定理，可证明NAGC=NACG,冉由等角对等边性

质，得到AG=AC,进一步证明△BAF且△GARSAS）,即可解题；

（3）过点0作OL_LP〃，点L为垂足，由中位线性质得到=根据正弦定义，解得

NOPL=3。。,连接AH,延长P。交AH于点M,构造等边三角形△〃步,然后，连接AD,通过解

直角三角形△A8。，得到用）=2，五，在直角三角形△8D”，利用勾股定理得BH=9,继而根据垂

径定理可证明BL=LH=j,再通过解直角三角形一。“得到P/.=■!，由图中线段的和差关系得到PH=6.

BP=3,在等边三角形△4〃＞中，得到AP=PH=6,最后连接BE,DPE,根据等边三角

形的性质和平行线的判定定理推知PQ//EG,结合平行线截线段成比例求得QG=".

【详解】（1）证明：连接CD

0BD为的直径，

0ZBCD=9O°

0ZD^C=30°,

团Z.BDC=90°-NDBC=60°

0ZR4C=ZBDC=60°

0C4=CB,

团A8C为等边三角形

（2）团,ABC为等边三角形

0Z/1BC=Z4CB,

0ZE=ZABC,

0zS4CB=Z£

0ZBAF=ZGAF,/BAF=/BCE,

⑦/GAF=ZBCE

0ZACB+/BCE=NE+4GAF

团NAGC=NE+NGV,

0ZAGC=ZACG,

回AG=AC

（3.58。为等边三角形，

^AC=AB,

^\AB=AG

^\ZBAF=ZGAF,AF=AF

0FB—FG

A

(3)过点。作。L_LPH,点L为垂足

团点0为圆心，

国BL=LH

0BO=OD,

^OL=-DH

2

中PO=DH,

^OL=-PO

2

在RgPOL内,sinZOPL=-^=l,

回NOPL=30。

连接AH,延长PO交AH于点M,

团ABC为等边三角形，0Z4CB=6O°,

(3NA”8=NAC8=60。

04PMH=180-ZAHB-ZOPL=90,

A.AH

^AM=MHt

PA=PH

回NA"尸=60。，

团△AHP为等边三角形

连接AD,

田BD为。的直径，

(3/840=90。

团./3。为等边三角形,

HAB-AC-3x/7

0ZAT>B=Z4CB=6O°

团在心A3。内，sinZ/1DB=—,BD=~^—=25

BDsin60°

0BD为（。的直径，

田NBHD=90。

在RBDH内,BD2=BH2+DH2,

^BH=9

田OLtPH,

9

⑦BL=LH=—

2

pj

在RiPOL内,cosZOPL=-^

0ZOPL=3OO,

0PL=V3x—=-,

22

团P”=6,BP=3

团△AH尸为等边三角形，

团AP=P”=6,ZAPH=60°

连接BE,

图NBEA=NACB=go/BPE=NAPH=

0ZPBE=6O°,

0NPBE=/BPE=NBEA，

⑦ABPE为等边三角形

®PE=PB=3,

团A£=9

0ZAEC=ZABC=ZBPE=60°,

"Q〃EG,

网QGPE

AGAE

13AG=AC=3«,

团QG=V7

A

5VF

【点睛】本题考查圆的综合题，解题过程中涉及圆周角、垂径定理、等边三角形的判定与性质、平

行线的判定与性质以及平行线截线段成比例等知识点，难度较大，注意作辅助线是解题关键.

8.定义：若抛物线广），=加+法+。的图象恒过定点”（如%）,则称Ma。,为）为抛物线上的“不动

点”.已知：若抛物线£:y=加一*+x+l（a<0）.

AO

（1）求抛物线L的不动点坐标；

（2）如图1,已知平面直角坐标系中A（TO）、8（10）、C（3,0）,以点8为圆心，OB为半径作财，

点P为骷上一点，将点C绕点P逆时针旋转90。得到点C,当点P在08上运动时，求线段AC长

度的最大值；

（3）在（2）的条件下，若抛物线L的对称轴是直线》=2：

①求抛物线人的解析式；

②如图2,若直线PC交抛物线L千点石（司,乂）、尸。”3交v轴干点Q，平面内一点”坐标为

”（4夜,&）,记"=1七-占1,当点尸在回8上运动时，求（野■产的取值范围.

【答案】（1）（0,1）和（2,3）；（2）34；⑶@y=-l（A-2）*2+3@-<f^'f

22\d）1396

【分析】（1）将函数关系式变形即可得出当炉-21=。时，？值不受。影响，求出定点坐标即可；

（2）用相似三角形得出c的轨迹，然后分析得出最大值即可；

（3）①利用对称轴公式求解出〃的值，即可得出函数关系式；②根据点到直线的距离求出女的取

值范围,用女表示出艮J可求解出取值范围;

【详解】解：(1)y=ax2-2ax+x+\=a(x2-2x)+x+\

当Y—2x=0时，＞值不受。影响

解得％=o,再=2

当x=0时，J=1

当x=2时，y=3

国恒过定点(0,1)和(2,3)

即抛物线L的不动点坐标是(0,1)和(2,3)

故答案为(0,1)和(2,3)

(2)如图所示，过点〃作8建工轴，使BQ=BC=2

在《B取一点P,作RPCC

则是直角三角形

Q叵PC=CC'，\[2BC=QC

又团N8"=NQCC

©..PBCs.CQC

©CQ=&PB=&

同点C是以。为圆心，行为半径的圆，

如图所示，A、Q、C'共线时，4c最大

0A(2=2A/2,AC=AQ+OC=3y/2

故答案为3五；

(3)①y=or?-2ax+x+1=ax~+(1-2a)x+1

团对称轴为x=2

c1-2a.

0------=2

2a

Ria=—

2

回y=-;*-2)2+3

故答案为y=_g（x—2）2+3

②团律过点C（3,0）

ia设所函数关系式为y=Hx-3）,则。（o,-34）

y-)

11CI

y=一一x"+2x+l

2

B-^x2+(2-k)x+3k+\=0

bA.

x^+x2=——=4-2k

当EF与'B相切时，点8到直线痔的距离为1

a-t==i,解得k=±立

y/k2+13

回攵的取值范围是-立@

33

d~=(|x-动~=(4]-4-工2=4/+8A+24

QH2=(4V2)2+(2+3攵)2=9/+12々+36

当A-0时，d-=24,Q〃2=36,(空)=|

(QH^=9公+12&+36二932k+6

当女工0时,[~d~)~4k2+Sk+24_4_4F+2A+6

令!=/,贝lj/之后或/K一石

K

2k+611

k2+2k+6~~i?-1-

-----+1------+1

2左+6*6/+2)

团或fW-JJ

0r(6r+2)>18-2N/3

11,165+75

团ni1<------+1<-----产+1=-------

f⑹+2)18-2V3156

目]:2k+6之1562x(165-73)

>7+2攵+6-16573=349-

⑸33,2k+6、,3x(165-73)

回---<----(-------------)<-----------------

44r+2后+6698

393,2k+6.93x(165-6)2151+66

5<厂加+2八6y__-

1396

2151+675

1396

综上所述H阴“笔^

故答案为3d型］、咏述

2yd)1396

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、旋转、函数的最值、动点问题等，其

中用韦达定理处理复杂数据，数形结合是此类题目的一种基本方法.

9.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于力、B两点,与y轴交于点C(0.6),抛

物线的顶点坐标为石(2,8),连结AC、BE、CE.

(1)求抛物线的表达式;

(2)判断团5CE的形状，并说明理由:

(3)如图2,以C为圆心，桓为半径作用。，在团。上是否存在点尸，使得的值最小，若

【答案】(1)片-：/+〃+6；(2)直角三角形，见解析；(3)存在，R型

【分析】(1)用待定系数法求函数解析式；

(2)分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；

(3)在C£1上截取。尸=立(即CT等于半径的一半)，连接8尸交回。于点P,连接£7\则8尸的长

2

即为所求.

【详解】解：(1)团抛物线的顶点坐标为石(2,8),

团设该抛物线的表达式为片a(x-2)2+8,

团与y轴交于点C(0,6),

团把点C(0,6)代入得：。=-；，

因该抛物线的表达式为产-39+入+6：

(2)(38CE是直角三角形.理由如下：

团抛物线与x轴分别交于力、E两点，

0当.y=0时，-g(x-2)7+8=0,解得：xi=-2,x/=G,

BA(-2,0),B(6,0),

团8c2=62+62=72,CE2=(8-6)2+22=8,BE2=(6-2)2+82=80,

^BE2=BC2+CE2,

005CE=9O0,

宛厉CE是直角三角形;

(3)如图，在CE上截取CG正(即C五等于半径的一半)，连接外'交班'于点P,连接石P,

2

CFCP\

回=—=—，

CPCE2

CFFP1

0——==—»FP=；EP,

CPPE2

gBF=BP+；EP,

由“两点之间，线段最短”可得：4户的长即8P为最小值.

1?1CF=-CE,E(2,8),

4

22、两

国BF==-----

2七2

【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的

性质,相似三角形的判定和性质等，撅目综合性较强，属F中考压轴撅，熟练掌握二次函数图象和

性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键.

10.如图，是0。的直径，弦CD_LAB于点H,连接AC,过8D上一点E作EG//AC交C。的

延长线于点G,连接人七交C。于点尸，且GE=GF,连接C£

A

（1）求证：EG是。的切线；

（2）延长A4交GE于点例，若喘=：，DC=86，求的值.

HG4

【答案】（1）证明见解析；（2）”也