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文档简介
专题01平行线的四大模型
Q模型解密
模型一“铅笔”模型
结论1:若A8〃C。,贝!JNP+NAEP+NPFC=36O°;
结论2:^ZP+ZAEP+ZPFC=360°,则AB〃CD
「Si典例精讲
【典例1】(2023秋•南岗区校级期中)已知,射线尸G分别交射线A3、。。于点AG,点
E为射线BG上一点.
(1)如图1,若求证:AB//CD.
(2)如图2,若AB〃C。,求证:ZA-ZD=ZAED.
(3)如图3,在(2)的条件下,小交A/于点I,交AE于点K,ZEDI=^.ZCDE,Z
4
BAI=&/EAI,/I=NAED=25°,求NEKD的度数.
图1图2图3
【答案】(1)(2)证明见解析;
(3)95°.
【解答】(1)证明:如图所示:过点E作
・•・ZA=ZAEFf
VZA+ZZ)=ZAEr>,ZAED=ZAEF+ZDEF,
:・ND=NDEF,
J.EF//CD,
:.AB//CD;
(2)证明:-:AB//CD,
:.NA=NEHG,
/EHG=ZD+ZAED.
:.NA=/D+NAED,
ZA-ND=NAED;
(3)解:设AE与CO交于点〃,ZEAI=x,则/朋/=3>,/EAB二xWx』x,
444
':AB//CD,
:.NEHC=/EAB=LH
4
VZ/=ZA£D=25°,/EKI=/EAI+/I=/EDI+/AED,
:.x+25°=ZEDI+25°,
ZEDI=x,
■:NEDI=3/CDE,
4
oo
ZCHE=ZCDE+ZAED,
。
,.,7yx=x+y1x+2C5L,
解得:x=60°,
・•・/EKD=ZAKI=1SO°-/EAI-ZI
=180°-60°-25°
=95°.
【变式1-1](2022秋•古县期末)如图:按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角,并使Nl=l
50°,AB1BC,则N2的度数为()
A.100°B.110°C.120°D.130°
【答案】C
【解答】解:过点3作
'JAD//CF,
:.AD//BE//CF,
・・・N1+NABE+NC3E+N2=36O°,即Nl+NABC+N2=360°,
VZl=150°,ZABC=90°,
・・・N2的度数为120°.
故选:C.
【变式1-2](2023•金安区一模)如图,已知〃〃4Zl=45°,N2=125°,则NA8C的
度数为()
A
105°C.115°D.125°
【答案】A
【解答】解:解法一:如图,过点B作DE〃a,
a//b,DE//a,
:.DE//b,
・・・N2+ND3C=180°,
/.ZZ)BC=180°-Z2=180°-125°=55°,
AZABC=ZDBA^-ZDBC=450+55°=100°.
解法二:如图,延长48交。于点R
・・・N1=N3=45°,
VZ2=125°,
':Z2=Z3+ZCBF,
:.ZCBF=Z2-Z3=125°-45°=80°,
AZABC=180°-ZCBF=180°-80°=100°.
故选:A.
【变式1-3](2023秋•北储区期末)如图,A3〃CD,点E是直线AB,CD之间一点.
(1)如图1,求证:ZB+ZD+Z£=360°;
(2)如图2,若NB=120。,ABED,NCL比的平分线相交于点E求/。EE的度数;
(3)如图3,若ND=cc,ZEBF=4ZABF,/BEF=4/DEF.请直接写出的度
数(用含a的代数式表示).
【答案】(1)360°;
(2)60°;
⑶1a-108。-
D
【解答】解:(1)如图所示:过点E作跖〃A3,
AB
CD
:.ZB-^ZBEF=1SO°,
*:AB//CD,
:.EF//CDf
:.ZD+ZDEF=\S0°,
・・・N8+N3EF+NOEF+NO=180°+180°,
即N5+N3EO+NO=360°;
(2)由(1)可知:ZB+ZBE£>+Z£>=360°;
VZB=120°,
:.ZBED+ZD=360°-120°=240°,
•:/BED,NCDE的平分线相交于点R
AZDEF=IZBED,NEDF-|NCDE,
・•・NDEF+/EDF
=yZBED-^ZCDE
=y(ZBED+ZCDE)
=yX2400
=120°,
:.ZDFE=l80°-(NDEF+NEDF)=60°;
(3)VZEBF=4ZABF,NBEF=4/DEF,
•••NFBE="^NABE,ZBEF^-ZBED-
55
由(1)可知:NABE+NBED+/D=360°,
ZABE+ZBEF=360°-ZZ)=360°-a,
・•・/FBE+/BEF
44
=ED/ABEDKNBED
4
=-^(ZABE+ZBED)
D
4
=7-(360-a)
b
4
=288Ta,
b
•;NF+NFBE+NBEF=180°,
.\ZBFE=180°-(NFBE+NBEF)
4
=180°-(2880-菅a)
D
=180°-288°《a
4
=Ta-108-
D
【变式1-4](2023秋•重庆期末)已知,MN//PQ,直线AB交MN于点A,交PQ于点B,
点C在线段上,过C作射线CE、CF分别交直线MN、尸。于点E、F.
图1图2图3
(1)如图1,当CE_LCF时,求/AEC+NBFC的度数;
(2)如图2,若NMEC和NPfT的角平分线交于点G,求NEC/和NG的数量关系;
(3)如图3,在(2)的基础上,当CE_LCR且NABP=60°,ZACE=20°时,射线
FT绕点F以5°每秒的速度顺时针旋转,设运动时间为/秒,当射线bG与△AEC的一
边互相平行时,请直接写出/的值.
【答案】(1)ZAEC+ZBFC=90°;
(2)2NG+NECb=180°;
(3)10或26或34秒.
【解答】解:(1)如图所示:过点。作C〃〃MN,
9:MN//PQ,
J.CH//PQ,
:.ZBFC=Z2f
VCF±CE,
・・・N1+N2=9O°,
AZAEC+ZBFC=90°;
〈EG平分NMEC,FG平分/PFT,
・・・N1=N2,/PFT=2/3,
*:ZPFT+ZPFC=1SO°,
/.ZPFC=180°-ZPEF=180°-2Z3,
■:MN//PQ,
・・・N1=N5=N2,
VZ5=Z3+ZG,Z2+Z5+ZECF+ZPFC=360°,
.,.2Z5+ZECF+1800-2Z3=360°,
A2(N3+NG)+ZECF-2Z3=180°,
/.2ZG+ZECF=180°;
(3)如图所示:
分三种情况:
①如图1所示:当bG旋转到尸7时,FT//AE,
VCFXCE,
.'NEC尸=90°,
VZACE=20°,ZABP=60°,ZACE+ZABP+ZBCF=180°,
・・・N5CR=100°,
VZBCF+ZABP+ZBFC=180°,ZABP=60°,
AZBFC=180°-ZBCF-ZABP=50°,
:.ZTFT=ZBFC^50°,
•;FG平分/PFT,尸丁绕点耳旋转的速度每秒5°,
・・・NT尸G=//G,FT=25°,尸G绕点/旋转的速度为每秒2.5°,
:.t=25°4-2.5°=10秒;
②如图2所示:当尸G旋转到尸T时,FT//CE,
VCF1CE,
:.ZECF=90°,
,:FT〃CE,
:.ZTFT=ZECF=90°,
VZACE=20°,ZABP=60°,ZACE+ZABP+ZBCF=180°,
AZBCF=100°,
:.ZTFP=ZBCF=50°
■:FG平令/PFT,
・・.NGU=/NPFT=25°,
JZGFT=ZTFT-ZGFT=65°,
:.t=65°4-2.5°=26秒;
③如图3所示:当尸G旋转到尸T时,FT//AC,
:.ZPFT^ZABP^60°,
:①已证NPFT=/3FC=50°,FG平分/PFT,
••./GH=£/PFT=25°=/PFG
:.ZGFT=ZPFG+ZPFT=25°+60°=85°,
:.t=85°4-2.5°=34秒;
当射线FG与的一边互相平行时,r的值为10或26或34秒.
K模型解密
结论2:若NP=NAEP+NC尸P,MAB//CD.
宜]典例精讲
【典例2】(2023春•邵阳县期末)如图,直线A8〃CQ,连接ER直线AB,CO及线段
跖把平面分成①②③④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点G落在某个
部分时,连接GE,GF,构成/EGF,NGEB,三个角.
①①
图一图二
(1)当动点G落在第③部分时,如图一,试说明:ZEGF,ZGEB,NGm三者的关
系;
(2)当动点G落在第②部分时,如图二,思考(1)中三者关系是否仍然成立若不成立,
说明理由.
【答案】(1)NEGF=NGEB+NGFD,理由见解答;
(2)(1)中三者关系不成立,理由见解答.
【解答】解:(1)ZEGF=ZGEB+ZGFD,
理由:过点G作
①
图一
NGEB=Z.EGM,
'JAB//CD,
:.CD//GM,
;.NGFD=NFGM,
:ZEGF=ZEGM+ZFGM,
:.ZEGF=ZGEB+ZGFD;
(2)(1)中三者关系不成立,
理由:过点G作GN〃AB,
①
④
图二
:.NGEB+NEGN=180°,
':AB//CD,
:.CD//GN,
:.ZGFD+ZFGN^ISO°,
:.NGEB+NEGN+NFGN+NGFD=360°,
即ZGEB+ZEGF+ZGFD=360".
【变式2-1](2023•盘锦)如图,直线A8〃CD,将一个含60。角的直角三角尺EG尸按图
中方式放置,点E在AB上,边GF,EP分别交CD于点K,若/2跖=64°,则/
GHC等于()
D.14°
【答案】B
【解答】解:因为A2〃Cr),且/BEF=64°,
所以/DXF=/BEF=64°.
又三角形EFG为直角三角形,且NG=90°,ZGEF=60°
所以//=30°.
所以/K/3=64°-30°=34°.
又/GHC=NKHF,
所以NGHC=34°.
故选:B.
【变式2-2](2023•大石桥市校级三模)如图,直线a//b,等边△ABC的顶点C在直线b
上,Zl=28°,则N2的度数为()
A.36°B.24°C.28°D.32°
【答案】。
【解答】解:过点2作2/〃a,
.*.Z1=ZABF=28°,
VAABC是等边三角形,
AZABC=60°,
J.ZFBC^ZABC-ZABF^32°,
':a//b,
:.BF//b,
:.Z2=ZFBC=32°,
故选:D.
【变式2-3](2023春•浏阳市期末)(1)感知与探究:如图①,直线A8〃C。,过点E作E
F//AB.请直接写出ZD,N3即之间的数量关系:/BED=/B+/D;
(2)应用与拓展:如图②,直线AB〃CD若/8=23°,ZG=35°,ZD=25°,借
助第(1)问中的结论,求N2EG+NG打)的度数;
(3)方法与实践:如图③,直线AB//CD.若/E=/B=60°,/尸=85°,则
25度.
图①图②图③
【答案】(1)ZBED^ZB+ZD;
(2)N8EG+NGH>的度数为83
(3)25.
【解答】(1)-EF//AB,
:.N5=N1,
*:AB//CD,
:.EF//CD,
:.Z2=ZD,
,:ZBED=Z1+Z2,
:.ZBED=ZB+ZD,
故答案为:NBED=NB+ND;
(2)过点G作GH//AB,
U:AB//CD,
:.CH//CD,
由(1)可得:/GFD=/D+/FGH,
VZB=23°,ZEGF=35°,ND=25°,
・・・/BEG+/GFD=NB+NEGH+ND+NFGH
=NB+ND+/EGF
=23°+35°+25°
=83°,
•••N8EG+NG/。的度数为83。;
(3)设A3与E尸相交于点M,
F
A--¥^——^B
E.
cD
VZB=60°,ZF=85°,
:.ZBMF=1800-ZB-ZF=35°,
AZAME=ZBMF=35°,
由(1)得:ZE^ZAME+ZD,
VZE=60°,
:.ZD=ZE-ZAME=6Q°-35°=25°,
故答案为:25.
【变式2-4](2023春•霸州市期中)如图1,AB//CD,ZPAB=135°,NPCD=125°,求
NAPC度数.
小明的思路是:过P作如图2,通过平行线性质来求/APC.
(1)按小明的思路,易求得/APC的度数为100。;请说明理由;
(2)如图3,AO〃BC,点P在射线0M上运动,当点尸在A、8两点之间运动时,ZA
DP=Na,ZBCP=Zp,则NCP。、Za>N0之间有何数量关系?请说明理由;
(3)在(2)的条件下,如果点尸在A、8两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不
重合),请你直接写出NCPD、Na、N0间的数量关系.
【答案】(1)100°,理由见解答;
(2)NOPC=/a+/B,理由见解答;
(3)当点尸在射线AM上运动时,ZDPC=Z^-Za;当点尸在08上运动时,ZDP
C=Za-ZP,理由见解答.
【解答】解:(1),."PE//AB,/以8=135°,
ZAPE=180°-ZB4JB=45°,
':AB//CD,
J.PE//CD,
:.ZCPE=1800-ZPCD=55
AZAPC=ZAPE+ZCPE=100°,
故答案为:100°;
(2)Z£)PC=Za+Zp,
理由:过点尸作尸尸〃A。,
・•・ZDPF=ZADP=Na,
9:AD//CB,
:.PF//CB,
:.ZCPF=ZPCB=Z^,
':ZDPC=NDPF+NCPF,
AZZ)PC=Za+Zp;
(3)分两种情况:
当点尸在射线AM上运动时,Z£)PC=Zp-Za,
理由:如图:过点尸作尸G〃AD,
'ZGPD=ZADP=Na,
VAD//BC,
:.PG//BC,
:.ZGPC=ZBCP=Z^,
':ZDPC=ZGPC-NGPD,
:.ZDPC=Z^-Na;
当点尸在05上运动时,ZDPC=Za-Zp,
理由:如图:过点P作
・•・ZHPD=ZADP=Za,
VAD//BC,
:.PG//BC,
・・・NHPC=NBCP=/B,
9:ZDPC=ZHPD-ZHPC,
:.ZDPC=Za-Zp;
综上所述:当点P在射线AM上运动时,Z£>PC=Zp-Za;当点尸在。8上运动时,
【变式2-5](2023春•南漳县期中)如图1,点A是直线“。上一点,C是直线GE上一点,
2是直线用)、GE之间的一点.ZHAB+ZBCG^ZABC.
(1)求证:AD//CE-,
(2)如图2,作NBCF=NBCG,C尸与的角平分线交于点R若a邛=50°,求
N8+/歹的度数;
(3)如图3,CR平分/BCG,BN平分/ABC,BM//CR,已知NA4H=40°,试探究
NN8M的值,若不变求其值,若变化说明理由.
图1图2
【答案】(1)证明过程见解答;
(2)N8+//的度数为150°;
(3)的值不变,NN2M的值为20°.
【解答】(1)证明:过点8作
,NABP=/HAB,
•・・ZABC=/ABP+NCBP,ZABC=ZHAB+ZBCG,
:.ZCBP=ZBCG,
J.BP//CE,
:.AD//CE;
(2)解::A/平分NHA3,
:.ZHAF=ZFAB=^9
:.ZHAB=2ZFAB=2^,
■:/BCF=/BCG=a,
:./FCG=2/FCB=2a,
*:ZB=ZHAB+ZBCGf
:.NF=ZHAF+ZFCG,
•・・a+0=5O°,
・•・ZB+ZF=ZHAB+ZBCG+ZHAF+ZFCG
=20+a+B+2a
=3a+30
=3(a+p)
=150°,
・・・N8+N/的度数为150°;
(3)解:NN3M的值不变,
理由::CR平分N3CG,BN平分NABC,
:・/BCG=2/BCR,ZABC=2ZNBC,
■:BM//CR,
:・NBCR=NMBC,
:.ZBCG=2ZMBC,
VZHAB+ZBCG=ZABC,ZBAH=40°,
Z.NHAB=ZABC-ZBCG
=2ZNBC-2ZMBC
=2(ZNBC-/MBC)
=2/NBM,
:.ZNBM=l-ZHAB=20°,
2
/.ZNBM的值为20°
Q模型解密
模型三“臭脚”模型
结论1:若A8〃CZ),则NP=NAEP-NC尸P或NP=NC尸4NAEP;
结论2:^ZP=ZAEP-ZCFP^ZP=ZCFP-ZAEP,贝!|A8〃CD
回典例精讲
【典例3】(2023春•中山区期末)如图,ZABE+ZBED^ZCDE.
(1)如图1,求证AB〃CD;
(2)如图2,点尸在AB上,/CDP=/EDP,BF平分NABE,交PD于点F,探究/
BFP,N8EZ)的数量关系,并证明你的结论;
(3)在(2)的条件下,如图3,尸0交瓦)延长线于点。,ZDPQ^2ZAPQ,ZPQD
=80,求/CDE的度
E
EE
【答案】(1)答案见解答过程;
(2)ZBED=2ZBFP,理由见解答过程;
(3)120°.
【解答】(1)证明:延长CO交5E于点”,
I.ZCDE=/DHE+/BED,
NABE+NBED=NCDE,
:.ZDHE=ZABE,
J.AB//CD,
(2)解:ZBFP,NBEO的数量关系是:NBED=2/BFP,理由如下:
设N班尸=a,/CDP=B,
/平分NABE,/CDP=/EDP,
:・NEBF=NABF=£,/CDP=NEDP=B,
:・/PBE=2/EBF=2a,
由(1)可知:AB//CD,
:・/DPB=/CDP=B,
:.ZAPD=180°-NN。尸5=180°-访
•・・/APD=/ABF+/BFP,
.*.180°-p=a+ZBFP,
:.ZBFP=180°-(a+P),
由四边形的内角和等于360°得:NBED+NEDP+NDPB+NPBE=36U°,
即:ZBED+p+p+2a=360°,
:.ZBED=360°-2(a+p),
:.ZBED=2ZBFP.
(3)解:设NA尸。=e,
・•・ZDPQ=2ZAPQ=2Q,
:.ZAPD=ZAPQ+ZDPQ=30,
由(1)可知:AB//CD,
・・・NCDP+NAPZ)=18(r,
AZCDP=180°-ZAPD=180°-30,
':ZPQD=80°,
AZEDP=ZPQD+ZDPQ=80°+20,
':ZCDP=ZEDP9
.*.180°-30=80°+20,
解得:0=20°,
:.ZCDP=180°-30=120°,ZEDP=800+20=120°,
根据周角的定义得:ZCDE+ZCDP+ZEDP=360°,
:.ZCDE=360°-QCDP+/EDP)=360°-(120°+120°)=120°.
【变式3-1](2023春•伊通县期末)如图1,线段CD是由线段平移得到的.分别连接B
D,AC.直线BELAC于点£延长。C与8E相交于点尸.点P是射线FD上的一个动
点,点P不与点尸、点C、点。重合.连接BP,EP.
AE/C
F/F/F/
(图1)(图2)(图3)
(1)线段AC,BD的关系是AC=BD,AC〃BD;
(2)如图1,当点尸在线段尸。上运动时,ZDBP,NCEP,NBPE之间的数量关系是
NDBP=ZCEP+/BPE;
(3)如图2,当点尸在线段CO上运动时,NDBP,/CEP,NBPE之间的数量关系是
否发生变化?若发生变化请写出它们的关系,并证明;若没有发生变化,请说明理由;
(4)如图3,当点尸在点。上方运动时,请直接写出NOBP,ZCEP,NBPE之间的数
量关系:/CEP=/DBP+/BPE.
【答案】(1)AC^BD,AC//BD;
(2)ZDBP=ZCEP+ZBPE;
(3)当点尸在线段CD上运动时,ZDBP,ZCEP,NBPE之间的数量关系不会发生变
化,理由见解析;
(4)NCEP=NDBP+NBPE.
【解答】解:(1);.线段CO是由线段平移得到的,
:.AB=CD,AB//CD,
...四边形ABCD为平行四边形,
J.AC^BD,AC//BD-,
故答案为:AC=BD,AC//BD;
(2)如图,设AC与3尸交于点G,
':AC//BD,
:.NDBP=NCGP,
":ZCGP=ZCEP+ZBPE,
:.ZDBP=ZCEP+ZBPE;
故答案为:ZDBP=ZCEP+ZBPE;
(3)当点尸在线段CD上运动时,NDBP,ZCEP,NBPE之间的数量关系不会发生变
化,理由如下:
如图,过点P作尸交A2于点X,
:.AC//HP//BD.
:・/DBP=/BPH,/CEP=/EPH,
ZBPE=/BPH+/EPH,
:./BPE=/DBP+/CEP;
r
U:AC//BD,
:.ZCEP=ZDMP,
•・・ZDMP=NDBP+/BPE,
:.ZCEP=ZDBP+ZBPE.
故答案为:ZCEP=ZDBP+ZBPE.
【变式3-2](2023春•大足区期末)已知直线A3〃CD,E为平面内一点,连接防、EC.
(1)如图1,已知N8=32°,ZC=120°,求N3EC的度数;
(2)如图2,判断NA5E、ZBEC.NOCE1之间的数量关系为NABE-/BEC+/DC
石=180°;
(3)如图3,BELCE,BF平分NABE,若/ECF二NECD=90。,求々FC的度
数
图1图2图3
【答案】(1)92°,
(2)ZABE-ZBEC+ZDCE=180°.
(3)NBFC=45°.
【解答】解:(1)过点E作斯〃A2,如图:
则A8〃C£)〃EF,
;.NB=NBEF=32°,ZC+ZC£F=180",
VZC=120°,
:.ZCEF=60°,
:./BEC=32°+60°=92°,
(2)过点E作则A2〃EM〃C。,如图:
"."AB//EM//CD,
:.ZB=ZBEM,ZCEM+ZC=180°,
,:ZCEM=/BEM-/BEC=ZB-/BEC,
:.ZB-ZBEC+ZC=180°,
即ZABE-ZBEC+ZDCE=\S00.
故答案为:ZABE-ZB£C+ZDCE=180°.
(3)过/作过E作EN〃AB,如图:
AB
CD
“-----N
vZECF+yZECD=90°>
设/FCE=x,则/ECD=180°-2x,ZFCD=180°-尤,
:.NABE=NBEN=90°+NCEN=90°+180°-ZECD=90°+2x,
由(2)可知/ABF-N8FC+FQ9=180°,
即/(90°+2x)-ZBFC+1800-X=1800)
解得NBPC=45°.
【变式3-3](2023春•吴兴区期中)已知:AB//CD,E、G是AB上的点,F、H是CD上
的点,N1=N2.
(1)如图1,求证:EF//GH;
(2)如图2,过P点作FM1GH交GH延长线于点M,作/BEF、ZDFM的角平分线
交于点N,EN交GH于点、P,求证:NN=45°;
(3)如图3,在(2)的条件下,作NAG8的角平分线交CD于点Q,若3NFEN=4N
HFM,直接写出/GQH的值.
ZMPN
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)证明:
Z.Z2=Z3,
又;N1=N2,
Z.Z1=Z3,
:.EF//GH;
AEGB
图1
(2)如图2,过点、N作NK〃CD,
:.KN//CD//AB,
:./KNE=ZA,Z6=Z7,
设N4=x,N7=y,
■:EN、WV分别平分N3EF、/DFM,
4ENK=N5=N4=x,N6=N8=N7=y,
又・・・AB〃CO,
:.ZEFD=180°-(Z4+Z5)=180°-2x,
又・・・bM_LGH,
:.ZEFM=90°,
.*.180°-2x+2y=90°,
.,.x-y=45°,
:.ZENF=ZENK-Z6=x-y=45°,
:3/FEN=A/HFM,即3%=4X2y,
'.x-y=—~y=45°
3v,
:.y=Tl°,尤=72°,
又和G。是角平分线,
GQ±EN,
:.ZGQH^ZEG2=180°-90°-72°=18°,
又,:Z.MPN=/FEN=x=12°,
.NGQH1
••/MPN7,
故答案为」.
4
猫专题训练
1.(2023•五华区校级模拟)如图,点5在△CDE的边EC的延长线上,AB//CD,若NB
=50°,ZE=30°,则N。的度数为()
A.15°B.20°C.30°D.50°
【答案】B
【解答】解:•・・AB〃CQ,ZB=50°,
:.ZB=ZBCD=50°,
,:ZBCD=ZD-^ZE,ZE=30°,
:.ZD=20°,
故选:B.
2.(2023•西峡县三模)如图是一款手推车的平面示意图,其中AB//CD,Zl=30°,Z2
=70°,则N3的度数为(
【答案】c
【解答】解::AB〃C。,Nl=30°,
/A=N1=3O°
AZA£F=180°-Z2=110°,
:.Z3=ZA+ZAEF^3O°+110°=140°.
故选:C.
3.(2023春•西塞山区期中)如图,AB与HN交于点E,点G在直线CD上,GF交于
点M,ZFMA=ZFGC,/FEN=2/NEB,/FGH=2/HGC,下列四个结论:①48〃
CD-,®ZEHG=2ZEFM;③NEHG+NEFM=9Q°;®3ZEHG-ZEFM=180°.其
中正确的结论是()
A.①②③B.②④C.①②④D.①④
【答案】D
【解答】解:=
J.AB//CD
...①正确;
过点尸作尸尸〃AbHQ//AB,
"JAB//CD,
:.FP//AB//HQ//CD,
设NNEB=x,ZHGC=y,则NFEN=2x,ZFGH=2y
:.NEHG=ZEHQ+ZGHQ=ZAEH+ZHGC^ZNEB+ZHGC^x+y,
NEFM=/BEF-NFME=NBEF-/AMG=NBEF-(180°-ZFGC)=x+2x-(18
0°-y-y)=3x+3y-180°,
:.2ZEFM=6x+6y-360°,
NEHG¥2NEFM
•••②错误;
AZEHG+ZEFM=x+y+3x+'iy-180°=4x+4y-180°r90°,
③错误;
:.34EHG-NEFM=3(x+y)-(3x+3y-180°)=180°,
...④正确.
综上所述,正确答案为①④.
故选:D.
4.(2023春•德城区期末)已知N分别是长方形纸条ABC。边AB,CD上两点(.AM>
DN),如图1所示,沿M,N所在直线进行第一次折叠,点A,。的对应点分别为点E,
F,EM交CD于点、P;如图2所示,继续沿PM进行第二次折叠,点、B,C的对应点分
图1图2
A.74°B.72°C.70°D.68°
【答案】B
【解答】解:由翻折的性质得:NAMN=/NMP,NCPM=NHPM,
•.•四边形ABC。为长方形,
J.AB//CD,
・•・ZAMN=Z1,
:.ZNMP=Z1,
又・・・N1=N2,
・•・NAMN=NNMP=Z1=Z2,
AZAMP=2Z1,ZGMP=3Z1,
,:HP〃GM,
:.ZHPM+ZGMP=1SO°,
即:ZHPM+3Z1=18O°,
*:CP〃BM,
:.ZCPM=ZAMP=2Z1,
ZHPM=ZCPM=2Z1,
.•.2Z1+3Z1=18O°,
AZ1=36°,
:.ZCPM=2Z1=72°.
故选:B.
5.(2023•西城区二模)如图,直线AB〃CD,直线所分别交AB,CD于点、E,F,ZBEF
的平分线交CO点G,若N3EF=n6°,则NEGC的大小是()
【答案】D
【解答】解::EG为N5E/的平分线,NBEF=116:
:.ZFEG=58°,
AZAEF=180°-116°=64°,
•・,直线AB//CD,
:.ZEFG=AEF^6^°,
在中,NbEG+NE/G+NEG/=180°,
:.ZEGF=180°-58°-64°=58
,NEGC=58°,
故选:D.
6.(2023•佛山二模)如图,把正方形ABC。沿EF折叠,点A的对应点为点A',点8的
对应点为点),若/1=40°,则NAEB的度数是()
A.100°B.110°C.115°D.120°
【答案】B
【解答】解:根据题意得,NBFE=/B,FE,
':Z1+ZBFE+ZB'FE=18Q°,
.•.Zl+2ZBFE=180°,
:.NBFE=10°,
•••四边形ABC。为正方形,
.'.AD//BC,
.,.AE//BF,
:.NDEF=NBFE=7Q°,
VZAEF+ZDEF=180°,
AZA£F=110°.
故选:B.
7.(2023秋•长春期末)如图,AB〃CD,点、E、尸分别在直线A3、上,点P是A3、C
。之间的一个动点.
【感知】如图①,当点P在线段EP左侧时,若NAEP=50°,NPFC=7Q°,求NEPF
的度数.
分析:从图形上看,由于没有一条直线截48与C。,所以无法直接运用平行线的性质,
这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形,过点P作PG〃A8,根据
两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行,可知PG//CD,进而求出
NEPF的度数.
【探究】如图②,当点P在线段后方右侧时,/AEP、/EPF、/尸尸。之间的数量关系为
NAEP+NEPF+NPFC=360°.
【答案】(1)NEP/的度数为120°;
(2)ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°,
【解答】(1)过点尸作尸G〃A5,
:.ZEPG=ZAEP=50°,
*:AB//CD,
:.PG〃CD,
:.ZGPF=ZPFC=10°,
;・NEPF=NEPG+NGPF=500+70°=120°,
・・・NE尸产的度数为120°;
(2)过点尸作尸G〃AB,
:.ZEPG^-ZAEP=180°,
*:AB//CD,
:.PG//CD,
:.ZGPF+ZPFC=180°,
•••NAEP+NEPG+NF1尸G+N尸尸。=360°,
Z.ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°,
故答案为:ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°.
8.(2023春•天元区校级期末)如图,AQ//BP,ABLBP,E、C、。分别是线段A。、AB、
2尸上的点,且满足ECLCD所是NGEC的角平分线与8尸交于点R在EQ上截一点
G,连接GF,令GF=FE.
(1)如图1,若NAEC=40°,求NC£>2的度数.
(2)如图1,连接GP,若GP〃EF,H是线段尸尸上的一点(FHVHP),连接GH,使
得2/GHP=3NAEC,求NPG8和NCOB的数量关系.
(3)如图2,在(2)的条件下,过点。作QMLGP,垂足为N是线段GP上的一
点,且满足/QVM=2NGEE求NGQN和/CEF的数量关系.
2
【答案】(1)ZCDB=50°;
(2)ZCDB+2ZFGH=90°;
(3)ZGQN+2.5ZCEF^180°.
【解答】解:(1)如图:
':AQ//BP,ABLBP,
:.AB±AQ,
:.ZAEC+ZACE^90°,
VECXCD,
:.ZBCD+ZACE=90°,
ZAEC=/BCD,
VZAEC=40°,
AZBCD=40°,
':AB±BP,
:.ZBCD-^-ZCDB=90o,
:.ZCDB=90°-NBCD=900-ZAEC=90°-40°=50°
即NCD3=50°;
(2)由2/GHP=3/AEC,
・••设NGH尸=3根,ZAEC=2mf
•・・EF是NGEC的角平分线,
・•・/GEC=2/GEF=2NCEF,
VZGEC=180°-ZAEC,
:.ZGEC=180°-2m,
AZGEF=1ZGEC=9O°-m,
2
':GF=FE.
:,/GEF=/GFE=9U°-m,
■:AQ//BP,
:.ZGEF=ZEFD=90°-m,
・・・NGFD=NGEF+NEFD=2(90°-m)=180°-2m,
■:/GHP=3m,
:.ZGHF=180-ZGHP=180°-3m,
又丁ZGFD=NFGH+NFGH,
:.ZGFD^ZFGH+180°-3m,
.*.180°-2m=ZFG77+180°-3m,
:.ZFGH=m,
由(1)知:ZCDB=90°-/AEC,
,/ZAEC=2mf
:.ZCDB=90°-/AEC=90°-2m,
:.ZCDB=9Q°-2ZFGH,
即/CDB+2/FG"=90°;
(3)如图:
设/GEF=cc,
:EF是/GEC的角平分线,
:.ZGEF=ZCEF=a,
,:ZQNM=1ZGEF,
2
ZQNM=—a,
2
,JGP//EF,
:.ZQGN=ZGEF=a,
在aGON中,
:.ZGQN=180°-ZQGN-ZQNG=18Q°-a-2a=180°-2.5a,
2
:.ZGQN=180°-2.5ZCEF,
即NGQV+2.5NCEB=180°.
9.(2023春•安化县期末)在课后学习中,小红探究平行线中的线段与角的数量关系,如图,
直线点N在直线C。上,点P在直线A8上,点M为平面上任意一点,连接
MP,MN,PN.
图1图2图3
(1)如图1,点M在直线C。上,PM平分/APN,试说明/PMN=/MPN;
(2)如图2,点M在直线AB,CZ)之间,/PMN=1O°,/MNC=30°,求/APM的
度数;
(3)如图3,NAPM和NMNC的平分线交于点。,/PQN与有何数量关系?并
说明理由.
【答案】(1)说明见解析;
(2)40°;
(3)2ZPQN^ZPMN,理由见解析.
【解答】解:(1)':AB//CD,
:.ZAPM=ZPMN.
平分N4PM
ZAPM=ZMPN,
:.NPMN=NMPN;
(2)如图,过点M作ME〃C£>,
图2
:.NEMN=NMNC=30°,
':AB//CD,ME//CD,
J.ME//AB,
:.ZAPM=ZPME,
:.NPMN=ZPME+ZEMN=ZAPM+ZMNC,
':ZPMN=J0°,
:.NAPM=NPMN-NMNC=10°-30°=40°;
(3)2ZPQN=ZPMN,理由如下:
由(2)可知/PMN=NAPM+/MNC,
同理可得:ZPQN=ZAPQ+ZQNC,
,:PQ和NQ分别是/APM和/MNC的平分线,
'NAPQ=//APM,NQNC卷NMNC,
NPQN=ZAPQ+ZQNC,
=yZAPM+yZMNC=yZPMN>
:.2ZPQN=ZPMN.
10.(2023春•海阳市期末)如图,AM//BN,NA=40°,点P是射线AM上一动点(不与
点A重合),BC,8。分别平分/A8尸和/PBM交射线AM于C,。两点.
(1)求NC8D的度数;
(2)当点P运动到使时,求/ABC的度数;
(3)当点尸运动时,NAPB与NADB的度数之比是否随之发生变化?若不变,求出NA
P8与NAD8的度数之比;若变化,请说明变化规律.
【答案】(1)NCBD=70°;
(2)ZABC=35°;
(3)NAPB:ZADB^2:1,理由见解析.
【解答】解:(1),:AM〃BN,ZA=40°,
AZABN=1SO°-ZA=140°,
:BC,BD分别平分/ABP和ZPBN,
:.ZCBP=^ZABP,ZPBD=1ZPBN,
22
':ZCBD=ZCBP+ZPBD,
:.NCBD=L/ABP+工/PBN=1/ABN=70°;
222
(2)当NACB=N4BO时,
又•.,NBAC=ND4B,
AABC^AADB,
Z.ZABC=ZADB,
,:AM〃BN,
:.ZADB=ZDBN,
:.ZABC=ZCBP,NPBD=ZDBN,
:.ZABC=ZCBP=/PBD=ZDBN,
:.ZABC+ZCBP+ZPBD+ZDBN=1.ZABN=^X140°
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