2024-2025学年下学期高二数学第八章A卷

第33页（共33页）第八章A卷一．选择题（共8小题）1．有一散点图如图所示，在六组数据（xi，yi）（i＝1，2，…，6）中去掉B点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（）A．样本数据的两变量x，y正相关 B．相关系数r的绝对值更接近于0 C．残差平方和变大 D．变量x与变量y相关性变强2．我们研究成对数据（ai，bi）（i＝1，2，…，10）的相关关系，其中ai＝i（i＝1，2，…，10），bi＝ai（i＝1，2，…，9），b10＝a，在集合{8，11，12，13}中取一个元素作为a的值，使得这组成对数据的相关程度最强，则a＝（）A．8 B．11 C．12 D．133．下列命题中①散点图不能直观地判断两个变量是否具有线性相关关系；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③回归直线一定经过样本中心点．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．34．下列说法正确的是（）A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 B．回归直线方程为ŷ=0.3-0.7x时，变量x和C．在回归直线方程ŷ=0.4+0.5x中，当x每增加1个单位时，相应观测值y增加D．由样本数据得到的回归直线ŷ=b̂x+â至少经过点（x1，y1），（x2，y5．第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月吉祥物的销量，如下表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为ŷ时间x12345销售量y（万只）54.543.52.5A．由题中数据可知，变量y与x正相关 B．当x＝5时，残差为0.2 C．线性回归方程ŷD．可以预测当x＝6时销量约为2万只6．已知x，y的取值如下表所示：若y与x线性相关，且y＝0.95x+a，则a＝（）x0134y2.24.34.86.7A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.67．已知下列命题：（1）两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近于1．（2）用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和一定是0．（3）用最小二乘法求得的回归直线y=b̂x+（4）从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指推断有5%的可能性出现错误．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，•••，10）组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为y=b̂x+â，并计算出变量x，y之间的相关系数为﹣0.96，i=1A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限二．多选题（共4小题）（多选）9．由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为y=b̂x+â，记A．直线y=b̂x+â至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，B．直线y=b̂x+aC．样本相关系数r与回归系数b̂同号D．对样本相关系数r，|r|越大，两个变量之间的线性相关性越强（多选）10．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采取简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名学生数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名学生数学成绩优秀．整理数据如下表：学校数学成绩合计不优秀优秀甲校331043乙校38745合计711788附：χ参考数据：P（χ2≥x0）＝α0.1000.0500.0100.005x02.7063.8416.6357.879则下列说法正确的有（）A．甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高 B．甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高 C．甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多 D．对于小概率值α＝0.1，可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异（多选）11．下列说法中正确的是（）A．回归直线ŷ=bx+âB．用决定系数R2刻画回归效果时，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好 C．将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大 D．基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α（多选）12．下列说法中，正确的是（）A．某组数据的经验回归方程ŷ=bB．数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17 C．甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18 D．若一组数据2x1，2x2，⋯，2xn的方差为16，则另一组数据x1，x2，⋯，xn的方差为4三．填空题（共5小题）13．已知变量y关于x的回归方程为y＝ebx﹣0.6，若对y＝ebx﹣0.6两边取自然对数，可以发现lny与x线性相关，现有一组数据如表所示：x12345yee3e4e6e7则当x＝6时，预测y的值为．14．随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（10≤m≤20，m∈N*）支持不支持男生70﹣m10+m女生50+m30﹣m若通过计算得，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为．附：K2=n(ad-bc)2(aα0.0500.0100.0050.001x03.8416.6357.87910.82815．已知n个点Pi（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）大致呈线性分布，其中x1＝i，且数据（xi，yi）的回归直线方程为y＝2x﹣11，则i=1nyi的最小值为16．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验收集到的数据如下表：零件数x1020304050加工时间y/min62758189由最小二乘法求得回归方程为ŷ=0.67x+54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为17．已知一组数据（i，yi）（i＝1，2，3，…，n）大致呈线性分布，其回归直线方程为ŷ=2x-9，则i=1四．解答题（共5小题）18．为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）：患病情况服用情况患病不患病服用中药预防方1090不服用中药预防方5050（1）该中药预防方对预防该种疾病是否有效？（2）从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”．利用该调查数据，求P（A|B），P（A|B）的值．附：χ2=n(ad-bc)2(a+bP（x2≥x0）0.100.050.01x02.7063.8416.63519．为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病未服用10080s服用15070220合计250t400（1）求s，t；（2）记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p，给出p的估计值；（3）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？附：χ2P（χ2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某调研组在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查共发现A组成员48人，其中男性18人．（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，抽取的5人中再随机抽取3人赠送礼包，记这3人中有2人在“A组”的概率．参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b参考数据：P（K2≥k0）0.500.400.250.050.0250.010k00.4550.7081.3233.8415.0246.63521．某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱．该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格：用户一个月月租减免的费用x（元）45678用户数量y（万人）22.12.52.93.2已知x与y线性相关．（1）求y关于x的经验回归方程（i=15（2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n），其经验回归直线ŷ=b̂x22．为提高居家养老服务质量，某机构组织调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区抽取了500位老年人，统计结果如下：性别需要志愿者不需要志愿者男40160女30270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）中的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的比例？说明理由．附：χ2α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828

第八章A卷参考答案与试题解析题号12345678答案DBBBCDAB一．选择题（共8小题）1．有一散点图如图所示，在六组数据（xi，yi）（i＝1，2，…，6）中去掉B点后重新进行回归分析，则下列说法正确的是（）A．样本数据的两变量x，y正相关 B．相关系数r的绝对值更接近于0 C．残差平方和变大 D．变量x与变量y相关性变强【考点】回归分析；散点图．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】由图可知，去掉B点后，回归直线效果更好，据此判断，即可求解．【解答】解：由图可知，样本数据的两变量x，y负相关，故A错误；由图可知，点B相对其它点，偏离直线远，故去掉B点后，回归直线效果更好，故BC错误，D正确．故选：D．【点评】本题主要考查回归分析，属于基础题．2．我们研究成对数据（ai，bi）（i＝1，2，…，10）的相关关系，其中ai＝i（i＝1，2，…，10），bi＝ai（i＝1，2，…，9），b10＝a，在集合{8，11，12，13}中取一个元素作为a的值，使得这组成对数据的相关程度最强，则a＝（）A．8 B．11 C．12 D．13【考点】变量间的相关关系．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据相关性与线性回归方程的关系即可得到答案．【解答】解：由bi＝ai（i＝1，2，⋯，9）可知前9个点在直线y＝x上．∵a10＝10，∴要使相关性最强，b10应更接近10，在集合{8，11，12，13}中取一个元素作为a的值，四个选项中11最接近10．故选：B．【点评】本题主要考查变量间的相关关系，属于基础题．3．下列命题中①散点图不能直观地判断两个变量是否具有线性相关关系；②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；③回归直线一定经过样本中心点．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】经验回归方程与经验回归直线；散点图；变量间的相关关系．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑思维．【答案】B【分析】根据散点图的定义可判断①，根据回归直线的性质可判断②③．【解答】解：对于①，散点图可以直观的判断两个变量是否具有线性相关关系，故①不正确；对于②，回归直线也可能不过任何一个点，故②错误；对于③，回归直线一定经过样本中心点，故③正确，所以正确的命题有1个．故选：B．【点评】本题主要考查了回归直线的性质，考查了回归分析，属于基础题．4．下列说法正确的是（）A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 B．回归直线方程为ŷ=0.3-0.7x时，变量x和C．在回归直线方程ŷ=0.4+0.5x中，当x每增加1个单位时，相应观测值y增加D．由样本数据得到的回归直线ŷ=b̂x+â至少经过点（x1，y1），（x2，y【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学抽象．【答案】B【分析】根据回归方程概念性质及相关系数性质判断各个选项．【解答】解：对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故A错误；对于B，因为斜率小于0，所以变量x和y负相关，故B正确；对于C，在回归直线方程ŷ=0.4+0.5x中，当x每增加1个单位时，相应观测值y约增加0.5对于D，由样本数据得到的回归直线ŷ=b̂x+â，必过点(x，y)，不一定经过（x1，y1），（x2故选：B．【点评】本题考查经验回归直线与回归方程，是基础题．5．第19届亚运会的吉祥物琮琮、莲莲、宸宸深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月吉祥物的销量，如下表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为ŷ时间x12345销售量y（万只）54.543.52.5A．由题中数据可知，变量y与x正相关 B．当x＝5时，残差为0.2 C．线性回归方程ŷD．可以预测当x＝6时销量约为2万只【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】C【分析】利用表中数据变化情况判断A；由样本中心点求出线性回归方程判断C；利用回归方程求出预测值，进而求出残差判断B；利用回归方程求出预测值判断D．【解答】解：根据题意可得y随x的增大而减小，变量y与x负相关，∴A选项错误；根据题意可得x=1+2+3+4+55=3，∴â∴线性回归方程为ŷ=-0.6x∵y5̂=-0.6×5+5.7=2.7，残差y∵当x＝6时销量约为ŷ=-0.6×6+5.7=2.1（万只），∴故选：C．【点评】本题考查线性回归分析的应用，属基础题．6．已知x，y的取值如下表所示：若y与x线性相关，且y＝0.95x+a，则a＝（）x0134y2.24.34.86.7A．2.2 B．2.9 C．2.8 D．2.6【考点】变量间的相关关系．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】D【分析】根据变量间的相关关系即可求解．【解答】解：由表格得x=14(0+1+3+4)=2，y=线性回归直线过样本点中心（2，4.5），∴4.5＝0.95×2+a，∴a＝2.6．故选：D．【点评】本题考查了变量间的相关关系，属于基础题．7．已知下列命题：（1）两个变量相关性越强，则相关系数r就越接近于1．（2）用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和一定是0．（3）用最小二乘法求得的回归直线y=b̂x+（4）从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指推断有5%的可能性出现错误．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】经验回归方程与经验回归直线；残差及残差图；样本相关系数．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】A【分析】根据相关系数的概念判断（1），根据最小二乘法判断（2），（3），根据独立性检验的思想判断（4）．【解答】解：对于（1）：两个变量相关性越强，则相关系数r的绝对值即|r|就越接近于1，故①错误；对于（2）：用最小二乘法求得的一元线性回归模型的残差和不一定是0，故②错误；对于（3）：用最小二乘法求得的回归直线y=b̂但是可以不过任何一个样本点，故③错误；对于（4）：从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指推断有5%的可能性出现错误，故④正确．故选：A．【点评】本题考查了相关系数，最小二乘法，属于基础题．8．已知由样本数据（xi，yi）（i＝1，2，3，•••，10）组成的一个样本，变量x，y具有线性相关关系，其经验回归方程为y=b̂x+â，并计算出变量x，y之间的相关系数为﹣0.96，i=1A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】方程思想；数学模型法；概率与统计；运算求解．【答案】B【分析】根据相关性系数可得负相关，结合样本中心在第三象限，即可求解．【解答】解：由相关系数为﹣0.96，知x，y负相关，则b̂又i=110∴样本点的中心的坐标为（﹣0.8，﹣1.5），则点（﹣0.8，﹣1.5）在经验回归直线上，且在第三象限，∴经验回归直线经过第二、三、四象限．故选：B．【点评】本题考查经验回归方程及其应用，考查分析问题与解决问题的能力，是基础题．二．多选题（共4小题）（多选）9．由一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为y=b̂x+â，记A．直线y=b̂x+â至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，B．直线y=b̂x+aC．样本相关系数r与回归系数b̂同号D．对样本相关系数r，|r|越大，两个变量之间的线性相关性越强【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】BCD【分析】根据回归直线方程的性质即可得．【解答】解：A项，B项，回归直线是由点拟合而成的，可能不过任何一个样本点，但必过数据的中心点，A项错误，B项正确；C项，样本相关系数r为正时，两个变量为正相关，回归系数b为正，样本相关系数r为负时，两个变量为负相关，回归系数b为负，故样本相关系数r与回归系数b同号，C项正确；D项，样本相关系数r∈[﹣1，1]，|r|越大，两个变量之间的线性相关性越强，D项正确．故选：BCD．【点评】本题考查了回归直线方程，属于基础题．（多选）10．为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采取简单随机抽样的方法抽取88名学生．通过测验得到了如下数据：甲校43名学生中有10名学生数学成绩优秀；乙校45名学生中有7名学生数学成绩优秀．整理数据如下表：学校数学成绩合计不优秀优秀甲校331043乙校38745合计711788附：χ参考数据：P（χ2≥x0）＝α0.1000.0500.0100.005x02.7063.8416.6357.879则下列说法正确的有（）A．甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高 B．甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高 C．甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多 D．对于小概率值α＝0.1，可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】ACD【分析】根据表格数据可判断ABC，计算χ2的值，与临界值比较可判断D．【解答】解：对于A，甲校的数学抽测成绩优秀率为1043，乙校的数学抽测成绩优秀率为7所以甲校的数学抽测成绩优秀率一定比乙校的数学抽测成绩优秀率高，故A正确；对于B，样本数据不能直接推断总体情况，不能说甲校的数学成绩优秀率一定比乙校的数学成绩优秀率高，故B错误；对于C，甲校的数学优秀人数可能比乙校的数学优秀人数多，故C正确；对于D，零假设H0：两校的数学成绩优秀率几乎没有差异，χ2=88×(33×7-10×38)271×17×43×45对于小概率值α＝0.1，我们推断H0成立，即可以认为两校的数学成绩优秀率几乎没有差异，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．（多选）11．下列说法中正确的是（）A．回归直线ŷ=bx+âB．用决定系数R2刻画回归效果时，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好 C．将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大 D．基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α【考点】经验回归方程与经验回归直线；决定系数与模型的拟合效果．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】BD【分析】由回归直线的性质即可判断A；利用相关指数R2的性质即可判断B；由标准差的性质即可判断C；由独立性检验的思想即可判断D．【解答】解：A：回归直线ŷ=b̂xB：用相关指数R2来刻画回归效果时，R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，故B正确；C：由题意可知，两组数据的波动性不变，故方差不变，则标准差不变，故C错误；D：根据独立性检验可知D正确．故选：BD．【点评】本题主要考查概率与统计的知识，属于基础题．（多选）12．下列说法中，正确的是（）A．某组数据的经验回归方程ŷ=bB．数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是17 C．甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为18 D．若一组数据2x1，2x2，⋯，2xn的方差为16，则另一组数据x1，x2，⋯，xn的方差为4【考点】经验回归方程与经验回归直线；抽象函数的定义域；方差；百分位数．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】ACD【分析】根据经验回归方程ŷ=b̂x+â必过样本中心点即可判断【解答】解：对于A，经验回归方程ŷ=b̂x对于B，将数据按从小到大的顺序排列为12，14，15，17，19，23，27，30，因为8×50%＝4，所以50%分位数是17+192=18，故对于C，甲、乙、丙三种个体按1：2：3的比例分层抽样，如果抽取的乙个体数为6，则样本容量为6÷21+2+3对于D，若一组数据2x1，2x2，⋯，2xn的方差为16，则另一组数据x1，x2，⋯，xn的方差为(12)故选：ACD．【点评】本题主要考查概率的求解，属于基础题．三．填空题（共5小题）13．已知变量y关于x的回归方程为y＝ebx﹣0.6，若对y＝ebx﹣0.6两边取自然对数，可以发现lny与x线性相关，现有一组数据如表所示：x12345yee3e4e6e7则当x＝6时，预测y的值为e9．【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】e9．【分析】取对数后分别计算代入线性回归方程，求出＝1.6，最后计算x＝6时的结果即可．【解答】解：对y＝ebx﹣0.6两边取对数，得lny＝bx﹣0.6，令z＝lny，则z＝bx﹣0.6．x12345yee3e4e6e7z13467x=1+2+3+4+55代入﹣0.6得4.2＝3＝1.6．故z＝1.6x﹣0.6，y＝e1.6x﹣0.6．当x＝6时，y＝e1.6×6﹣0.6＝e9．故答案为：e9．【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．14．随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注．某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（10≤m≤20，m∈N*）支持不支持男生70﹣m10+m女生50+m30﹣m若通过计算得，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为66．附：K2=n(ad-bc)2(aα0.0500.0100.0050.001x03.8416.6357.87910.828【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】66．【分析】根据独立性检验公式列出不等式，进而求解即可．【解答】解：因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”，所以160×[(70-即（m﹣10）2≥28.8075，因为函数y＝（m﹣10）2在10≤m≤20时单调递增，且m∈N*，（15﹣10）2＜28.8075，（16﹣10）2≥28.8075，所以m的最小值为16，所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为50+16＝66．故答案为：66．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．15．已知n个点Pi（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）大致呈线性分布，其中x1＝i，且数据（xi，yi）的回归直线方程为y＝2x﹣11，则i=1nyi的最小值为【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】﹣25．【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质，以及二次函数的性质，即可求解．【解答】解：由题意可知，x=1+2+...+n数据（xi，yi）的回归直线方程为y＝2x﹣11，且该直线过（x，y），则1ni=1nyi=n故i=1nyi=n（n﹣10）＝（n﹣5）2﹣25≥﹣故i=1n故答案为：﹣25．【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．16．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验收集到的数据如下表：零件数x1020304050加工时间y/min62758189由最小二乘法求得回归方程为ŷ=0.67x+54.9，现发现表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为68【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】方程思想；数学模型法；概率与统计；运算求解．【答案】68．【分析】设模糊不清的数据为a，求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求解a值．【解答】解：设模糊不清的数据为a，则x=10+20+30+40+505∴样本点的中心为（30，307+a代入ŷ=0.67x+54.9，得307+a5=0.67×30+54.9故答案为：68．【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．17．已知一组数据（i，yi）（i＝1，2，3，…，n）大致呈线性分布，其回归直线方程为ŷ=2x-9，则i=1【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解．【答案】﹣16．【分析】根据回归方程必过样本中心点(x【解答】解：x=回归直线y＝2x﹣9经过(x则1ni=1所以当n＝4时，i=1n故答案为：﹣16．【点评】本题主要考查线性回归方程的性质，是基础题．四．解答题（共5小题）18．为了研究某中药预防方对预防某种疾病的效果，科学家进行了实验，得到如下结果（单位：人）：患病情况服用情况患病不患病服用中药预防方1090不服用中药预防方5050（1）该中药预防方对预防该种疾病是否有效？（2）从参与该实验的人中任选一人，A表示事件“选到的人服用中药预防方”，B表示事件“选到的人患病”．利用该调查数据，求P（A|B），P（A|B）的值．附：χ2=n(ad-bc)2(a+bP（x2≥x0）0.100.050.01x02.7063.8416.635【考点】独立性检验；求解条件概率．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效；（2）P（A|B）=16，P（A|B）【分析】（1）根据所给公式代入即可求解；（2）根据条件概率的性质即可求解．【解答】解：（1）由已知得χ=200×(10×50-90×50)所以有99%的把握认为该中药预防方对预防该种疾病有效；（2）由题意可得P(B)=P(AB)=P(A|【点评】本题考查了条件概率，属于基础题．19．为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物（单位：只）试验，得到如下列联表：药物疾病合计未患病患病未服用10080s服用15070220合计250t400（1）求s，t；（2）记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p，给出p的估计值；（3）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？附：χ2P（χ2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）s＝180，t＝150；（2）49（3）能．【分析】（1）根据表格数据直接求解；（2）利用频率估算概率；（3）计算χ2的值，再与临界值比较即可．【解答】解：（1）由表格信息可知，s＝100+80＝180，t＝80+70＝150；（2）由表格信息可知，未服用药物A的动物共计180只，其中患疾病B的有80只，所以p=80（3）补全2×2列联表如下：药物疾病合计未患病患病未服用10080180服用15070220合计250150400零假设H0：药物A对预防疾病B无效，则χ2=400×(100×70-150×80)2250×150×180×220根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为药物A对预防疾病B有效，此推断犯错的概率不超过0.01．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．20．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，一经推出便风靡全国．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某调研组在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户为“A组”，否则为“B组”，调查共发现A组成员48人，其中男性18人．（1）根据以上数据，能否有95%的把握认为“A组”用户与“性别”有关？（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，抽取的5人中再随机抽取3人赠送礼包，记这3人中有2人在“A组”的概率．参考公式：K2=n(ad-bc)2(a+b参考数据：P（K2≥k0）0.500.400.250.050.0250.010k00.4550.7081.3233.8415.0246.635【考点】独立性检验；古典概型及其概率计算公式．【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）能有95%的把握认为“A组”用户与“性别”有关；（2）35【分析】（1）先画出2×2列联表，再根据公式计算随机变量K2，最后根据独立性检验原理即可求解；（2）根据分层抽样及古典概型的概率公式即可求解．【解答】解：（1）根据题意可得性别与A，B组的2×2列联表为：AB合计男183250女302050合计4852100∴K2=100×(18×20-32×30)∴能有95%的把握认为“A组”用户与“性别”有关；（2）∵女性用户中A，B组的人数比为3：2，∴从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人，其中A组抽3人，B组抽2人，∴再从这5人中抽3人共有C53而这3人中有2人在A组包含C32∴3人中有2人在“A组”的概率为610【点评】本题考查独立性检验原理的应用，分层抽样，古典概型的概率公式，属基础题．21．某收费APP（手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱．该APP所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x（单位：元）及该月对应的用户数量y（单位：万人），得到如下数据表格：用户一个月月租减免的费用x（元）45678用户数量y（万人）22.12.52.93.2已知x与y线性相关．（1）求y关于x的经验回归方程（i=15（2）据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，…，n），其经验回归直线ŷ=b̂x【考点】经验回归方程与经验回归直线．【专题】方程思想；数学模型法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）ŷ=0.32x+0.62；预测当月租减免费用为【分析】（1）由已知求得b̂与â的值，可得y关于（2）在（1）中求得的经验回归方程中，取x＝14求解ŷ【解答】解：（1）x=4+5+6+7+85i=15则b̂â=∴y关于x的经验回归方程为ŷ（2）在ŷ=0.32x+0.62中，取x＝预测当月租减免费用为14元时，该月用户数量为5.1万人．【点评】本题考查经验回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题．22．为提高居家养老服务质量，某机构组织调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区抽取了500位老年人，统计结果如下：性别需要志愿者不需要志愿者男40160女30270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）中的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的比例？说明理由．附：χ2α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【考点】独立性检验．【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．【答案】（1）14%；（2）有关；（3）答案见解析．【分析】（1）根据题意给数据可得需要帮助的老年人的比例估计值为70500（2）根据卡方的计算公式，结合独立性检测的思想即可下结论；（3）由（2）可知该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，因此先利用分层抽样方法调查男女比例．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例估计值为70500（2）零假设H0：老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关，χ2根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；（3）由（2）的结论知道，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显的差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．

考点卡片1．抽象函数的定义域【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；②根式（开偶次方）被开方式≥0；③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；④指数为零时，底数不为零．⑤实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．【命题方向】涉及抽象函数的定义域求解，常见于参数未知的函数定义域问题．已知函数f（3x+2）的定义域为（0，1），则函数f（2x﹣1）的定义域为_____．解：由函数f（3x+2）的定义域为（0，1），即0＜x＜1，得2＜3x+2＜5，令2＜2x﹣1＜5，解得32∴函数f（2x﹣1）的定义域为(32．古典概型及其概率计算公式【知识点的认识】1．定义：如果一个试验具有下列特征：（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．则称这种随机试验的概率模型为古典概型．*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．2．古典概率的计算公式如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）=m【解题方法点拨】1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．因此要注意清楚以下三个方面：（1）本试验是否具有等可能性；（2）本试验的基本事件有多少个；（3）事件A是什么．2．解题实现步骤：（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解题方法技巧：（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．3．求解条件概率【知识点的认识】﹣条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，记作P（A|B）．﹣计算：P(A|B)=P(【解题方法点拨】﹣计算条件概率时，确定事件B的发生对事件A的影响，通过交事件的概率和条件事件的概率进行计算．【命题方向】﹣主要考察条件概率的计算及其应用问题．4．散点图【知识点的认识】1．散点图的概念：在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．2．曲线拟合的概念：从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合．3．正相关和负相关：（1）正相关：对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到右上角的区域内．（2）负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散布在从左上角到右下角的区域．3、注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系．4、散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形．特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势．优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系．散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度．5．方差【知识点的认识】﹣方差：标准差的平方，衡量数据离均值的变异程度．【解题方法点拨】﹣计算：直接使用方差的公式σ2【命题方向】﹣主要考察方差的计算及其在数据变异分析中的作用．6．百分位数【知识点的认识】百分位数的定义：一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈（0，1），总体的p分位数有这样的特点，总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是p．四分位数：25%，50%，75%分位数是三个常用的百分位数．把总体数据按照从小到大排列后，这三个百分位数把总体数据分成了4个部分，在这4个部分取值的可能性都是14【解题方法点拨】一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有（100﹣p）%的数据大于或等于这个值．计算一组n个数据的第p百分位数步骤如下：①按从小到大排列原始数据；②计算i＝n×p%；③若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数．【命题方向】理解连续变量的百分位数的统计含义，考察百分位数的计算，学会用样本估计总体的百分位数．7．变量间的相关关系【知识点的认识】1、变量之间的相关关系两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系．当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系．相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系．2、线性相关和非线性相关：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系．3、两个变量相关关系与函数关系的区别和联系（1）相同点：两者均是两个变量之间的关系．（2）不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．8．样本相关系数【知识点的认识】1、概念：相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无法确切地表明两个变量之间相关的程度．于是，著名统计学家卡尔•皮尔逊设计了统计指标﹣﹣相关系数．相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标．相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基础，通过两个离差相乘来反映两变量之间相关程度；着重研究线性的单相关系数．2、相关系数用r表示，计算公式为其中：当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关；|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近