中考数学重难点题型专训：矩形的判定与性质（13大题型+15道拓展培优）含答案及解析

矩形的判定与性质重难点题型专训

（13大题型+15道拓展培优）

旨【题型目录】

题型一矩形的性质理解

题型二利用矩形的性质求角度

题型三根据矩形的性质求线段长

题型四根据矩形的性质求面积

题型五利用矩形的性质证明

题型六求矩形在坐标系中的坐标

题型七矩形与折叠问题

题型八矩形的判定定理理解

题型九添一个条件使四边形是矩形

题型十证明四边形是矩形

题型十一根据矩形的性质与判定求角度

题型十二根据矩形的性质与判定求线段长

题型十三根据矩形的性质与判定求面积

【知识梳理】

知识点1：矩形的概念与性质

1.概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.性质：（1）矩形的对边平行且相等；

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线相等。

知识点2：直角三角形斜边上的中线

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

知识点3：矩形的判定

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三各直角的四边形是矩形。

41经典例题一矩形的性质理解】

[例1]（2023下•江苏盐城•八年级校联考阶段练习）矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3cm和5cm

两部分，则矩形的周长为（）

A.22cm和26cmB.22cm和24cmC.26cmD.22cm

产【变式训练】

1.（2023下•江苏•八年级专题练习）如图，在矩形A5CD中，两条对角线相交于点O,ZAOD=120°,AB=2,

矩形的面积是（）

A.2A/3B.473C.8D.12

2.（2023下•江苏南京•八年级南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形Q4BC

的点A和点C分别落在x轴和V轴上，AO=4,CO=2,直线y=x+l以每秒1个单位长度向下移动，经过

秒该直线可将矩形OABC的面积平分.

3.（2023下•江苏常州•八年级校考期中）如图，已知矩形ABC。，AC是对角线.

⑴将ABC沿AC翻折得到AE与。交于点尸.用直尺和圆规在图中作出（保留作图痕迹,

不要求写作法）

(2)①求证：ADAF/AECF；

②若NEW=40。，求NG"的度数.

41经典例题二利用矩形的性质求角度】

【例2】（2022下•江苏无锡•八年级统考期中）如图，延长矩形/BCD的边至点£,使CE=BD,连接

AE,如果乙＜08=30。，贝吐£的度数是（）

—【变式训练】

I.（2023上•四川成都•九年级统考期末）如图，将含有30。的直角三角尺C钻（ZC=60°）直角顶点/放

到矩形。或汨的边。石上，若/E4B=15。，则NF2G的度数是（）

2.（2023上•四川成都•九年级成都外国语学校校考阶段练习）如图，矩形ABCD的对角线AC与8。相交于

点O,过点。作OEL8。，交CD于点E,连接8E.若NCO£=20。，贝=—度.

3.（2023下•江西宜春•八年级统考期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC和2。相交于。点，AE平分

NBAO交8c于点£,且NCAE=15。.

AD

（1）求证：AC®为等边三角形;

（2）求/COE的度数.

j【经典例题三根据矩形的性质求线段长】

【例3】（2023下•江苏无锡•八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，。是的中点，E为AD边上一点、,

且有AE=O3=4.连接OE,若ZAEO=75。,则OE的长为（）

3

C.—V6—V2D.2乖）—2A/2

・【变式训练】

I.（2024上•陕西汉中•九年级统考期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O,AB=4,AD=2,YADE为

等边三角形，点尸是直线EO上一点，连接。尸，则线段。尸的最小值为（）

D.

2

2.（2021下•北京丰台•八年级北京市第十二中学校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=6,对角线AC、

8。相交于点O,AE垂直平分3。于点E,则AD的长为.

AD

3.（2023上•广东茂名•九年级校考阶段练习）在YABCD中，过点。作DE248于点E,点尸在CD上,

AE=CF,连接8尸、AF.

（1）求证：四边形是矩形;

（2）若若AF平分AE=3,DE=4.则AF长为多少？.

j【经典例题四根据矩形的性质求面积】

【例4】（2020・江苏•九年级专题练习）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF〃BC,

分别交AB,CD于E,F,连接P8,PD,若AE=3,PF=9,则图中阴影部分的面积为（）

A.12B.24C.27D.54

[W【变式训练】

1.（2023上•山东•九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,E为AB的中点，点尸，G

分别在C£）,AD1.,EFG为等腰直角三角形，且GE=GR,则四边形BCFE的面积为（）

A.18B.14C.16D.12

2.（2023•江苏常州•校考一模）如图，现将四根木条钉成的矩形框ABCD变形为平行四边形木框A"C'£>',

且4。与8相交于。边的中点£,若AB=4,BC=5,则原矩形ABCD和平行四边形A?C'£>'重叠部分

的面积是

3.（2023上•山东枣庄•九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,点P在AD边上,

是不与4过点尸分别做AC和8。的垂线，垂足分别为E,尸求尸E+尸产的值

,41经典例题五利用矩形的性质证明】

【例5】（2023下•江苏盐城•八年级校联考阶段练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4,P是对角线8。

上一点，PE〃CD于点E,年'〃3C于点歹，连接AP,EF.给出下列结论：①PD=0EC;②四边形尸成才

的周长为8；③一定是等腰三角形；@AP=EF,其中正确结论的序号为（）

A.①②④B.①③④C.②④D.②③

【变式训练】

1.（2023下•浙江台州•八年级统考期末）如图，点尸是矩形ABCD的对角线上一动点，过点P作AC的垂线,

分别交边4）,BC于点、E,F,连接CE,AF.则下列结论不成立的是（）

D

A.四边形ARSE的面积是定值B.AE+CR的值不变

C.CE+AF的值不变D.AE2+CF2AF2+CE2

2.（2023上•山东青岛•九年级统考阶段练习）如图，在矩形A8CD中，AD=42AB,N8AD的平分线交8c

于点E,DHLAE于点H,连接28并延长交C。于点尸，连接DE交3产于点O,下列结论：

①AO=AE；

②ZAED=ZCED；

@OE=OD-

@BH=HF.

其中正确的有.（填序号）

3.（2024上•山东威海•七年级统考期末）如图，在长方形ABCD中，NA=ND=NBCD=90。,AB^CD,

A£）=BC,点E是边AD上一点，将.ABE沿BE折叠，点A的对应点尸刚好落在CE上，若AB=4,BC=5.

（1）判断与△CEO是否全等，并说明理由;

（2）求AE的长度.

,41经典例题六求矩形在坐标系中的坐标】

【例6】（2023下•江苏•八年级专题练习）在平面直角坐标系中，长方形ABC。如图所示,

A(-6,2),8(2,2),C(2,-3),则点。的坐标为()

A.(-6,3)B.(3,-6)C.(一6,-3)D.(-3,-6)

产【变式训练】

1.（2022•云南红河•统考二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形/3。（？的顶点/的坐标为（-2,4）,D是

的中点，E是OC上的一点，当VADE的周长最小时，点£的坐标是（）

C.(0,2)D.衅

2.（2023下•安徽黄山•八年级统考期末）如图，四边形ABCO是矩形，其中点A和点C分别在无轴和》轴上,

连接AC,点B的坐标为（12,5）,/C4O的平分线与y轴相交于点O,则。点的坐标为

3.（2021下•福建福州•七年级统考期中）如图,长方形OA3C中，。为平而直角坐标系的原点，A（3,0）,C（0,2）,

点8在第一象限，。是长方形边上的一个动点，设£»（〃，,"），且相＞0,连接CD.

C-----------------18

~OAx

⑴长方形OABC的周长为.

⑵若点。在长方形的边AB上，且线段CO把长方形OABC的周长分成2:3两部分，求点。坐标；

⑶若点。在长方形的边。4上,将线段CD向下平移3个单位长度,得到对应线段EF（尸为点D的对应点）,

连接求三角形AE尸的面积（可用含力的式子表示）.

41经典例题七矩形与折叠问题】

【例7】（2023上•江西上饶•七年级统考期末）如图，把一长方形纸片48co的一角沿/E折叠，点。的对

应点小落在/朋C内部.若=且/CW=20。，则NDAE的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

■【变式训练】

1.（2024上•辽宁丹东•九年级统考期末）如图，现有一张矩形纸片ABCD,其中AB=4cm,BC=6cm,点E

是的中点.将纸片沿直线AE折叠，使点8落在点B',则夕，C两点之间的距离是（）

19

C.——cmD.4cm

5

2.（2023•山东泰安・统考一模）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10,点E、G分别在5C、上,

将△£＞（7£、BEG分别沿DE、EG翻折，翻折后点C与点B重合，点B与点P重合•当A、P、F、E四

点在同一直线上时，线段GP长为

D

B

3.（2024上•江西南昌•八年级统考期末）已知直线1为长方形ABCD的对称轴，AD=5,AB=8,点E为

射线。C上一个动点，把VADE沿直线AE折叠，点。的对应点D恰好落在对称轴1上.

（1）如图，当点£在边。C上时，

①填空：点D到边的距离是；（直接写出结果）

②求DE的长.

（2）当点£在边DC的延长线上时，（友情提醒：可在备用图上画图分析）

①填空：点D到边CO的距离是；（直接写出结果）

②填空：此时DE的长为.（直接写出结果）

41经典例题八矩形的判定定理理解】

【例8】（2023下•四川广安•八年级校考期中）下列能够判断四边形是矩形的是（）

A.两组对角相等B.对角线互相垂直

C.对角线互相垂直且相等D.对角线互相平分且相等

—【变式训练】

1.（2023下•浙江宁波•八年级统考期末）如图，在YABCD中，点、E,B分别是AB,8的中点，点M,N

在对角线AC上，AM=CN,则下列说法正确的是（）

D

BC

A.若乙如£=90。，则四边形硒EM是矩形

B.若MN=2AM,则四边形E7VFM是矩形

C.若MN=MF,则四边形是矩形

D.若MN=AD,则四边形硒对/是矩形

2.（2023下•河北廊坊•八年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点4（-2,-1）,点/2,3）―1^^（2,-1）,

在平面直角坐标系中找一点。，使以点AB,C,。为顶点的四边形为矩形，则8。的长为，点。的

坐标为.

3.（2023上•安徽宿州•九年级校联考阶段练习）如图，己知平行四边形ABCD的对角线AC、80相交于点

O,AC=24cm,5D=12cm,两动点E、尸同时分别以2cm/s的速度从点/、C出发在线段AC上运动，

（1）求证：当£、/运动过程中不与点。重合，四边形BEDF一定为平行四边形;

（2）设£、尸的运动时间为fs,则当t为何值时，四边形8瓦不为矩形.

41经典例题九添一个条件使四边形是矩形】

【例9】（2023下•河南商丘•八年级统考期末）如图，在YABCD中，AEL3c于点£,点歹在边的延长

线上，则添加下列条件不能证明四边形AEED是矩形的是（）

A.EF=ADB./AEB=/DFC

C.BE=CFD.ZDAE=ZAEF

jW【变式训练】

1.（2023下•上海黄浦•八年级统考期末）在口ABCD中，AC与BO相交于点。，要使四边形ABCD是矩形，

还需添加一个条件，这个条件可以是（）

A.AC1BD-,B.AOAB=AOAD-,C.3A=30；D.OB=OC.

2.（2023•山西晋城•统考一模）如图，在YABCD中,对角线AC,BD相交于点。，点£,尸在AC上，且AE=CF,

连接BE,ED,DF,FB.若添加一个条件使四边形8瓦不是矩形，则该条件可以是.（填写一个即

可）

3.（2023下•河南洛阳•八年级统考期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，NBCD的平分线CF交边

A8于尸，NADC的平分线DG交边A8于G,且。G与CP交于点£.

（3）在平行四边形ABCD中，添上一个什么条件，使EFG是等腰直角三角形.直接写出这个条件

41经典例题十证明四边形是矩形】

【例10】（2024下•全国•八年级假期作业）如图，在YABCD中，M,N是8。上两点，=连接AM,

MC,CN,ML后得到四边形AMCN.下列条件中，不能使四边形AMCN是矩形的是（）

A.OM=-ACB.AO=NOC.ZMAN=90°D.ZAMB=ZCND

2

—【变式训练】

1.（2023上•福建宁德•九年级福鼎市第一中学校考期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它由七个

板块组成，用如图所示的七巧板拼图，下列说法正确的是（）

A.能拼成平行四边形，不能拼成矩形

B.不能拼成平行四边形，能拼成矩形

C.既能拼成平行四边形，也能拼成矩形

D.既不能拼成平行四边形，也不能拼成矩形

2.（2023上•福建宁德•九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=5,BC=3,将矩形ABC。绕点C顺时

针旋转得到矩形CEFG,当A8的对应边跳'恰好经过点。时，连接3E,则8E=.

3.（2024上•全国•九年级专题练习）如图，ABC中，点。是边AC上一个动点，过O作直线设

交NACB的平分线于点E,交NACD的外角平分线于点尸.

A

⑴求证：OE=OF-

⑵若CE=12,CF=5,求OC的长；

（3）当点。在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由.

41经典例题十一根据矩形的性质与判定求角度】

【例11】（2023下•江苏•八年级期末）如图，在正方形ABCD中，CE工MN/MCE=35。,则NAW等于

（）

A.45°B.55°C.65°D.75°

—【变式训练】

1.（2021・河北唐山・统考二模）将矩形ABCD绕点A顺时针旋转1（0。<&<360。），得到矩形AEFG.当

GC=G3时，下列针对。值的说法正确的是（）

A.60°或300°B.60°或330°C.30°D.60°

2（2023•江西•统考中考真题）如图，在YABCD中，ZB=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转角2

（0°<e<360°）得至IJAP,连接PC,PD.当；PCD为直角三角形时，旋转角0的度数为

R

3.（2023上•陕西榆林•九年级校考阶段练习）如图，四边形A5CD的对角线AC、相交于点O,其中

AD//BC,ABDC,AC=2OB,£为。上一点，连接AE、OE.AE平分NBAO,且BO=2A。，求

NDOE的度数.

41经典例题十二根据矩形的性质与判定求线段长】

【例12】（2023上•内蒙古包头•九年级校考期中）如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE//AC,

CE//BD,连接OE,设AC=4,BD=8,则OE的长为（）

产【变式训练】

1.（2023上•河北保定•九年级保定市第十七中学校考期中）如图，在中，ZBAC=90°,且

AB=6,AC=8,点。是斜边2C上的一个动点,过点D分别作DM1AB于点M,£>N1AC于点N,连接MN,

点。为MN的中点，则线段AO的最小值为（）

2.（2023上•四川成都•八年级成都市青羊实验中学校考期中）如图，正方形ABCD的边长为5,E为BC上

一点，且BE：/，/为AB边上的一个动点，连接EF,以E尸为边向右侧作等边EFG,连接GC,则GC的

最小值为•

D

3.（2023上广东深圳•九年级校联考阶段练习）如图，在［ABC中，AB^AC,AD是—BAC的平分线，AN

是ABC外角/C4M的平分线，CE1AN,垂足为点E.

⑴求证：四边形ADCE为矩形；

（2）若BD=6,DF=5,求AD的长.

5【经典例题十三根据矩形的性质与判定求面积】

【例13】（2023上•四川达州•九年级统考阶段练习）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,CE//BD,

DE//AC,若AD=6,AB=8,则四边形CODE的面积是（）

E

产【变式训练】

1.（2023•浙江宁波•统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC的最长边为边向外作矩形3CDE,连结

AE,AD,设△AED,ABE,ACD的面积分别为S.&J?,若要求出S-工-邑的值，只需知道（）

A

BC

ED

A.ABE的面积B.AC£＞的面积C.ABC的面积D.矩形3cDE的面积

2.（2023上•四川成都•九年级四川省成都市第七中学初中学校校考期中）如图，在矩形ABCD中，点。为

对角线BO上一点，过点。作EF〃BC交于点£,F，作GH〃CD交AD,BC于点G,H,连接EG,

已知GD=£B=4,则人百的面积等于.

3.（2023上•辽宁丹东•九年级统考期末）如图，在ABC中，点。是边的中点，过点O作直线

/ABC的平分线和外角ZABD的平分线分别交MN于点E,F.

（1）求证：四边形尸是矩形：

⑵若NABC=60。，AB=6,求四边形AE8尸的面积.

I雪【拓展培优】

1.（2024上•河南郑州•八年级统考期末）如图，四边形O3C。是一张放在平面直角坐标系中的长方形，点。

为坐标原点，OB=6,00=10,在CD边上取一点E,连接BE,将：BCE沿着8E所在直线翻折，使点C

落在OD边上的点尸处，则点£的坐标为（）

Q

c.(10,-)D.(10,4)

2.（2024上•四川宜宾•八年级统考期末）如图，在长方形ABCD中，AB=5,AD=3,动点尸满足

$长方形ABCD，则尸A+P8的最小值为（）

A.V41B.734C.晒D.5&

3.（2024上•宁夏银川•九年级银川市第三中学校考期末）如图，在矩形纸片A8CD中，AB=6,8c=8,点

E是AB上一点，点厂是3c上一点，将矩形沿EF折叠，使点5的对应点G正好落在AD的中点处，则AE

的长为（）

4.（2023上•山西晋中•九年级统考期末）如图，在"C中，AC=6,8c=8,54=10,尸为边A8上一动

点，PELAC于点E,于点尸，点M为E尸中点，则尸M最小值为（）

A.2.4B.2.5C.4.8D.5

5.（2023上•福建漳州•九年级校考期中）如图，矩形A5CD中，BCM4NBACMSO。,后点为8的中点.点P

为对角线AC上的一动点.则PD+PE的最小值等于（）

A.473C.6A/3

6.（青海省西宁市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）如图，将长方形纸片ABCD沿即折叠，使

点A与点C重合，点O落在点G处，E尸为折痕，AD=4,AE=5,则（重叠部分）的面积是.

7.（2024・全国•八年级竞赛）如图，矩形EFG"的边防=6厘米，FU=4厘米，在直角梯形ABC。中，CD=9

厘米，8c=5厘米，A£>=4厘米，点E,F,A,B在同一直线上，且E4=5厘米，矩形从尸点开始以1厘

米/秒的速度沿直线EB向右运动，同时点M从点B出发沿3-C-D-A-3的路线，以1厘米/秒的速度运动，

到点B停止.当点M共运动秒时，点M与点E相距5厘米.

8.（2024上•江苏盐城•九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，A8=4,A£>=8,点£、尸分别为A。、

8边上的点，且EF的长为4,点G为E尸的中点，点尸为8c上一动点，则P4+PG的最小值为.

9.（2024上•山东淄博•八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=12,对角线AC与BD交

于点。，点E为BC边上的一个动点，EF±AC,EGLBD,垂足分别为点尸，G,贝|EF+EG=.

10.（2023上•黑龙江哈尔滨•九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在上，连接BE、EC,

ZDEC=2ZABE,点歹在EC上，NEFB=45°,若AE=FC=1,则BF的长为

11.（2023上•河南周口•九年级校联考期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在8c的延长线上，且CE=3C,

连接AC,AE,DE,AE交CO于点O,已知N3=NAEC.

⑴求证：四边形AGED是矩形；

（2）若/3=30。，AC=8,求对角线CO的长.

12.（2024上•山东青岛•九年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，两条对角线相交于点。，BD1BC,

垂足为点2,BD1AD,垂足为点。，OB=OD,点、E,尸分别是A。，CO的中点，连接BE,BF,DE,

DF.

(1)求证：OE=OF-

（2）从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形2瓦甲的形状，并证明你的结论.

①ZAO£）=60。，@AC=2BD.

选择的条件：（填写序号）.

（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分）

13.（2024上•江西吉安•八年级统考期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：.

【模型呈现】

某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1,由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图

（如图2）,即“一线三等角”模型和“K字”模型.

（1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明②△<□无.

【模型应用】

(2)如图3,正方形ABCD中，AEIDE,DE=4,求.CDE的面积.

(3)如图4,四边形ABCD中，AD^BC,AB1BC,AO=2,BC=3,DE1DC,DE=DC,求VADE的

面积.

D

C

图3图4

14.(2024上•山东潍坊•八年级统考期末)如图1,在矩形A5CD中，点£是边A8上的一点，连接。E.

⑴若DE平分/ADC,点G是CO上的一点，连接EC,EG,且EC=EG.过点C作CQ■!EG于Q,CQ

延长线交ED于"，过点〃作〃P_LCO于P,如图.

①填空：的形状是三角形；

②求证：APHCgABEC

图I

(2)将图1的矩形A5co画在纸上，若DE平分NADC,沿过点E的直线折叠，点C恰好落在A。上的点C

处，点3落在点2,处，得到折痕EF,8'C'交A8于点反，如图.求证：MC'=ME.

(3)如图，延长DE交CB的延长线于点K使得AB=BK,此时恰好BE=BC,连接AC交DK于点、J,连接BJ.

请证明：KJ>AJ+BJ.

15.（2023•内蒙古锡林郭勒盟•统考三模）如图，矩形ABCD中，AB=6,4D=8,点p在边8C上，且不与

点、B、C重合，直线A尸与。C的延长线交于点E.

图1

（1）如图1,当点P是BC的中点时，求证：AABP^^ECP；

⑵将乙4尸8沿战线AP折叠得到APB一点B落在矩形ABCD的内部，延长尸2'交于点

①如图1,证明E4=FP,并求出在（1）条件下A尸的值；

②如图2,班'交AE于点点G是AE的中点，当NEAE=2ZAEB时，试探究AB与的数量关系,

并说明理由.

矩形的判定与性质重难点题型专训

（13大题型+15道拓展培优）

旨【题型目录】

题型一矩形的性质理解

题型二利用矩形的性质求角度

题型三根据矩形的性质求线段长

题型四根据矩形的性质求面积

题型五利用矩形的性质证明

题型六求矩形在坐标系中的坐标

题型七矩形与折叠问题

题型八矩形的判定定理理解

题型九添一个条件使四边形是矩形

题型十证明四边形是矩形

题型十一根据矩形的性质与判定求角度

题型十二根据矩形的性质与判定求线段长

题型十三根据矩形的性质与判定求面积

【知识梳理】

知识点1：矩形的概念与性质

1.概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.性质：（1）矩形的对边平行且相等；

（2）矩形的四个角都是直角；

（3）矩形的对角线相等。

知识点2：直角三角形斜边上的中线

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

知识点3：矩形的判定

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；

（2）对角线相等的平行四边形是矩形；

（3）有三各直角的四边形是矩形。

41经典例题一矩形的性质理解】

[例1]（2023下•江苏盐城•八年级校联考阶段练习）矩形的一个内角平分线把矩形一条边分成3cm和5cm

两部分，则矩形的周长为（）

A.22cm和26cmB.22cm和24cmC.26cmD.22cm

【答案】A

【分析】利用角平分线得到々AK=NDAK,矩形对边平行得到ND4K=NBKA,进而得到NBAK=NBKA,

再得到3A=BK,那么根据BE的不同情况得到矩形的各个边长，进而求其周长，分如图1和图2两种情况

分别讨论求解即可.

【详解】解：如图1,「AK平分/54D,

NBAK=ADAK,

...AD//BC,

...ADAK=ZBKA,

...ZBAK=ZBKA,

...BA=BK=3,

...矩形ABC。的周长=（3+5+3）x2=22cm；

如图2,•••EL平分NFE",

ZFEL=ZHEL,

：EH//FGf

ZHEL=ZFLE,

/.ZFEL=ZFLE,

:.FE=FL=5,

...矩形FEHG的周长（5+3+5）x2=26cm,

综上所述，矩形的周长为22cm或26cm,

故选：A.

图i图2

【点睛】本题主要考查了矩形的性质和等腰三角形的判定，正确的进行分情况讨论是解本题的关键.

产【变式训练】

1.（2023下•江苏•八年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点0,ZAOD=120°,AB=2,

矩形的面积是（）

A.273B.4出C.8D.12

【答案】B

【分析】根据直角三角形3。°角所对的直角边等于斜边的一半可得8。=4,再根据勾股定理求出A。，最后

即可求出矩形的面积.

【详解】解：为矩形，ZAOD=120°,

..ZOAD=ZODA=30°,

AB=2,

...BD=4,AD=>jBD2-AB2=2A/3,

二矩形的面积是A3xAO=4G,

故选：B

【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形3。°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理.此题

难度不大.

2.（2023下•江苏南京•八年级南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC

的点A和点C分别落在x轴和>轴上，AO=4,CO=2,直线>=x+l以每秒1个单位长度向下移动，经过

秒该直线可将矩形。钻C的面积平分.

【答案】2

【分析】首先连接AC、BO,交于点。，当＞=x+l经过。点时，该直线可将矩形OABC的面积平分，然后

计算出过。且平行直线，=x+l的直线解析式，从而可得直线y=x+l要向下平移2个单位，进而可得答案.

【详解】解：连接AC、BO,交于点。，

当y=x+l经过。点时，该直线可将矩形。43c的面积平分；

-AC,B0是：OABC的对角线，

:.OD=BD,

•.•A0=4,CO=2,

•.3(4,2),

・•・0(2,1),

根据题意设平移后直线的解析式为y=x+b,

V0(2,1)

1=2+加解得2=-1,

平移后的直线的解析式为y=、T,

直线＞=x+i要向下平移2个单位，

时间为2秒，

故答案为：2.

【点睛】此题主要考查了矩形的性质，以及一次函数图象与几何变换，关键是正确掌握经过矩形对角线交

点的直线平分矩形的面积.

3.(2023下•江苏常州•八年级校考期中)如图，已知矩形ABCD,AC是对角线.

(1)将ABC沿AC翻折得到△AEC,AE与。交于点尸.用直尺和圆规在图中作出△AEC(保留作图痕迹,

不要求写作法)

(2)①求证：ADAF乌AECF；

②若/ECF=40。，求NC钻的度数.

【答案】(1)作图见解析

⑵①证明见解析；②NC4B=25。；

【分析】(1)由翻折可得，/BAC=ZEAC,AB=AE,则根据作一个角等于已知角的方法作/G4c=ZBAC,

再以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交AG于点E,连接CE即可.

(2)①由翻折可得，BC=CE,ZB=ZAEC=90°,再结合矩形的性质可得"=/AEC,AD=CE,根

据全等三角形的判定可得结论.②根据全等三角形的性质可得NECF=NM=40°进而可得

NCAB=Z/BAE=25。

ZBAE=90°-ZDAF=50°,则2

【详解】(1)解：如图，4AEC即为所求.

(2)①证明：由翻折可得，BC=CE,ZB=ZAEC^90°

...四边形ABCD为矩形,

...AD=BC,ZD=ZB=90°,

...ZD=ZAEC,AD=CE,

-ZAFD=ZCFE,

.VZJAF^VECF（AAS）

②解：•.•△ZM尸丝△&/,

ZECF=ZDAF=40°,

...ZBAE=90°-ZDAF=50°,

...ZBAC=ZEAC,

ZCAB=-ZBAE=25°

.­.2

【点睛】本题考查翻折的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，作已知角的角平分线，熟练掌握

翻折的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键.

41经典例题二利用矩形的性质求角度】

【例2】（2022下•江苏无锡・八年级统考期中）如图，延长矩形4BCD的边3c至点E,使CE=BD,连接

AE,如果乙402=30。，贝吐£的度数是（）

A.45°B.30°C.20°D.15°

【答案】D

【分析】连接AC,由矩形性质可得NE=/D4E、BD=AC=CE,知NE=NCAE,而/ADB=/C4D=30。,

可得度数

【详解】解：连接AC,如图所示：

.四边形"CD是矩形,

:.AD//BE,AC=BD,ZADB^ZCAD=30°,

ZE=ZDAE,

又YBD=CE,

:.CE=CAi

•・NE=NCAE,

ACAD=ZCAE+ZDAE,

ZE+ZE=30°

.'.ZE=15°,

故选：D.

【点睛】本题主要考查矩形性质、等腰三角形的性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是

解题关键.

子【变式训练】

1.（2023上•四川成都•九年级统考期末）如图，将含有30。的直角三角尺OLB（ZC=60°）直角顶点N放

到矩形。昭如的边上，若NE4B=15。，则"QG的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.45°

【答案】D

【分析】本题考查矩形的性质，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等.

设AC与H尸的交点为点加，由角的和差可求得NC4E=NC4B-NE钻=75。，根据矩形的性质得到

HF//DE,从而=归=75。，根据三角形的内角和定理求得NCQM=180。-NC_/CMQ=45。，

再根据对顶角相等即可得NFQG=NCQM=45。

【详解】设AC与X尸的交点为点M

F

G

■■ZCAB=9Q°,ZEAB=15°,

...ZCAE=ZCAB-ZEAB=90°—15°=75°,

•.•在矩形。E/田中，HF//DE,

：.NCMF=NCAE=15。

.../C=60°,

,ZCQM=180°-ZC-ZCMQ=180°-60°-75°=45°

,ZFQG=ZCQM=45°

故选：D

2.（2023上•四川成都•九年级成都外国语学校校考阶段练习）如图，矩形ABCD的对角线AC与2。相交于

点。，过点。作OELBD,交（于点E,连接8E.若NCOE=20。，贝=一度.

【答案】35

【分析】利用矩形的性质可得：OD=OC,AB//CD,再根据等边对等角即可求出NCDO的度数，最后通过

平行线的性质即可求出-ABD的度数.

【详解】解：•••四边形"CD是矩形，

,.,AB//CD,AC^BD,

；,OA=OC1OB=OD,

,•,ZABD=ZCDO，

.,.CEVBD,

,・,ZDOE=9Q0，

,.,ZCOD=ZDOE+ZCOE=90°+20°=110°，

ZCDO=NOCD=-(180°-110°)=35°

*0,2,

...ZABD=ZCDO=35°,

故答案为：35.

【点睛】此题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和平行线的性质及其应用.

3.(2023下•江西宜春•八年级统考期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC和2。相交于。点，AE平分

NBA。交8C于点£,且NCAE=15。.

A

B

(1)求证：AOB为等边三角形；

(2)求/COE的度数.

【答案】(1)见解析

⑵45。

【分析】(1)矩形的性质，得到=角平分线得到NBAE=45。，进而得到NBAC=60。，即可得证；

(2)证明△BOE为等腰三角形，三角形内角和定理，求出/BOE,进而求出NAOE的度数，利用平角的定

义，即可得解.

【详解】(1)证明：•••矩形神⑦，

・•.AO=BO,ABAD=90°,

・..AE平分2区4。，

...Z^AE=45°,

...ZCAE=15°,

,4AC=60。，

AO=BO?

・•.A05是等边三角形；

(2)vAOB是等边三角形，

,.,AB=BO，

在RtAABE中,

-ZBAE=45°,

AB=BE,

...BE=BO,

...ZBOE=NBEO,

...NOBE=90°—60°=30°,

./BOE=ZBEO=（180。-30。）+2=75。

...ZAOE=ZAOB+/BOE=600+75°=135°,

.../COE=180。一ZAOE=45°.

【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质.熟练掌握矩形的性

质，是解题的关键.

41经典例题三根据矩形的性质求线段长】

【例3】（2023下•江苏无锡•八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，。是的中点，E为AD边上一点,

且有AE=OB=4.连接OE,若ZAEO=75。,则OE的长为（）

3

A.2B.y/2C.—V6—V2D.2^/6-2^/2

【答案】D

【分析】连接AC,OE,过点E作所LBO于点尸，根据矩形的性质可得AC=8,由NAEO=75。可得

ZE4O=30°,进而利用含30度角的直角三角形求出DE,然后利用等腰直角三角形的性质即可解决问题.

【详解】解：如图，连接A。，OE,过点E作EFLBD于点

Ar-----------------——-^D

BC

在矩形ABCD中，

・「。是8D的中点，

,\OA=OB=OD,

AE=OB=4.f

.\AE=OA=4

AC=8,Z.AOE=AAEO,

VZAEO=75°,

二.”AO=30。，

:.CD=-AC=4

2,

:.AD=/CD=46

:.DE=AD-AE=4y/3-4.

OA=OD,

...ZAOD=ZEOD=30°,

...ZAOE=ZAEO=75°,ZAOD=180°-2ZEAO=120°,

NEOF=ZAOD-ZAOE=45°,

又,：EF工BD,

.-.OF=EF=-DE=2^-2

2,

OE=逝EF=276-2夜

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的性质，含3。度角的直角三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题

的关键是掌握矩形的性质.

产【变式训练】

I.（2024上•陕西汉中•九年级统考期末）如图，矩形ABCD的对角线交于点O,AB=4,AD=2,YADE为

等边三角形，点尸是直线EO上一点，连接。尸，则线段。尸的最小值为（）

73+2

C.2

2

【答案】D

OA=-AC

【分析】连接OE交AO于当0尸,即时，线段°尸的值最小，根据矩形的性质得AC=3