结构动力学教学设计

第十一章结构动力学

???本章的问题：

A.什么是动力荷载？

B.结构动力计算与静力计算的主要区别在哪？

C.本章自由度的概念与几何组成分析中的自由度概念有何不同？

D.建立振动微分方程的方法有几种？

E.什么是体系的自振频率、周期？

F.什么是单自由度体系的自由振动？

G.什么是单自由度体系的受迫振动？

H.什么是多自由度体系的自由振动？

I.什么是多自由度体系的受迫振动？

J.什么叫动力系数？动力系数的大小与哪些因素有关？

K.单自由度体系位移的动力系数与内力的动力系数是否一样？

L.在振动过程中产生阻尼的原因有哪些？

§11-1概述

前面各章都是结构在轻力荷载作用卜的计算，在实际工程中往往还遇到另外一类荷载，

即荷载的大小和方向随时诃而改变，这一章我们将讨论这类荷载对结构的反应。

荷载分：

厂静力荷载：是指施力过程缓慢，不致使结构产生显著的加速度，因而可以略去惯性

力影响的荷载。在静力荷载作用下，结构处于平衡状态，荷载的大小、

J方向、作用点及由它所引起的结构的内力、位移等各种量值都不随时间

而变化。

J动力荷载：在动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化，因而

其计算与静力荷载作用下有所不同，二者的主要差别就在于是否考虑惯

性力的影响。

有时确定荷载是静荷载还是动荷载要根据对结构的反应情况来确定，若在荷载作

用下将使结构产生不容忽视的加速度，即动力效应，就应按动荷载考虑。

在，程结构中，除了结构自重及•些永久性荷载外，具他荷载都具有或大或小的

动力作用。当荷载变化很慢，其变化周期远大于结构的自振周期时，其动力作用是很

小的，这时为了简亿计算，可以将它作为静力荷载处理。在工程中作为动力荷载来考

虑的是那些变化激烈、动力作用显著的荷载。

如风荷载对•般的结构可当做静荷载，而对•些特殊结构往往当做动荷载考虑。

荷载按动力作用的变化规律，又可分为如卜几种：

(1)简谐周期荷载这是指荷载随时间按正弦(或余弦)规律改变大小的周期性荷载，例

如具有旋转部件的机器在等速运转时其偏心质量产生的离心力对结

构的影响就是这种荷载。这类荷载在工程中见的较多。

(2)冲击荷载这是指荷载很快地全部作用于结构，而作用时间很短即行消失的荷载，

例：如打桩机的桩锤对桩的冲击、车轮对轨道接头处的撞击等。

(3)突加荷载在一瞬间施加于结构上并继续留在结构上的荷载，例如粮食口袋卸落在

仓库地板上时就是这种荷载。这种荷载包括对结构的突然加载和突然卸载。

这里要注意突加荷载、和冲击荷载的区别。

(4)快速移动的荷载例如高速通过桥梁的列车、汽车等。

(5)随机荷载例如风力的脉动作用、波浪对码头的拍击、地震对建筑物的激振等，这

种荷载的变化极不规则，在任一时刻的数值无法预测，其变化规律不能

用确定的函数关系来表达，只能用概率的方法寻求其统计规律。

3、如果结构受到外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰

力作用，这种振动就称为自由振动；若在振动过程中还不断受到外部干扰力作用，则称为强

迫振动。研究自由振动是研究强迫振动的基础。

4、结构动力计算的目的：

在于确定动力荷载作用下结构的内力、位移等量值随时间而变化的规律，从而

找出其最大值以作为设计的依据％因此，研究强迫振动就成为动力计算的一项根本任

务。然而，结构在强迫振动时各截面的最大内力和位移都与结构自由振动时的版率和

振动形式密切有关，因而寻求结构自振频率和振型就成为研究强迫振动的前提。

§11—2结构振动的自由度

在动力荷载作用下，结构将发生弹性变形，其上的质点将随结构的变形而振动。质点

在振动过程中任一瞬时的位置，可以用某种独立的参数来表示。例如图U-la所示简支梁

在跨中固定着一个重量较大的物体，如果梁本身的自重较小而可略去，并把重物简化为一个

集中质点，则得到图11—lb所示的计算简图。如果不考虑质点m的转动和梁轴的伸缩，则

质点m的位置只要用一个参数y就能确定。我们把结构在弹性变形过程中确定全部质点位

置所需的独立参数的数目，称为该结构振动的自由度。据此，图11—I所示的梁在振动中将

只具有•个自由度。结构振动自由度的数目，在结构动力学中具有很重要的意义。具有一个

自由度的结构称为单自由度结构，自由度大于1的结构则称为多自由度结构。

图11-1

在确定结构振动的自由度时，应注意以下几点：

不能根据结构有几个集中质点就判定它有几个自由度，而应该由确定质点位置所需的

独立参数数目来判定。例如图11—2a所示结构，在绝双刚性的杆件上附有三个集中质点，

它们的位置只需一个参数，即杆件的转角ao便能确定，故其自由度为lo又如图ll-2b

所示简支梁上附有三个集中质量，若梁本身的质量可以略去，又不考虑梁的轴向变形和质点

的转动，则其自由度为3,因为尽管梁的变形曲线可以有无限多种形式，但其上三个质点的

位置却只需由挠度yi、y?，、\3,就可确定。又如图Il-2c所示刚架，虽然只有一个集中质

点，但其位置需由水平位移力和竖直位移y2：两个独立参数才能确定，因此自由度为2。

£/-00

•£

(«)(*>

图11-2

在确定刚架的自由度时，我们仍引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。

根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质点的位置，则该刚架的自由度数目

即等于所加入链杆的数目。例如图“一2d所示刚架上虽有四个集中质点，但只需加入三根

链杆便可限制其全部质点的位置.(11一2),故其自由度为3。由此可见，自由度的数目不完全

取决于质点的数目，也与结构是否静定或超静定无关。当然，自由度的数目是随计算要求的

精确度不同而有所改变的，如果考虑到质点的转动惯性，则相应地还要增加控制转动的约束,

才能确定自由度数。

以上是对于具有离散质点的情况而言的。但是，在实际结构中，质量的分布总是比较

复杂的，除了有较大的集中质量外，一般还会有连续分布的质量。例如图11—2f所示的梁，

其分布质量集度为m(kg/m),此时，可看作是无穷多个mdx的集中质量，所以它是无限自

由度。当然完全按实际结构进行计算，情况会变得很复杂。因此我们常常针对某些具体问题，

采用一定的简化措施，把实际结构简化为单个或多个自由度的结构进行计算。例如图11-

3a所示机器的块式基础，当机器运转时，基础将产生垂直振动?若用弹簧表示地基的弹性，

用一个集中质量代表基础的质量，就可简化为图示的支承集中质量的弹簧，使结构转化为单

自由度结构。又如图11—3b所示的水塔，顶部水池较重，塔身重量较轻，在略去次要因素

后，就可简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度结构。

图11-3

§11—3单自由度结构的自由振动

研究结构的动力计算，我们先从单自由度的简单结构开始。

所谓自由振动，是指结构在振动进程中不受外部干扰力作用的那种振动。产生自由振

动的原因只是由于在初始时刻的干扰。

初始的干扰有两种情%pI)由于结构具有初始位移；

U2)由于结构具有初始速度；或者这两种干扰同时存在。

例如图11—4所示，在跨中支承集中质量的简支梁，若把质点m拉离其原有的弹性平

衡位置，达到图中虚线所示的偏离位置，然后突然放松，则质点将在原有平衡位置附近往复

振动。由于在振动进程中不再受到外来干扰，所以这时的振动就是自由振动。这是由于结构

具有初始位移而引起自由振动的例子。又如若对图11—4的质点施加瞬时冲击作用，在极短

的时间内使其获得一定的初速度，当它还来不及发生显著的位移时，外力又突然消失，这样

引起的结构振动，便是初始速度干扰下产生自由振动的例子。

原有平育位置

/

强迫偏离位置

图11-4

影响结构振动的因素很多，阻尼是其中之一，为简单起见不妨先略去阻尼的影响。

1、不考虑阻尼时的自由振动

对于各种单自由度结构的振动状态，都可以用一个简单的质点弹簧模型来描述，如图

11—5a所示，弹簧下端悬挂一质量为m的重物。我们取此重物的静力平衡位置为计算位移

y的原点，并规定位移y和质点所受的力都以向下为正。设弹簧发生单位位移时所需加的力

为系为K”,称为弹簧的刚度；而在单位力作用下产生的位移为b”，称为弹簧的柔度，但两

者的关系为

图11-5

为了寻求结构振动时其位移以及各种量值随时间变化的规律，应先建立振动微分方程,

然后求解。建立振动微分方程有两种基本方法：

[(I)是根据达朗伯原理(动静法)列出动力平衡方程，乂称刚度法;

1(2)是列位移方程，又称柔度法。

下面分别讨论。

(1)列动力平衡方程设质点m在振动中的任一时刻位移为y,取该质点为隔离体

(图11—5b),若不考虑质点运动时所受到的阻力，则作用于其.上的外力有：

(a)弹簧拉力5=-人沙负号表示其实际方向恒与位移y的方向相反，亦即永远指

向静力平衡位置。此力有把质点m拉回到静力平衡位置的趋势，故又称为恢复力。

d2y

(b)惯性力/=-%，〃它的方向总是与加速度y=Y•的方向相反，故有一负号。

dt~

至于弹簧处于静力平衡位置时的初拉力，则恒与质点的重量mg相平衡而抵消，故

在振动过程中这两个力都毋须考虑。

质点在惯性力I与弹簧的恢复力S作用下将维持动力平衡，故应有

I+S=O

将I和S的算式代入即得

-wy-^,y=O

或my+1y=0

,2ki.

命苏=」■(11—1)

m

则有y十©2y=0(112)

这就是单自由度结构在自由振动时的微分方程。

(2)列位移方程上述振动微分方程也可以按下述方法来建立：当质点m振动时,

把惯性力/=_"“看作是一个静力荷载，则在其作用下结构在质点处的位移y应等于(图11

—5c)：

),=//二一利他

亦即my+A:,1y=0

可见与方法】结果相同。

式(11-2)是一个具有常系数的线性齐次微分方程，其通解形式由高等数学知：

y(/)=Acoscot+A2sinaH(b)

取y对时间t的一阶导数，则得质点在任一时刻的速度

j(/)=一0Asincot+a)\coscot(c)

此两式中的积分常数Ai和Az可由振动的初始条件来确定。

若当1=0时，位移y=y。，速度y=j()

则有Ai=yo,A,=—

(0

因此y=%cos（ot+—sincot

co

其中y。称为初位移，先称为初速度。

再考察结构的自由振动曲线，由位移曲线知：是由两部分组成：（1）是由初位移y。

引起的，表现为余弦规律；

（2）是由初速度为弓起的，表现为正弦规律（图11—6a、b）。二者之间的相位差为一

直角，后者落后于前者9cp

详见下图（11—6）

图11-6

若令)b=asine(d)

y

—=acos(po(e)

则位移方程可写成：y=asin«。/+夕）

且有y=acocos（。，+（p）

可见这种振动是简谐振动（图11—6c）,式中a表示质点的最大位移，称为振幅，0称为

初相角。由于sin。/和cosot都是周期性函数，它们每经历一定时间就出现相同的数值，

若给时间I一个增量7二二，则位移y和速度夕的数值均不变，故T称为周期，其常用单

CD

位为秒（s）；周期的倒数,代表每秒钟内所完成的振动次数，称为工程频率；而①=且即

TT

为2乃秒内完成的振动次数，称为圆频率，通常。用得较多，又简称为频率，其单位为次/

（2万秒）

频率也可用下式计算：

式中g表示重力加速度，表示由于重量mg所产生的静力位移。

结论：计算单自由度结构的自振频率时，只需算出刚度k”或柔度匹或位移△“，

代入式（11—8）即nJ求得。由该式nJ知，

结构自振频率随刚度k.i的增大和质量m的减小而增大，

这一特点在结构设计中对■如何控制结构自振频率有重要意义。因为结构的自振频率只

取决于它自身的整昂和刚度，所以它反映着结构固有的动力特性（即为固有频率外部干

扰力只能影响振幅和初相角的大小而不能改变结构的自振频率。如果两个结构具有相同的自

振频率，则它们对动力荷载的反应也将是相同的。公式表明，G）随的增大而减小，也

就是说，若把质点安放在结构上产生最大位移处，则可得到最低的自振频率和最大的振动周

图11-7

例11一1：图11一7所示三种支承情况的梁，其跨度都为1,且E1都相等，在中

点有一集中质量m。当不考虑梁的自重时，试比较这三者的自振频率。

解：由式（11—8］可知，在计算单自由度结构的自振频率时，可先求出该结构在重

量p=mg作用下的静力位移。根据以前学过的位移计算的方法，可求出这二种情况相应的静

力位移分别为:

篇,岛

代入式（11一8）即可求得三种情况的自振频率分别为:

据此可得外：。2:例=।：1・51：2.

此例说明随着结构刚度的加大，其自振频率也相应地增高。

前面的计算没有考虑阻尼的影响，实际结构的振动是有阻尼的影响的，下面予以考虑。

2.考虑阻尼作用时的自由振动

物体的自由振动由于各种阻力的作用将逐渐衰减卜去，而不能无限延续。

阻尼力可分为两种：（1）是外部介质的阻力，例如空气和液体的阻力、支承的摩擦等;

（2）来源于物体内部的作用，例如材料分子之间的摩擦和粘着性等。

由于内外阻尼的规律不同，且与各种建筑材料的性质有关，因而确切估计阻尼的作

用是一个很复杂的问题。对此，人们提出过许多不同的建议，为使计算较简单，通常是

引用福格第（Voigt）假定，即近似认为振动中物体所受的阻尼力与其振动速度成正比，这

称为粘滞阻尼力，即

r=-py（0

式中£称为阻尼系数，负号表示阻力它的方向恒与速度的方向相反。

图11-8

当考虑阻尼力时:质点m上所受的力将如图11一8所示，增加阻尼一项。考虑其动

力平衡，应有

I+R+S=0

my+/3y+k}]y=0(g)

仍令(o2=^~

m

并令2A=2(h)

in

则有：y+2仔+32)，=。(12—9)

这是一个线性常系数齐次微分方程，设共解的形式为

y=cen

代入原微分方程⑴一9),可得确定r的特征方程

产+2无+苏=0其两个根分别为：

22

r.2=-k±yjk-(o根据阻尼大小不同的情况有以下三种情况：

(1)k<co即小阻尼情况此时特征根弓、是两个复数，式(11—9)的通解为

kt2222

y=e(cos\lco-kt+B2sinyja)-kl)

k,

=e~(coscot+B2sincot)(i)

其中0)=\!苏一k?(11—10)

称为有阻尼自振频率。常数£、3,可由初始条件确定：将f=0时y=)%和)，=.%

代入式(i)

可得

收为，星=2

CD

故y=""(yCOS〃/+)o+6osi。4/)(11~II)

(O'

上式也可写为

y=be~k,sin(6974-^>')(11—12)

其中

(UT3)

,co'yn

tg(p=-T-(H-14)

宣+期力

式(11—12)的位移一时间曲线如图11-9所示,即为衰减的正弦曲线，其振幅按""

的规律减小，故攵称为衰减系数。

在工程中还经常采用阻尼比

作为阻尼的基本参数。由式(11一10)有

少=3.-.(11—15)

可见。'随阻尼的增大而减小。在一般建筑结构中4是一个很小的数，约在o.oi〜si

之间，因此有阻尼自振频率3'与无阻尼自振频率口很接近，可认为

co'(k)

若在某一时刻，“振幅为笫，经过一个周期后的振幅为此+1,则有

_2«_=心=eT=产

yje"

上式两边取对数得

In=^coT=^co—«2^(11—15)

K+is'

称为振幅的对数递减量。同理，当经过j个周期后，有

皿上匚=万必

2(11—15a)

若由实验测出”及尤+1或，则可由式(11—15)或式(11—15a)求出阻尼比J。

(2)左即大阻尼情况此时特征根，［、弓为两个负实数，式(11—9)的通解为

y=ekl^Qchy/k2-cert+C2M

这是非周期函数，因此不会产生振动，结构受初始干扰偏离平衡位置后将缓慢地回复到原有

位置。

(3)女=3即临界阻尼情况此时特征根是一对重根。2二一左，式(11—9)的通解为

)，=e-”(G+CR

这也是非周期函数，故也不发生振动。这是由振动过渡到非振动状态之间的临界情况，此时

阻尼比4=1,相应的夕售称为临界阻尼系数，用力，表示。在式(h)中，令4=3可得

Pcr=2m3(1)

由式(j)及(h)、(1)又有

愿

表明阻尼比J即为阻尼系数£与临界阻尼系数»、，之比。

§11-4单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动

强迫振动，是指结构在动力荷载及外来干扰力作用下产生的振动。若干扰力P")直接

作用在质点m上，则质点受力将如图11一1()所示。同理由动力平衡条件得：

/+R+S+PQ)=O

即相》+尸)，+*=p⑴

或9+—p(f)(11—16)

ni

图11-10

这个微分方程的解也包括两部分:

(I)为相应齐次方程的通解y°,它由上一节式(i)表示为

y0=(B]coscot+B2sina)t)

(2)是与干扰力p(t)相适应的特解它将随干扰力的不同而异。本节先来讨论干

扰力为简谐周期荷载时的情况。具有转动部件的机器在匀速转动时，由于不平衡质量所产生

的离心力的竖直或水平分力就是这种荷载的例子，它一股可表为

P(i)=Psin0T(II-17)

其中。为干扰力的频率，p为干扰力的最大值。代入微分方程解出如教材所述结果。

表达式较繁，实际应用只应用平稳阶段。

由上述推导可知，振动系由三部分组成：

(1)是由初始条件决定的自由振动；

(2)第二部分是与初始条件无关而伴随干扰力的作用发生的振动，但其频

率与体系的自振频率/一致，称为伴生自由振动。由于这两部分振

动都含有因子H轲，故它们将随时间的推移而很快衰减掉；

(3)最后只剩下按干扰力频率。而振动的第三部分，称为纯强迫振动或稳

态强迫振动(图—

我们把振动开始的一段时诃内，几种振动同时存在的阶段称为过渡阶段：而把后面只跑.下纯

强迫振动的阶段称为平稳阶段。通常过渡阶段比较短，因而在实际问题中平稳阶段比较重要，

故一般只着重讨论纯强迫振动。下面仍分别就考虑和不考虑阻尼两种情况来讨论。

I.不考虑阻尼的纯强迫振动

此时因4=0,由式⑴一19)的第三项可知纯强迫振动方程成为

p.八

y=----------r-sinOt(11—20)

'皿①2-*

因此，最大的动力位移(即振幅)为

八二P_I__匕

(H-21)

皿㈤2_夕2)Q-m32

[2

0)

但是，02="，代入上式，得：

tn

A=-TT/^n=ZO\r(II—21a)

1-4

co~

式中)1=/廊，代表将振动荷载的最大值p作为静力荷载作用于结构上时所引起

的静力位移，而

(11—22)

承4位移动力系数：为最大的动力位移与静力位移之比值。

若我们求出了内力的动力系数，也可仿此计算结构在动力荷载作用下的最大内力。

需要指出：

在单自由度结构上，当干扰力与惯性力的作用点重合时，位移动力系数和内力动力系数

是完全一样的，此时对这两类动力系数可不作区分而统称为动力系数。

由式(11—22)可知，动力系数随比值2而变化。当干扰力的频率接近于结构的自振频率

时，动力系数就迅速增大；当二者无限接近时，理论上〃将成为无穷大，此时内力和位移

都将无限增加。对结构来说，这种情形是危险的。此时所发生的振动情况称为共振。但实

际上由于阻尼力的存在，共振时内力和位移虽然很大，但并不会趋于无穷大，而且共振时的

振动也是逐渐由小变大，而不是一下就变得很大的。但是，内力和位移的值过大也是不利的,

因此，在设计中应尽量避免发生共振。

2.考虑阻尼的纯强迫振动

取式(11—19)的笫三项，并命

e?)p

=Acos。

〃？3?-4)+4铲苏。2

■」I(e)

2g。尸A.f

——i=--------；-------------=-Asm(p

,〃[(苏y+42,

则将有

y=Asin(。—夕)(11—23)

式中A为有阻尼的纯强迫振动的振幅，0是位移与荷载之间的相位差。由式(e)得：

振幅4=/1£(11-24)

..-行+入m

动力系数4=/:=(11-25)

卜-斗蟀

VI60J3

可见动力系数〃不仅与。和口的比值有关，而且还与阻尼比4有关，这种关系可绘成图

11-12所示的曲线。

图11-12

现在，结合图11—12来研究〃随与而变化的情况，并对位移与荷载的相位关系作一

CD

简单讨论。

（1）当。远小于“时，则2很小，因而〃接近于lo这表明可近似地将Psina作为

co

静力荷载来计算。这时由于振动很慢，因而惯性力和阻尼力都很小，动力荷载主要由结构的

恢复力所平衡。

由式（11—23）可知，位移），与荷载P"）之间有一个相位差0,也就是说在有阻尼的强

迫振动中，位移y要比荷载PQ）落后一个相位0；然而在无阻尼的强迫振动中，由式（11—

20）可知，位移），与荷载P"）是同步的（当时），或是相差18（）。亦即方向相反的（当

时）。这是有无阻尼的重大差别。不过在目前的有殂尼振动中，由于远小于故

从式（11—25）可知，此时相位差。也很小，因而位移基本上与荷载同步。

（2）当。远大于。时，则从很小，这表明质量近似于不动或只作振幅很微小的颤动。这

时由于振动很快，因而惯性力很大，结构的恢复力和阻尼力相对地说可以忽略，此时动力荷

载主要由惯性力来平衡。由于惯性力是与位移同相位的，所以动力荷载的方向只能是与位移

的方向相反才能平衡。由式（11一25）亦可知，此时相位差差180°。

'Psinft

图11-13

下面通过一个例题来说明方法的应用。

例H-2重量Q=35kN的发电机置于简支梁的中点上（图11—13）,并知梁的惯性矩

I=8.8X10-5m4,E=210GPa,发电机转动时其离心力的垂直分力为PsinOt,且p=10kN。

若不考虑阻尼，试求当发电机每分钟的转数为。=500"min时，梁的最大弯矩和挠度（梁的

自重可略去不计）。

解：在发电机的重量作用下，梁中点的最大静力位移为

QP_35X1Q3X43

A=2.53xl0-3机

48E/-48X210X109X8.8X10-5

&=I9.81

故自振频率为60==62.31/5

A,,2.53x10-3

八2万〃2x3.14x500.

干扰力的频率为9=——=------------=52.31/5

6060

根据公式可计算出动力系数//=—^-r=—」~~7=3.4

.'-B）

求得跨中点最大弯矩

35x43.4x10x4

M=+〃此-69kN•m

4

梁中点最大挠度为

QPPP

)’max='+苴=+4

48EZ48E7

(35+3.4X10)XIQ3X43

=4.98x10-3m=4.98〃〃〃

48X210X109X8.8X10-5

图11-14

以上的分析都是干扰力p⑴直接作用在质点山上的情形。在实际问题中，也可能有干扰

力p⑴不直接作用在质点上。例如上图11—14a所示简支梁，集中质点m在点1处，而干扰

力则作用在点2处。建立质点m的振动方程时，用柔度法较简便，现讨论如下。

设单位力作用在点1时使点1产生的位移为跖一单位力作用在点2时使点1产生的位

移为42：（图“—Mb、c）.若在任一时刻质点m处的位移为y,则作用在质点m上的惯性

力为/=_〃“，在惯性力I和干扰力P共同作用下，如图所示，质点m处的位移

将为:

），二西/+品=a］（一冲）+如

即："［），+*=至pQ）

(11.28)

这就是质点m的振动微分方程。由此可见，对于这种情况，本节前面导出的各个计算

公式都是适用的，只不过须将公式中的p（t）用委〃（。来代替。

o\1

§11-5单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动

下面讨论几种特殊荷载的作用。

1、瞬时冲量：该荷载就是荷载p只在极短的时间&右0内给予振动物体的冲量。如图

11—15a所示，设荷载的大小p,作用的时间为△，，则其冲量以Q=P加来计算，即图中阴

影线所表示的面积。

（6）

图11-15

设在t=0时，有冲量Q作用于单自由度质点上，且假定冲击以前质点原来的初位移和

初速度均为零，则在瞬时冲量作用卜.质点m将获得初速度先，此时冲量Q全部转移给质点,

使其增加动量，动量增值即为加乳，故由。二小将可得

当质点获得初速度其后还未产生位移时，冲量即行消失，所以质点在这种冲击下将产

生自由振动。将%=。和＞0=幺代入式（11一“），便得到瞬时冲量Q作用下质点m的位移

m

方程为

4M

），=e~（团sin◎"］=-^―"⑦"sin0"（II—29）

\co'）mco'

如不考虑阻尼则有

1£p(r)sin6y(r-r)Jr

y(f)=y0coscot+—sincot(11—34)

comco

有了式(11—31)〜(11-34)各式，只须把已知的干扰力P(T)代入进行积分运算，便

可解算此种干扰力作用下的强迫振动。下面研究两种特殊荷载作用下的解答。

图11-16

(1)突加荷载这是指突然施加于结构上并保持常量继续作用的荷载，我们以加载那一

瞬间作为时间的起点，其变化知!律如图Il—16a所示，设结构在加载前处于静止状态，则

可将产«)二p代入式(16—31)进行积分求得

pC0S4/+丝in〃f

y=-71一产

〃依rcoI

cos〃f+%siiw)

瑞

co'

TT

将此式对f求一阶导数，并令其等于零。即可求得产生位移极值的各时刻。当，=二时，最

co'

大动力位移y(1为

g3K

”=居(1+e”')

由此可得动力系数为

4=1+e°,

若不考虑阻尼影响，则彳=0,co'=,式(16-35)成为

P

y=------7(1-coscot)=yxl(1-coscot)(11-38)

mW

最大动力位移为

X/=2.%

结论：即在突加荷载作用下，最大动力位移为静止位移的两倍，图U“6b给出了式(11-38)

所示的振动曲线，此时质点在静力平衡位置附近作简谐振动。

§11—6多自由度结构的自由振动

多自由度体系的振动和单自由度体系类似，要解微分方程组，所以计算较繁。用到一

些高等数学知识。重点要理解力学原理和处理的方法，不要为数学知识所迷惑。

1.振动微分方程的建立

多自由度结构的振动微分方程，同样可按前述两种基本方法来建立：

(1)列动力平衡方程，即刚度法

(2)列位移方程，即柔度法

图11-18

设图ll—18a所示无重量的简支梁支承着n个集中质量g、im、…、若略去梁的

轴向变形和质点的转动，则为n个自由度的结构。设在振动中任一时刻各质点的位移分别为

yi»y2、…、yn<)

按刚度法建立振动微分方程时，可以采取类似于位移法的步骤来处理。首先加入附加

链杆阻止所有质点的位移［图11—18b),则在各质点的惯性力-町取，=1、2、…、n)作用

下，各链杆的反力即等于机,无;其次令各链杆发生与各质点实际位置相同的位移(图11-

18c),此时各链杆上所需施加的力为R,(i=l、2、…、n)。若不考虑各质点所受的阻尼

力，则将上述两情况叠加，各附加链杆上的总反力应等于零，由此便可列出各质点的动力平

衡方程。以质点叫.为例，有

叫科+耳=0(a)

而Ri的大小取决于结构的刚度和各质点的位移值，由叠加原理，它可写为

R=⑥y+匕2%+•••+£/+•••+/“+•••+(b)

式中⑥、乐等是结构的刚度系数，它们物理意义见图16—18d、e。例如即为j点发生

单位位移(其余各点位移均为零)时i点处附加链杆的反力。把式(b)代入(a),有

町R+3,+(2%+…+K)'“=0(c)

同理，对每个质点都列出这样一个动力平衡方程，于是可建立n个方程如下:

gM+心+也-+心“二。、

用2%+的y+k22y2++k2llyn=0

(11-43)

mk

n凡+nl"+匕2%+・•+上1m°」

写成矩阵形式为

网

(11-430

0

或简写为

MY+KY=0(11-43")

其中M为质量矩阵，在集中质点的结构中它是对角矩阵：K为刚度矩阵，根据反力互等定

理，它是对称矩阵；y为加速度列向量；Y为位移列向量。

式(11-43)或式(11—43”)就是按刚度法建立的多自由度结构的无限尼自由振动微分方

程。

图11-19

如果按柔度法来建，.振动微分方程，则可将各质点的惯性力看作是静力荷载（图II-

19a）,在这些荷载作用下，结构上任一质点皿处的位移应为

X=乡（一叫乂）+4（一/）%）+•••+为（一见上）+…+4（一吗X）+…+（一叫戈J（d）

式中多、%等是结构的柔度系数，它们的物理意义见图11—19b、c所示。据此，我们可

以建立n个位移方程:

X+&〃?»+如叫儿++%也只=。

)'2+为+32M儿+…+y=0

n(11-44)

X,+凡M乂+%呵％++黑m,%=°J

写出矩阵形式，就有

(11-44')

或简写为

丫+55=0(11-44")

其中S为结构的柔度矩阵，根据位移互等定理，它也是对称矩阵。

式（11—44）或（11—44”）就是按柔度法建立的多自由度结构的无阻尼自由振动微分方程。

若对式(11—44”)左乘以5",则有

S-lY+MY=O⑸

与式(12—43”)对比，显然应有

b"=K(11—45)

即柔度矩阵和刚度矩阵是互为逆阵的。可见不论按刚度法或柔度法来建立结构的振动

微分方程，实质都一样，只是表现形式不同而已。当结构的柔度系数比刚度系数较易求得时,

宜采用柔度法，反之则宜采用刚度法。

2.按柔度法求解

现在讨论按柔度法建立的振动微分方程的求解。设式(16—44)的特解取如下形式：

y=dsin(M+。)(z=l,2,,/?)(g)

亦即设所有质点都按同•频率同•相位作同步简请振动，但各质点的振幅值各小相同。将式

(g)代入式(16—44)并消去公因子sin(<y/+Q)可得

(］、

:M--2―+电吗4++比-4=0)

k

(1、

b2MA+邑啊--74+・・，+邑砥4=0I

(0)>(11-46)

,町4+。2加24++时也--F4=°

写成矩阵形式则为

(1、

8M-EA=()(11-469

I①’)

这里

A=［\4…A］，

为振幅列向量，E是单位矩阵。

式(11-46)为振幅，且Ai、A?、…、An的齐次方程，称为振幅方程。当A卜A2、…、

An全为零时该式满足，但这对应于无振动的静止状态。要得到A|、A2、…、An不全为零的

解答，则必须是该方程组的系数行列式等于零，即：

1

4M出2巧

“产”=0

(H-47)

或写成

6M--LE=0(11-479

co~

将行列式展开，可得到一个含」v的n次代数方程，由此可解出」的n个正实根，从而得

co"co"

出n个自振频率幼、02、…、/”，若按它们的数值由小到大依次排列，则分别称为第一、

第二、…、第n频率.并总称为结构白振的频谱。我们把用以确定“数值的式(16—47］或式

(16—47，)称为频率方程。

将n个白振频率中的任一个软代入式(g),即得特解为

k)

y-=A；A)sin®J+(pk)(i=1,2,…，力)(11—48)

此时各质点按同一频率例作同步简谐振动，但各质点的位移相互间的比值

)，f)：=A：")：)

却并不随时间而变化，也就是说在任何时刻结构的振动都保持同一形状，整个结构就像一个

单自由度结构一样在振动。我们把多自由度结构按任一自振频率以进行的简谐振动称为主

振动，而其相应的特定振动形式称为主振型或简称振型。

要确定振型便要确定各质点振幅间的比值。为此，可将再值代回振幅方程(II-46)而

得

^11W1--T|A'£，+^I2W2A>+••+%"筋：=。、

k①J

心叱-+&”〃vC=。“10、

ICOJ,(k=l,2,,〃)(11-49)

s加町4"+5"2m+…+(%〃2“一；)4：'二°J

或写为

(1、

一一-EA(k)=0a=1,2,,〃)