正弦定理与余弦定理（8题型+高分技法+限时提升练）-2025年天津高考数学复习专练（原卷版）

热点07正弦定理与余弦定理

明考情-知方向

三年考情分析2025考向预测

2022年，第16题，考察解三角形和三角函数

解三角形"是每年天津高考常考内容，出现在解答题

2023年，第16题，考察解三角形和三角函数

中。对于解答题，一是考查正弦定理、余弦定理的简

2024年，第16题，考察解三角形和三角函数

单应用；二是考查两个定理的综合应用，常与两角和

差公式，二倍角公式综合在一起考察。

热点题型解读

题型1利用正（余）弦定理解三角形

1、在AAfiC中，若角4、3及C所对边的边长分别为。，b及c,其外接圆半径为R,则

@-^=—=^=27?

sinAsinBsinC

②asin5=Z?sinA；/?sinC=csinB；asinC-csmA；

③sinA:sin5:sinC=a:b:c

!abca+b+ca+ba+cb+c”

；④-----=-----二-----=-------------------=------------=------------=------------=2R

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinC

，⑤々二2AsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（可实现边到角的转化）

i

0bc

■（6）sinA=——，sin3=——,sinC=——（可实现角到边的转化）

2R2R2R

2、余弦定理

2.1余弦定理的描述

；①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两1

倍.

Ii

②符号语言：在AABC中，内角ASC,所对的边分别是则:

a2=b2+c2-2Z?ccosA；

b2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2-labcosC

2.2余弦定理的推论

b1+C1-a1

cosA=

2bc

a2+c2-b1

cosB=

lac

2

+/-c

cosC二

2ab

1.（202牛天津北辰•三模）在VABC中，|画=2女，。为VA3C外心，且:=则/ABC的最大

值为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2024・天津红桥•二模）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知。=6,cosB=1,

且bsinA=3csin3.

⑴求c的值；

⑵求6的值；

⑶求cos（23+2］的值.

3.（2024,天津•一模）在VA3C中，角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知sinA=sinC，

A5A/2

cosB=------.

8

⑴求。的值；

⑵求cosC的值；

⑶求sin（2C+3）的值.

4.（2024•天津河东•一模）在三角形ABC中，角A民。所对的边分别为〃也J已知b=8,3a=7c,

b>a,cosC=——.

14

（1）求角A的大小；

（2）求sin（A+2C）的值;

⑶求边c的值.

5.（2023・天津北辰・三模）在VABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.满足（2a-c）cosB=6cosC.

（1）求角B的大小；

⑵设。=4,b=2币.

（i）求c的值；

（ii）求sin（2C+3）的值.

题型2判断三角形形状

；判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点

i①sinA=sinB=A=B=AABC为等腰三角形

TTTT

\②sinA=cosBnA+B=-^A-B=-ABC直角三角形或钝角三角形

\③sin2A=sin2B=A=B或A+8=g今△ABC为等腰三角形或钝角三角形

2

i④cos2A=cos25nA=Bn21ABC为等腰三角形

i⑤/+z?2=c2ncosC=0=4ABC为直角三角形

\@a2+b2-c2<0=>cosC<0

或vo=cos3v0=>AABC为钝角三角形

或〃+。2一/vo=cosA<0

5©«2+Z?2-c2>0=>cosC>0

且/+/一>2>o=cos5>0=△ABC为锐角三角形

且/+才一/>o=>COsA>0

■

1.（2024•河北秦皇岛•三模）在VABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且3=2C,b=也，

则（）

A.VA3C为直角三角形B.VABC为锐角三角形

C.VABC为钝角三角形D.VA3C的形状无法确定

2.（2024・陕西渭南•三模）已知VABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若6cosC+ccos8=6,

且a=ccosB,则VABC是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

3.（2024•内蒙古赤峰•一模）已知VABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2«+b=2c8s5,

且sinA+sin3=l,则VABC的形状为（）

A.等边三角形B.顶角为120。的等腰三角形

C.顶角为150。的等腰三角形D.等腰直角三角形

4.（2023•甘肃酒泉•三模）在VABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若却sinAcosB,则VABC的形

bsinBcosA

状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

5.（2023•内蒙古呼和浩特•一模）在VA3C中，。是8c边的中点，且AB=3,AC=2,AD=6,贝UVABC

的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.无法确定

题型3正弦定理判断三角形解的个数

1.（2024・湖北黄冈•一模）已知VA3C的内角AB,C所对的边分别为a,6,c,A=^7T,b=3,下面可使得VA8C

有两组解的。的值为（）

A,迈

B.3C.4D.e

2

2-（2。24・宁夏银川三模）VMC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且”4,smC=：,若VABC有

两解，则C的取值可能为（）

A.3B.4C.5D.6

3.（23-24高一下•天津河西,期中）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（）

A.ci=20,b=11,B=30°B.a=6,c=4,C=60°

C.b=18,c=20,B=120°D.a=30,b=25,A=150。

4.（23-24高一下•浙江宁波•期中）在VABC中，a=x,6=2,8=60。，若三角形有两解，则x的取值范

围是（）

A.2<x<2-\/3B.2<x<—C.^/3<x<2D.2<x<

5.（23-24高一下•天津•阶段练习）在VABC中，已知b=2,A=30°,且该三角形有唯一解，则。取值范围一

题型4三角形边长比值（代数和）

0O与雹

方法：化角

（1）利用正弦定理a=2RsinA；6=2HsinB;c=2HsinC将边化为角；

（2）根据题意求出角的范围；

（3）结合辅助角公式化简求解

容荷蒿二〒•荚莉海薪•崩茉5芭茹C访三不丙葡〈万工蔽祗芬月俣•戴二瓦工二♦二。立

⑴求A；

（2）若VABC的面积是若,c=2人求。；

（kt\

4DnA

⑶若。为边AC上一点，且满足丽+而=2———+『---------，〃，试求CD的最大值.

ABcosA\BD\cosZCDB

2.（2024•广东•模拟预测）在VABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且0+。854=4（«»3-85。）.

(1)证明：A=2B.

b

⑵若VA3C是锐角三角形，求士的取值范围.

a

3.（2024•江西•模拟预测）在VABC中，角A,B,C所对的边分别记为。，b,c,且tanA=8号吗

cosC+sinJD

⑴若小，求C的大小.

O

（2）若。=2,求b+c的取值范围.

4.（2024・四川泸州•一模）设VABC的内角A,民C的对边分别为a,b,c,且垩2=溶13c

ab+c

⑴求A；

⑵若2/+°2的最大值为6+2代，求。的值.

5.（23-24高一下•北京•期末）已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a",c,S.b2+c2=a2-2bcsinA.

⑴求A的大小；

（2）若。是边AB的中点，且CD=2,求c+2j%的取值范围.

题型5三角形面积

!G吗

①S二工x底x高；

2

@S--absinC=-acsmB=-bcsinA；

222

③S=g（a+人+c）厂（其中，“，仇。是三角形ABC的各边长，厂是三角形ABC的内切圆半径）；

nhc

@S=——（其中，”,仇C是三角形ABC的各边长，R是三角形ABC的外接圆半径）.

47?

2、三角形面积最值:

核心技巧：利用基本不等式再代入面积公式.

3、三角形面积取值范围:

核心技巧：利用正弦定理”=2AsinA,b=2RsinB,代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取

i

值范围，求面积的取值范围.

1.（2024•天津,模拟预测）已知正VABC的边长为G，中心为0,过。的动直线/与边A3,AC分别相交

于点A/、N,AM=A,AB,AN-JLLAC,BD=DC-

A

（1）若丽=2祝，则布.丽=;

（2）AAWN与VABC的面积之比的最小值为.

2.（2024•天津•二模）在VABC中，AM^2MB＞尸是MC的中点，延长转交BC于点。.设通=Z,恁=3，

3

则Z?可用Z，B表示为，右AD=#,,cosNA4C=g,则VABC面积的最大值为.

3.（2024•天津河西•模拟预测）如图，在VABC中，已知=2,AC=5,/BAC=60°,3cAe边上的两条中

线AM,BN相交于点P.

（1）求中线AM的长；

⑵求，MPN的余弦值;

⑶求AAB尸面积.

4.（2024•天津河北•二模）在VABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知c=4,b=3.

⑴若cosC=-；,求a的值和VABC的面积;

⑵在（1）的条件下，求cos〔2C+；］的值；

（3）若A=25,求”的值.

5.（2024・天津滨海新•二模）已知a,b,c分别为VABC三个内角A,B,C的对边，且2%=c+24cosc.

⑴求A;

（2）若cosB=*,求sin（23-A）的值；

⑶若一^=学，点。在边上，AD=2DB,CO=9.求VABC的面积.

cos83

题型6三角形周长

1、基本不等式

;核心技巧：利用基本不等式j石＜印，在结合余弦定理求周长取值范围；

2

i

2、利用正弦定理化角

1核心技巧：利用正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根

i

据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.

c—「ccsA

1.（2024•贵州贵阳•三模）已知VABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且满足cosC=-------------

a

请回答下列问题：

⑴证明:VABC为等腰三角形；

(2)若VABC的外接圆直径为1,试求VA2C周长的取值范围.

2.(2024•重庆三模)已知函数"x)=gsin[2s+mj(o>0)的最小正周期为兀

⑴求函数/(x)的单调递增区间；

3____

(2)已知VABC的三边长分别为a,b,c,其所对应的角为A,B,C,>/(A)=-,AB-AC=2^,a=非,

求该三角形的周长.

A

3.(2024・安徽淮北•二模)记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-b=2csin2,

⑴试判断VABC的形状；

⑵若c=l,求VABC周长的最大值.

4.(2023・湖南•模拟预测)VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知acosB-力cosA=6+c.

⑴求cosA；

（2）若〃=VABC的面积为2&，求VA2C的周长.

5.（2023•山西吕梁•二模）如图，在平面四边形A3C。中，ZA=135°,AB=2,的平分线交AD于

点E,S.BE=2A/2.

（1）求及BO；

⑵若/BCD=60。，求△BCD周长的最大值.

题型7正（余）弦定理在几何图形中计算

1.（2024•四川宜宾•一模）如图，一张圆形纸片的直径钻=20,现对折成半圆，取半圆弧上的三等分点C、D,

现沿边将EC、FC、GD、HD裁剪，剪去两个全等且关于线段AB的中垂线对称的ACEF与ADG”,展开得

到一个镂空的图案.若ZECF=ZGDH=45°,则两个镂空的四边形CEC.F和DGD.H面积之和的最小值为一

300（^-1）

2.（2024•全国•模拟预测）已知：在VABC中，M,N,P三点分别在边上，贝必AMP,RMN,

△QVP的外接圆交于一点O,称为密克点.在梯形ABCD中，8=0=60。，AB=2AD=2,M为CD边的中

点，动点尸在BC边上，AAB尸与！CMP的外接圆交于点。（异于点尸），则8。的最小值为

3.（2024•江西新余•模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD=4,DC=5,cosB=0,cosC=g,cosD=1.

⑴求cosA；

⑵求四边形A8CD的面积.

4.（2024•山东济南•二模）如图，已知平面四边形A3。中，AB=BC=1^2,CD=2,AD=4.

⑴若A,8,C,O四点共圆，求AC；

⑵求四边形A3。面积的最大值.

5.（2024•黑龙江大庆•模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD铺设草坪，其中AB=2百米，BC=\

百米，AD=CD,ADLCD,草坪内需要规划4条人行道。M、DN、EM、EN以及两条排水沟AC、BD,

其中M、N、E分别为边SC、AB.AC的中点.

（2）若NASC=a，试用a表木4条人行道的总长度.

题型8正（余）弦定理的实际应用

1.（2024・甘肃白银•一模）位于某海域A处的甲船获悉：在其正东方向相距40海里的3处有一艘渔船遇险

后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏东30°且与甲船相距30海里的C处的乙

船，让乙船也前往救援，则乙船至少需要航行的海里数为（）

A.10V13B.5A/13C.10历D.5折

2.（2024•宁夏银川•三模）某同学为测量塔的高度AB,选取了与塔底2在同一水平面内的两个测量基点C

与。，现测得/8。=15。,/8£＞。=135。,。=20人在点。测得塔顶4的仰角为60。，则塔高m.

A

D

3.（2024•宁夏石嘴山•模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，

内有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了

测量海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点A处测得塔顶。的仰角为45°,然后沿点A向塔的正前方走

了38m到达点3处，此时测得塔顶。的仰角为75°,据此可估计海宝塔的高度约为m.（计算结果精

确到0.1）

.FF0

4.（2024•宁夏银川•二模）如图，在山脚A测得山顶尸的仰角为a,沿倾斜角为夕的斜坡向上走。米到8,

在B出测得山顶尸得仰角为九

P

⑴若夕=15。，求坡面的坡比.（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）

,、asinasin(y-6)

(2)求证;山型=

5.（2024•安徽合肥•三模）如图，某人开车在山脚下水平公路上自A向3行驶，在A处测得山顶P处的仰角

ZPAO=30°,该车以45km/h的速度匀速行驶4分钟后，到达B处，此时测得仰角/P3O=45。，且

①求此山的高。尸的值;

⑵求该车从A到3行驶过程中观测P点的仰角正切值的最大值.

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（2023•天津南开,二模）在VABC中，AC=BC=y/2,ABBC=-2,尸为VA3C所在平面内的动点，

且PC=1,则向+词的最大值为（）

A.4B.8C.12D.16

2_2

2.（2023•河北保定•三模）已知7ABe外接圆的半径为R,且巴上=（"asinB,sinB=2sinA,c=2,则VA3C

2R

的面积为（）

42G4x/32

A.-B.王C.1D.一

3333

3.（23-24高一下•天津滨海新•阶段练习）设AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知

sin2B+sin2C—sin2A=sinBsinC,且a=2,则VABC的面积的最大值为（）

A.1B.y/3C.2D.2上

4.（23-24高一下,陕西渭南•阶段练习）在VA3C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,A=30°,

则VABC面积的最大值为（）

A.3A/3B.2<3C.3+V3D.2+73

5.（23-24高三上•天津和平•阶段练习）在VA2C中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,若sin2C=sinC,

b=6,且VABC的面积为64，则VABC的周长为（）

A.38B.10+277C.8+277D.6+近+6

二、填空题

6.（24-25高三上•天津南开■期中）已知VA2C内角A,B,C所对的边长分别为。，b,c,

2b（s/2bcosA-acosC）=b2+c2-a2,若VABC为锐角三角形，且6=4,求c的取值范围为.