圆与圆的位置关系（解析版）-2024年高考数学一轮复习导学案

第63讲圆与圆的位置关系

知识梳理

1、圆与圆的位置关系

设圆01：(x—ai)2+(y—bi)2=ii(ri>0),

圆。2：(x—。2产+()/—历)2=吆「2>0).

代数法：两圆方程联立组成方程

几何法：圆心距d与匕，「2的关系

位置关己、

组的解的情况

外离d>ri+r2无解

外切c/=ri+r2一组实数解

相交\ri-r2\<d<r1+r1两组不同的实数解

内切d=\r1—r2\(r^r2)一组实数解

内含0<d<\r1—r2\(r1^r2)无解

2、【常用结论】

1.圆的切线方程常用结论

(1)过圆上一点尸(无0，%)的圆的切线方程为Xox+yoy=r2.

(2)过圆x2+y2=，外一点〃(尤0,州)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xox+yoy=e

2.圆与圆的位置关系的常用结论

(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.

(2)两个圆系方程

①过直线Ar+By+C=O与圆/+>2+以+或+歹=0交点的圆系方程为f+》2+以+@+歹+44了+为+。

=0(2eR)；

②过圆G：/+产+。以+幻》+打=。和圆C2：d+V+Q尤+瓦丫+尸2=0交点的圆系方程为炉+/+。以+

—1)(其中不含圆C2,所以注意检验。2是否满足题意，以防丢解).

真题再现

1、(2022•新高考I)写出与圆f+y2=i和。一3)2+(丫-4)2=16都相切的一条直线的方程

【答案】x=-l(填3x+4y-5=0,7元一24y-25=0都正确).

【解析】圆尤?+;/=1的圆心坐标为OQO),半径(=1,

圆(尤-3)2+(y-4>=16的圆心坐标为C(3,4),半径r2=4,

如图:

433

,/koc=—,「./i的斜率为一w，设直线4:y=+b，即3x+4y-4b=0,

由।:।=1'解得b（负值舍去），则4:3x+4y—5=。；

4

由图可知，/2：%=-1；4与4关于直线）=—%对称，

X=-1

4

联立4，解得4与4的一个交点为（-1，-一），在4上取一点（-1，0），

y=—x3

13

‘％4x-l

—=—0•----

该点关于、=壮工的对称点为（%,%）,贝”23:，解得对称点为（_1,一★）.

3%__上2525

XQ+14

--2-4-1—4

k.=3=—,贝I]/：y=Z（尤+i）-d,即7x-24y-25=0.

37

"_7_+124243

25

二与圆f+9=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一条直线的方程为:

x=-l（填3x+4y-5=0,7尤一24y—25=0者B正确）.

故答案为：x=-l（填3x+4y-5=0,7x-24y—25=0都正确）

热身训练

1、若圆C］：/+y2=1与圆02：/+y2-6x-8y+根=0外切，则

A.21B.19C.9D.-11

【答案】C

【解析】由题意得G(0,0),。2(3,4),/]==125-m,|qc2|=/i+^=l+V25-m=5,所以m=9.

2、圆Ci：(x+1)2+。-2>=4与圆C2：(无一3>+。一2)2=4的公切线的条数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】圆G：(x+l)2+(y—2)2=4的圆心为C1(—1,2),半径为2,圆C2：(x—3)2+——2)2=4的圆心为

Cz(3,2),半径为2,两圆的圆心距|CiC2|=X(—1—3)?+(2—2)2=4=2+2,即两圆的圆心距等于两圆的半径

之和，故两圆外切，故公切线的条数为3.

3、圆。+2)2+V=4与圆(x—1)2+。-4>=9的位置关系为()

A.内切B.相交

C.外切D.相离

【答案】C

【解析】由题意，得两圆心距离d=5,n+r2=2+3=5,所以两圆外切.

4、已知圆G：x2+/-2x-6j-l=0和圆C2：f+y2—l(h—12y+45=0,则圆G和圆。2的公共弦所在

直线的方程为.

【答案】4x+3y—23=0

【解析】圆G和圆C2的方程相减，得4尤+3y—23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4无+3y—23

=0.

典例剖析

考向一圆与圆的位置关系

例l^已知两圆x2+y2—2x—6y—l=0和x2+y2—i0x—12y+m=0.

(l)m取何值时两圆外切？

(2)m取何值时两圆内切？

(3)求m=45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.

【解析】两圆的标准方程为(x—l)2+(y—3)2=11,(x—5)2+(y—6)2=61—m,圆心分别为M(i,3),N(5,6),

半径分别为恒和#61—m.

⑴当两圆外切时，4—5-12+~6-32=yfll+y/61~m,解得m=25+10®.

⑵当两圆内切时，因定圆的半径A/五小于两圆圆心距5,故只有「61—m—吊五二5,解得m=25—10^/11.

⑶当m=45时，4一4五<|MN|=5<®+4,两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为俨+丫2—2乂

-6y-l)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0.

/~二<14x1+3x3-23^广

所以公共弦长为2y/2_[_^y==_板.

变式1、(1)已知圆G：(x—a)2+(j+2)2=4与圆C2：(X+6)2+(J+2)2=1相外切，则ab的最大值为.

【答案】:

【解析】由圆Ci与圆C2相外切，可得用(。+6)2+(—2+2>=2+1=3,即(a+6)2=9,根据基本不等式，

(a+6平99

得层一J=4>当且仅当时等号成立.故"的最大值为不

(2)已知圆G：(x—a)2+(y+2)2=4与圆C2：(x+^)2+(y+2)2=1,贝U^+房的最小值为.

【答案】|

I----------------+//+

【解析】由圆G与圆。2内切，得4(〃+。)2+(-2+2)2=1,即(〃+。)2=1.又由基本不等式="三(丁J,

c(〃+。)211

可知---=],当且仅当时等号成立，故/+庐的最小值为了

变式2、(1)已知两圆C1：/十丁2—2x+10y—24=0,C2：d+V+Zx+Zy—8=0,则两圆公共弦所在的直线

方程是.

(2)两圆x2+y2—6x+6y—48=0与d+V+dx—gy—44=0公切线的条数是.

(3)已知。。的方程是一+产一2=0,。0"的方程是炉+产一8x+10=0,若由动点尸向。。和。0,所引的切

线长相等，则动点尸的轨迹方程是.

3

【答案】：(l)x—2y+4=0(2)2(3)x=]

【解析】：(1)两圆的方程相减得：入-2y+4=0.

(2)两圆圆心距1=巾5<晒+洞，.••两圆相交，故有2条公切线，

(3)。。的圆心为(0,0),半径为镜，。0,的圆心为(4,0),半径为加，设点尸为(%,y),由已知条件和

圆切线性质得f+丁一2=(x—4>+丁一6,化简得

方法总结：(1)判断两圆的位置关系多用几何法，即用两圆圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代

数法.

⑵求两圆公共弦长的方法是在其中一圆中，由弦心距d,半弦长g,半径r所在线段构成直角三角形，

利用勾股定理求解.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.

考向二圆与圆的综合问题

2222

例2、(2022•山东临沂•高三期末)已知圆G：x+y=l,圆C?：x+y=4,P&,%)在圆川上,。(々,力)

在圆C2上，则()

A.的取值范围是[1,3]B.直线工建+%>=1是圆G在p点处的切线

c.直线xF+yy=4与圆c?相交D.直线尤2彳+丫2y=1与圆V+y2=^■相切

■4

【答案】ABD

【解析】圆G：/+丁=1的圆心为匕（0,0）,半径为1,圆C?：x2+y2=4的圆心为C2（0,0）,半径为2,

观察图象可得2—14|尸942+1,所以「0的取值范围是［1,3］,A对，

团尤1%+弘弘=1,s点尸（药,%）在直线=i上，

又G（0,0）到直线XF+yj=1的距离4=-/12=1,又圆C1的半径为1,

回直线X|X+yy=l是圆C1在尸点处的切线，B对，

团点「（5,%）在圆G上，Sxf+yf=1,

4,

0Cz（O,O）到直线平+%y=4的距离&J=-n/=4,又圆C?的半径为2,

收+M

回直线无1彳+=4与圆C?相禺，C错,

圆f+9］的圆心为（。,。），半径为9

1

点（0,0）到直线/x+=1的距离4

在+贤2,

13直线尤2》+%>=1与圆/+_/=，相切，D对,

变式、（2022•湖北武昌•高三期末）已知圆。的方程为-+y2=l,P是圆C：（x-2p+y2=16上一点，过P

作圆。的两条切线，切点分别为4B,则丽.丽的取值范围为

3595

【答案】2,-ir

【解析】如图,

设力与PB的夹角为2a,

,1C0S6Z

则|以|二|P8|=-----=--，

tanasina

团PA-PB=IPAII而Icos2a="cos2a=1+2a.cos2a.

1111sina1-cosla

P是圆C：(X—2)2+V=i6上一点，

2=4-|(9C|<|PO\<\OC\+4=6,

|PA|J|PO|2-12

coscr=

VPO\~~\PO\~

/.cos2a=2cos2a-1=l----G

|P(912218

令f=1一cosaG

则丽•丽=比”沙=r+2-3在白白上递减，

tt182

所以当好上1时，/-(PA>--P-B\\=3-,此时P的坐标为(-2,0),

2'/min2

当/=上时，(西•丽)1mx=等，止匕时P的坐标为(6,0),

IX'718

"3595-

回西.丽的范围为.

_21o_

「3595-

故答案为：『"777'

方法总结：圆与圆的综合题目涉及到参数的问题，解题思路就是通过圆与圆的位置关系，寻求参数之间的

关系，然后转化为函数的思想进行解决

优化提升

1、（2022年重庆市巴蜀中学高三模拟试卷）圆£:/+旷+4》—4y+根=0关于直线/疣—y+2=0对

称的圆为。2,若圆和圆。2有公共点，则实数机的取值范围为.

【答案】(—",6]

【解析】

G:x2+y2+4x-4y+m=0=>(x+2)~+(y—=8-m.

得8—7篦>0=m<8.又设(—2,2)关于/：x-y+2=0的对称点为(孙yj,

H=.]

石+26x=0

则2g…8-m.

A±^+2=O

22

又两圆有公共点，则0<J（—2—0）2+（2—0/<2,8

故答案为：（-8,6].

2、（2022•山东枣庄•高三期末）设Oa：/+y2=i与。02：x2+（y-2）2=4相交于4,8两点，则钻|=

【答案】姮

2

【解析】

将。+和。O2：/+（y-2）2=4两式相减:

得过⑪两点的直线方程：‘

则圆心。心。）到心的距离为。,

所以|A.=2>（；）2=半

故答案为：姮

2

3、（深圳市罗湖区期末试题）圆:—4y—6=o与圆。2：/+/一6x+8〉=0公共弦长为（）

A.加B.V10

C.275D.36

【答案】C

【解析】

x2+y2-4y-6=0

联立两个圆的方程＜

X2+y2-6x+8y=0

两式相减可得公共弦方程x-2y-l=0,

圆«:x?+（y—2『=10的圆心坐标为0］（0,2）,半径为r=回,

圆心«（0,2）到公共弦的距离为&==45,

公共弦长为d=2/2—42=2./10-5=275.

故选:C.

4、（2022年重庆市第八中学高三模拟试卷）（多选题）若过点（2,1）的圆C与两坐标轴都相切，且与过点

A（0,6）和点3（8,0）的直线相离，设尸为圆C上的动点，则下列说法正确的是（）

A.圆心C的坐标为（L1）或（5,5）

B.△A3。面积的最大值为22

C.当最小时，|PA|=5

37r

D.不存在点尸使NAP3=—

4

【答案】BCD

【解析】

【详解】由题意知圆心必在第一象限，设圆心的坐标为（a,a）,则圆的半径为。，

圆的标准方程为（尤―aF+（y—。）2=。2,由题意可得（2-。）2+（1-。）2=。2,解得。=1或。=5,

当a=l时，圆心（U）到直线之：6x+8y—48=0的距离为1=恒普若1＞厂=1,

v62+82

/、,16x5+8x5-481

当〃=5时，圆心（5,5）到直线加：6x+8y—48=。的距离为d=J——==—kr=5,

V62+82

又圆C与几：6x+8y—48=0相离，所以圆心的坐标为(1,1),A错误;

因为点尸到直线6x+8y-48=0的距离的最大值为d=口+8一48|十厂=2,

105

所以£4BP<g|A3|d=22,B正确；

当最小时，与圆C相切，由对称性或勾股定理可得|P4|=J|ACf-户=5,C正确;

31.IABI=572

假设存在点P使/AP5=—万，则AABP的外接圆圆/的半径为2.3〃—“，

4sin——

4

设圆M方程为(％—a)2+(y—b)2=50,贝U

(0-a)2+(6-l