山东省青岛市市南区青岛第二十六中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

2023－2024学年度青岛市二十六中第一学期期末考试一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）1.在中，，，那么的长是（）A. B. C. D.2.如图是由一个正方体，在底部截去了一个半圆柱的得到的几何体，则其是左视图是（）A. B. C. D.3.某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是()A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B.掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6C.一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上D.用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数4.如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（）A.（40﹣40）cm B.（80﹣40）cmC.（120﹣40）cm D.（80﹣160）cm5.如图，是的直径，点A是外一点，连接并延长交于点D，若，则（）．A B. C. D.6.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，将缩小为原来的一半得到，当反比例函数的图象（）经过的中点时，的值为（）A.30 B. C.30或 D.或7.一次函数与反比例函数的图象有两个不同的交点，点，、、是函数图象上的三个点，则的大小关系是（）A. B.C D.8.如图，已知，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点Р在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（）A.2 B. C.4 D.9.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣2b（a≠0）与反比例函数y＝（c≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A. B.C. D.10.一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有（）种．A.8 B.9 C.10 D.二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）11.若，则代数式的值是___________．12.已知一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是______．13.股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票原价为每股元，之后两天时间涨到每股元，若这两天此股票股价的平均增长率为，则可列方程为______．14.如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为____________．15.如图，在中，，点O为的中点，以点O为圆心，为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为________．16.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x=-1，下列结论中:①abc>0；②3a+c>0；③；④当图象经过点(，2)时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1，x2（x1<x2），则x1+2x2=-，其中正确的结论是_________.（填写序号）三、作图题（本题满分4分）17.用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，如图，中，，分别切于D、E、F，请在图中画出．四、解答题（本大题满分8分，共有9道小题）18.（1）计算：（2）用适当的方法解方程：．19.如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得，，，，．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：）20.如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．（1）转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；（2）若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．21.如图，以边长为的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，求它的容积．22.如图所示，第一个菱形的边长为2，，且点D落在y轴上，延长交x轴于A，以为边作第二个菱形；延长交x轴于点，以为边作第三个菱形…，按这样的规律进行下去，若点D、C、、…都在一条直线上．【探究】（1）______；（2）____________；（3）则第个菱形的面积为______．23.如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．24.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）求证：AB=AF；（2）若∠ACB=30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的四边形？并证明你的结论．25.跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．（1）甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？（2）若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？（3）由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元均少卖出5根，为了每天获取更多利润，请问店主将两种跳绳同时提高多少元时，才能使日销售利润达到最大？26.已知：如图，在矩形中，，点E为边的中点，连接，交于点F．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点A出发，沿方问匀速运动，速度为3cm/s，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．设运动时间为．解答下列问题：（1）当t为何值时，点P在线段的垂直平分线上？（2）连接，设五边形的面积为，求y与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使点Q在平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

2023－2024学年度青岛市二十六中第一学期期末考试一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）1.在中，，，那么的长是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟知锐角三角函数是解题的关键．【详解】解：在中，，，∴，故选C．2.如图是由一个正方体，在底部截去了一个半圆柱的得到的几何体，则其是左视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：从左边看外边是一个矩形，里边是一个矩形，里面矩形的宽用虚线表示，故选：B．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示．3.某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是()A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B.掷一个质地均匀的正方体骰子，落地时面朝上的点数是6C.一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上D.用2，3，4三个数字随机排成一个三位数，排出的数是偶数【答案】B【解析】【分析】根据统计图可知，试验结果在0.15到0.20之间波动，即：这个实验的概率大约为0.17，分别计算四个选项的概率，大约为0.17即为正确答案．【详解】A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意；B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6的概率为0.17，故本选项符合题意；C．一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是=0.25，故本选项不符合题意；D．由于用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234，324，342，432，∴排出的数是偶数的概率为：．故本选项不符合题意．故选B．【点睛】本题是利用频率估计概率，主要考查了学生的观察频数（率）分布折线图，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．4.如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（）A.（40﹣40）cm B.（80﹣40）cmC.（120﹣40）cm D.（80﹣160）cm【答案】D【解析】【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值求出AC＝BD＝4040，进而得出答案．【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，∴AC＝BD＝804040，∴CD＝BD﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝80160，故选：D．【点睛】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．5.如图，是的直径，点A是外一点，连接并延长交于点D，若，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如图，连接、，由圆周角定理可得，再结合可得，进而得到；再根据圆的内接四边形的性质可得，进而得到，最后根据圆周角定理即可解答．【详解】解：如图，连接，，∵是的直径，∴，∵，∴．∴．∵四边形是圆内接四边形，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的对角互补是解答本题的关键．6.如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，将缩小为原来的一半得到，当反比例函数的图象（）经过的中点时，的值为（）A.30 B. C.30或 D.或【答案】B【解析】【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律得到，或，，则的中点坐标为，或，，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求的值．【详解】解：以原点为位似中心，将缩小为原来的得到△，而，，，或，，的中点坐标为，或，，把，代入得或把，代入得．故选：．【点睛】本题考查了位似变换，反比例函数图象上点的坐标特征，熟悉相关性质是解题的关键．7.一次函数与反比例函数的图象有两个不同的交点，点，、、是函数图象上的三个点，则的大小关系是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一次函数与反比例函数有两个不同的交点，确定出的取值范围，再根据反比例函数的性质求解即可；本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的交点问题，根据一元二次方程根的情况求参数，解题的关键是正确确定出的取值范围．【详解】解：一次函数与反比例函数的图象有两个不同的交点，即：有两个不同的解，∴，，，∴，∴函数图象在二、四象限，则在每个象限内，随的增大而增大，∵，∴，∵当时，，∴，故选：D．8.如图，已知，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，，M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点Р在线段AB上移动时，点MN之间的距离最短为（）A.2 B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN＝90°，设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP＝60°，∴∠APC＝120°，∠EPB＝60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM＝∠APC＝60°，∠EPN＝∠EPB＝30°，∴∠MPN＝60°+30°＝90°，设PA＝2a，则PB＝8﹣2a，PM＝a，PN＝（4﹣a），∴MN＝，∴a＝3时，MN有最小值，最小值为2，故选：B．【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．9.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax﹣2b（a≠0）与反比例函数y＝（c≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据二次函数的图象开口向上可知a＞0，对称轴在y轴的左侧可知b＞0，再由函数图象交y轴的负半轴可知c＜0，然后根据一次函数的性质和反比例函数的性质即可得出正确答案．【详解】∵二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴的左侧，函数图象交于y轴的负半轴∴a＞0，b＞0，c＜0，∴反比例函数y＝的图象必在二、四象限；一次函数y＝ax﹣2b一定经过一三四象限，故选D．【点睛】此题主要考查二次函数与反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数各系数与图像的关系.10.一个由16个完全相同的小立方块搭成的几何体，其最下面一层摆放了9个小立方块，它的主视图和左视图如图所示，那么这个几何体的搭法共有（）种．A.8 B.9 C.10 D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查由三视图判断几何体．解题关键是根据主视图与左视图相同小方块数的交叉列确定不变的小立方块数量在什么位置．观察图形，根据几何体主视图每一列最大分别为4，2，3再根据左视图确定每一列最大分别为4，3，2总数要保证是16，还要保证俯视图有9个位置，从而即可得出所有的不同搭法．【详解】解：设俯视图有9个位置分别为：由主视图和左视图知：①第1个位置一定是4，第6个位置一定是3；②一定有2个2，其余有5个1；③最后一行至少有一个2，当中一列至少有一个2；根据2的排列不同，这个几何体的搭法共有10种：如下图所示：综上所述：这个几何体的搭法共有10种．故答案为C二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）11.若，则代数式的值是___________．【答案】【解析】【分析】先用y表示x，再代入分式求值，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴=，故答案是：．【点睛】本题主要考查分式求值，用y表示x，再代入求值，是解题的关键．12.已知一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是______．【答案】且【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式非负，得关于a的不等式，解不等式即可．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，∴，解得，∴a的取值范围是且．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，特别注意二次项系数非零这个条件不能忽略．13.股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票原价为每股元，之后两天时间涨到每股元，若这两天此股票股价的平均增长率为，则可列方程为______．【答案】【解析】【分析】设这两天此股票股价的平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设这两天此股票股价的平均增长率为，根据题意得，，故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．14.如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为____________．【答案】【解析】【分析】如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，证明△ACO≌△ODB得到AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则点A的坐标为（-b，a），再由点B在反比例函数，推出，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，则∠ACO=∠ODB=90°，由题意得OA=OB，∠AOB=90°，∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，∴∠CAO=∠DOB，∴△ACO≌△ODB（AAS），∴AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，∴点A的坐标为（-b，a），∵点B在反比例函数，∴，∴，∴，∴经过点A的反比例函数表达式为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．15.如图，在中，，点O为的中点，以点O为圆心，为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为________．【答案】【解析】【分析】连接OA，作OM⊥AB，ON⊥AC，证明△OMG≌△ONH，则S四边形OGAH＝S四边形OMAN，求得扇形DOE的面积，则阴影部分的面积即可求得．【详解】解：连接OA，作OM⊥BA，ON⊥AC．∵CA＝AB，∠BAC＝90°，点O为BC的中点，BC＝4，∴OA＝BC＝2，四边形OMAN是正方形，OM＝，则扇形DOE的面积是：，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，点O为BC的中点，∴OA平分∠BAC，又∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴OM＝ON，∵∠GOH＝∠MON＝90°，∴∠GOM＝∠HON，在△OMG和△ONH中，，∴△OMG≌△ONH（AAS），∴S四边形OGAH＝S四边形OMAN＝()2＝2．则阴影部分的面积是：π−2，故答案为：π−2．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△OMG≌△ONH，得到S四边形OGAH＝S四边形OMAN是解题的关键．16.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x=-1，下列结论中:①abc>0；②3a+c>0；③；④当图象经过点(，2)时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1，x2（x1<x2），则x1+2x2=-，其中正确的结论是_________.（填写序号）【答案】②③④【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．【详解】由二次函数图象可知a>0，c<0，∵该二次函数对称轴为x=-1，∴，∴，∴abc<0，故①错误；由图象可知，当x=1时，y>0，即．∵，∴，∴，故②正确；将代入，得：，∵，c<0，∴，∴，故③正确；∵的两根为x1，x2（x1<x2）,∴二次函数与有两个交点，且交点横坐标分别为x1，x2．∵二次函数图象经过点(，2)，且该点在对称轴右侧，∴．∵二次函数的对称性，∴，∴，故④正确．综上可知正确的结论为②③④，故答案为：②③④．【点睛】本题考查根据二次函数的图象判断式子符号．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．三、作图题（本题满分4分）17.用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹，如图，中，，分别切于D、E、F，请在图中画出．【答案】见解析【解析】【分析】本题主要考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．作的内切圆即可，【详解】解：作、的角平分线交于点O，再作垂足为H，以O为圆心以为半径作圆，则分别切与于E、F．四、解答题（本大题满分8分，共有9道小题）18.（1）计算：（2）用适当的方法解方程：．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】本题主要考查了实数的综合运算能力，解一元二次方程因式分解法，（1）先化简二次根式和绝对值，计算负指数幂，三角函数值，再算乘法，最后计算加减；（2）移项后，利用因式分解法求解．【详解】解：（1）；（2）∴，∴，即：解得：，．19.如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得，，，，．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：）【答案】A，B两点之间的距离是．【解析】【分析】过B作于E，过A作于F，由已知是等腰直角三角形，设，则，，在中，可得，解得，在中，解得，根据四边形是矩形，可得，，，即可在中，求出即可.【详解】解：过B作于E，过A作于F，如图：∵，∴是等腰直角三角形，设，则，∵，∴，中，，∴，即，解得，经检验符合题意；∴，中，，，∴，即，解得，∵，于E，，∴四边形是矩形，∴，，∴，中，，答：A，B两点之间的距离是．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及勾股定理、矩形判定及性质等知识，解题的关键是适当添加辅助线，构造直角三角形．20.如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．（1）转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；（2）若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．【答案】（1）（2）这个游戏公平，理由见解析【解析】【分析】（1）转盘指针指向正数的概率，据此即可求解；（2）通过列表找出事件的所有等可能结果，分别计算小明获胜的概率、小聪获胜的概率即可进行判断．【小问1详解】解：∵为正数∴转盘指针指向正数的概率为：【小问2详解】解：列表得：64一共有9种等可能的结果其中的有4种、、、；其中的有4种、、、∴（小聪获胜）；（小明获胜）（小聪获胜）（小明获胜）∴这个游戏公平【点睛】本题考查了概率的应用．熟记概率的计算公式以及列表法（或树状图）是解题关键．21.如图，以边长为的正三角形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取长的六条线段，过截得的六个端点作所在边的垂线，形成三个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线剪掉，用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子，求它的容积．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，连接，作于M，根据等边三角形性质得出，，，利用三角函数求出，，，根据体积公式求出，【详解】解：连接，作于M，如图所示：如图由题意得：为等边三角形，为等边三角形，，∴，，，∴，在中，，∴，∵，∴，∴无盖柱形盒子的容积为：，答：正三角形的无盖柱形盒子的容积为．22.如图所示，第一个菱形的边长为2，，且点D落在y轴上，延长交x轴于A，以为边作第二个菱形；延长交x轴于点，以为边作第三个菱形…，按这样的规律进行下去，若点D、C、、…都在一条直线上．【探究】（1）______；（2）____________；（3）则第个菱形的面积为______．【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）由第一个菱形的边长为2，，得出为含30度直角三角形，由此得出，即可得到答案；（2）同理（1）可得，，由此发现规律：即可解题；（3）根据（2）的规律求出第个菱形的边的高即可求解．【小问1详解】解：，，菱形的边长为2，∴，，∴，，∴同理可得∴故答案为【小问2详解】由（1）可知，即：由此规律可知：，∴故答案为：，．【小问3详解】由（2）可知，第个菱形的菱长为，的高，第个菱形的面积为．故答案为．【点睛】本题主要考查菱形的性质，含度直角三角形性质、勾股定理，图形的规律，解本题的关键是求出前几个菱形的边长，找出规律．23.如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．【答案】（1）；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0）【解析】【详解】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式；（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞的解集为x＞1；（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标．详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，∴y与x之间的函数关系式为：y=；（2）∵A（1，3），∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0），把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，∴b=，∴y2=x+，令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7，∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，∴CP=BC=，或BP=BC=∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，∴P（﹣，0）或（，0）．点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．24.已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）求证：AB=AF；（2）若∠ACB=30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的四边形？并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）四边形AGCD是菱形．理由见解析【解析】【分析】（1）根据AAS证出△ABC≌△AFE，根据全等三角形的性质推出即可；

（2）求出AF=CF，证△DAF≌△GCF，推出AD=CG，即可得出答案．【小问1详解】证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，∴∠ABC=∠AFE=90°，在△ABC和△AFE中，∵，∴△ABC≌△AFE（AAS），∴AB=AF；【小问2详解】解：四边形AGCD是菱形．理由如下：证明：∵∠ACB=30°，∠ABC=90°，∴2AB=AC，∵AB=AF，∴AC=2AF=AF+FC，∴AF=CF，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠FCG，在△DAF和△GCF中，，∴△DAF≌△GCF（ASA），∴AD=CG，∵AD∥CG，∴四边形AGCD是平行四边形，∵DG⊥AC，∴平行四边形AGCD是菱形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．25.跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳．已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为32元；甲种跳绳每根获利4元，乙种跳绳每根获利5元；店主第一批购买甲种跳绳25根、乙种跳绳30根一共花费885元．（1）甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？（2）若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共60根，在费用不超过1000元的情况下，如何进货才能保证利润W最大？（3）由于质量上乘，前两批跳绳很快售完，店主第三批购进甲、乙两种跳绳若干，当甲、乙两种跳绳保持原有利润时，甲、乙两种跳绳每天分别可以卖出120根和105根，后来店主决定将甲、乙两种跳绳的售价同时提高相同的售价，已知甲、乙两种跳绳每提高1元