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文档简介
第63讲圆与圆的位置关系
知识梳理
1、圆与圆的位置关系
设圆01:(x—ai)2+(y—bi)2=ii(ri>0),
圆。2:(x—。2产+()/—历)2=吆「2>0).
代数法:两圆方程联立组成方程
几何法:圆心距d与匕,「2的关系
位置关己、
组的解的情况
外离d>ri+r2无解
外切c/=ri+r2一组实数解
相交\ri-r2\<d<r1+r1两组不同的实数解
内切d=\r1—r2\(r^r2)一组实数解
内含0<d<\r1—r2\(r1^r2)无解
2、【常用结论】
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆上一点尸(无0,%)的圆的切线方程为Xox+yoy=r2.
(2)过圆x2+y2=,外一点〃(尤0,州)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为xox+yoy=e
2.圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时,其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
(2)两个圆系方程
①过直线Ar+By+C=O与圆/+>2+以+或+歹=0交点的圆系方程为f+》2+以+@+歹+44了+为+。
=0(2eR);
②过圆G:/+产+。以+幻》+打=。和圆C2:d+V+Q尤+瓦丫+尸2=0交点的圆系方程为炉+/+。以+
—1)(其中不含圆C2,所以注意检验。2是否满足题意,以防丢解).
真题再现
1、(2022•新高考I)写出与圆f+y2=i和。一3)2+(丫-4)2=16都相切的一条直线的方程
【答案】x=-l(填3x+4y-5=0,7元一24y-25=0都正确).
【解析】圆尤?+;/=1的圆心坐标为OQO),半径(=1,
圆(尤-3)2+(y-4>=16的圆心坐标为C(3,4),半径r2=4,
如图:
433
,/koc=—,「./i的斜率为一w,设直线4:y=+b,即3x+4y-4b=0,
由।:।=1'解得b(负值舍去),则4:3x+4y—5=。;
4
由图可知,/2:%=-1;4与4关于直线)=—%对称,
X=-1
4
联立4,解得4与4的一个交点为(-1,-一),在4上取一点(-1,0),
y=—x3
13
‘%4x-l
—=—0•----
该点关于、=壮工的对称点为(%,%),贝”23:,解得对称点为(_1,一★).
3%__上2525
XQ+14
--2-4-1—4
k.=3=—,贝I]/:y=Z(尤+i)-d,即7x-24y-25=0.
37
"_7_+124243
25
二与圆f+9=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程为:
x=-l(填3x+4y-5=0,7尤一24y—25=0者B正确).
故答案为:x=-l(填3x+4y-5=0,7x-24y—25=0都正确)
热身训练
1、若圆C]:/+y2=1与圆02:/+y2-6x-8y+根=0外切,则
A.21B.19C.9D.-11
【答案】C
【解析】由题意得G(0,0),。2(3,4),/]==125-m,|qc2|=/i+^=l+V25-m=5,所以m=9.
2、圆Ci:(x+1)2+。-2>=4与圆C2:(无一3>+。一2)2=4的公切线的条数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】圆G:(x+l)2+(y—2)2=4的圆心为C1(—1,2),半径为2,圆C2:(x—3)2+——2)2=4的圆心为
Cz(3,2),半径为2,两圆的圆心距|CiC2|=X(—1—3)?+(2—2)2=4=2+2,即两圆的圆心距等于两圆的半径
之和,故两圆外切,故公切线的条数为3.
3、圆。+2)2+V=4与圆(x—1)2+。-4>=9的位置关系为()
A.内切B.相交
C.外切D.相离
【答案】C
【解析】由题意,得两圆心距离d=5,n+r2=2+3=5,所以两圆外切.
4、已知圆G:x2+/-2x-6j-l=0和圆C2:f+y2—l(h—12y+45=0,则圆G和圆。2的公共弦所在
直线的方程为.
【答案】4x+3y—23=0
【解析】圆G和圆C2的方程相减,得4尤+3y—23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4无+3y—23
=0.
典例剖析
考向一圆与圆的位置关系
例l^已知两圆x2+y2—2x—6y—l=0和x2+y2—i0x—12y+m=0.
(l)m取何值时两圆外切?
(2)m取何值时两圆内切?
(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
【解析】两圆的标准方程为(x—l)2+(y—3)2=11,(x—5)2+(y—6)2=61—m,圆心分别为M(i,3),N(5,6),
半径分别为恒和#61—m.
⑴当两圆外切时,4—5-12+~6-32=yfll+y/61~m,解得m=25+10®.
⑵当两圆内切时,因定圆的半径A/五小于两圆圆心距5,故只有「61—m—吊五二5,解得m=25—10^/11.
⑶当m=45时,4一4五<|MN|=5<®+4,两圆相交,其两圆的公共弦所在直线方程为俨+丫2—2乂
-6y-l)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0.
/~二<14x1+3x3-23^广
所以公共弦长为2y/2_[_^y==_板.
变式1、(1)已知圆G:(x—a)2+(j+2)2=4与圆C2:(X+6)2+(J+2)2=1相外切,则ab的最大值为.
【答案】:
【解析】由圆Ci与圆C2相外切,可得用(。+6)2+(—2+2>=2+1=3,即(a+6)2=9,根据基本不等式,
(a+6平99
得层一J=4>当且仅当时等号成立.故"的最大值为不
(2)已知圆G:(x—a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+^)2+(y+2)2=1,贝U^+房的最小值为.
【答案】|
I----------------+//+
【解析】由圆G与圆。2内切,得4(〃+。)2+(-2+2)2=1,即(〃+。)2=1.又由基本不等式="三(丁J,
c(〃+。)211
可知---=],当且仅当时等号成立,故/+庐的最小值为了
变式2、(1)已知两圆C1:/十丁2—2x+10y—24=0,C2:d+V+Zx+Zy—8=0,则两圆公共弦所在的直线
方程是.
(2)两圆x2+y2—6x+6y—48=0与d+V+dx—gy—44=0公切线的条数是.
(3)已知。。的方程是一+产一2=0,。0"的方程是炉+产一8x+10=0,若由动点尸向。。和。0,所引的切
线长相等,则动点尸的轨迹方程是.
3
【答案】:(l)x—2y+4=0(2)2(3)x=]
【解析】:(1)两圆的方程相减得:入-2y+4=0.
(2)两圆圆心距1=巾5<晒+洞,.••两圆相交,故有2条公切线,
(3)。。的圆心为(0,0),半径为镜,。0,的圆心为(4,0),半径为加,设点尸为(%,y),由已知条件和
圆切线性质得f+丁一2=(x—4>+丁一6,化简得
方法总结:(1)判断两圆的位置关系多用几何法,即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断,一般不采用代
数法.
⑵求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中,由弦心距d,半弦长g,半径r所在线段构成直角三角形,
利用勾股定理求解.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.
考向二圆与圆的综合问题
2222
例2、(2022•山东临沂•高三期末)已知圆G:x+y=l,圆C?:x+y=4,P&,%)在圆川上,。(々,力)
在圆C2上,则()
A.的取值范围是[1,3]B.直线工建+%>=1是圆G在p点处的切线
c.直线xF+yy=4与圆c?相交D.直线尤2彳+丫2y=1与圆V+y2=^■相切
■4
【答案】ABD
【解析】圆G:/+丁=1的圆心为匕(0,0),半径为1,圆C?:x2+y2=4的圆心为C2(0,0),半径为2,
观察图象可得2—14|尸942+1,所以「0的取值范围是[1,3],A对,
团尤1%+弘弘=1,s点尸(药,%)在直线=i上,
又G(0,0)到直线XF+yj=1的距离4=-/12=1,又圆C1的半径为1,
回直线X|X+yy=l是圆C1在尸点处的切线,B对,
团点「(5,%)在圆G上,Sxf+yf=1,
4,
0Cz(O,O)到直线平+%y=4的距离&J=-n/=4,又圆C?的半径为2,
收+M
回直线无1彳+=4与圆C?相禺,C错,
圆f+9]的圆心为(。,。),半径为9
1
点(0,0)到直线/x+=1的距离4
在+贤2,
13直线尤2》+%>=1与圆/+_/=,相切,D对,
变式、(2022•湖北武昌•高三期末)已知圆。的方程为-+y2=l,P是圆C:(x-2p+y2=16上一点,过P
作圆。的两条切线,切点分别为4B,则丽.丽的取值范围为
3595
【答案】2,-ir
【解析】如图,
设力与PB的夹角为2a,
,1C0S6Z
则|以|二|P8|=-----=--,
tanasina
团PA-PB=IPAII而Icos2a="cos2a=1+2a.cos2a.
1111sina1-cosla
P是圆C:(X—2)2+V=i6上一点,
2=4-|(9C|<|PO\<\OC\+4=6,
|PA|J|PO|2-12
coscr=
VPO\~~\PO\~
/.cos2a=2cos2a-1=l----G
|P(912218
令f=1一cosaG
则丽•丽=比”沙=r+2-3在白白上递减,
tt182
所以当好上1时,/-(PA>--P-B\\=3-,此时P的坐标为(-2,0),
2'/min2
当/=上时,(西•丽)1mx=等,止匕时P的坐标为(6,0),
IX'718
"3595-
回西.丽的范围为.
_21o_
「3595-
故答案为:『"777'
方法总结:圆与圆的综合题目涉及到参数的问题,解题思路就是通过圆与圆的位置关系,寻求参数之间的
关系,然后转化为函数的思想进行解决
优化提升
1、(2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷)圆£:/+旷+4》—4y+根=0关于直线/疣—y+2=0对
称的圆为。2,若圆和圆。2有公共点,则实数机的取值范围为.
【答案】(—",6]
【解析】
G:x2+y2+4x-4y+m=0=>(x+2)~+(y—=8-m.
得8—7篦>0=m<8.又设(—2,2)关于/:x-y+2=0的对称点为(孙yj,
H=.]
石+26x=0
则2g…8-m.
A±^+2=O
22
又两圆有公共点,则0<J(—2—0)2+(2—0/<2,8
故答案为:(-8,6].
2、(2022•山东枣庄•高三期末)设Oa:/+y2=i与。02:x2+(y-2)2=4相交于4,8两点,则钻|=
【答案】姮
2
【解析】
将。+和。O2:/+(y-2)2=4两式相减:
得过⑪两点的直线方程:‘
则圆心。心。)到心的距离为。,
所以|A.=2>(;)2=半
故答案为:姮
2
3、(深圳市罗湖区期末试题)圆:—4y—6=o与圆。2:/+/一6x+8〉=0公共弦长为()
A.加B.V10
C.275D.36
【答案】C
【解析】
x2+y2-4y-6=0
联立两个圆的方程<
X2+y2-6x+8y=0
两式相减可得公共弦方程x-2y-l=0,
圆«:x?+(y—2『=10的圆心坐标为0](0,2),半径为r=回,
圆心«(0,2)到公共弦的距离为&==45,
公共弦长为d=2/2—42=2./10-5=275.
故选:C.
4、(2022年重庆市第八中学高三模拟试卷)(多选题)若过点(2,1)的圆C与两坐标轴都相切,且与过点
A(0,6)和点3(8,0)的直线相离,设尸为圆C上的动点,则下列说法正确的是()
A.圆心C的坐标为(L1)或(5,5)
B.△A3。面积的最大值为22
C.当最小时,|PA|=5
37r
D.不存在点尸使NAP3=—
4
【答案】BCD
【解析】
【详解】由题意知圆心必在第一象限,设圆心的坐标为(a,a),则圆的半径为。,
圆的标准方程为(尤―aF+(y—。)2=。2,由题意可得(2-。)2+(1-。)2=。2,解得。=1或。=5,
当a=l时,圆心(U)到直线之:6x+8y—48=0的距离为1=恒普若1>厂=1,
v62+82
/、,16x5+8x5-481
当〃=5时,圆心(5,5)到直线加:6x+8y—48=。的距离为d=J——==—kr=5,
V62+82
又圆C与几:6x+8y—48=0相离,所以圆心的坐标为(1,1),A错误;
因为点尸到直线6x+8y-48=0的距离的最大值为d=口+8一48|十厂=2,
105
所以£4BP<g|A3|d=22,B正确;
当最小时,与圆C相切,由对称性或勾股定理可得|P4|=J|ACf-户=5,C正确;
31.IABI=572
假设存在点P使/AP5=—万,则AABP的外接圆圆/的半径为2.3〃—“,
4sin——
4
设圆M方程为(%—a)2+(y—b)2=50,贝U
(0-a)2+(6-l
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