中考数学重难点题型之函数专练：二次函数与线段最值问题（解析版）

专题06二次函数与线段最值问题

解题点拨

知识要点1：平面内任意两点距离公式

若4>1，%）,5（%2，y2）

=22

则%2）2+（%-％）2或A§2=（X]-X2）+（3-y2）

知识要点2：平面直角坐标系中构造相似

借助平面直角坐标系的直角特点，作平行线或垂线，构造出“A”“X”型相似或“一线三垂

直”型相似以及“反A”和蝶形相似，利用相似比转化，列出数量关系求解。

知识要点3：铅垂线最值

如图，X轴为水平线，PDLX轴于E,PD叫铅垂线。

铅垂线最值一般解法为：一设（设出P点坐标并表示出D点）；二列（表示出PD长度）；三

配（把PD的长度看做关于点P横坐标的二次函数，配方求最值）

直击中考

1.（2022•湖北武汉•统考中考真题）抛物线尸犬一2彳-3交x轴于4,5两点（/在B的左

边），c是第一象限抛物线上一点，直线AC交y轴于点p.

(1)(2)

⑴直接写出/,8两点的坐标；

（2）如图（1）,当8时，在抛物线上存在点。（异于点8）,使8,。两点到AC的距

离相等，求出所有满足条件的点。的横坐标；

⑶如图（2）,直线3P交抛物线于另一点E,连接CE交>轴于点尸，点C的横坐标为

FP

"i.求而的值（用含加的式子表示）.

【答案】⑴4（-L0）,3（3,0）；

(2)0,匕匣或

22

【分析】(1)令炉-2x-3=0求出x的值即可知道/,B两点的坐标；

(2)求出直线AC的解析式为＞=x+l,分情况讨论：①若点。在AC下方时，②若点。

在AC上方时；

fy=kx+b

(3)设点E的横坐标为〃.过点P的直线解析式为、=丘+以联立2c。，得

[y=x-2x-5

x2-(2+k)x-3-b=0.利用A,8点的横坐标求出机=3+儿”=设直线CE的解

析式为y=»+4,求出加〃=一3-4，进一步求出。尸=6,4=；从+。即可求出答案.

【详解】(1)解：令尤2-2尤一3=0,解得：再=-1,无2=3,

0A(-1,O),3(3,0).

(2)解：SOP=OA=1,

团尸(0,1),

国直线AC的解析式为y=X+1.

①若点。在AC下方时，

过点8作AC的平行线与抛物线的交点即为2.

EB（3,0）,BD,//AC,

回8%的解析式为y=x-3.

y=x-3

联立

y=x2-2x-3，

解得，*=0,无2=3（舍）.

团点。的横坐标为0.

②若点。在AC上方时，点^（0,-3）关于点p的对称点为G（0,5）.

过点G作AC的平行线I，贝U/与抛物线的交点即为符合条件的点D.

直线/的解析式为V=x+5.

y=x+5,

联立_29&，得/_3%_8=0,

y_JC—/X—J

3-7413+同

解得，x--------------，X、

x22

回点2，2的横坐标分别为匕匣，巴画

22

团符合条件的点。的横坐标为：0,3-百或21巫

22

（3）解：设点E的横坐标为过点P的直线解析式为、=米+》.

y=kx+b、

联立2,得f—(2+%)%—3—人=0.

y=x-2x-3

设X1,巧是方程x?—（2+左）x—3-6=。两根，则X]%=—3—。.（*）

团彳4尤c=XBXE=-3-b.

回4=T,

回％=3+b,

0m=3+Z?.

团莅=3,

b

团兀£=_1l_§，

M=T上

3

设直线CE的解析式为V=P%+9,

同（*）得m几=一3一q,

团q=-mn-3.

E^=-(3+^)[-l-|l-3=11/?2+2Z2.

3

I

^\OF=-b29+2b.

3

SOP=&,

1

0FP=-Z?29+/7.

3

FP1lc、11

团=—b7+dl=—（zm-3）+l=­m.

OP333

【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，难度较大，需要掌握函数与X轴交点坐

标，（1）的关键是令尤2-2尤-3=0进行求解；（2）的关键是分点。在AC下方和在AC上方

时两种情况讨论：（3）的关键是求出OP,FP.

2.（2022•山东聊城•统考三模）如如图，在平面直角坐标系中，抛物线产-1炉+灰+。与x轴

交于/（-2,0）、B（4,0）两点（点/在点8的左侧），与y轴交于点C,连接/C、BC,

点尸为直线8c上方抛物线上一动点，连接。尸交BC于点0.

⑴求抛物线的表达式；

⑵当黑的值最大时，求点尸的坐标和黑的最大值；

⑶点M为抛物线上的点，当/3C0=NACO时，求点M的坐标.

【答案】=+%+4

⑵去最大值为1网2,4）

⑶点V的坐标为或（8,-20）

【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；

（2）运用待定系数法求得直线8c的解析式为y=-x+4,如图1,过点P作PD与轴交5c于

点。，设尸（加，-1m2+w+4）,则。（m,-m+4）,证明得出：

1

--------4-/M7

£2=丝=，=_l（m_2）2+l，运用求二次函数最值方法即可得出答案；

OQOC482

(3)分当点N在x轴下方和当点M在x轴上方两种情况讨论，利用三角函数的定义求解

即可.

(1)

解：国抛物线>=-；彳2+云+。与x轴交于N(-2,0)、B(4,0)两点(点4在点8的左

侧)，

19

—x(-2)~-26+c=0

2],解得:b=l

c=4

——X42+4/?+C=0

2

国抛物线的函数表达式为y=-：■?+苫+4；

(2)

解：回抛物线〉=-；无?+x+4与y轴交于点C,

EC(0,4),

团OC=4,

设直线8C的解析式为y=Ax+d,把3(4,0),。(0,4)代入，得:

4-k+d=0k=-l

d=4，解得

d=4

团直线BC的解析式为y=-X+4,

如图，过点夕作尸轴交于点Q,

1

田PD=——m9+2m,

2

^PD//OC,

120

——m+2m11

^PQ=PD=2

二-----------=-l（,M-2）+i

~OQ~~OC~48V72

团当机=2时，黑取得最大值;，此时，P(2,4)；

(3)

解：①如图，当点〃在x轴下方时，在x轴上取一点尸，使NBCF=/ACO,延长CF交

抛物线于点过点尸作尸G,3c于点G,过点G作G//LAB于点

团点8,C的坐标分别为（4,0）,（0,4）,

^\OB=OC,

0ZCS（9=45°,

0FG=BG,

nA21

0tanZBCM=tanZACO=——=—=—,

OC42

国CG=2FG=2BG.

在入△BOC中，BC=4iOB=4垃，设FG=BG=n,

贝!JCG=2〃，BC=3n,

国3〃=40，角星得〃=

BBF=y/2BG=-f

3

4

^OF=OB-BF=-

3y

回点方的坐标为

设直线CF的表达式为y=kxx+b{,

4

-k.+h=Q

叫3।1

、4=4

团直线CF的表达式为y=—3x+4,

y=——x2+x+4

2

y=—3x+4

[x=0%2=8

解得，（舍去）,

M=4%=—20

回点河的坐标为（8,-20）.

②如图，当点M在x轴上方时，过点5作交CM?于点、H,过点H作例，%

轴于点N,

团NCBH=90。.

用OB=OC,

0ZCBO=45°,

ZBHN=ZHBN=45°f

田BN=HN.

团NBCM=NACO,

mrnZBCM=tmZACO=—=-=-=

5coe42

回BH=LBC=2拒,

2

祖HN=BN=2

@ON=OB+BN=6,

团点〃的坐标为（6,2）.

设直线CH的表达式为y=px+q,

1

6p+q=2p=一一

团q=4,解得3,

q=4

团直线CH的表达式为y=—；x+4,

y=——x2+x+4

2

1

y=——x+44

3

8

x=­

[X=0o3

解得,（舍去）,

bi=428

%二

回点加的坐标为

（o28）

综上可知，点M的坐标为匕，旬或（8,-20）.

【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，解直角三

角形，相似三角形的判定和性质，熟练运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键.

3.（2022・广西百色•统考一模）如图，已知抛物线y=-/+bx+c与一直线相交于/（：,

0）,B（2,3）两点，抛物线的顶点为

（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；

⑵若C是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点C的横坐标为3过点C作y轴的

平行线交与D,当，为何值时，线段的长最大，并求其最大值；

⑶若抛物线的对称轴与直线N8相交于点N,£为直线上的任意一点，过点E作E尸〃

交抛物线于点尸，以M,N,E,尸为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点£

的坐标；若不能，请说明理由.

【答案】⑴>=--+2工+3,顶点M的坐标为（1,4）

⑵当/1时，的长最大，最大值为Q1

24

⑶能，点£的坐标为：（0,1）或（上二叵，三叵）或（土叵，也叵）

2222

【分析】（1）根据点4C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的表达式；

（2）根据点/,C的坐标，利用待定系数法可求出直线/C的表达式，由点P的横坐标为

t,可得出点PM的坐标，进而可得出产缶/+什2,再利用二次函数的性质即可解决最值问

题；

（3）利用二次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特征可求出点。，2的坐标，进而可

得出AD的长，由£7迥3D,可得出当EF=AD=2时，以3,D,E,尸为顶点的四边形为平

行四边形，设点E的坐标为（x,x+1）则点尸的坐标为（x,〃+2x+3）,进而可得

出EA|f-x-2|,由£尸=2可得出关于x的方程，解之即可得出x的值，进而可得出点E的

坐标.

（1）

将4-1,0）,8（2,3）代入抛物线的解析式丫=-幼+法+。得:

J0=-1—b+c

卜-4+2/?+。’

[b=2

解得：。

[c=3

回抛物线的解析式为y=-『+2x+3,

（2）

由y=~x~+2x+3,彳导：y=一（尤―1）一+4

回顶点A/■的坐标为（1,4）

回C是抛物线上位于直线上方的一个动点，横坐标为,,

回点C的坐标为。，―尸+2+3）；

设直线48的解析式为、=〃a+”0力。），

将/（；,0）,8（2,3）代入得:

[~m+n=0fm=l

L,V解得：]

2m+〃=3\n=l

回直线AB的解析式为y=x+l；

EICDEly轴，点、D在AB上,

回点。的坐标为（夕+1）,

19

回C0=_*?+2,+3—（，+1）=_«一万产?+a

团当，=:1时，C。的长最大，最大值为9:；

24

（3）

以/N,E,尸为顶点的四边形能为平行四边形.

理由如下：

设点石（私机+1）,贝IJ尸（根,—根2+2相+3）,

团EF=\m+l-（-m2+2m+3）=|m2-m-21,

回直线45的解析式为y=x+l,抛物线的对称轴与直线45相交于点N,

团N（1,2）,

0W=2,

^EF^MN,

^\EF=MN,

in|m2-m-21=2,

2

0m一加一2=2或根?—m—2=—2,

解得：回=。，机2=1（舍去），7723=--，■=1+.

回点E的坐标为：（0,1）或（匕叵，三叵）或（出叵，如叵）.

2222

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次

函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质以及平行四边

形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标特征，利用待定系数法求出二次函数

解析式；（2）用含/的代数式表示出的长；（3）利用平行四边形的性质，找出关于x的

方程.

4.（2022・广西百色•统考二模）如图，抛物线yud+fcv+c与无轴交于N（-1,0）,B（4,

0）,过点/的直线y=-无-1与该抛物线交于点C,点P是该抛物线上不与48重合的动

点，过点尸作轴于点。，交直线4C于点£.

(1)求抛物线的解析式；

⑵当点尸在直线/C的下方，且PE=2DE时，求点尸的坐标；

⑶当直线尸。为x=l时，在直线尸。上是否存在点0,使站C0与0ED4相似？若存在，请

求出点。坐标；若不存在，请说明你的理由.

【答案】(1仃=尤2-3元-4

(2)(1,⑹

⑶存在，点0的坐标为(1,-4)或(1,-6)

【分析】(1)将点A(-LO)，3(4,0)代入>=1+法+。，求出6,c的值，进而可得抛物线

解析式；

(2)设尸(x,》2一3%一4),贝ljE(x,-x—1),D(x,0),贝lj/+2x+3,DE=x+l,1艮

据PE=2DE,即-d+2x+3=2(x+l),求出满足要求的x的值，进而可得点尸的坐标；

(3)依题意联立方程得-x-l=/-3x-4,求出满足要求的x的值，进而可得点C坐标为

(3,-4),由勾股定理求AC=4夜，由题意知，£>(1,0),E(l,-2),AD=2,DE=2,求

出AE,CE的值，根据ZAED=NCEP,回0CE与EED4相似，可知分两种情况求解：①当

ZEQC=ZEDA=90°^,^EQCS^EDA,EQ=DE,求出点0的坐标；②当

NECQ=NED4=90。时，^ECQS^DA,贝|强=生，求出EQ的值，进而根据

EAED

DQ=DE+EQ,求出点。的坐标.

⑴

l—b+c=0

解：将点A(—l,0),3(4,。)代入广炉十阮+C,得

16+4〃+c=0'

b=-3

解得:

c=-4f

回抛物线的解析式为y=d-3x-4.

⑵

解：设尸(x,V-3x-4),则E(x,—尤一1),£>(x,0),

回尸E=_x_1——3x_4)=_x~+2尤+3,DE-0—(_x_1)=x+],

0PE=2DE,

团一x~+2尤+3=2(x+1),

解得，西=-1,x2=1,

将X=1代入y=x2-3x-4=i2-3xi-4=-6,

回点P的坐标为(1,-6).

⑶

解：存在，理由如下；

团直线丫=一无一1与抛物线〉=元2—3彳一4交于/、C两点，

回联立方程得：-尤-1=Y-3X-4,

解得士=T，x?=3

团点C坐标为(3,-4),

由勾股定理得，AC=^[3-(-1)]2+(-4-0)2=472，

由题意知，0(1,0),E(l,-2),

QAD^2,DE=2,

^AE=y/22+22=2^2>CE=AC-AE=4逝-2母=2及，

^\ZAED=ZCEP,I3QCE与0ED4相似，分两种情况求解：

①当ZEQC=NEDA=90°时，

回AE=CE=2后，

^EQCS^EDA,

团EQ=DE=2,

团点0的坐标为(1,-4)；

②当ZECQ=NEDA=90°时，

^EECQSSEDA,

回或二区，即用二述，

EAED2夜2

解得EQ=4,

团DQ=DE+EQ=2+4=6,

团点。的坐标为(1,-6)；

综上所述，当点。的坐标为(1,-4)或(1,-6)时，鲂C0与国ED4相似.

【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与线段综合，二次函数与相似三角形综

合，勾股定理等知识.解题的关键在于对二次函数，相似三角形知识的熟练掌握与灵活运

用.

5.（2022•甘肃庆阳•统考二模）如图，二次函数丁=62+法-3（0工0）的图象交x轴于

A（-l,0）,8两点，交y轴于点C,且O3=OC.

⑴求抛物线的函数表达式；

（2）设点。是〉轴右侧抛物线上一点（。不与8重合），过点。作。£以轴，垂足为点£,交

直线8c于点F若DF=2EF,求点。的坐标；

⑶在（1）的条件下，平面内是否存在点G,使得以点3,C,D,G为顶点的四边形是平

行四边形？若存在，求直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由.

[答案]⑴y=/_2x_3

⑵(2,-3)

⑶存在，(—1,一6)或(1,0)或(5,0)

【分析】（1）由题意知C（0，-3）,2（3,0）,待定系数法求。涉的值，进而可得二次函数表达

式；

（2）设。伽，m2-2m-3）,则E（祖,0）,设直线8c的表达式为y=履+万，待定系数法求

[k=l

得，可得直线2。的表达式为>=尤-3,则巴加，根-3）,当m<3时，

[b——3

DF=3机-m2,EF=3-m,根据AF=2EF,即3力2-加=2（3-〃。，求出满足要求的优的

值，进而可得。点坐标；当机>3时，DF^rrr-3m,EF=m-3,tg®DF=2£F,即

2

W-3m=2（m-3）,求出满足要求的机的值，进而可得。点坐标；

（3）由题意知，分两种情况求解：①当。是对角线时，如图，四边形BCGD是平行四

边形；C（0,-3）,3（3,0）,0（2,-3）,由平行四边形的性质可知，C、D与B、。的中点

坐标均为(1,-3),进而可求G1的坐标；②当8是边长时，如图，四边形BGzCQ与

BCZJG,均为平行四边形；由平行四边形的性质可知，C、B与D、。的中点坐标均为

(|，-1),进而可求G?的坐标；由平行四边形的性质可知，B、。与C、&的中点坐标均

为(|，-|)，进而可求G3的坐标.

(1)

解：团二次函数y=ox2+bx-3(〃w0)的图象交V轴于点C,

回。(0,-3),

国OB=OC=3,

团3(3,0),

a-b-3=0

将A,B代入y=ox?+"一3（〃。0）得,

9〃+3/?—3=0

Q=1

解得

b=-2

回二次函数的表达式为y=x2-2x-3.

⑵

解：设。(帆m2-2m-3),则E(机0),

设直线的表达式为丁=丘+力，

J3左+力=0

将aC代入'=日+万得,

[b=-3

k=l

解得

b=—3’

团直线BC的表达式为y=%-3,

0F（m,m-3）,

当机＜3时，DF=3m—m2,EF=3—m,

0DF=2£F,

03m-/n2=2（3-m）,

解得加=2,m=3（不合题意，舍去），

00（2-3）；

当机＞3时，DF=m2-3m,EF=m-3,

0£）F=2£F,

0AW2-3zn=2（m—3）,

解得帆=2（不合题意，舍去），m=3（不合题意，舍去），

综上所述，D（2,-3）.

⑶

解：由题意知，分两种情况求解：①当8是对角线时，如图，四边形2CGQ是平行四边

形；

0C（O,-3）,3（3,0）,0（2-3）,

由平行四边形的性质可知，C、D与B、。的中点坐标均为（1,-3）,

回G（-1,-6）；

②当。是边长时，如图，四边形BGzCD与BCDG,均为平行四边形；

由平行四边形的性质可知，C、B与D、&的中点坐标均为

0G2（1,O）；

由平行四边形的性质可知，B、D与c、6的中点坐标均为

回a（5,o）；

综上所述，存在点G,使得以点8,C,D,G为顶点的四边形是平行四边形，点G的坐标

为（T-6）或（1,0）或（5,0）.

【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数与线段综合，二次函数与特殊的四边形综

合等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

6.（2022•黑龙江哈尔滨•哈尔滨市第四十九中学校校考模拟预测）如图，抛物线

y=a（x+3）（x-4）交x轴于N、B,交y轴于点C,点。为抛物线第三象限上一点，且

=135。，OD—f

(1)求a的值；

(2)点尸为第一象限抛物线上一点，连接尸D,交y轴于点£,过点尸作尸敝轴，垂足为

F,求g的值；

PF

⑶在(2)的条件下，连接尸8,若PE+PB=DE,求点尸的坐标.

【答案】⑴a=_g

(2)2

(3)(1,6)

【分析】(1)如图所示，过点。作取轴于E,先证明。，=。〃，然后利用勾股定理求出

OH=DH=4,从而求出点。的坐标，然后代入抛物线解析式即可求出a的值；

(2)先求出点C的坐标为(0,6),设点尸的坐标为(加，+求出直线

尸名的解析式为y=一苏+加+203+-2•一2加+24,则点£的坐标为(0,

2m+8m+4

—*7—QJT14

),即可推出CE=2m,由此即可得到答案；

m+4

(3)如图所示，在。£上取一点M使得，EM=EP,过点E作歹轴的平行线交过点。与x

轴平行的直线于。，过点尸作处悭轴于N,直线尸。与x轴交于点7,设点尸的坐标为

(m,-1/7i2+1/n+6),同理可以求出直线尸。的解析式为

y=f2+"+20x+-2m2-2m+24,点石的坐标为(0,-2m2-2m+24然后证明

2m+8m+4m+4

Rt^BPN^RtBDMQ,从而推出即二师5M得到夕丁二心，进而推出点T的坐标为

xA八EH—加？+//I+20—2帆2—2加+24八日4帆2+4加-48加

(z2冽-4,0),令y=0,贝IJ-----------------x+---------------------=0,解得兀=——Z-------------,贝I]

2m+8m+4-m+m+20

2m-4=4"+4"-48,由此即可得到答案.

-m+m+20

（1）

解：如图所示，过点。作。〃取轴于E,

^\BOD=135°,

WHOD=45°,

又盟汨即0D//O=9O°,

^\HDO=WOD=45°9

配H=OH,

团"+。”2=。。2=32,

国OH=DH=4,

又回点。在第三象限，

团点。的坐标为（-4,-4）,

回T=a（T+3）（T—4）,

1

回Q=——；

2

⑵

解：由（1）可知，抛物线解析式为〉=-3（尤+3）（尤-4）=-g/+g尤+6,

回点C的坐标为（0,6）,

设点P的坐标为（m,-；加2+；，〃+6）,直线的解析式为>=依+>，

—4k+b=—4

,11小

mk7+b=——m2+—m+6

L22

2

1.7—_-_m___+_m__+__2_0

2m+8

.-2m2-2m+24

b=--------------------

m+4

-m2+m+20-2m2-2m+24

回直线尸。的解析式为y=------------------------------------------

2m+8m+4

mALg/n—d/c—2加之一2zn+24、

团点上的坐标为(0,--------------------),

m+4

，-2m2-2m+24

团CE=6----------------------

m+4

6m+24+2m2+2m-24

m+4

2m2+8m

m+4

=2m,

又耽咽y轴,

团PF=m,

解：如图所示，在。E上取一点M使得，EM=EP,过点E作歹轴的平行线交过点。与％轴

平行的直线于0,过点尸作尸N取轴于N,直线尸。与x轴交于点T,

设点。的坐标为(m,--m2+-m+6),

22

同理可以求出直线PD的解析式为y=一而+"+20%+-2〃/―2"+24

2m+8m+4

—2m2—2m+24)

团点E的坐标为(0,

m+4

^ME-PE,DE=PE+PB,

团£为“产的中点，DM=BP,

团点M的横坐标为-加，

团点Q的横坐标为-冽，

^\DQ=-m-(-4)=4-m,

回点8是抛物线y=-^(%+3)(犬-4)=一；％2+gx+6与x轴靠右边的一个交点,

团点8的坐标为(4,0),

⑦BN=4-m=DQ,

在H烟5尸N和Rt^DMQ中，

[DM=BP

[DQ=BN'

^Rt^BPN^Rf^DMQ(HL),

^PBN=^\MDQ,

团OQ〃x轴，

^PTB^MDQ^PBN,

国PT=PB,

又明施毒，

团点N为"的中点，

回点7的坐标为(2加-4,0),

八口"—m2+m+20—2m2—2m+24_

令Ay=o,贝！J--------x+----------=0,

2m+8m+4

回X=4〃：+4，〃―48

-m2+m+20

4m2+4m-48

团2m-4=

-m2+m+20

团—2m3+2m2+40m+4m2—4m—80=4m2+4m—48,

0m3-m2-16m+16=0,

Sm2(m—1)—16(m—1)=0,

0(m+4)(m—4)(m—1)=0,

又回点尸在第一象限，

0O<m<4,

0m-l=O,

0m=1,

团点尸的坐标为(1,6).

【点睛】本题主要考查了二次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，等腰三角

形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线

利用属性结合的思想求解是解题的关键.

7.(2022・四川自贡・九年级专题练习)如图，抛物线3与无轴交于/(-2,0)

和2(4,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点尸为直线2C下方抛物线上一动点(不与点5、C重合)，于点跖PD^AB

于点。，交直线8c于点N,当尸点的坐标为何值时，PM+PN的值最大？

⑶点P在第四象限的抛物线上移动，以尸C为边作正方形CPEF、当抛物线的对称轴经过

点E时，求出此时点P的坐标.

［答案］--X-3

o4

(2)当〃=2时，?的值最大，此时尸点坐标为(2,-3)

210410

(3)尸点坐标为(鼻，-々")或(可，一不)

【分析】(1)用待定系数法确定抛物线解析式即可;

333

(2)求出直线3C的解析式为歹=丁-3.设尸点坐标为"，N点的坐标

a3333c3

为Qn,-n-3),则PN=—〃一3-(一7?——n-3)=一一n2+—n,由锐角三角函数表示W=

448482

4

~PNf则由二次函数的性质可得解；

(3)过点尸作尸长眇轴于K,交抛物线的对称轴于G,证明"EG睡]。尸K(W4S),得出CK

3333

=PG,设P(x,-x2--x-3),抛物线的对称轴为直线x=L则G(L-x2--x-

8484

33333

3),K(0,-x2----x-3),可得出?G=|l-x|,CK=\-x2-----x-3+31=\x2-----x|,解

84844

方程即可得解.

(1)

解：依题意将4、B两点坐标代入-3中得：

J4"2O-3=0

116。+4匕-3=0'

3

CL=一

解得：8，

b=——

[4

国抛物线的解析式为y=?尤2-3；

o4

(2)

33

解：在〉=^尤2-3中，令x=0得y=-3,

o4

0C(O,-3)；

设直线5c的解析式为加，

将5(4,0),。(。，―3)分别代入得：

{4k+m=0

Im=—3

,k=-

解得：,4,

m=-3

3

回直线5C的解析式为y=[X-3.

333

设尸点坐标为(m-n2--n-3),N点的坐标为(n,-n-3),

844

33o33o3

0/W=—n—3—(―M2—n—3)=—n2H——n,

48482

0PMZ15C,PD^AB,

^\PMN=^PDB,

^PNM=^\BND,

^MPN=WBC,

回。5=4,OC=3,

叫"y]0B2+0C2=742+32=5,

4

团PM=7W・cos回MPN=7W・cos团O8C=彳尸M

国PM+PN=)PN=--n1+—n=-—(n-2)2+—.

540104010

27

0------<0,且0V〃V4,

40

团当〃=2时，尸M+PN的值最大，此时尸点坐标为(2,-3).

(3)

过点尸作尸K取轴于K,交抛物线的对称轴于G,如图，

团四边形PEFC为正方形，

^PE=PC,^EPC=90°

mPGE=^PKC=90°,

团团PEG=E1。尸K,

^PEG^ICPK(AAS)f

团CK=PG,

33

设尸(x,抛物线的对称轴为直线x=L

84

3333

则G(l,——x-3),K(0,——x-3),

8484

3333

团PG=11-x|,CK—|-x2--x-3+31=|-x2--x\,

33

0|1-x\^\-x2--x\,

o4

334

解方程1-X=石，-得，Xl=—,X2=-2（舍去）；

843

339

解方程X-1=三--得，Xl=~,X2=4（舍去）；

843

210410

团尸点坐标为（§,一可）或（]，-1）.

【点睛】本题考查了二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数

的性质和正方形的性质、全等三角形的判定与性质；利用待定系数法求二次函数解析式，

解一元二次方程；理解坐标与图形性质是解题的关键.

8.（2022•山东泰安•统考中考真题）若二次函数y="2+a+c的图象经过点A（-2,0）,

B（0,-4）,其对称轴为直线无=1,与x轴的另一交点为C

⑴求二次函数的表达式；

（2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作MNLx轴于点N.

①若点N在线段OC上，且MV=3NC,求点〃的坐标；

②以肱V为对角线作正方形MPNQ（点尸在脑V右侧），当点尸在抛物线上时，求点M的

坐标.

【答案】（i）y=g/一＞4

⑵①]|，-/②"

【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；

（2）①先求出直线A3的表达式为y=-2x-4,然后设点N的坐标为（机0）.可得

可得到MN=2〃z+4,NC=4—m.再由MN=3NC,即可求解；②连接

PQ与MN交与息E.设点朋■的坐标为2—4）,则点N的坐标为&0）

根据正方形的性质可得£的坐标为&T-2）,进而得到P的坐标（2f+2,f-2）.再由点P

在抛物线上，即可求解.

【详解】（1）解：「二次函数"加+bx+c的图象经过点（0,-4）,

又抛物线经过点4（-2,0）,对称轴为直线x=l,

1

_A=1ci=一,

2a'解得回，2

4。一2人一4二0,Z?=—1,

抛物线的表达式为y=-尤-4.

（2）解回①设直线AB的表达式为>=区+”.

点43的坐标为A（-2,0）,B（0,T）,

—2k+〃=0k=-2

0〃一,解得团

n=—^

•••直线AB的表达式为y=-2x-4.

根据题意得回点。与点A（-2,0）关于对称轴直线x=1对称,

,•,C（4,0）.

设点N的坐标为（根,0）.

轴,

团脑V=2"i+4

:.NC=4-m.

.MN=3NC

2m+4=3（4-m）,

Q

解，得利=].

8_36

•••点的坐标

M5,-y

②连接尸。与MN交与点£.

设点”的坐标为（-2—4）,则点N的坐标为«,0）

四边形MPNQ是正方形,

PQYMN,NE=EP,NE=-MN.

2

团[毗轴，

...尸Q〃x轴.

.♦E的坐标为-2).

/.NE=%+2.

:.ON+EP=ON+NE=t+t+2=2t+2.

即的坐标⑵+2,-/-2).

1,点尸在抛物线y=g尤2-尤-4上，

1

.•.万(2，+2)9-(21+2)-4=一/一2.

解，得乙=1，%=-2.

，点尸在第四象限，

t=—2舍去.

即

2

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的

性质，一次函数的图象和性质是解题的关键.

9.(2022•辽宁朝阳,统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o？+2无+c与

x轴分别交于点/(I,0)和点8,与y轴交于点C(0,-3),连接3C.

(1)求抛物线的解析式及点B的坐标.

(2)如图，点尸为线段5C卜.的一个动点(点、P不与点、B,C重合)，过点尸作y轴的平行线

交抛物线于点。，求线段尸。长度的最大值.

⑶动点尸以每秒收个单位长度的速度在线段8c上由点C向点8运动，同时动点M以每

秒1个单位长度的速度在线段2。上由点2向点。运动，在平面内是否存在点N,使得以

点尸，M,B,N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若

不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=%2+2x-3,(-3,0)

(3)[-3,-|U(-2,1)或(0,3-30)

【分析】(1)将/,C两点坐标代入抛物线的解析式求得a,c的值，进而得出解析式，当

方0时，求出方程的解，进而求得8点坐标；

(2)由8,C两点求出5c的解析式，进而设出点尸和点0坐标，表示出的长，进一

步得出结果；

(3)要使以点尸，M,B,N为顶点的四边形是菱形，只需即MB是等腰三角形，所以分为

PM=BM,PM=PB和BP=BM,结合图象，进一步得出结果.

(1)

解：把点4L0),C(0,-3)代入>=62+2]+。得：

fc=—3(c=—3

<o12解得：\1，

[a+2xl+c=0[a=l

回抛物线解析式为y=V+2x-3；

令y=0,则Y+2尤-3=0,

解得：士=1,%=-3,

回点8的坐标为(-3,0);

(2)

解：设直线8C的解析式为丁=履+6(笈W0),

把点B(-3,0),C(0,-3)代入得：

[b=-3“,快=-!

\o,,,n>解得：1,

[—3左+b=0[b=-3

团直线BC的解析式为y--％-3,

设点P(m,-m+3),则+2〃?-3),

回PQ=(-m—3)-^m2+2m-3^=—m2-3m=—,

39

团当力=一/时，尸。最大，最大值为];

(3)

解：存在，

根据题意得：PC=®BM=t,则尸3=30-万，

如图，当时，

ELB(-3,0),C(0,-3),

回。3=。。=3,

瓯0。2=回。2。=45°,

延长NP交y轴于点。，

团点尸，M,B,N为顶点的四边形是菱形,

EPNElx轴，BNSPM,即DV眇轴，

随CZJP为等腰直角三角形，

0CZ)=PD=PCsinZOCB=V2zx—=r,

2

团团同尸8二团OBC=45°,

^\PMO=^PDO=^\MOD=90°,

回四边形OWP。是矩形,

WM=PD=t,MPElx轴，

曲\悭轴，

骷M+OM=OB,

3

回什/=3,解得/=一，

2

如图，当尸M=尸2时，作尸。也轴于。，连接尸N,

团点尸，M,B,N为顶点的四边形是菱形,

SiPNWM,NE=PE,

@BM=2BE,

S3\OEP=S\DOE^ODP=90°,

回四边形PDOE是矩形，

^OE^PD=t,

^BE-3-t,

Qt=2(3-e),解得：t=2,

ELP(-2,-1),

E2V(-2,1)；

如图，当尸时，

3&.-叵t=t，解得：t=6-3立,

0PN=BP=BM=6-3近,

过点P作/Wc轴于点E,

^\PE^\PM,

^EON=^OEP=^\EPN=90°,

回四边形OEPN为矩形，

0PN=OE,PN0y轴，

E0O5C=45°,

^\BE=PE=PB^nOBC=（6-3夜）？［3夜