重庆市乌江新高考协作体2024届高三4月高考模拟监测（一）数学试题

重庆市乌江新高考协作体2024届高三4月高考模拟监测（一）数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。

1.已知集合M={0,l,2},N=国/-3久<0},则MUN=（）

A.{0,1,2}B.{1,2}

C.{x|0<%<3}D.{x|0<%<3]

2.若i为虚数单位，复数z=k，则2=（）

I

A.-1+iB.-1—iC.1—iD.1+i

3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,ai+a?=12且ai，ci2+6,a?成等差数列，则等为（）

A.245B.244C.242D.241

4.洪崖洞是具有重庆特色的吊脚楼式建筑，它的屋顶可近似看作一个多面体，右图是该屋顶的结构示意图，其

中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形，AB//CD//EF,△EAD和^FBC是两个全等的正三角

形.已知该多面体的棱BF与平面4BCC成的角45。，4B=20,BC=8,则该屋顶的侧面积为（）

A.80B.80V3C.160D.160V3

5.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=3（其中”=与1）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭

圆方程为乌+喧=1,（a>b>0）,若以原点。为圆心，短轴长为直径作。。『为黄金椭圆上除顶点外任意一

2

点，过P作O。的两条切线，切点分别为4B,直线AB与轴分别交于M,N两点，则湍平+^nR=（）

11

A.—B.（x）C.-（A）D.-----

33

1%+y—220,

6.在不等式组卜-y-2W0,所确定的三角形区域内随机取一点，则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于

（y<2,

1的概率是（）

.7T兀_yn­7T

A.QB.4一2c.1-gD.1—4

7.已知sin29+cos。与cos26+sin。都是非零有理数，则在sin。，cos。，tan。中，一定是有理数的有（）

1

个.

A.0B.1C.2D.3

8.定义max(a,b]={，:j,min(a,b}={，'：]彳，对于任意实数%>0,y>0,则min{max{2x,3y,表■+值■}}

的值是()

A.V2B.V2C.V3D.V3

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。

9.已知a>0,b>0,且a+b=2,贝1j()

A.a2+b2>2B.1<2a~b<4

2

C.log2(i+log2b>0D.a—b>0

10.已知/(%)=A2+%加》+2,=/(%)—ex,贝!J()

A.函数7•(£)在0,1]上的最大值为3

B.Vx>0,/(%)>2

C.函数gO)在(3,4)上没有零点

D.函数g(X)的极值点有2个

11.已知双曲线C:竽—产=1的左、右焦点分别为Fi，F2,左、右顶点分别为M,N,。为坐标原点，直线/

交双曲线C的右支于P,Q两点(不同于右顶点)，且与双曲线C的两条渐近线分别交于4B两点，则()

A.德.赤为定值

B.\PA\=\BQ\

C.点P到两条渐近线的距离之和的最小值为鱼

D.不存在直线1使而•丽=0

三'填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知正三角形4BC的边长为2,点O满足加=小刀+n区，且m>0,n>0,2m+n=1,则|而|的取

值范围是.

13.从教学楼一楼到二楼共有11级台阶(从下往上依次为第1级，第2级，…，第11级)，学生甲一步能上

1级或2级台阶，若甲从一楼上到二楼使用每一种方法都是等概率的，则甲踩过第5级台阶的概率是.

14.若函数/(%)=%]-(m-l)e2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是.

四'解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤。

15.如图，在圆锥。。中，。为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，。为底面圆的圆心，C为底面圆周上一点，

四边形。4ED为矩形.

2

(1)求证：平面3CD_L平面/CE；

(2)若AE=a,AC=2,BC=2B，求平面4DE和平面CDE夹角的余弦值

16.已知幕函数/(%)=久病-2»1-3(巾ez)为奇函数，且在区间(0,+8)上是严格减函数.

(1)求函数y=f(%)的表达式；

(2)对任意实数久e[Q],不等式/(x)〈t+4x恒成立，求实数/的取值范围.

17.三峡之巅景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票.为提高服务水

平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24.

(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，

求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率.

(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的

加(小〉2且znCN*)人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该

组标为否则该组标为8,记询问的某组被标为3的概率为p.

(i)试用含加的代数式表示必

(ii)若一共询问了5组，用g(p)表示恰有3组被标为B的概率，试求g(p)的最大值及此时机的值.

18.已知椭圆噎+餐=l(a〉b>0)的左、右顶点分别为A,B,C(a,V/D(—a,应b)，直线AC的斜率为，

3

直线AC与椭圆E交于另一点G,且点G到%轴的距离为小

（1）求椭圆E的方程.

（2）若点P是E上与点4B不重合的任意一点，直线P&PD与无轴分别交于点M,N.

①设直线PM.PN的斜率分别为理的，求|笛刍■］的取值范围.

②判断|4M|2+|BN|2是否为定值.若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由.

19.重庆江北国际机场T3B航站楼预计于今年完工，该建筑的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯曲

程度的重要指标是曲率.考察图所示的光滑曲线C：y=/O）上的曲线段卷，其弧长为As,当动点从/沿曲线段

部运动到8点时，/点的切线心也随着转动到8点的切线M，记这两条切线之间的夹角为△，（它等于％的倾斜

角与骏的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则

弯曲程度越大，因此可以定义R=|黑|为曲线段崩的平均曲率；显然当8越接近/,即As越小，K就越能精

确刻画曲线C在点/处的弯曲程度，因此定义曲线y=f（无）在点。/（吗）处的曲率计算公式为K=瑞|=

1―3-其中t(X)=/'(%).

(1+[/(切2)2

（1）求单位圆上圆心角为60。的圆弧的平均曲率;

（2）已知函数/（%）=/（久〉0）,求曲线y=/（%）的曲率的最大值;

(3)已知函数g(%)=6x12lnx—2ax3—9%2^(%)=2xex—4ex+ax2,a£(0,工)，若曲率为0时x

Y28

的最小值分别为孙孙求证：…

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：由/一3%<0,得到0<x<3,所以N={xiO(久<3},又因为M={0,1,2},

所以MUN={X[0WK<3}.

故答案为：C.

【分析】先求出集合N={%||<%<3},再利用集合的并集定义，即可求解.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：因为2=要=0要=二毕=1一i,所以2=l+i

II乙—1

故答案为：D.

【分析】先化简复数，再根据共辗复数定义求解即可.

3.【答案】B

【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q,ai+a2=a.+aiq=12

贝期+a1q2=2a1q+%+a1q,得q=3,

所以登=~5

内。](;1焉-33)、=1—3，=1+3=244

--1=3-

故答案为：A.

【分析】先根据等比数列通项公式联立方程组求公比，再代入等比数列的前n项和公式即可求解.

4.【答案】D

【解析】【解答】解：如图，过点F作FO1平面ABCD,O为垂足，作FN1AB于点N,连接OB,ON,

C

贝此FBO=45。，BC=BF=8,所以OF=OB=4V^.

在直角三角形FON中，易知ON=4,所以FN=4g，所以在直角三角形FBN中，BN=旧一(4可=生

EF=20-2x4=12»所以S梯形4BFE=+20)久4v5=64v5，S^FBC=字x82=16V3

，■该屋顶的表面积为2x(64旧+16V3)=160V3.

故答案为：D.

【分析】过点F作FOJ_平面ABCD,0为垂足，作FN1AB于点N,连接OB,ON,找到棱BF与平面4BCD

成的角ZFBO=45。，求出梯形4BFE的底EF、高FN,求出梯形4BFE面积和△FBC面积即可.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：依题意有OAPB四点共圆设点P坐标为P(.x0,y0),

则该圆的方程为：+y(.y-yo)=°>将两圆方程：/+y2=}2与

/一为r+y2-y0y=0相减，得切点所在直线方程为5：%%o+yyo-b2.

9』)+用一言=。解得用

联立

+yyo=b

因为为苦+<=1,

22222222

b?a_bd_bx0+ay0_a2b2_a_1_2_1

所以|0M|2+\0N\2=巫+近=P=*=京=1-«J2=Ts-i=M.

~2-2

xoyo

故答案为：A.

【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为PQo，yo),从而得出四点所在圆

的方程为%(%-%o)+y(y-yo)=。，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，联立方程求得M、N

两点坐标，代入椭圆方程即可.

则该点到此三角形的三个顶点的距离均不大于1的区域为三个扇形,

三个扇形的和是半圆，半圆面积s=g,所以三角形区域内随机取一点，

则该点到此三角形的三个顶点的距离均大于1的概率：

71

P=1—2=1一工

r1418

故答案为：C.

【分析】画出关于x,y的不等式组所构成的三角形区域，求出三角形的面积，再求出距三角形的三个顶点距

离小于等于的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆面积，利用对立事件概率计算公式和几何概型

6

概率求法，即可求解.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：sin20+cosd==IsinOcosO—cos6=(2sin。+l)cosd,

cos20+sin。=1-2sin20+sin0=(1—sin0)(2sin0+1),

门1J(2sin0+l)cos0W01

划1(1-sin0)(2sin0+1)WO'sin。Wl,sin。W2，cos。W0,

人］(2sin0+l)cos0=m

m,n为非零有理数，

—sin0)(2sin0+1)=n,

m_(2sin8+l)cos。_cose_吟力叫_l-tan2

五=(l-sine)(2sin0+l)=l-sin0=Cos|+sin1=1+tan^

当？n+n=0时，sin。=O,cos0=—1,贝！Jtan。=0,

当"后。时，解得tan3僦，令罂"则tan齐t,

a

Q_2tan_2t

由mn。0,解得t。土1,t为有理数，则sin。=2sin|cos2

21+tan2g1+t2

.…沙片需tan”告,

所以sinacosatan。均为有理数，综上，在sinacosatan。中，一定是有理数的有3个.

故答案为：D.

【分析】先利用sin20+cos。与cos20+sin。都是非零有理数，化简并求出满足的条件sin。Wl,sin0W

i,cos0W0,然后令(2sin。+l)cos0=m,(l-sin0)(2sin0+1)=n,分别用m,n表示sin。,cos。,tan。，进而求

得sin。,cosatan。中一定是有理数的个数.

8.【答案】A

【解析】【解答】解：设max{2久,3%白+虚}=M,根据max{a,b}的定义，

1111

得知22%9之337且“2菽^+荻，因为久〉0,y>0,砂+砂>°，

所以将以上三个不等式相乘，得

心6犯岛+志)=招+纵因为养+肄2层费=2,

当且仅当薨+翁=1,等号成立，所以M322,即短，当且仅当2%=3丫=++康时，

M的最小值为冠.

11

综上所述，min{max{2%,3y,猥十斤}}的值为正.

故答案为：A.

【分析】根据题意，设max{2%,3y,^^+£^}=M,利用max{a,b}的定义，得不等式M之2%,MZ3y且M3

7

表+康，根据不等式的性质得M32养+留，再利用基本不等式即可求得M的最小值.

9.【答案】A,B

【解析】【解答】解：因为a>0,b>0,且a+b=2,所以缶+之处步=2,当且仅当a=b=l时取等

号，故A正确；

因为a>0,b>0,且a+b=2,所以。<a<2,0<b<2,-2<a-b<2,\<2a-b<4,故B正确；

由2=a+b22正瓦得0<abW1,当且仅当a=b=1时取等号，所以logza+log2b=log2(ah)<log2l=0,

故C错误；

因为a2—b=a2-(2—a)=(a+；)2—X，又—0<a<2,所以—2<a2—b<4,故D错误.

故答案为：A、B.

【分析】根据基本不等式可判定A正确，根据指数函数的单调性可判定B正确，根据基本不等式、对数运算及

对数函数单调性可判断C错误，根据二次函数的性质可判断D错误.

10.【答案】A,C

【解析X解答】解:因为/(%)=x2+xlnx+2,5(%)=/(%)—ex，所以f'(%)=2x+Inx+1应'(%)=2x+Inx+

1-e,

对于A：令h(x)=f(x)=2x+Inx+1(x>0),则/:'(%)=2+J>0恒成立，

所以f(x)在1］上单调递增则/,(%)>/',(1)=1-ln4=3-产>0

所以f(x)在4，1］上单调递增，所以=3,故A正确：

对于B：由选项A得h(x)=2x+Inx+l(x>0),则/i'(x)=2+£>0恒成立，

112

所以h(x)在(0,+8)上单调递增，又因为呜)>0旗专)=£一1<0,

所以孙e时，使得九⑸)=0,即2%0+lnx0+1=0，

当C(爰,K0)时，h(x)<0,即f(x)<0所以f(x)在(£■,%())上单调递减

当xw(出布时,h(x)>0,即f(x)>0当尢e(与④上单调递增，

所以当X=X0时，f(x)取得极小值也是最小值，

2

/(久o)—久()2+xolnxo+2—%o+久o(—2%o—1)+2=—(%()+当+*'

所以/(与)>/6)=器，故B错误；

对于C：9(汽)=2%+/mx+1-e,当x£(3,4)时，0,所以g(x)在(3,4)上单调递增，

所以g(x)>g(3)=ll+3In3・3e>0,所以函数g(x)在(3,4)上没有零点，故C正确.

对于D,若函数g(x)有2个极值点，则g〈x尸0有两个实数根

8

、1

设m(x)=g'(%)=2%+Inx+1-e,[x>0),m'(x)=2+-(%>0),

因为当x>0时，m,x)>0,所以m(x)在(0,+oo)上单调递增，即或x)在(0,+oo)上单调递增,

所以g<x尸0在(0,+8)至多有1个实数根，故D错误.

故答案为：A、C.

【分析】根据f(x)研究f(x)在。，1]上的单调性，求出f(x)最大值即可判断A正确；

求出f(x)的最小值，根据最小值的范围，即可判断B错误；

由g(x)在(3,4)上的单调性得出g(x)>0,判断零点情况，即可判断C正确；

通过分析g(x)的零点情况，判断g(x)的极值点个数，即可判断D错误.

11.【答案】B,D

【解析】【解答】解：双曲线。妥y2=i的渐近线为广土孝久，

对于A：因为&*茄=OAxOBxcoszXOB,

作直线%=m,x=n,且鱼<m<n,分别交x轴上方渐近线于41M2,交x轴下方渐近线于

有对称性可知：。/=帼1<|012|=|。%2|，此时|。前・|。可<成2卜同2卜

又因为cos乙4OB为定值，所以0就0片100以0%2，即A•而不是定值，故A错误;

对于B,由题意可知：直线1不与y轴垂直，设直线1的方程为％=储/+小,

x=ky+m

联立得2得(k2—2)y2+2kmy+m2—2=0,

后x72=11

则/。2,且4=4/c2m2—4(/c2—2)(m2-2)=8/c2+8m2-16>0,

,(x=ky+m(x^ky+m

所以yQ+yp=R号，联立［y=孚久得"=目，联立一电，得"=声，

所以勿+方=舞+肃=湾,则"一"=3%,

所以|P2|=Vi+k2\yA~yp\,\BQ\=Ji+的％_ys卜

gPIPXI=\BQ\,故B正确；

对于C,设PQ),yo),芈_yo2=l，渐近线为y=±孝X，所以P到两渐近线距离为

9

%+x

d+&-lo^ol।lo-^yo|

12V343

当且仅当|%o+鱼yo|=|久o-四丫0|时，等号成立，故C错误；

对于D,设乙40%=8C(0,另，则tan6=¥<l，可得

由图可得APMQ<乙4OB=20<2即APMQ<货亘成立，

故不存在直线1使诂.质=0,故D正确.

故答案为：B、D.

—>—>—>—>

【分析】对于A,根据。AxOB=OAxOBxcos^AOB,取垂直于x轴的直线，结合条件可判断A错误；对

于B,设直线1的方程为久=ky+zn,利用韦达定理可得yQ+yp=Vf等，联立直线与渐近线方程，可分别解

得力,YB，根据弦长公式可判断B正确;对于C,设P(x0,y0)，得P到两渐近线距离可判断C错误；由题可得zPMQ<

身亘成立可判断D正确.

12.【答案】(1,2)

【解析】【解答】解：取AC的中点E,则21=20，又己=mZl+nC4，贝1J

»=2小康又2血+n=1，故B，D,E三点共线，即点D在中线BE上运动，

—>―»

在正三角形ABC中，BE1AC,又m>0,九>0,贝！J|CE|<CD<\CB\,故CDe(1,2).

故答案为：(1,2).

—>T

【分析】取AC的中点E,得cb=2mC月+n品，从而推得B，D,B三点共线，进而得出|CE|<CD<\CB\,

即可求解.

13.【答案】||

【解析】【解答】解：记学生甲上到第n级台阶共有斯中上法，则臼=1,。2=2,

当正工3时，学生甲上到第n级台阶，可以从第n-l级或n-2级上去，所以，an=an^+an_2,

Q3=3，。4=5,。5=8,。6=13,CLy—21,CLQ—34,。9=55,。10=89,=144,

其中甲踩过第5级台阶的上台阶方法数，可分为两步计算：

10

第一步：从第1级到第5级，共有。5种方法；

第二步：从第6级到第11级，共有种方法；

所以，甲踩过第5级台阶的上台阶方法数有a5a6种方法，则甲踩过第5级台阶的概率为：

_a5a$_8义13_13

-all-144-18-

故答案为：II

【分析】利用已知条件结合实际问题，将此题转化为数列的问题，再利用递推公式得出数列前11项的值，再

结合分步乘法计数原理和古典概型求概率公式，进而得出甲踩过第5级台阶的概率.

14.【答案】(—8,1)

x2xxx

【解析】【解答】解：由题意得，尸(%)=(%+l)e—2(m—l)e=[%+1—2(m—l)e]ef

若函数/(%)=xex-(m-1)。2%存在唯一极值点，

则尸(%)=0在％6R上有唯一的根，所以由/'(%)=0可得%+1-2(m一l)ex=0,

则2血—2=签有唯一的根，直线y=2m—2与函数或无)=裂的图象有一个交点(非切点)

又g'O)=ex_：,+l)=一条,所以当无e(—8,0)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当为e(0,+8)时，g'(x)<0,g(x)单调递减，所以,函数g(x)的极大值为g(0)=L

且当时，g(x)<0,当久>一1时，g(久)〉0,则函数g(x)得图象如下图所示

所以，当2n1—2<0时，即当血<1时，直线y=2m—2与函数。(£)=爰的图象有一个交点(非切点)，

因此，实数m的取值范围是(—8,1).

故答案为：(—8,1)

【分析】先求导，由尸(无)=0,可得出2nl-2=£牡，得直线y=2血一2与函数=£2的图象有一个

交点(非切点)，利用导数分析函数。(久)=签的单调性与极值，观察图形得出实数m的取值范围.

15.【答案】(1)解：因为AB为圆锥底面的直径，C为底面圆周上一点，所以BCLAC,

因为四边形OAED为矩形，ODL平面ABC,所以AE//OD,AE,平面ABC,

又因为BCu平面ABC,所以AE_LBC

又因为=4AEu平面ACE,ACu平面ACE,所以BC,平面ACE.

又因为BCu平面BCD,所以平面BCD_L平面ACE.

11

(2)解：以C为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,

则C(0,0,0),4(—2,0,0),D(-1,-V3,V2),E(—2,0,迎)，

AE=(0,0,V2),ED=(1,-V3,0),CF=(-2,0,V2)

设平面ADE的法向量为汨=(孙月*1),则［竺巧=°,即［缶夏。,

•汨=0Ui-V3yt=0

令yi=l,得久1=遮，所以汨=(遮,1,0),

设平面CDE的法向量为而=3)2/2)，则但'%=°,即「2久2+'2:0,

令丫2=1，得尤2=8，Z2=痣，所以族=(75,1,通)，所以COS〈|同，同)=岸］氤=23s=

所以平面ADE和平面CDE夹角的余弦值为坐.

【解析】【分析】(1)由题意可得BC_LAC,AEABC,从而推出力EIBC,即可证BC1平面ACE；

(2)以C点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解平面ADE和平面CDE夹角的余弦值即

可.

16.【答案】(1)解：依题意义吗为奇函数，在区间(0,+8)上是严格减函数，

可得—2血—3V0,解得—由于meZ,故zn=0,1,2,

当机二。和771=2时，m2—2m—3=—3,此时/(%)=为奇函数，符合要求，

当7H=1时，m2—2m—3=—4,此时/(%)=汽为偶函数，不符合要求，/(%)=欠-3；

(2)解：不等式/(%)<t+4x,即，

又/(%)=久-3在(0,+8)上是减函数,y=#在R上为增函数，则在怎,1］上为减函数，所以g(x)仅ax=潟)=6,

则6,所以实数t的取值范围为［6,+8).

【解析】【分析】(1)根据题意可得f(x)为奇函数，在区间(0,+8)上是严格减函数，得m2—2m—3<0,解不等

式可得整数m的值，根据嘉函数定义检验即可得所求值.

(2)依题意，对任意实数Xeg,1］,不等式t2广3—4党恒成立，而g(X)=久-3一室在弓,1］上为减函数，得

g^max=。(；)=6，即可求解・

17•【答案】(1)解：因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为3:5:2,所以这10人中，购买单

12

程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：10X磊=3,10义导=5,10X喘=2,

c2c2

故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率P=声=点.

(2)解：(i)从小+2人中任选2人，有资计2种选法，其中购票类型相同的有鬣,+冬种选法，则询问的某组

血2_+24m

被标为B的概率p=7n

m2+3m+2m2+3m+2*

m+2

(ii)由题意，5组中恰有3组被标为B的概率g(p)=C|p3(l-p)2=10p3(l-2p+p2)=10(p3-2p4+p5),

所以g'(P)=10(3p2—8P3+5P4)=10P2(0_i)(5p—3),0<p<1,

所以当pe(o1)时，g'(p)>0,函数g(p)单调递增，

当pe(5,1)时，g'(p)<0,函数g(p)单调递减，

所以当p=|时，g(p)取得最大值,且最大值为漏)=C"(卷)3x(l—|)2=||f.

由P=-7~~------=曰7H>2且THEN*,得TH=3.

mz+3m+23

当TH=3时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且g(p)的最大值为

【解析】【分析】(1)先求得购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数，然后按古典概型概率公式

求解即可.

(2)先根据古典概型概率公式表示询问的某组被标为B的概率，然后通过求导来研究函数单调性、

极值，进而求得最大值.

18.【答案】⑴解：由题意知，4(—a,0).由直线AC的斜率为之，得辱之=。所以a=/b.

直线4c的方程为y=*(久+a).设G(s,t),则s>0,t>0.

由点G到久轴的距离为小得”*由点G在直线"上，得3先+0所以s=%a.

(g―a)2(1)2

由点G在椭圆E上，得、Z—厂=1，解得a=2.所以6=夜.

13

七一竹।=।11।=产0-2q+2।=।-44

MS展1^2yo~2yo-2yo-22-7O-

由一企〈yo<O或0<37（）<应,

得2—V2<2—<2或2<2—<2+V2,

所以4—2近W注^<2或2<<4+2V2.

故|与待H的取值范围是[4—2VZ2)U(2,4+2V?|.

②①%

由

知X2O+

42-即芯+羽=4一%.设M（XI，0）,N（%2，。）.因为PCM三点共线,

0-2—2%。+42y0—2%0

所以”得％二

1y()-2y°_2.

因为P,D,N三点共线，所以衿1=2刍，

人。十乙人2十乙

一2和一4一2町一2）70

得久

2=丁0一2丫0一2

2J际+8%,16yo

所以MM/+\BN\2=(%1+2)2+(%-2)2=(^Z^°+2)2+(一二?()_)2=+不+一

22(y()—2)28

8(4—%)，16yo,°_8(2+yo)(2—yo)16yo—8(2+y°),16yo

16.

222-2-2

(y0-2)Vo-2(y0-2)y0-7oyo

故|4M|2+|BN|2为定值16

【解析】【分析】（1）由题意，根据直线AC的斜率为热结合斜率公式可得a=&b,由G,A,C三点共线表示

出点G值-a,金，将它代入椭圆方程求出a,b即可求解.

（2）①由斜率公式可得的=kpc=，。—2卜2—kpD=+2'进而得I需JI=Y—y,

0012yo

结合yo的范围即可求解.

②由P,C,M三点共线，P,D,N三点共线，表示出M,N的坐标，再由两点间距离公式得+|BN『

的表达式，即可求解.

19.【答案】⑴解：易知单位圆上圆心角为60。的圆弧△。=或以=91=不

△e7T

31

A-=-

根据定义可得平均曲率7<=s

73T

(2)解：由/(X)=i(x>0)可得/'(x)=-妥,

又t(x)=/'(久)可得*%)=*所以K=蚂咫I=忆'。）12

3—3—3

(1+[/'(X)]2)2(1+(—*)2"Eq+多2

22

因为％〉0,