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文档简介
河南省洛阳市偃师高级中学2024-2025学年高三数学试题一模试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为()A. B. C. D.2.已知函数在上都存在导函数,对于任意的实数都有,当时,,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.设,满足,则的取值范围是()A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图,则输出的的值为()A. B.C. D.5.已知函数,若对于任意的,函数在内都有两个不同的零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.6.某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香,盆盆栽,现将这盆盆栽摆成一排,要求郁金香不在两边,任两盆锦紫苏不相邻的摆法共()种A. B. C. D.7.已知集合,,则等于()A. B. C. D.8.已知抛物线经过点,焦点为,则直线的斜率为()A. B. C. D.9.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为100分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述不正确的是()A.甲的数据分析素养优于乙 B.乙的数据分析素养优于数学建模素养C.甲的六大素养整体水平优于乙 D.甲的六大素养中数学运算最强10.正的边长为2,将它沿边上的高翻折,使点与点间的距离为,此时四面体的外接球表面积为()A. B. C. D.11.将3个黑球3个白球和1个红球排成一排,各小球除了颜色以外其他属性均相同,则相同颜色的小球不相邻的排法共有()A.14种 B.15种 C.16种 D.18种12.已知复数为虚数单位),则z的虚部为()A.2 B. C.4 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知椭圆,,若椭圆上存在点使得为等边三角形(为原点),则椭圆的离心率为_________.14.展开式中的系数的和大于8而小于32,则______.15.记为数列的前项和,若,则__________.16.已知全集,集合,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知矩阵,.求矩阵;求矩阵的特征值.18.(12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持,在我国有很多手工艺品制作村落,村民的手工技艺世代相传,有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名,还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎,该村村民成立了手工艺品外销合作社,为严把质量关,合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关,质量把关程序如下:(i)若一件手工艺品3位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为A级;(ii)若仅有1位行家认为质量不过关,再由另外2位行家进行第二次质量把关,若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为B级,若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关,则该手工艺品质量为C级;(iii)若有2位或3位行家认为质量不过关,则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为,且各手工艺品质量是否过关相互独立.(1)求一件手工艺品质量为B级的概率;(2)若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销,且利润分别为900元,600元,300元,质量为D级不能外销,利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件;②记1件手工艺品的利润为X元,求X的分布列与期望.19.(12分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,且过点.求椭圆的方程;已知是椭圆的内接三角形,①若点为椭圆的上顶点,原点为的垂心,求线段的长;②若原点为的重心,求原点到直线距离的最小值.20.(12分)已知椭圆:过点,过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于,两点.(1)证明:当取得最小值时,椭圆的离心率为.(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.21.(12分)已知直线的参数方程为(,为参数),曲线的极坐标方程为.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线的形状;(2)若直线经过点,求直线被曲线截得的线段的长.22.(10分)[选修45:不等式选讲]已知都是正实数,且,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成,利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成,该多面体体积为.故选D.本小题主要考查三视图还原为原图,考查柱体和锥体的体积公式,属于基础题.2.B【解析】
先构造函数,再利用函数奇偶性与单调性化简不等式,解得结果.【详解】令,则当时,,又,所以为偶函数,从而等价于,因此选B.本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式,考查综合分析求解能力,属中档题.3.C【解析】
首先绘制出可行域,再绘制出目标函数,根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.【详解】由题知,满足,可行域如下图所示,可知目标函数在点处取得最小值,故目标函数的最小值为,故的取值范围是.故选:D.本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题,属于基础题.4.B【解析】
列出循环的每一步,进而可求得输出的值.【详解】根据程序框图,执行循环前:,,,执行第一次循环时:,,所以:不成立.继续进行循环,…,当,时,成立,,由于不成立,执行下一次循环,,,成立,,成立,输出的的值为.故选:B.本题考查的知识要点:程序框图的循环结构和条件结构的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.5.D【解析】
将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根,先求导,可判断时,,是增函数;当时,,是减函数.因此,再令,求导得,结合韦达定理可知,要满足题意,只能是存在零点,使得在有解,通过导数可判断当时,在上是增函数;当时,在上是减函数;则应满足,再结合,构造函数,求导即可求解;【详解】函数在内都有两个不同的零点,等价于方程在内都有两个不同的根.,所以当时,,是增函数;当时,,是减函数.因此.设,,若在无解,则在上是单调函数,不合题意;所以在有解,且易知只能有一个解.设其解为,当时,在上是增函数;当时,在上是减函数.因为,方程在内有两个不同的根,所以,且.由,即,解得.由,即,所以.因为,所以,代入,得.设,,所以在上是增函数,而,由可得,得.由在上是增函数,得.综上所述,故选:D.本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题,构造函数法,导数法研究函数增减性与最值关系,转化与化归能力,属于难题6.B【解析】
间接法求解,两盆锦紫苏不相邻,被另3盆隔开有,扣除郁金香在两边有,即可求出结论.【详解】使用插空法,先排盆虞美人、盆郁金香有种,然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种,根据分步乘法计数原理有,扣除郁金香在两边,排盆虞美人、盆郁金香有种,再将盆锦紫苏放入到3个位置中有,根据分步计数原理有,所以共有种.故选:B.本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理,不相邻问题插空法是解题的关键,属于中档题.7.B【解析】
解不等式确定集合,然后由补集、并集定义求解.【详解】由题意或,∴,.故选:B.本题考查集合的综合运算,以及一元二次不等式的解法,属于基础题型.8.A【解析】
先求出,再求焦点坐标,最后求的斜率【详解】解:抛物线经过点,,,,故选:A考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式,基础题.9.D【解析】
根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A,甲的数据分析素养为100分,乙的数据分析素养为80分,故甲的数据分析素养优于乙,故A正确;对于B,乙的数据分析素养为80分,数学建模素养为60分,故乙的数据分析素养优于数学建模素养,故B正确;对于C,甲的六大素养整体水平平均得分为,乙的六大素养整体水平均得分为,故C正确;对于D,甲的六大素养中数学运算为80分,不是最强的,故D错误;故选:D本题考查了样本数据的特征、平均数的计算,考查了学生的数据处理能力,属于基础题.10.D【解析】
如图所示,设的中点为,的外接圆的圆心为,四面体的外接球的球心为,连接,利用正弦定理可得,利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形,最后利用勾股定理可求外接球的半径,从而可得外接球的表面积.【详解】如图所示,设的中点为,外接圆的圆心为,四面体的外接球的球心为,连接,则平面,.因为,故,因为,故.由正弦定理可得,故,又因为,故.因为,故平面,所以,因为平面,平面,故,故,所以四边形为平行四边形,所以,所以,故外接球的半径为,外接球的表面积为.故选:D.本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算,还考查正弦定理和余弦定理,折叠问题注意翻折前后的变量与不变量,外接球问题注意先确定外接球的球心的位置,然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算,本题有一定的难度.11.D【解析】
采取分类计数和分步计数相结合的方法,分两种情况具体讨论,一种是黑白依次相间,一种是开始仅有两个相同颜色的排在一起【详解】首先将黑球和白球排列好,再插入红球.情况1:黑球和白球按照黑白相间排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此时将红球插入6个球组成的7个空中即可,因此共有2×7=14种;情况2:黑球或白球中仅有两个相同颜色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此时红球只能插入两个相同颜色的球之中,共4种.综上所述,共有14+4=18种.故选:D本题考查排列组合公式的具体应用,插空法的应用,属于基础题12.A【解析】
对复数进行乘法运算,并计算得到,从而得到虚部为2.【详解】因为,所以z的虚部为2.本题考查复数的四则运算及虚部的概念,计算过程要注意.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据题意求出点N的坐标,将其代入椭圆的方程,求出参数m的值,再根据离心率的定义求值.【详解】由题意得,将其代入椭圆方程得,所以.故答案为:.本题考查了椭圆的标准方程及几何性质,属于中档题.14.4【解析】
由题意可得项的系数与二项式系数是相等的,利用题意,得出不等式组,求得结果.【详解】观察式子可知,,故答案为:4.该题考查的是有关二项式定理的问题,涉及到的知识点有展开式中项的系数和,属于基础题目.15.-254【解析】
利用代入即可得到,即是等比数列,再利用等比数列的通项公式计算即可.【详解】由已知,得,即,所以又,即,,所以是以-4为首项,2为公比的等比数列,所以,即,所以。故答案为:本题考查已知与的关系求,考查学生的数学运算求解能力,是一道中档题.16.【解析】
根据题意可得出,然后进行补集的运算即可.【详解】根据题意知,,,,.故答案为:.本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.;,.【解析】
由题意,可得,利用矩阵的知识求解即可.矩阵的特征多项式为,令,求出矩阵的特征值.【详解】设矩阵,则,所以,解得,,,,所以矩阵;矩阵的特征多项式为,令,解得,,即矩阵的两个特征值为,.本题考查矩阵的知识点,属于常考题.18.(1)(2)①2②期望值为X900600300100P【解析】
(1)一件手工艺品质量为B级的概率为.(2)①由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为,设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是件,则,则,.由得,所以当时,,即,由得,所以当时,,所以当时,最大,即10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是2件.②由上可得一件手工艺品质量为A级的概率为,一件手工艺品质量为B级的概率为,一件手工艺品质量为C级的概率为,一件手工艺品质量为D级的概率为,所以X的分布列为X900600300100P则期望为.19.;①;②.【解析】
根据题意列出方程组求解即可;①由原点为的垂心可得,轴,设,则,,根据求出线段的长;②设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,设:,,,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1,,由,则,,,得出,根据求解即可.【详解】解:设焦距为,由题意知:,因此,椭圆的方程为:;①由题意知:,故轴,设,则,,,解得:或,,不重合,故,,故;②设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1;设:,,,则,,则,则:,,代入式子得:,设到直线的距离为,则时,;综上,原点到直线距离的最小值为.本题考查椭圆的方程的知识点,结合运用向量,韦达定理和点到直线的距离的知识,属于难题.20.(1)证明见解析;(2)存在,【解析】
(1)将点代入椭圆方程得到,结合基本不等式,求得取得最小值时,进而证得椭圆的离心率为.(2)当直线的斜率不存在时,根据椭圆的对称性,求得到直线的距离.当直线的斜率存在时,联立直线的方程和椭圆
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