2023-2024学年北京市西城区中考数学四模试卷含解析

2023-2024学年北京市西城区重点名校中考数学四模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是()

2.定义运算：a*b=2ab.若a,b是方程x2+x.m=0(m>0)的两个根，则(a+1)*a-(b+1)*b的值为()

A.0B.2C.4mD.-4m

3.如图，点P(x,y)(x>0)是反比例函数(k>0)的图象上的一个动点，以点P为圆心，OP为半径的圆与

X

X轴的正半轴交于点A,若小OPA的面积为S,则当x增大时，S的变化情况是()

A.S的值增大B.S的值减小

C.S的值先增大，后减小D.S的值不变

4.若a+b=3,4：+方：=，，则ab等于()

A.2B.1C.-2D.-1

5.如图，已知AAKC,按以下步骤作图：①分别以凡C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M,

N；②作直线MN交AB于点D,连接CD.若CO=AC,ZA=50c,则NAC5的度数为()

A.90°B.95°C.105°D.110°

6.下列运算正确的是（）

B.(3a3)2=6a6

C.(a+h)2=a2+h2D.(〃+2)(〃-3)=6/*-a-6

7.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中，能作为一个

智慧三角形三边长的一组是（）

A.1,2,3B.1,1,72C.1,1,6D.1,2,6

8.为了节约水资源，某市准备按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增，计划使第一档、第二档和第三档

的水价分别覆盖全市居民家庭的80%,15%和5%.为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该市5万户居民家庭上

一年的年用水量（单位：〃”），绘制了统计图，如图所示.下面有四个推断:

①年用水量不超过180ml的该市居民家庭按第一档水价交费；

②年用水量不超过240m1的该市居民家庭按第三档水价交费；

③该市居民家庭年用水量的中位数在150~180mi之间；

④该市居民家庭年用水量的众数约为110m）

其中合理的是（）

A.①@B.①@C.②③D.②④

9.如图，在矩形ABCD中，AB=O,AD=2,以点A为圆心,AD的长为半径的圆交BC边于点E,则图中阴影部

分的面积为（）

A.2>/2—1-----B.2>/2—1----C.2>/2—2-----D.2>/2—1-----

3224

10-如图'已知线段AB'分别以A'B为圆心，大于;AB为半径作弧'连接弧的交点得到直线L在直线I上取一点

C,使得NCAB=25。，延长AC至点M,则NBCM的度数为（)

11.已知一组数据a,b,c的平均数为5,方差为4,那么数据a・2,b・2,c・2的平均数和方差分别是.（）

A.3,2B.3,4C.5,2D.5,4

12.如阿，从一块圆形纸片上剪出一个圆心角为90。的扇形ABC,使点A、B、C在圆周上,将剪下的扇形作为一个圆锥

侧面，如果圆锥的高为3而077,则这块圆形纸片的直径为（）

A.12cmB.20cmC.24cmD.28cm

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.在平面直角坐标系中，智多星做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向上走1个单位，第2步向上

走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位……依此类推，第n步的走法是：当n被3除，余数为

2时，则向上走2个单位；当走完第2018步时，棋子所处位置的坐标是_____

14.如图所示，三角形ABC的面积为Icm）AP垂直NB的平分线BP于P.则与三角形PBC的面积相等的长方形是

（）

0.5cm

0.9cm

D0.5cm

1.2cm

15.若尸立一3+J3-X+2,则第'=

16.如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线产a(x-3『+k与》轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且

17.若2x+y=2,则4x+l+2y的值是.

18.分解因式：mx2-6mx+9m=.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)(定义)如图1,A,B为直线1同侧的两点，过点A作直线1的对称点A。连接交直线I于点P,连

接AP.则称点P为点A,R关于直线1的“等角点”.

(运用)如图2,在平面直坐标系xOy中，已知A(2,VW)，B(-2,-Q)两点.

(1)C(4,y),D(4,y),E(4,9三点中，点是点A,B关于直线x=4的等角点;

(2)若直线1垂直于x轴，点P(m,n)是点A,B关于直线1的等角点，其中m>2,ZAPB=a,求证：tan=1；

JJ

(3)若点P是点A,B关于直线)=@*+1)(a/))的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当NAPB=60。时，求b的

(1)X2-4^-3=0;(2)(X-1)2-2(X2-1)=0

21.(6分)如图，以40〃心的速度将小球沿与地面成30。角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考

虑空气阻力，小球的飞行高度无(单位：山)与飞行时间，(单位：s)之间具有函数关系/，=10”5巴小球飞行时间

是多少时，小球最高？最大高度是多少？小球飞行时间(在什么范围时，飞行高度不低于15/〃？

22.（8分）如图,AB=16,O为AB中点点C在线段OB上（不与点O,B重合），将OC绕点O逆时针旋转270。后得到扇

形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P,Q,且点P,Q在AB异侧，连接OP.

求证：AP=BQ；当BQ=4g时，求QO的长（结果保留乃）；若AAPO

的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围.

23.（8分）读诗词解题：（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）

大江东去浪淘尽，千古风流数人物;

而立之年督东吴，早逝英年两位数;

十位恰小个位三，个位平方与寿符;

哪位学子算得快,多少年华属周瑜?

24.（10分）关于x的一元二次方程（m+2）=0有两个不相等的实数根.求利的取值范围；若切为符合条件

的最小整数，求此方程的根.

25.（10分）如图，△ABC内接于。O,过点。作8C的垂线交。O于点E在8C的延长线上，且NO£C=NBAC.求

证：是。。的切线；若AC〃OE,当A8=8,CE=2时，求。。直径的长.

26.（12分）如图1,2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60m,底座BC与支架AC所成

的角NACB=75。，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为Im,HF段的长为l.50m,篮板底部支架HE的

长为0.75m.求篮板底部支架HE与支架AF所成的角ZFHE的度数.求篮板顶端F到地面的距离.（结果精确到0.1m；

参考数据：cos75°=0.2588,sin75Ko.9659,tan75°=：3.732,6川.732,拉=1.414)

27.（12分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品.公司按订单生产（产

量;销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件.此产品年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足

函数关系式y=・x+l.求这种产品第一年的利润Wi（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式；该产品第一年的利

润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）

再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件.为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，

另外受产能限制，销售量无法超过12万件.请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，母小题4分，共48分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

根据中心对称图形的概念进行分析.

【详解】

A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是中心对称图形，故此选项错误；

故选：C.

【点睛】

考查了中心对称图形的概念.中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

2、A

【解析】【分析】由根与系数的关系可得a»b=-l然后根据所给的新定义运算a*b=2ab对式子(a+1)*a・(brl)*b用新定

义运算展开整理后代入进行求解即可.

【详解】Va,b是方程x2+x・m=0(m>0)的两个根，

a+b=-L

•・•定义运算：a*b=2ab,

(a+1)*a-(b+1)*b

=2a(a+l)-2b(b+l)

=2a2+2a-2b2-2b

=2(a+b)(a-b)+2(a-b)

=-2(a-b)+2(a-b)=0,

故选A.

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义运算等，理解并能运用新定义运算是解题的关键.

3、I)

【解析】

作PBYOA于5,如图，根据垂径定理得到。6A3,则SAPOB=S^PAB,再根据反比例函数k的几何意义得到SApoB=~\k\t

2

所以3=方，为定值.

【详解】

作P3_L0A于3,如图，贝产SA/MS.

•・・SA/W=L|川，.・.S=2A,.・・S的值为定值.

2

故选D.

【点睛】

L

本题考杳了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数严一图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,

x

与坐标轴围成的矩形的面积是定值I&I.

4、B

【解析】

Va»b=3»

：•(a+b)2=9

・'.a2+2ab+b2=9

Va2+b2=7

A7+2ab=9,7+2ab=9

/.ab=l.

故选B.

考点：完全平方公式；整体代入.

5、C

【解析】

根据等腰三角形的性质得到NCDA=NA=50。，根据三角形内角和定理可得NDCA=80。，根据题目中作图步骤可知，

MN垂直平分线段BC,根据线段垂直平分线定理可知BD=CD,根据等边对等角得到NB=NBCD,根据三角形外角性

质可知NB+NBCD=NCDA,进而求得NBCD=25。，根据图形可知NACB=NACD+NBCD,即可解决问题.

【详解】

VCD=AC,ZA=50°

AZCDA=ZA=50°

VZCI)A+ZA+ZDCA=180°

:.ZDCA=80°

根据作图步骤可知，MN垂直平分线段BC

.*.BD=CD

/.ZB=ZBCD

VZB+ZBCD=ZCDA

A2ZBCD=50°

AZBCI)=25°

:.ZACB=ZACD+ZBCD=80o+25o=105°

故选C

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、线段垂直平分线定理以及三角形外角性质，熟练掌握各个性质定

理是解题关键.

6、D

【解析】

【分析】根据同底数塞的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的法则逐项进行计算即可得.

【详解】A・a2-a5=a7,故A选项错误，不符合题意；

B.(3a3)2=9a6,故B选项错误，不符合题意；

C.(a+b)2=a2+2ab+b2,故C选项错误，不符合题意；

D.(a+2)(a-3)=a2-a-6,正确，符合题意，

故选D.

【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握同底数幕的乘法、积的乘方、完全平方公式、多项式乘法的运算法则是解

题的关键.

7、D

【解析】

根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；

B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；

C、解直角三角形可知是顶角120。，底角30。的等腰三角形，依此即可作出判定；

D、解直角三角形可知是三个角分别是9。。，60°,30“的直角三角形，依此即可作出判定.

【详解】

,・T+2=3,不能构成三角形，故选项错误；

B,V12+12=(V2)2,是等腰直角三角形，故选项错误；

C、底边上的高是(且)2=_1,可知是顶角120。，底角30。的等腰三角形，故选项错误；

V22

D、解直角三角形可知是三个角分别是90。，60。，30。的直角三角形，其中90。・30。=3,符合“智慧三角形”的定义，故

选项正确.

故选D.

8、B

【解析】

利用条形统计图结合中位数和中位数的定义分别分析得出答案.

【详解】

①由条形统计图可得：年用水量不超过180ml的该市居民家庭一共有(0.25+0.75+1.5+1.0+0.5)=4(万)，

4

-xl00%=8()%,故年用水量不超过180ml的该市居民家庭按第一档水价交费，正确；

②;年用水量超过240ml的该市居民家庭有(0.15+0.15+0.05)=0.15(万)，

035

・•・」一xl(W%=7%,5%,故年用水量超过24。1幡的该市居民家庭按第二档水价交费，故此选项错误；

5

③二飞万个数据的中间是第25000和25001的平均数，

，该市居民家庭年用水量的中位数在120-150之间，故此选项错误；

④该市居民家庭年用水量为110ml有15万户，户数最多，该市居民家庭年用水量的众数约为110ml因此正确,

故选B.

【点睛】

此题主要考查了频数分布直方图以及中位数和众数的定义，正确利用条形统计图获取正确信息是解题关键.

9、B

【解析】

先利用三角函数求出NA4£=45。，贝!N，4E=45。，然后根据扇形面积公式，利用图中阴影部分的面积

=S矩形A8C”-SAABE-S座彩进行计算即可.

【详解】

ABR

解：9：AE=AD=2而AB=O,：.cosZBAE=——=—,AZBAE=450工BE=AB=母,ZBEA=45°.

fAE2f

,・FD〃3C,・・・NZME=N“EA=45。，・••图中阴影部分的面积=S矩形.0)-34附-5*形""=2'页--x72x-

故选B.

【点睛】

本题考查了扇形面积的计算.阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法.求阴影面积的主要思路是将不

规则图形面积转化为规则图形的面积.

10、B

【解析】

解：•・,由作法可知直线/是线段Ab的垂直平分线，

：.AC=BCf

：.ZCAB=ZCBA=25°t

:.ZBCM=NCAB+N。84=25。+25。=50。.

故选B.

11、B

【解析】

试题分析：平均数为1(a-2+b-2+c-2)=1(3x5-6)=3；原来的方差：-5)，♦(6・歹•(C-5)二1=4；新

333L」

的方差：(a-2-3)*+(fr-2-3)**♦,(c-2-3)2l=-r(a-5):*(i-5)**(c-5):l=4,故选B.

3。J3L」

考点：平均数；方差.

12、C

【解析】

设这块原形纸片的半径为K,圆锥的底面圆的半径为，，利用等腰直径三角形的性质得到利用圆锥的侧面

展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到2"="上画，解得后也R,然后利用勾股定理得到

1804

(&K)2=(3回)2+(也R)2,再解方程求出R即可得到这块圆形纸片的直径.

4

【详解】

设这块眼形纸片的半径为此圆锥的底面圆的半径为「，则凡根据题意得：

2口及R,解得：口立R,所以(0A)2=(3同)2+(互R)2,解得：R=12,所以这块圆形纸片的直

18044

径为24cin.

故选C.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的

母线长.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、(672,2019)

【解析】分析：按照题目给定的规则，找到周期，由题意可得每三步是一个循环，所以只需要计算2018被3除，就可

以得到棋子的位置.

详解：

解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右1个单位，向上3个单位，

:2018+3=672・,.2,

・•・走完第2018步，为第673个循环组的第2步，

所处位置的横坐标为672,

纵坐标为672x3+3=2019,

・,・棋子所处位置的坐标是(672,2019).

故答案为：(672,2019).

点睛：周期问题解决问题的核心是要找到最小正周期，然后把给定的数(一般是一个很大的数)除以最小正周期，余

数是几，就是第几步，特别余数是1,就是第一步，余数是0,就是最后一步.

14、B

【解析】

过P点作PE±BP,垂足为P,交BC于E,根据AP垂直NB的平分线BP于P,即可求出^ABP^ABEP,又知△APC

和ACPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积.

【详解】

解：过P点作PE_LBP,垂足为P,交BC于E,

ZABP=ZEBP,

又知BP=BP,ZAPB=ZBPE=90°,

AAABP^ABEP,

/.AP=PE,

VAAPC和4CPE等底同高，

SAAPC=SAPCE,

，三角形PBC的面积三角形ABC的面积=[cmi,

22

选项中只有B的长方形面积为gcml

2

故选B.

15、1.

【解析】

试题分析：y=Jx-3+J3—x+2有意义，必须塞一320,3-xNO,解得：x=3,代入得：y=0+0+2=2,；・炉=3?=1.故

答案为L

考点：二次根式有意义的条件.

16、18o

【解析】

根据二次函数的性质，抛物线y=a(x-3)2+k的对称轴为x=3。

YA是抛物线y=a(x-3『+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB〃x轴。

:.A,B关于x=3对称。・・・AB=6。

又•••△ABC是等边三角形，，以AB为边的等边三角形ABC的周长为6x3=18。

17、1

【解析】

分析：将原式化简成2(2x+y)+L然后利用整体代入的思想进行求解得出答案.

详解：原式=2(2x+y)+l=2x2+l=l.

点睛：本题主要考查的是整体思想求解，属于基础题型.找到整体是解题的关键.

18、m(x-3)L

【解析】

先把二提出来，然后对括号里面的多项式用公式法分解即可。

【详解】

口口―匚二+9口

=二(二：-仁+夕)

二叩田

【点睛】

解题的关键是熟练掌握因式分解的方法。

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)C(2)e(3)bV■;且b黄・2\：或b>7V3

JJ

【解析】

(1)先求出B关于直线x=4的对称点B，的坐标，根据A、B，的坐标可得直线AB，的解析式，把x=4代入求出P点的

纵坐标即可得答案；(2)如图：过点A作直线1的对称点A，，连A，B，，交直线1于点P,作BHJL1于点H,根据对称

性可知NAPG=ATG,由NAGP=NBHP=90。可证明△；\GP^ABHP,根据相似三角形对应边成比例可得m=^

根据外角性质可知NA=NA，=,在RtAAGP中，根据正切定义即可得结论；(3)当点P位于直线AB的右下方，

NAPB=60。时，点P在以AB为弦，所对圆周为60。，且圆心在AB下方，若直线y=ax+b(a,0)与圆相交，设圆与直

线产axib(a/0)的另一个交点为Q

根据对称性质可证明AABQ是等边三角形，即点Q为定点，若直线y=ax+b(a*0)与圆相切，易得P、Q重合，所以

直线y=ax+b(a#))过定点Q,连OQ,过点A、Q分别作AM_Ly轴，QN_Ly轴，垂足分别为M、N,可证明

△AMO-AONQ,根据相似三角形对应边成比例可得ON、NQ的长，即可得Q点坐标，根据A、B、Q的坐标可求

出直线AQ、BQ的解析式，根据P与A、B重合时b的值求出b的取值范围即可.

【详解】

(1)点B关于直线x=4的对称点为B，(10,-0),

二直线AB懈析式为：y=■亍二一9,

当x=4时，丫=三，

故答案为：C

(2)如图，过点A作直线1的对称点"，连交直线I于点P

作BH_L1于点H

・・•点A和关于直线I对称

/.ZAPG=ZATG

VZBPH=ZATG

AZAPG=ZBPH

VZAGP=ZBHP=90°

.•.△AGP^ABHP

・30DOZ-；C-二

••三=5?B即n三3=彳，

/.mn=2\即m=T,

VZAPB=a,AP=APr,

AZA=ZAr=S

3

在RtAAGP中，ta咔=rr=T—T=7

p

BH

(3)如图，当点P位于直线AB的右下方，NAPB=60。时,

点P在以AB为弦，所对圆周为60。，且圆心在AB下方

若直线y=ax+b(a/))与圆相交，设圆与直线y=ax+b(a#0)的另一个交点为Q

由对称性可知：ZAPQ=ZATQ,

XZAPB=60°

AZAPQ=ZATQ=60°

，NABQ=NAPQ=60°,ZAQB=ZAPB=60°

AZBAQ=60°=ZAQB=ZABQ

•••△ABQ是等边三角形

・・,线段AB为定线段

・••点Q为定点

若直线y=ax+b(a,0)与圆相切，易得P、Q重合

，直线y=ax+b(a,0)过定点Q

连OQ,过点A、Q分别作AM_Ly轴，QN_Ly轴，垂足分别为M、N

VA(2,H)，B(-2,-<3)

AOA=OB=\

•••△ABQ是等边三角形

AZAOQ=ZBOQ=90°,OQ=、f二二=\77,

AZAOM+ZNOD=90°

又「ZAOM+ZMAO=90°,ZNOQ=ZMAO

VZAMO=ZONQ=9()0

/.△AMO^AONQ

.2DDOQC

…口厂DO-CJC'

•,乃=三=不，

AON=2V3,NQ=3,・・・Q点坐标为（3,-2V?）

设直线BQ解析式为y=kx+b

将B、Q坐标代入得

，直线BQ的解析式为：y=邛匚一斗,

设直线AQ的解析式为：y=mx+n,

将A、Q两点代入

解得二

（一=\l3.

・,・直线AQ的解析式为：y=・3、*?二一入弓,

若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，b=■苧,

若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，b=、q,

又..'uax+b（aRO）,且点P位于AB右下方，

•；bV-丁且bR-2v＜或

【点睛】

本题考查对称性质、相似三角形的判定与性质、根据待定系数法求一次函数解析式及锐角三角函数正切的定义，熟练

掌握相关知识是解题关键.

20、(1)%=2+>/^,Xy=2—；(2)%=I,工2=-3•

【解析】

(1)利用公式法求解可得；

(2)利用因式分解法求解可得.

【详解】

(1)解：=h=-4fc=-3>

I.△=A二-4〃c=(-4y-4xlx(-3)=28>0,

-6±"2一4"4)±后_4±2疗

2土币，

F-i^\-—F

**•X1-2+5/7,w=2—5/7；

(2)解：原方程化为：*一1)2-2(1+1)*-1)=0,

因式分解得：(工一1升(工一1)一2(工+1)]=0,

整理得：(x-l)(-x-3)=O,

••x—1=0或—x—3=0>

：•X]=1,%2=-3.

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式

法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

21、(1)小球飞行时间是用时，小球最高为10m：(1)12.

【解析】

(1)将函数解析式配方成顶点式可得最值；

(1)画图象可得t的取值.

【详解】

(1)*：h=-5/'+10/=-5(t-1)410,

二当，=1时，A取得最大值10米；

答：小球飞行时间是1S时，小球最高为10加;

解得：h=1,八=3,

由图象得：当10K3时，后15,

则小球飞行时间1丕3时，飞行高度不低于15m.

【点睛】

本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函

数的性质是解题的关键.

14

22>(1)详见解析；(2)—万；(3)4<OC<1.

3

【解析】

(1)连接OQ,由切线性质得NAPO=NBQO=90。，由直角三角形判定HL得RtAAPOgR3BQO,再由全等三角

形性质即可得证.

(2)由(1)中全等三角形性质得NAOP=NBOQ,从而可得P、O、Q三点共线，在RtABOQ中，根据余弦定义可

得cosB=空，由特殊角的三角函数值可得NB=30。，NBOQ=60。，根据直角三角形的性质得OQ=4,结合题意可

OB

得NQOD度数，由弧长公式即可求得答案.

(3)由直角三角形性质可得△APO的外心是OA的中点，结合题意可得OC取值范围.

【详解】

(1)证明；连接OQ.

VAPsBQ是。。的切线，

AOP±AP,OQ±BQ,

AZAPO=ZBQO=90o,

在RtAAPO和RtABQO中，

OP=OQ

OA=OB'

/.RtAAPO^RtABQO,

AAP=BQ.

(2)VRtAAPO^RtABQO,

AZAOP=ZBOQ,

・••P、O、Q三点共线，

「在RtABOQ中,cosB=Z^=&叵=—,

0882

AZB=30o,ZBOQ=60°,

/.OQ=yOB=4,

VZCOD=90°,

:.ZQOD=90+600=150。，

小“210•万・414

•*.优弧QD的长=---------=—/r,

1803

(3)解：设点M为RIAAPO的外心，则M为OA的中点，

VOA=1,

AOM=4,

，当△APO的外心在扇形COD的内部时，OMVOC,

AOC的取值范围为4<OC<1.

【点睛】

本题考食了三角形的外接圆与外心、弧长的计算、扇形面枳的计算、旋转的性侦以及全等三角形的判定与性质，解题

的关键是；(1)利用全等三角形的判定定理HL证出RtAAPO^RtABQO；(2)通过解直角三角形求出圆的半径；(3)

牢记直角三角形外心为斜边的中点是解题的关键.

23、周瑜去世的年龄为16岁.

【解析】

设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为x-1.根据题意建立方程求出其值就可以求出其结论.

【详解】

设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x,则十位数字为由题意得；

2

10(x-1)+x=xt

解得：xi=5,刈=6

当x=5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；

当x=6时，周瑜年龄为16岁，完全符合题意.

答：周瑜去世的年龄为16岁.

【点睛】

本题是一道数字问题的运用题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，在解答中理解而立之年是一个人10岁的年

龄是关键.

9

24、(1)m>----；(2)xi=0,X2=l.

4

【解析】

解答本题的关键是是掌握好一元二次方程的根的判别式.

(1)求出△=5+4m>0即可求出m的取值范围；

(2)因为m=-l为符合条件的最小整数，把m=-l代入原方程求解即可.

【详解】

解：(1)△=1+4(m+2)

=9+4m>0

.9

..tn>—.

4

(2)・・・J〃为符合条件的最小整数，

/.m=-2.

，原方程变为V-x=()

••Xl=0>X2=1•

考点：1.解一元二次方程；2.根的判别式.

25、(1)见解析；(2)。。直径的长是4石.

【解析】

（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD_LDE,即可得出结论；

（2）先判断出ACJLBD,进而求出BC=AB=8,进而判断出△BDC^ABED,求出BD,即可得出结论.

【详解】

证明：（1）连接50,交AC于F,

*：DC±BEt

:.NBCO=NOCE=90。，

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