直线和圆的位置关系（6个考点）-2024-2025学年浙教版九年级数学下册复习专练（含答案）

专题2直线和圆的位置关系（6个考点）

【考点1直线与圆的位置关系的判定】

【考点2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】

【考点3切线的判定】

【考点4切线的性质与判定的综合运用】

【考点5利用切线长定理的性质求线段长度或周长】

【考点6三角形的内切圆与内心】

述题型专练

【考点1直线与圆的位置关系的判定】

1.已知。。的直径是4,圆心。到直线/的距离d=4,则直线/与。。的位置关系是（）

A.相交B.相切C.相离D.不能确定

2.已知。。的半径「为3cm,圆心。到直线/的距离d为4cm,直线/与。。的公共点个数

为（）

A.0个B.1个

C.2个D.以上都不对

3.已知等边三角形4BC的边长为4cm,以点/为圆心，以3.5cm长为半径作。/,则。/

与3c的位置关系是（）

C.相离D.外离

4.已知。。的半径是一元二次方程/-7》+12=0的一个根，圆心。到直线/的距离d=3,

则直线/与。。的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D,相交或相切

5.在平面直角坐标系中，。/的圆心坐标为（4,6）,半径为5那么x轴与。/的位置关

试卷第1页，共12页

系是（）

A.相交B.相离C.相切D.以上都不是

6.己知。。的半径为2,点。到直线/的距离为3,则/与。。的位置关系是.

7.已知44P8=30。，。。的半径为2,圆心。在8尸上，当。尸=4时，。。与射线尸/的位

置关系为.

【考点2利用切线的性质求有关的角度/边长的运算】

8.如图，。。与△O4B的边48相切干点8,将△048绕点8顺时针方向旋转得到

△0W3,使得点O落在。。上，边48交线段40于点C,若NH=25。，则/0C3的度数

9.如图，是。。的直径，点。在。。上，过点。作。。的切线。C交48的延长线于点

C.若5c=4,CD=8,则。。的半径为（）

A.5B.6C.8D.9

10.如图，已知直线尸/交。。于4,2两点，4E是。。的直径，点C为。。上一点，且/C

平分NP/E,过C作。，尸/,垂足为。，且。。+。/=6,。。的直径为10,则的长

等于（）

试卷第2页，共12页

p

C.6D.8

11.如图，N8是。。的切线，3为切点，连接/。交圆于点。，其延长线交圆于点C,

A.3B.373C.6D.6^/3

12.如图，△/BC内接于。。，PA,必是。。的两条切线，若NC=50。，则NPA4等于

C.70°D.80°

13.如图，尸/和尸3是OO的两条切线，A、8是切点，连接尸。交。。于点C、D,连接

BD,若OD=2,BD//PA,则P4的长为（）

D.4

14.如图，AB、/C是。。的切线，B、C为切点，。是。。上一点，连接8。、CD,若

ZBDC=60°,AB=3,则。。的半径长为（）

试卷第3页，共12页

cD

A.V3B.3V5

15.如图，PA,PB是。。的切线，A,B为切点,。为圆上一定点，AAPB=60°,OA=4

时，/C的大小和P4的长分别是（）

A.60°,8B.45°,8C.60°,473D.45°,473

16.如图，己知48是的直径，PC切。。于点C,NPCB=35°,则等于度.

17.如图，△N3C中，BA=BC,以BC为直径的半圆。分别交48,/C于点D,E,过点E

3

作半圆。的切线，交N8于点/，交8c的延长线于点N.若ON=10,cosZABC=~,则

半径OC的长为_____.

OcN

【考点3切线的判定】

试卷第4页，共12页

18.如图，已知尸是。。外一点，尸。交。。于点C,OC=CP=2,弦/BLOC,

乙403=120°,连接尸B.

⑴求5C的长；

⑵求证：?3是。。的切线.

19.如图，。。是ANCD的外接圆，CD是。O的直径，点8为圆外一点，且

NBAD=NC.求证：是。。的切线.

20.如图，切。。于点A,点8在。。上，S.PA=PB.求证：PB是。。的切线.

21.如图，在△/2C中，//BC=90。，点。为上一点，以点。为圆心，。8长为半径

的圆交4C于点。，N/=2N1.求证：NC是。。的切线.

22.如图，在Rta4BC中，ZC=90°,/C=BC,点。在48上，以。为圆心，0/为半径

的半圆分别交/C，BC,48于点D,E,F,且点E是弧。9的中点.求证：8c是。。的切

线.

试卷第5页，共12页

c

【考点4切线的性质与判定的综合运用】

23.如图，以线段48为直径作。。，交射线NC于点C,4D平分/C43交。。于点。，过

点。作直线DE2NC于点£,交的延长线于点尸.连接AD并延长交NC于点

⑴求证：直线。£是。。的切线；

⑵若ME=1,NF=30。，求跖的长.

24.如图，在△NBC中，AB=BC,为。。的直径，/C与。。相交于点D,过点。作

DELBC于点E,C8延长线交。。于点R

⑴求证：OE为。。的切线；

⑵若8£=1,BF=2,求40的长.

25.如图，4B是。。的直径，/C是弦，。是蕊的中点，CD与交于点E.尸是力B延长

⑴求证：CF为。。的切线;

试卷第6页，共12页

(2)连接BD.若C尸=4,BF=2,求BD的长.

26.如图，在△4BC中，N/C8=90。，点。是A8边的中点，点。在NC边上，以点。为圆

心，0c为半径画。。，。。与48边相切于点E,过点A作//〃CD.

4

(2)若8C=6,smB=~,求。。的半径及。。的长.

27.如图，△AFE为等腰三角形，BF=EF,过△麻E外一点。作OCL3/垂足为点C,交

(2)若NC=2,AD=5,AE=4,求BP的长.

【考点5利用切线长定理的性质求线段长度或周长】

28.如图，四边形ABC。外切于。。，且48=10,CD=15,则四边形/BCD的周长为(

)

29.如图所示，△4BC的内切圆。。分别与4B,BC,NC相切于点。，E,F,且么。=6,

BE=4,CF=8,贝SABC的周长为()

试卷第7页，共12页

A

F

Ab）\

8E,

A.36B.38C.40D.42

30.如图，尸为。。外一点，PA、尸B分别切。。于A、B,CD切。。于点E,分别交

PA,PB于点、C、D,若尸N=5,则△尸CD的周长为（）

A.5B.10C.15D.20

31.如图，圆。是△/BC的内切圆，圆。的切线与45、C4相交于点M、N,若AAMN

周长为8cm,△45。的周长20cm,则长为（）

B

CNA

A.12cmB.5cmC.6cmD.9cm

32.如图，PA,PB切O。于A、8两点，EQ切。O于点C,分别交P4,PB于D,E,

DF

ED1AP,若。。的半径为r,APEL1的周长等于5r,则市的值是（）

AD________c

20-7「94

218105

33.如图，△ZBC的内切圆。。与AB,5C,ZC相切，切点为，£,尸，若4D=2,

BC=6,则△ZBC周长为—.

试卷第8页，共12页

A

F

BEC

34.如图，四边形/BCD是。。的外切四边形，若8。:/8:/。=3:4:6,且四边形/BCD

的周长为72,则四边形CD边长为.

【考点6三角形的内切圆与内心】

35.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形内心的是（

36.如图，不等边△4BC内接于。O,/是其内心，BIA.OI,AC=14,BC=13,l\ABC

A.4B.产D.3V3

37.如图，点/是“BC的内心，若/C=70。，则N4/B=

38.如图，已知在Rtz^48C中，Z5=9O°,AB=6,NC=10,点P是Rt448C的内心.点

试卷第9页，共12页

P到边的距离为:

39.己知△/BC内接于。。，它的内心为点。，连接/。交弦3C于点E,交。。于点凡已

知8E=5,CE=4,EF=3,则线段DE的长为.

F

40.如图，△NBC的内切圆（圆心为点。）与各边分别相切于点D,E,F,连接所，

DE,DF.以点8为圆心，以适当长为半径作弧分别交48,8c于G,H两点；分别以点

G,a为圆心，以大于;Ga的长为半径作弧，两条弧交于点P；作射线8尸.下列说法正

确的是.（填代码即可）

A.射线8P一定过点。

B.点。是S即三条中线的交点

C.若ZUBC是等边三角形，则=

D.点。是A7）EF三条边的垂直平分线的交点

41.如图，正方形4BC。和等边△/斯都内接于圆。，EF与BC,C。分别相交于点G,

H.若AE=6,则EG的长为.

试卷第10页，共12页

42.如下图1,已知△4BC中，AB=AC=10,8c=12,点/是△ABC内一点，若

ABIC=90°+|ABAC且BI平分/ABC.

⑴求证：点/是zusc的内心；

(2)如图2：直接写出答案：

△ABC外接圆的半径r=；&ABC的内心/与外心0的距离I=.

43.如图，£是△ABC的内心，4E的延长线与△4BC的外接圆。。相交于点D

D

⑴求证：DE=BD；

(2)若。£=10,8。=8百，求。。的半径.

44.如图，/是△48。的内心，血的延长线交△4BC的外接圆于点D

D

⑴求证：ABAD=ZCBD；

试卷第11页，共12页

⑵求证：BD=ID；

⑶连接3/、CI,求证：点。是△5/C的外心.

试卷第12页，共12页

1.c

【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，根据圆。的半径和，圆心。到直线/的距离的大

小，相交：d<r-相切：d=r-相离：d>r-即可选出答案.

【详解】解：:。。的直径为4,则半径为2,圆心。到直线/的距离为4,

4>2,即：d~>r,

・・・直线/与。。的位置关系是相离.

故选：C.

2.A

【分析】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟

悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键.圆的半径为r圆心到直线的距离为d,

当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当d=r时，圆与直线相切，直线与圆有一

个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案.

【详解】解：的半径厂为3cm,圆心。到直线/的距离d为4cm,

即圆心。到直线/的距离大于圆的半径，

.•.直线/和OO相离，

・••直线/与。。没有公共点.

故选：A.

3.A

【分析】本题考查了直线和圆的位置关系与数量之间的关系：圆心到直线的距离小于半径时,

直线与圆相交.过点/作3c于点。，根据等腰三角形三线合一求得8。的值，再利用

勾股定理可求得力。的长，把“。与圆的半径比较大小，根据直线与圆的位置关系即可求解.

【详解】过点/作4D12C于点。，

根据勾股定理得：AD=dAB?-BD2=V42-22=2百cm，

答案第1页，共37页

•.•(2何=12,3S=12.25,

•••2月<3.5,

以3.5cm长为半径作。4,则。/与8C的位置关系是相交，

故选：A.

4.D

【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系.掌握“d<r时直线与圆

相交，d=r时直线与圆相切，d>r时直线与圆相离”是解题的关键，先求出一元二次方程

的解，然后分两种情况讨论即可得解.

【详解】解:由/-7x+12=0得，

(x—3)(x-4)=0,

解得再=3,X?=4,

;r=3或r=4.

•••圆心。到直线/的距离d=3,

.•.当厂=3时，d=r,则直线/与。。相切，

当r=4时，d<r,则直线/与相交，

・•・直线/与。。的位置关系是相交或相切.

故选：D.

5.B

【分析】本题考查直线与圆的位置关系.欲求。/与x轴的位置关系，关键是求出点N到x

轴的距离d再与的半径5比较大小即可.

【详解】解：在直角坐标系内，以4(4,6)为圆心，5为半径画圆，则点尸到x轴的距离为

d=6,

r=5,

:,d>r,

・•・©/与x轴的相离.

故选：B.

6.相离

【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离直线与圆相离即

答案第2页，共37页

可求解，掌握直线和圆的位置与d和r之间的关系是解题的关键.

【详解】解：:。。的半径为2,点。到直线/的距离为3,

■.d>r,

・••/与。。的位置关系是相离，

故答案为：相离.

7.相切

【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的特征，直线与圆的位置关系：设。。的半径

为r,圆心。到直线/的距离为d,直线/和。。相交od<r；直线/和。。相切od=r；

直线/和相离。d>r,掌握利用d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系是解题的

关键.过点。作OCL尸/于点C,根据含30度角的直角三角形的特征，得到

CO=g。尸=2,由。。的半径为2,即可得出结论.

【详解】解：如图，过点。作。C，PA于点C,则40cp=90°,

CO=-OP=2,

2

•••QO的半径为2,

■■■。。与射线R4的位置关系为相切，

故答案为：相切.

8.C

【分析】本题考查了圆切线的性质定理、等边三角形的性质和判定，旋转中角度的计算，旋

转过程中对应边相等，对应角相等，旋转角处处相等.本题中利用圆的半径相等得到边长关

系进而求得角度关系是解题的关键.

连接O。'，先证△800'为等边三角形，求出△4。3=/。8。'=60。，由。。与△048的边4B

相切，可求/酸。=90。-/050'=30。，利用三角形内角和公式即可求解.

答案第3页，共37页

【详解】解：连接

••・将△048绕点B按顺时针方向旋转得到△04B,

BO'=BO=OO',

.•.△5。。，为等边三角形，

:.ZOBO'=60°,

•・•。。与4OAB的边48相切，

ZOBA=NO'BA'=90°,

ZCBO=90°-ZOBO'=90°-60°=30°,

ZA'=25°,

ZA'O'B=900-ZA'=90°-25°=65°,

ZAOB=ZA'O'B=65°,

AOCB=180°-ACOB-ZOBC=180°-65°-30°=85°.

故选：C.

9.B

【分析】此题考查了切线的性质、勾股定理等知识.

连接。。，由切线的性质得出ZODC=90。，设。。==x,由勾股定理得出尤2+8?=(x+4)2,

则可得出答案.

【详解】解：连接OD,

•••DC是。。的切线,

ODA.DC,

.­.ZODC=90°,

答案第4页，共37页

^OD2+DC2=OC2,

设OD=OB=x,

•・•BC=4,CQ=8,

2

・・・％2+8=(x+4『，

•*,x—6,

OD=6,

即O。的半径为6.

故选：B.

10.C

【分析】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，连接

OC,根据题意可证得NC4D+〃C4=90。，再根据角平分线的性质，得/。。。=90。，过。

作。方，贝UNOCD=NCC%=N3D=90。，得四边形OC为矩形，设力。=x,在

R”。尸中，由勾股定理得(5-%)2+(6-X)2=52,从而求得x的值，由垂径定理得出45的长.

【详解】连接OC,过。作。尸，45,垂足为尸，

・•・4C平分/尸/E,

:.ZDAC=ZCAO,

ZDAC=ZOCAf

：,PB//OC,

••,CDLPA,

ZOCD=ZCDA=ZOFD=90°,

••・四边形。CO尸为矩形，

答案第5页，共37页

/.OC=FD,OF=CD.

•・•DC+DA=6,

设=x,则O/?nCDuG—x,

•・•。。的直径为10,

,\DF=OC=5,

AF=5-x,

在RM/Ob中，由勾股定理得4尸+。尸2=。/2.

即(5-X)2+(6-X)2=52,

角军得石=2,x2=9.

*/CD=6-%大于0,故x=9舍去,

..x=2,

AD=2,AF=5—2=3,

VOF1AB,由垂径定理知，尸为45的中点，

AB=2AF=6.

故选：C.

11.B

【分析】连接08,BD,证明△QD8为等边三角形，可得44。6=60。，可得

45=/O•sin60。=6x立=3石.

2

【详解】解：连接05,BD,

・・・48是OO的切线，

.'.OBLAB,

・・・/45。=90。，

vAD=0D=3,

BD=3=OD=OB,

答案第6页，共37页

.,.△QD8为等边三角形，

ZAOB=60°,

77

AB=AO-sin60°=6x—=373.

2

故选：B

【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，圆的切线的性质,

作出合适的辅助线是解本题的关键.

12.A

【分析】本题考查了切线性质，圆周角定理，三角形内角和性质，先连接CM,OB,由切

线性质得/尸/。=/尸80=90。，再由NC=50。，AB=AB，则N/OB=2NC=100。，结合等

边对等角以及三角形内角和性质进行列式计算，即可作答.

【详解】解：连接CM,OB,

P\[，夕/J总是o。的两条切线，

/.OA1PA,OB工PB,

ZPAO=ZPBO=90°,

・.・/C=50。，AB=AB

:.ZAOB=2ZC=100°f

•・•OA=OB,

/084=90。—40。=50。.

故选：A.

13.A

【分析】题目主要考查切线的性质，等角对等边及全等三角形的判定和性质，勾股定理解三

角形，根据题意得出尸4=尸5,ZAPD=ABPD,/OBP=90。,再由等角对等边确定

PA=PB=BD,连接5C,利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可.

【详解】解：•••尸4和所是OO的两条切线，

PA=PB,ZAPD=ZBPD,AOBP=90°,

•:BD〃PA,

答案第7页，共37页

ZAPD=ZBDP,

"BPD=ABDP,

PA=PB=BD,

连接BC,

Q,.・cz）是oo的直径,

:.ZCBD=90°f

ZPBC=ZDBO=90°-ACBO,

在△3C尸和力。。中，

ZPBC=ZDBO

<PB=DB,

/BPD=ZBDP

「.△BC尸二△500(ASA),

/.PC=OD=2,

在RtzXPBO中，OB=OD=2,PO=PC+OC=4,

PB=y]PO2-OB2=A/42-22=2百，

.0.PA=2-\/3,

故选：A.

14.A

【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，连接。/,OB,OC,根据

圆周角定理得到/50。=2/。=120。，根据切线的性质得到NOC4=/OA4=90。，根据解

直角三角形即可得到结论.

【详解】连接CM,OB,OC,

则ZBOC=2ZD=120°,

又♦：AB、力。是OO的切线，

・•./OG4=AOBA=90°,/BAO=-ABAC,

2

ABAC=360。—NOCA-AOBA-ZBOC=360。—90°-90°-120°=60°,

答案第8页，共37页

ZSAO=-ZBAC=30°,

2

15.C

【分析】连接。尸，根据切线的性质得到/尸3。==90。，利用四边形内角和计算出

/AOB,再利用圆周角定理得到根据切线长定理得到。尸平分/NP2,所以

ZAPO=^ZAPB=30°,从而得到上4=石。4,即可得到答案.

【详解】解：如图，连接。尸，

OA1PA,OB1PB,

ZPBO=ZPAO=90°,

AAOB=180°-NAPB=180°-60°=120°,

ZACB=LzAOB=60°,

2

PA,P3是。。的切线，

•••OP平分NAPB,

ZAPO=-ZAPB=30°,

2

:.PA=y/3OA=4y/3.

故选：C.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，切线长定理，解直角三角形，掌握并灵活运

答案第9页，共37页

用相关知识是解题的关键.

16.55

【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，掌握切线垂直于过切点的半径是解题的

关键.

连接OC，根据切线的性质可得NOCP=90。，进而求出/0C8的度数，根据等腰三角形的

性质即可求解.

【详解】解：连接OC,如图所示，

.­,ZOCP=90°,

ZPCB=35°,

ZOCB=ZOCP-ZPCB=55°,

OB=OC,

ZB=ZOCB=55°,

故答案为：55.

17.6

【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等

等，解题的关键在于证明=根据等边对等角推出乙4=则可证明

4B〃OE得至9NEON=/4BC,再由切线的性质得到/OEN=90。，则解RtZXEON求出OE

的长即可.

【详解】解：如图所示，连接

答案第10页，共37页

-：OE=OC,BA=BC,

.・./A=NBCA,NOCE=NOEC,

N4=ZOEC,

・•.AB//OE,

・•・NEON=/ABC,

・••MN是O。的切线，

：,/OEN=90°,

OE3

，在RtZXEQN中,cos/EON-cos/ABC==—,

ON5

3

；,OE=-ON=6,

・•・半径OC的长为6,

故答案为：6.

18.(1)5C=2

(2)证明见解析

【分析】本题主要考查了圆有关性质.熟练掌握垂径定理，等边三角形判定和性质，等腰三

角形判定和性质，圆切线的判定，是解决问题的关键.

(1)根据垂径定理得到乙4。。=/8。。=60。，得到△Q8C是等边三角形，得至！J

BC=OC=2；

(2)证明3C=CP,得到=得到NCAP=g/OC2=30。，得到

ZOBP=90°,即得尸B是。。的切线.

【详解】(1)解：•・•//。3=120。，OC1AB,

♦♦

-AC=BCf

ZAOC=/BOC=-ZAOB=60°.

2

•••OB=OC,

•・•△03C是等边三角形，

：.BC=OC=2.

(2)证明：-OC=CP,由(1)知，BC=OC,

；.BC=CP,

:"CBP=4CPB.

答案第11页，共37页

•••NCBP+ZCPB=ZOCB=60°,

ZCBP=30°,

ZOBP=ZCBP+ZOBC=90°,

OBVBP.

•・・点B在G>O上，

.•.PB是。。的切线.

19.证明见解析

【分析】本题主要考查了切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边对等角，三角形内角

和定理，先由直径所对的圆周角是直角推出NC+〃=90。，再由等边对等角得到

NOAD=ND,结合已知条件证明/。48=90。，即可证明48是。。的切线.

连接CM,

•••C。是。。的直径，

AB

ACAD=90°,

zc+zr>=90°,

OA=OD,

ZOAD=ZD,

•••ABAD=ZC,

ZOAB=ZOAD+/BAD=ND+/C=90°,

是。。的半径，

.:AB是<30的切线.

20.证明见解析

【分析】本题考查了切线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，连接04OB,则

OB=OA,由切线的性质可得/。/尸=90。，再证明AP8OGAP/O（SSS）可得

/尸8。=/尸4。=90。，根据切线的判定即可求证，掌握切线的性质和判定是解题的关键.

【详解】解：连接04OB,则08=04,

・••尸/切。。于点A,

答案第12页，共37页

・•・OALPA,

・•.ZOAP=90°,

在△P8O和△R4O中,

PB=PA

OB=OA,

PO=PO

△P5。名△P4O（SSS）,

ZPBO=ZPAO=90°,

即OB1PB,

・••05为OO的半径,

・・・夫3是OO的切线.

21.证明见解析

【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，连接OD,根据圆

周角定理和已知条件证明NZ=N。。。，再由三角形内角和定理证明/。。。+/。=90。，则

ZCDO=90°,据此可证明结论.

【详解】证明：如图，连接O。，

2Z1,ZDOC=2Z1,

vZABC=90°f

:.ZA+ZC=90°,

ZZ）OC+ZC=90°,

:.ZCDO=90°.

答案第13页，共37页

是。。的半径，

是。。的切线.

22.见解析

【分析】如图，连接OE，OD,由等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得

ZAOD=90°=ZDOF,再由等弧对等圆心角得到NDOE=NEOP=尸=45。，最后再

2

由三角形内角和定理即可求证.

【详解】证明：如图，连接OE,0D,

-：ZC=90°,AC=BC,

/LOAD=NB=45°,

OA=OD,

ZOAD=ZADO=45°,

ZAOD=90°=ZDOF,

•・•点E是弧。尸的中点，

ZDOE=NEOF=-NDOF=45°,

2

NOEB=180°-NEOF-NB=90°,

OEIBC,

是。。的半径，

8c是。。的切线.

【点睛】本题考查了圆的切线的判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，弧与圆心角

的关系，熟练掌握这些知识点，正确添加辅助线是解题的关键.

23.(1)见解析

(2)2

【分析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角

形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中30。角所

对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

(1)连接O。，由=证明ODII/C,得NODF=N4ED=9Q°,即可证

明直线DE是。。的切线；

答案第14页，共37页

(2)根据圆周角定理和等边三角形的判定和性质，证出^45河是等边三角形，进一步即可

得到结论；

【详解】(1)证明：如图，连接OD,

；./ODA=/OAD,

•・•AD平分NC4B,

^ZOAD=ZDAC,

・•・ZODA=ZDAC,

：.OD\\AC,

又•・•DE_LAC,

.-.ZODF=ZAED=90°,

・・,8是OO的半径，且。£18,

・•・直线DE是OO的切线；

（2）解:

・・•线段45是OO的直径，

・•.ZADB=90°,

,,"ADM=180。—ZADB=90°,

・•・+ZDAM=90°,/ABM+zDAB=90°,

•・•/DAM=ZDAB,

••・AM=/ABM,

答案第15页，共37页

AB=AM.

又NADB=90。,

・•.BD=DM,

•；/AEF=90。,ZF=30°,

ZBAM=60°,

・・・△/BM是等边三角形，

.^ZM=ZMAB=6O°；

-DE1AC,AM=60°,

・•・NMDE=30。,

・•.ZFDB=ZMDE=30°=ZF,DM=2ME=2

・•.BD=BF,

・•・BF=2,

24.⑴见解析

(2)AD=26

【分析】(1)由等边对等角得出/A4C=NC,ZADO=ZBAC,从而得到乙4。。=/。，推

出OD〃4C,由平行线的性质得出。E，。。，即可得证；

(2)过点。作OH_L正于点〃，则NODE=NDEH=NOHE=90。,则四边形。£见”是矩

形，由矩形的性质可得=OH=DE,有勾股定理得出由=痂F二赤=6,推

出DE=OH=5再由勾股定理计算即可得解.

【详角军】(1)证明：・・・04=0。，

ZBAC=ZADO,

•・•AB=AC,

・•.ABAC=AC,

・•.ZADO=/C,

・•.OD//BC,

-DEIBCf

'.DE1OD,

・•,8是。。的半径，

：,DE是OO的切线；

答案第16页，共37页

(2)解：如图，过点。作。"J_8/于点，，则NODE=NDEH=NOHE=90°,

：.OD=EH,OH=DE,

•：OF=OB,

：.BH=FH=-BF=\,

2

；.OD=EH=BE+BH=2,

•••AB=2OD=4,OH=yl0B2-BH2=6，

DE=OH=6

■■BD=YIDE2+BE2=2>

•1•AD=ylAB2-BD2=273.

【点睛】本题考查了切线的判定定理、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质等

知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键.

25.(1)见解析;

(2)372

【分析】本题主要考查了切线的判定，垂径定理的推论，等腰三角形的性质，勾股定理等知

识，

(1)如图，连接。C,0D,证明/OC尸=90。即可；

(2)OA=OD=OC=OB=r,贝!|0尸=厂+2,在RtZ\CO尸中，42+r2=(r+2)",可得

厂=3,再根据勾股定理可解决问题；

熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键.

【详解】(1)如图，连接。C,OD,

答案第17页，共37页

•・•OC=OD,

；・/OCD=/ODC,

•・•CF=EF,

:・/FCE=/FEC,

"OED=/FEC,

：,/OED=/FCE,

,•,48是直径，。是前的中点，

ZDOE=90°,

：.AOED+ZODC=90°,

ZFCE+ZOCD=90°,即NOC尸=90。，

・・・OC是半径，

・・・c尸是O。的切线；

(2)]^OA=OD=OC=OB=r,则。尸=r+2,

在Rt^CO厂中，OC2+CF2=OF2,

.-.42+r2=(r+2)2,

解得尸=3,

OB=OD=3,

vZDOB=90°,

-BD2=OD2+OB1,

•••BD=y)0D2+0B2=372.

26.⑴见解析

(2)r=3,0D=M

【分析】(1)连接OK,作OGLN/，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到

CD=AD,进而得出4cD=再利用平行的性质得到/"C=//CO,从而得到

答案第18页，共37页

ZCAD=ZFAC,推出/C平分/E4。，最后利用角平分线的性质得到OE=OG,即可证明结

论；

4

(2)根据sin8=《，可设/C=4x,则48=5x,利用勾股定理求出x=2,得至ljNC=8,

AB=iO,设。。的半径为r,则OC=OE=r,0A=AC-0C=8T,„OAE^BAC

得到器=黑，即可求出。。的半径.由勾股定理求出4E长，继而求出。E长，由勾股定

nCAB

理即可求出0。长.

【详解】(1)证明：连接OE,过点。作。G_L//交4尸于点G,

,.•//C8=90。，点。是N8边的中点,

ZACD=ZCAD,

•••AF//CD,

ZFAC=ZACD,

ZCAD=NF4c,

；・4C平分NF4D,

•・•点。在NC边上，0E工AB,0G1AF,

OE=OG,

•・•。£是。。的半径，

.•.OG是。。的半径，

.­.4F是。O的切线;

4

(2)解：vsinB=-fZACB=90°f

AC4

•••_=一,

AB5

设NC=4x,贝i]/8=5x,

VBC=6,

在RtzX/BC中，

答案第19页，共37页

BC=y)AB2-AC2=J(5X)2-(4X)2=3x=6,

..x=2,

:.AC=SfAB=10,

设OO的半径为小则OC=OE=〃，OA=AC-OC=^-r,

•：ZOEA=ZACB=90°fZOAE=ABAC,

.△OAESABAC,

.OE_OA

,•左一茄’

r8r

•••_一-，

610

.,.r=3.

如图连接。D,

AE=dOA。-OE。=V52-32=4，

•・•点。是4B边的中点，

:.AD=—=5,

2

:.DE=AD-AE=\,

:.OD=yJOE2+DE2=V32+l2=V10.

【点睛】本题考查了圆的切线的性质和判定，直角三角形的性质，角平分线的判定和性质,

勾股定理，三角函数，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的切线的性质和判定是解题关

键.

27.⑴见解析

⑵2尸。

【分析】（1）由题意得/8+/A4c=90。，根据等腰三角形的性质48=/9，

NOEA=NOAE=NB4C,即可证得NOEF=90,根据切线的判定即可证得结论；

答案第20页，共37页

（2）连接。£,根据圆周角定理得到//即=90。=乙4。3,根据相似三角形的性质得到

"=平=。求得砥=；根据勾股定理得到2。=北仁3

=-,过点尸作切_L2E

4z2.

于“，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【详解】（1）证明：・••OC_L5尸，

/.ZB+ZBAC=90°,

•;BF=EF,

NB=/FEB,

•・•OA=OE,

ZOEA=ZOAE=ABAC,

ZOEA+ZFEB=90°,

NOEF=90°,

OELEF,

・•,OE是O。的半径，

.•.EF为OO的切线；

(2)解：连接。£,

ZAED=90°=ZACB,

•・•NDAE=ABAC,

LABCsLADE,

.AB_AC

,•而一商’

加5x25

A.B=-----=一,

42

:.BE=—,BC7AB2-AC?=3,

22

过点F作FH工BE于H,

:.NBFH=NBCA=90°,

•••NB=NB,

答案第21页，共37页

:ABFIisABCA，

.BH_BF

,:BF=EF,

:.BH=EH=-BE=—,

24

13-

4

3BF

-三，

2

2

15

丁

【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理,

正确作出辅助线是解题的关键.

28.D

【分析】根据切线长定理得到/E=4/，BE=BG,CG=CH,DH=DF,进而求出

AD+BC,再根据四边形的周长公式计算，得到答案.本题考查了切线长定理，正确掌握相

关性质内容是解题的关键.

【详解】解：,••四边形45C。外切于O。，切点分别为E、G、H、F,

AE=AF,BE=BG,CG=CH,DH=DF,

/.AD+BC=AF+DF+BG+CG=AE+DH+BE+CG=AB+CD=\0+15=25,

••・四边形48cz)的周长为：AD+BC+AB+CD=25+25=50,

故选：D.

29.A

【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心及切线长定理，灵活运用切线长定理是解题的

关键.由切线长定理可知ZO=4尸，BD=BE,EC=FC,再根据线段的和差即可求得答案.

【详解】解：的内切圆O。分别与45,BC,/C/C相切于点E,F,

AD=AF，BD=BE,EC=FC,

答案第22页，共37页

AD=6,BE=4,CF=8,

•••AF=6,BD=4，CE=8,

：.BC=BE+EC=n,AB^AD+BD=10,AC=AF+FC=14,

LABC^Z=BC+AB+AC=?>().

故选：A.

30.B

【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线长定理是解决

问题的关键.根据切线长定理得到尸4=尸8,CA=CE,DB=BE,然后利用三角形周长的

定义和等线段代换得到△尸CD的周长=2PA.

【详解】解：M分别切。。于A、B,CL•切。。于点E,

PA=PB,CA=CE,DB=BE,

:.^PCD=PC+PD+CE+DE=PC+CA+PD+DB=PA+PB=2PA=2x5=10.

故选：B

31.C

【分析】本题考查三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，解题的关键是利用切线长定

理求得/£和4D的长,

根据切线定理得CF=CD,DN=NG,EM=GM,AD=AE,然后根据A/MN的

周长求出/E和AD的长，再根据△4BC的周长从而求得BC.

【详解】如图：圆。是△48。的内切圆,

••,圆。的切线与/8、C4相交于点〃、N,

BF=BE,CF=CD,DN=NG,EM=GM,AD=AE,

AE=AD,

周长为8cm,

AM+MG+NG+AN^8cm,即/E+/D=8cm,

AE=AD=Acva,

的周长20cm,

AE+AD+BE+BF+CF+CD=20cm,BPAB+AC+SC=20cm,

答案第23页，共37页

，AB+AC=2Q-BC,

45+/C20-BC

AE=AD=

22

二.BC