圆锥曲线大题归类（学生版）-2024年高考数学一轮复习突破卷（新高考）

专题突破卷23圆锥曲线大题归类

O题型预览

求值问题

Ism定点问题

曲定值问髓

线

’.T题

六M

B

通

用篦国最值问题

存在性问题

1.轨迹问题

I.已知点/(14,0),点P是圆/+/=16上的动点，M为线段尸/的中点，当点P在圆上运动时，求动点M

的轨迹方程，并分析此轨迹与圆/+/=16的位置关系.

2.在平面直角坐标系xQy中，设点尸的轨迹为曲线C.①过点尸(1,0)的动圆恒与了轴相切，灯为该圆的直

径；②点尸到尸(1,0)的距离比P到y轴的距离大1.

在①和②中选择一个作为条件：

(1)选择条件：_求曲线c的方程;

3.已知圆片：(x+1)2+j2=9,圆巴：(x-1)2+y2=1,圆月：(x+3)~+/=9,圆瑞：(x-3『+/=i.

(1)若动圆〃■与圆片内切与圆巴外切.求动圆圆心新的轨迹G的方程；

⑵若动圆M与圆马、圆工都外切.求动圆圆心〃•的轨迹。2的方程.

4.已知反比例函数〉的图象C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线.

(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；

(2)设4,4为双曲线C的两个顶点，点M(X。,%),N(%,X。)是双曲线c上不同的两个动点.求直线AXM与

4N交点的轨迹£的方程；

5.在平面直角坐标系xQy中，已知圆心为。的动圆过点(2,0),且在V轴上截得的弦长为4,记C的轨迹为

曲线E.

⑴求E的方程；

6.如图所示，以原点。为圆心，分别以2和1为半径作两个同心圆，设A为大圆上任意一点，连接CM交

小圆于点B,设=过点42分别作龙轴，了轴的垂线，两垂线交于点

⑴求动点M的轨迹C的方程;

2.求值问题

22/1\

7.(2023•四川•校联考一模)已知点(-2,0)在椭圆C：0+[=15>/,>0)上，点M加,彳(机30)在椭圆

ab1

C内.设点48为C的短轴的上、下端点，直线NM,8M分别与椭圆C相交于点£,F,且瓦4,£8的斜

率之积为一

4

(1)求椭圆C的方程；

S1

(2)记SQBME，S"分别为,AAMF的面积，若首皿=工，求加的值.

'△BME4

8.已知双曲线C/一片=1的右焦点为尸，过点尸的直线与双曲线。的两条渐近线分别交于4,5两点.

2

(1)若直线N8的斜率为1,求线段48的中点坐标；

(2)若点尸(再,%)，0(%，%)在双曲线C的右支上，且再＞赴＞0,弘＞0,PQ//AB,过点尸且斜率为一行

的直线与过点0且斜率为0的直线交于线段N5上一点跖且|/a=加八叫，求实数彳的值.

9.已知。为坐标原点，椭圆J+，=l(a＞b＞0)的离心率为半，椭圆的上顶点到右顶点的距离为遥.

(1)求椭圆的方程；

(2)若椭圆的左、右顶点分别为£、F,过点。(-2,2)作直线与椭圆交于A、5两点，且A、8位于第一象限,

A在线段5D上，直线。。与直线用相交于点C,连接防、EC,直线£2、EC的斜率分别记为左、右，

求匕士的值.

,1,49

10.已知圆J：(x+l)-+y2=-,圆a：(x-l)~+/=y,圆M与圆Q外切，且与圆仪内切.

⑴求圆心M的轨迹C的方程；

(2)若/,B,0是C上的三点，且直线N8不与x轴垂直，O为坐标原点，OQ=WA+^OB,则当。03的

面积最大时，求川+储的值.

11.(2023•四川泸州•统考三模)已知椭圆G：/+/=l(a>6>0)的右焦点为尸(后，°)，短轴长等于焦距.

(1)求C的方程；

(2)过尸的直线交C于P,。，交直线x=2收于点N,记。尸ON的斜率分别为勺4,质，若

(左+/)&=1,求叶+|。0「的值.

12.已知48是椭圆。上的两点，4(2,1),4、B关于原点。对称，〃是椭圆C上异于43的一点，直线M4

和MB的斜率满足左”左“5=-万•

(1)求椭圆。的标准方程；

(2)若斜率存在且不经过原点的直线/交椭圆。于P,。两点(2。异于椭圆C的上、下顶点)，当△。尸。的面

积最大时，求心尸,府。的值.

3.定点问题

22

13.如图，已知点工(3,-逐)和点(卜5,收)在双曲线。:鼻―%=1,>0,6>0)上，双曲线C的左顶点为

A,过点l(/,0)且不与x轴重合的直线/与双曲线C交于尸，。两点，直线/P,工。与圆分

别交于"，N两点.

⑴求双曲线C的标准方程；

⑵设直线/尸，4。的斜率分别为勺，k2,求后人的值;

(3)证明：直线九W过定点.

14.已知抛物线C:y2=2"(0＞O),过焦点的直线/与抛物线C交于两点1,B,当直线/的倾斜角为时,

6

\AB\=\6.

(1)求抛物线c的标准方程和准线方程；

(2)记。为坐标原点，直线工=-2分别与直线CM,08交于点N,求证：以九W为直径的圆过定点，并

求出定点坐标.

15.已知双曲线C:5-4=1(。＞0力＞0)的左右焦点分别为4月，点尸在双曲线上，若

ab

\PF,\-\PF2\=^b,且双曲线焦距为4.

⑴求双曲线C的方程；

（2）如果0为双曲线C右支上的动点，在x轴负半轴上是否存在定点“使得/。8初=2/0〃工？若存在，求

出点/的坐标；若不存在，说明理由.

22

XV

16.设椭圆C：/十瓦=1（。>6>0）的左、右顶点分别为/、B,且焦距为2.点尸在椭圆上且异于/、B

3

两点.若直线以与必的斜率之积为-

（1）求椭圆C的标准方程;

（2）过点尸作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线加的方程为：x=-2a,过点M

作ME垂直于直线力，交”于点E.判断直线EN是否过定点，并说明理由.

22（

17.数学试题）已知椭圆C:]+方=1（。>6>0）的焦距为2,且经过点

（1）求椭圆C的方程；

（2）经过椭圆右焦点尸且斜率为左（后20）的动直线/与椭圆交于/、2两点，试问x轴上是否存在异于点尸的

定点7,使可•忸7|=忸川.|4力恒成立？若存在，求出7点坐标，若不存在，说明理由.

22万/、

18.椭圆氏,方=1缶>6>0）的离心率是半，点M（亚,1）是椭圆E上一点，过点尸（0,1）的动直线/与椭

圆相交于48两点.

⑴求椭圆£的方程；

(2)求。。8面积的最大值;

QAPA

(3)在平面直角坐标系xQy中，是否存在与点尸不同的定点。，使扇=就恒成立？存在，求出点。的坐

标；若不存在，请说明理由.

4.定值问题

22

19.已知半椭圆鼻+==1(>>0,。>6〉0)和半圆V+j?(0)组成曲线「.如图所示，半椭圆内切于矩形

ab

”C£),C£)与了轴交于点G,点尸是半圆上异于/,2的任意一点.当点P位于点处时，AAGP

的面积最大.

⑴求曲线「的方程;

(2)连接尸C,PA分别交于点E,F,求证：|/幻2+|昉『为定直

22

2。.已知双曲线。与-步心。)一个焦点厂到渐近线的距离为亚.

⑴求双曲线C的方程；

(2)过点(2,0)的直线/与双曲线C的右支交于4B两点,在x轴上是否存在点N,使得福.丽为定值？如

果存在，求出点N的坐标及该定值；如果不存在，请说明理由.

21.已知抛物线。:/=2°欠经过点(2,-2&)，直线4：了=丘+加(筋-0)与C交于A,3两点(异于坐标原

点。).

(1)若德•痂=0，证明：直线I过定点.

(2)已知后=2,直线4在直线4的右侧，"〃2，4与4之间的距离d=«，6交C于“，N两点,试问是否

存在加，使得|八卯|-|/切=10?若存在，求加的值；若不存在，说明理由.

22

22.已知椭圆C:与+2=1(。>6>0)的左、右顶点分别为48,长轴长为短轴长的2倍，点尸在C上运动,

ab

且A/B尸面积的最大值为8.

(1)求C的方程；

(2)若直线/经过点0(1,0),交C于MN两点，直线分别交直线x=4于。，£两点，试问△/8D与

△/QE的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

23.已知点P与定点尸(后0)的距离和它到定直线x=#的距离比是等.

(1)求点P的轨迹方程C；

(2)若直线V=h+，"与轨迹C交于M,N两点，。为坐标原点直线OM,ON的斜率之积等于,试探求QMN

的面积是否为定值，并说明理由.

24.已知圆直线/:x+3y-10=0,尸为直线/上一点，过点P作圆C的两条切线P4P8,其中

48为切点，且|尸闻最小.

(1)求直线的方程；

(2)。为圆C与x轴正半轴的交点，过点尸作直线厂与圆C交于两点设纱的斜率分别为匕，%,

求证：勺+网为定值.

5.定直线问题

25.椭圆“J+.=l(a>6>0)的上顶点为/(0,后)，下顶点为8,离心率为等，点尸(0,2).

(1)水椭圆「的方程；

⑵过点尸的动直线/交椭圆C于/,N两点(不同于A,8两点)，若直线/N与直线8M交于点。，试问

点。是否在一条定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.

26.已知椭圆C：1+*~=l(a>0,6>0)过点M，且离心率为巧.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线/：y=x+M与椭圆c交》轴右侧于不同的两点/,B,试问：的内心是否在一条定直线上？

若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由.

22

27.已知椭圆C:1r+}=1(。>6>0)右焦点分别为耳，4(2,1)是C上一点，点3与A关于原点O对称,

鸟的面积为后.

(1)求C的标准方程；

(2)直线〃//B,且交C于点。，E,直线4D与3E交于点P.

证明：①直线AD与BE的斜率乘积为定值；

②尸点在定直线上.

28.已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为卜2石,0),离心率为6.

⑴求C的方程；

(2)记C的左、右顶点分别为4，4,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点，〃在第二象限，直线

M4与NA之交于点P.证明:点尸在定直线上.

29.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的

22

反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线氏亍-方=1(6>0)的左、右焦点分别为片、耳，从巴发出的

3

,5.tanZCAB=——，AB1BD.

4

⑴求双曲线£的方程;

(2)设4、4为双曲线E实轴的左、右顶点，若过尸(4,0)的直线/与双曲线C交于M、N两点，试探究直线

4M与直线4N的交点。是否在某条定直线上？若存在，请求出该定直线方程；如不存在，请说明理由.

22

30.已知点(2,3)在双曲线C：=-T^=l上.

a-a2+2

(1)双曲线上动点。处的切线交C的两条渐近线于43两点，其中O为坐标原点，求证：的面积s是

定值；

⑵已知点尸(；」)，过点。作动直线/与双曲线右支交于不同的两点"、N,在线段MN上取异于点M、N的

\PM\\MH\...

点、H,满足，证明：点”恒在一条定直线上.

6.证明问题

22

31.已知双曲线C：》-方=1(°>0,6>0)的离心率为2,其左、右焦点分别为耳，用，点A为C的渐近

线上一点，|/£|的最小值为百.

⑴求C的方程；

(2)过C的左顶点3且斜率为M后/0)的直线/交C的右支于点尸，与直线X=g交于点。，过耳且平行于

的直线交直线尸匕于点初，证明：点加在定圆上.

32.已知椭圆氏£+4=1(°>6>0),其离心率e=」L长轴长为6.

a2b2v73

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)椭圆£的上下顶点分别为48,右顶点为C,过点A的直线/与椭圆E的另一个交点为P,点。与点尸关

于x轴对称，直线4尸交3C于/,直线幺。交3c于点N,点7(6,-2),求证：|/闾=|力V|.

22

33.已知4是椭圆及,+(=1的左顶点，斜率为左(左〉0)的直线交E与4/两点，点N在E上,

MA1NA.

⑴当=时，求的面积；

(2)当2MM=|/囚时,证明：^<k<2.

22

34.定义：若椭圆C:1+4=im>6>0)上的两个点刈不必)，/无2，%)满足呼+警=。，则称48为该

abab

椭圆的一个“共轨点对”，记作[A,可.已知椭圆C的一个焦点坐标为K(-272,0),且椭圆C过点N(3,l).

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵求“共轨点对”[4间中点8所在直线/的方程；

(3)设。为坐标原点，点尸，。在椭圆C上，且PQ//Q4,(2)中的直线/与椭圆C交于两点片,打，且四点的

纵坐标大于0,设四点织尸,打,。在椭圆C上逆时针排列.证明：四边形耳尸与。的面积小于

22

35.已知椭圆C：会+3=1(〃>6>())的左顶点为/,上顶点为8,右焦点为尸(1,0),。为坐标原点，线段

0/的中点为。,且忸必=|。为.

⑴求C的方程；

⑵已知点M、N均在直线x=2上，以儿W为直径的圆经过。点，圆心为点T,直线NM、/N分别交椭圆C

于另一点P、Q,证明直线尸0与直线。7垂直.

36.在平面直角坐标系xQy中，已知双曲线G：2x2-y2=1.

⑴求出双曲线。的渐近线方程；

(2)过G的左顶点引G的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及X轴围成的三角形的面积;

⑶设斜率为1的直线/交G于尸，。两点，若/与圆*2+/=1相切，求证：。尸，。0.

7.范围最值问题

V-2V21

37.已知椭圆C:=+4=l(a>6>0)的左右顶点分别为4,3,椭圆的离心率为6=彳，动点。在曲线C上,

ab2

且A/8。的面积的取值范围是(0,2e],过点的直线/与椭圆交于N两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若点〃■在第一象限，求左2-3凝N的取值范围.

38.已知抛物线C：f=4y,过点。(0,2)的直线/交抛物线交于a8两点，抛物线在点力处的切线为4,

在点8处的切线为4,直线4与4交于点M

(1)设直线4，4的斜率分别为直线左，右，求证：K•&=-2；

(2)证明：点M在定直线上；

\MN\

(3)设线段N2的中点为N,求上号的取值范围.

\AB\

22

39.已知。为坐标原点，尸。,0)是椭圆C：1+4=1(。＞6＞0)的右焦点，过尸且不与坐标轴垂直的直线

ab

/交椭圆C于/,3两点.当/为短轴顶点时，A/。尸的周长为3+。.

⑴求C的方程；

(2)若线段的垂直平分线分别交x轴、y轴于点P,Q,M为线段N8的中点，求1PM口尸口的取值范围.

22

40.已知双曲线\一q=19＞。＞0)左、右焦点为4月，其中焦距为2近，双曲线经过点。(4,3).

ab

⑴求双曲线的方程；

(2)过右焦点F2作直线交双曲线于两点(M,N均在双曲线的右支上),过原点O作射线OP,其中。尸,

垂足为£,尸为射线。与双曲线右支的交点，求41MMTOP「的最大值.

41.设动点〃与定点尸(c,0)(c>0)的距离和“到定直线/：x=g的距离的比是会

⑴求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；

(2)当,=也时，记动点”的轨迹为O,动直线机与抛物线「：/=4x相切，且与曲线。交于点/,B.求

面积的最大值.

22

42.已知双曲线A-q=1,(。>0,6>0)的离心率为2,右焦点尸到渐近线的距离为百.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若点尸为双曲线右支上一动点，过点尸与双曲线相切的直线/,直线/与双曲线的渐近线分别交于M,N

两点，求AFW的面积的最小值.

8.存在性问题

43.已知椭圆E：3+/=1(。>6>0)的离心率为等，耳，£为£的左、右焦点，若过右焦点£的直线

与椭圆E交于不同的两点“，N,有的周长为8.

(1)求椭圆E的方程;

(2)已知过点P(0,2)且斜率为左的直线/与椭圆£有两个不同的交点48,在x轴上是否存在一点。，使得

△0/8是以点。为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出上的值及点。的坐标；若不存在，说明理由.

22

44.已知椭圆用：亍+方=1(。>6>0)的左，右顶点分别为4,4,上，下顶点分别为综层，四边形层

的内切圆的面积为学，其离心率6=地；抛物线£2：/=2。M2>0)的焦点与椭圆耳的右焦点重合.斜率

65

为左的直线/过抛物线外的焦点且与椭圆月交于/，8两点，与抛物线外交于C，。两点.

(1)求椭圆耳及抛物线石2的方程；

12

(2)是否存在常数几，使得函|+同为一个与人无关的常数？若存在，求出4的值；若不存在，请说明理由.

22

45.已知椭圆氏=+右=1(。>6>0)的左、右焦点分别为点斗且，短轴的上、下端点分别为4,反，若椭

ab

圆的离心率为四边形片片与片的面积为2G.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设两条直线加与/交于椭圆的右焦点，且互相垂直，直线/交椭圆C于点42,直线机交椭圆C于点

29

C,D,探究：是否存在这样的四边形N3CZ),使得其面积为彳？请说明理由.

46.设抛物线「：/=4x的焦点为尸，经过x轴正半轴上点”(加,0)的直线/交：T于不同的两点A和反

■<

⑴若|E4|=3,求A点的坐标；

(2)若俏=2,求证：原点。总在以线段N8为直径的圆的内部；

⑶若|取|=|府|,且直线《/〃，人与「有且只有一个公共点E,问：△O4E的面积是否存在最小值？若存

在，求出最小值，并求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.(三角形面积公式：在。8C中，设

r

C4=a=(x1,y1),CB=b=(x2,y2),则“8C的面积为S=:润帽1=(卜％-马川)

47.已知尸为抛物线「：j?=4x的焦点，。为坐标原点.过点尸(，4)且斜率为1的直线/与抛物线「交于

A,8两点，与X轴交于点

⑴若点P在抛物线「上，求户口

(2)若“08的面积为2收，求实数P的值；

(3)是否存在以M为圆心、2为半径的圆，使得过曲线「上任意一点。作圆加的两条切线，与曲线「交于另

外两点C,。时，总有直线也与圆M相切？若存在，求出此时。的值；若不存在，请说明理由.

48.如图，已知动圆”过定点尸(1,0)且与丁轴相切，点尸关于圆心”的对称点为F,点尸的轨迹为，.

⑴求曲线"的方程；

(2)一条直线经过点尸，且交曲线77于A、3两点，点C为直线尤=-1上的动点.

①求证：//C8不可能是钝角；

②是否存在这样的点C,使得“8C是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由.

限时训绘1

49.设。为坐标原点，点、M,N在抛物线C:/=4了上，且而•砺=-4.

(1)证明：直线次W过定点；

\MN\

(2)设C在点M,N处的切线相交于点尸，求耐■的取值范围.

50.已知抛物线C:廿=2x的焦点为尸，平行于无轴的两条直线4,4分别交C于/，3两点，交C的准线/

于尸，。两点.

(1)若厂在线段上，R是尸。的中点，/火与尸。平行吗？

(2)若△尸。尸的面积是△/B尸的2倍，求中点的轨迹方程.

22

51.已知椭圆C:下方=1(°>6>0)过点(o,若)，且离心率为十，设A、8分别为椭圆的左右顶点，耳、

修为椭圆的左右焦点，点尸为椭圆C上不同于A、8的任意一点，点。是椭圆C长轴上的不同于A、8的

任意一点

(1)求椭圆c的标准方程；

(2)当△尸片耳内切圆的面积最大时，求内切圆圆心的坐标；

11

(3)设直线尸。与椭圆C的另一个交点为点N,若国+国的值为定值，则称此时的点。为“稳定点”，问:

是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”，并说明理由；若没有，也请说明理由.

52.在平面直角坐标系工S中，已知椭圆£的焦点为片卜6,0),西(6,0)，且满足，椭圆E的上、

下顶点分别为48,右顶点为D,直线/过点。且垂直于x轴.现有如下两个条件分别为:

条件①；椭圆过点[6,g],条件②：椭圆的离心率为日

请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答.

(1)求椭圆E的标准方程;

⑵若点。在椭圆E上（且在第一象限），直线/。与/交于点N,直线2。与x轴交于点试问：|OM|+2|DN

是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

53.已知抛物线C：尤2=2抄5>0）上的点—/,1）到焦点尸的距离为2.

（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；

（2）过点又（2,2）的任意直线/与抛物线C交于点42,过点42的抛物线C的两切线交于点N,证明：点、N

在一条定直线上，并求出该定直线的方程.

54.已知椭圆C:=+£=1（。>6>0）的左右焦点为耳闺闾=2道，尸为椭圆C上异于长轴端点的一个动

ab

点，。为坐标原点，直线心，尸。，尸鸟分别与椭圆C交于另外三点当尸为椭圆上顶点时，有

PF\=2F\M.

（1）求椭圆C的标准方程;

⑵求沁+沁的最大值.

、丛PQM、丛PQN

55.在△尸片为中，已知点片卜6,0),月(6,0),郎边上的中线长与尸工边上的中线长之和为6；记△尸片片

的重心G的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)若圆。：x2+y2=l,£(0,-1),过坐标原点。且与歹轴不重合的任意直线/与圆。相交于点A,B,直线

EA,班与曲线C的另一个交点分别是点N,求AEMN面积的最大值.

56.过椭圆工+匕=1的右焦点尸作两条相互垂直的弦AB,CD.AB,CD的中点分别为Af,N.

43

(1)证明：直线九W过定点;

(2)若4B,CD的斜率均存在，求AFW面积的最大值.

57.如图：小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一

根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板上点尸

处，用铅笔尖扣紧绳子(使两段细绳绷直)，靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平

面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3