苏科版七年级数学下册压轴题：平行线的四大模型（解析版）

专题01平行线的四大模型

Q模型解密

模型一“铅笔”模型

结论1：若A8〃C。，贝!JNP+NAEP+NPFC=36O°；

结论2：^ZP+ZAEP+ZPFC=360°,则AB〃CD

「Si典例精讲

【典例1】（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线尸G分别交射线A3、。。于点AG,点

E为射线BG上一点.

（1）如图1,若求证：AB//CD.

(2)如图2,若AB〃C。，求证：ZA-ZD=ZAED.

(3)如图3,在(2)的条件下，小交A/于点I,交AE于点K,ZEDI=^.ZCDE,Z

4

BAI=&/EAI,/I=NAED=25°,求NEKD的度数.

图1图2图3

【答案】（1）（2）证明见解析;

(3)95°.

【解答】（1）证明：如图所示：过点E作

・•・ZA=ZAEFf

VZA+ZZ)=ZAEr>,ZAED=ZAEF+ZDEF,

:・ND=NDEF,

J.EF//CD,

：.AB//CD；

(2)证明:-：AB//CD,

：.NA=NEHG,

/EHG=ZD+ZAED.

：.NA=/D+NAED,

ZA-ND=NAED；

(3)解：设AE与CO交于点〃，ZEAI=x,则/朋/=3>，/EAB二xWx』x，

444

'：AB//CD,

:.NEHC=/EAB=LH

4

VZ/=ZA£D=25°,/EKI=/EAI+/I=/EDI+/AED,

：.x+25°=ZEDI+25°,

ZEDI=x,

■:NEDI=3/CDE,

4

oo

ZCHE=ZCDE+ZAED,

。

,.,7yx=x+y1x+2C5L，

解得：x=60°,

・•・/EKD=ZAKI=1SO°-/EAI-ZI

=180°-60°-25°

=95°.

【变式1-1］（2022秋•古县期末）如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使Nl=l

50°,AB1BC,则N2的度数为（）

A.100°B.110°C.120°D.130°

【答案】C

【解答】解：过点3作

'JAD//CF,

：.AD//BE//CF,

・・・N1+NABE+NC3E+N2=36O°,即Nl+NABC+N2=360°,

VZl=150°,ZABC=90°,

・・・N2的度数为120°.

故选：C.

【变式1-2］（2023•金安区一模）如图，已知〃〃4Zl=45°,N2=125°,则NA8C的

度数为（）

A

105°C.115°D.125°

【答案】A

【解答】解：解法一：如图，过点B作DE〃a,

a//b,DE//a,

：.DE//b,

・・・N2+ND3C=180°,

/.ZZ)BC=180°-Z2=180°-125°=55°,

AZABC=ZDBA^-ZDBC=450+55°=100°.

解法二：如图，延长48交。于点R

・・・N1=N3=45°,

VZ2=125°，

'：Z2=Z3+ZCBF,

：.ZCBF=Z2-Z3=125°-45°=80°，

AZABC=180°-ZCBF=180°-80°=100°.

故选：A.

【变式1-3］（2023秋•北储区期末）如图，A3〃CD,点E是直线AB,CD之间一点.

(1)如图1,求证：ZB+ZD+Z£=360°；

(2)如图2,若NB=120。，ABED,NCL比的平分线相交于点E求/。EE的度数;

(3)如图3,若ND=cc,ZEBF=4ZABF,/BEF=4/DEF.请直接写出的度

数(用含a的代数式表示).

【答案】(1)360°；

(2)60°；

⑶1a-108。-

D

【解答】解：(1)如图所示：过点E作跖〃A3,

AB

CD

：.ZB-^ZBEF=1SO°,

*：AB//CD,

：.EF//CDf

：.ZD+ZDEF=\S0°,

・・・N8+N3EF+NOEF+NO=180°+180°,

即N5+N3EO+NO=360°；

(2)由(1)可知：ZB+ZBE£>+Z£>=360°；

VZB=120°,

：.ZBED+ZD=360°-120°=240°,

•：/BED,NCDE的平分线相交于点R

AZDEF=IZBED,NEDF-|NCDE,

・•・NDEF+/EDF

=yZBED-^ZCDE

=y(ZBED+ZCDE)

=yX2400

=120°,

：.ZDFE=l80°-(NDEF+NEDF)=60°；

(3)VZEBF=4ZABF,NBEF=4/DEF,

•••NFBE="^NABE,ZBEF^-ZBED-

55

由(1)可知：NABE+NBED+/D=360°,

ZABE+ZBEF=360°-ZZ)=360°-a,

・•・/FBE+/BEF

44

=ED/ABEDKNBED

4

=-^(ZABE+ZBED)

D

4

=7-(360-a)

b

4

=288Ta，

b

•；NF+NFBE+NBEF=180°,

.\ZBFE=180°-(NFBE+NBEF)

4

=180°-(2880-菅a)

D

=180°-288°《a

4

=Ta-108-

D

【变式1-4](2023秋•重庆期末)已知，MN//PQ,直线AB交MN于点A,交PQ于点B,

点C在线段上，过C作射线CE、CF分别交直线MN、尸。于点E、F.

图1图2图3

(1)如图1,当CE_LCF时，求/AEC+NBFC的度数;

(2)如图2,若NMEC和NPfT的角平分线交于点G,求NEC/和NG的数量关系；

(3)如图3,在(2)的基础上，当CE_LCR且NABP=60°,ZACE=20°时，射线

FT绕点F以5°每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为/秒，当射线bG与△AEC的一

边互相平行时，请直接写出/的值.

【答案】(1)ZAEC+ZBFC=90°；

(2)2NG+NECb=180°；

(3)10或26或34秒.

【解答】解：(1)如图所示：过点。作C〃〃MN,

9：MN//PQ,

J.CH//PQ,

：.ZBFC=Z2f

VCF±CE,

・・・N1+N2=9O°,

AZAEC+ZBFC=90°；

〈EG平分NMEC,FG平分/PFT,

・・・N1=N2,/PFT=2/3,

*：ZPFT+ZPFC=1SO°,

/.ZPFC=180°-ZPEF=180°-2Z3,

■:MN//PQ,

・・・N1=N5=N2,

VZ5=Z3+ZG,Z2+Z5+ZECF+ZPFC=360°,

.,.2Z5+ZECF+1800-2Z3=360°,

A2(N3+NG)+ZECF-2Z3=180°,

/.2ZG+ZECF=180°；

(3)如图所示：

分三种情况：

①如图1所示：当bG旋转到尸7时，FT//AE,

VCFXCE,

.'NEC尸=90°,

VZACE=20°,ZABP=60°,ZACE+ZABP+ZBCF=180°,

・・・N5CR=100°,

VZBCF+ZABP+ZBFC=180°,ZABP=60°,

AZBFC=180°-ZBCF-ZABP=50°,

：.ZTFT=ZBFC^50°,

•；FG平分/PFT,尸丁绕点耳旋转的速度每秒5°,

・・・NT尸G=//G，FT=25°，尸G绕点/旋转的速度为每秒2.5°,

：.t=25°4-2.5°=10秒；

②如图2所示：当尸G旋转到尸T时，FT//CE,

VCF1CE,

：.ZECF=90°,

,:FT〃CE,

：.ZTFT=ZECF=90°,

VZACE=20°,ZABP=60°,ZACE+ZABP+ZBCF=180°,

AZBCF=100°,

：.ZTFP=ZBCF=50°

■:FG平令/PFT,

・・.NGU=/NPFT=25°，

JZGFT=ZTFT-ZGFT=65°,

：.t=65°4-2.5°=26秒；

③如图3所示：当尸G旋转到尸T时，FT//AC,

：.ZPFT^ZABP^60°,

:①已证NPFT=/3FC=50°,FG平分/PFT,

••./GH=£/PFT=25°=/PFG

：.ZGFT=ZPFG+ZPFT=25°+60°=85°,

：.t=85°4-2.5°=34秒；

当射线FG与的一边互相平行时，r的值为10或26或34秒.

K模型解密

结论2：若NP=NAEP+NC尸P,MAB//CD.

宜］典例精讲

【典例2】（2023春•邵阳县期末）如图，直线A8〃CQ,连接ER直线AB,CO及线段

跖把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分.当动点G落在某个

部分时，连接GE,GF,构成/EGF,NGEB,三个角.

①①

图一图二

（1）当动点G落在第③部分时，如图一，试说明：ZEGF,ZGEB,NGm三者的关

系;

（2）当动点G落在第②部分时，如图二，思考（1）中三者关系是否仍然成立若不成立,

说明理由.

【答案】（1）NEGF=NGEB+NGFD,理由见解答;

（2）（1）中三者关系不成立，理由见解答.

【解答】解：（1）ZEGF=ZGEB+ZGFD,

理由：过点G作

①

图一

NGEB=Z.EGM,

'JAB//CD,

：.CD//GM,

；.NGFD=NFGM,

:ZEGF=ZEGM+ZFGM,

：.ZEGF=ZGEB+ZGFD；

(2)(1)中三者关系不成立,

理由：过点G作GN〃AB,

①

④

图二

:.NGEB+NEGN=180°,

'：AB//CD,

：.CD//GN,

：.ZGFD+ZFGN^ISO°,

:.NGEB+NEGN+NFGN+NGFD=360°,

即ZGEB+ZEGF+ZGFD=360".

【变式2-1］（2023•盘锦）如图，直线A8〃CD,将一个含60。角的直角三角尺EG尸按图

中方式放置，点E在AB上，边GF,EP分别交CD于点K,若/2跖=64°,则/

GHC等于（）

D.14°

【答案】B

【解答】解：因为A2〃Cr）,且/BEF=64°,

所以/DXF=/BEF=64°.

又三角形EFG为直角三角形，且NG=90°,ZGEF=60°

所以//=30°.

所以/K/3=64°-30°=34°.

又/GHC=NKHF,

所以NGHC=34°.

故选：B.

【变式2-2]（2023•大石桥市校级三模）如图，直线a//b,等边△ABC的顶点C在直线b

上，Zl=28°,则N2的度数为（）

A.36°B.24°C.28°D.32°

【答案】。

【解答】解：过点2作2/〃a,

.*.Z1=ZABF=28°,

VAABC是等边三角形，

AZABC=60°,

J.ZFBC^ZABC-ZABF^32°,

'：a//b,

：.BF//b,

：.Z2=ZFBC=32°,

故选：D.

【变式2-3］（2023春•浏阳市期末）（1）感知与探究：如图①，直线A8〃C。，过点E作E

F//AB.请直接写出ZD,N3即之间的数量关系：/BED=/B+/D；

（2）应用与拓展：如图②，直线AB〃CD若/8=23°,ZG=35°,ZD=25°,借

助第（1）问中的结论，求N2EG+NG打）的度数；

（3）方法与实践：如图③，直线AB//CD.若/E=/B=60°,/尸=85°,则

25度.

图①图②图③

【答案】（1）ZBED^ZB+ZD；

(2)N8EG+NGH>的度数为83

(3)25.

【解答】(1)-EF//AB,

：.N5=N1,

*：AB//CD,

：.EF//CD,

：.Z2=ZD,

,：ZBED=Z1+Z2,

：.ZBED=ZB+ZD,

故答案为：NBED=NB+ND；

(2)过点G作GH//AB,

U：AB//CD,

：.CH//CD,

由(1)可得：/GFD=/D+/FGH,

VZB=23°,ZEGF=35°,ND=25°,

・・・/BEG+/GFD=NB+NEGH+ND+NFGH

=NB+ND+/EGF

=23°+35°+25°

=83°,

•••N8EG+NG/。的度数为83。；

(3)设A3与E尸相交于点M,

F

A--¥^——^B

E.

cD

VZB=60°,ZF=85°，

：.ZBMF=1800-ZB-ZF=35°,

AZAME=ZBMF=35°,

由（1）得：ZE^ZAME+ZD,

VZE=60°,

：.ZD=ZE-ZAME=6Q°-35°=25°,

故答案为：25.

【变式2-4］（2023春•霸州市期中）如图1,AB//CD,ZPAB=135°,NPCD=125°,求

NAPC度数.

小明的思路是：过P作如图2,通过平行线性质来求/APC.

（1）按小明的思路，易求得/APC的度数为100。；请说明理由；

（2）如图3,AO〃BC,点P在射线0M上运动，当点尸在A、8两点之间运动时，ZA

DP=Na,ZBCP=Zp,则NCP。、Za>N0之间有何数量关系？请说明理由；

（3）在（2）的条件下，如果点尸在A、8两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不

重合），请你直接写出NCPD、Na、N0间的数量关系.

【答案】（1）100°,理由见解答；

（2）NOPC=/a+/B，理由见解答；

（3）当点尸在射线AM上运动时，ZDPC=Z^-Za；当点尸在08上运动时，ZDP

C=Za-ZP，理由见解答.

【解答】解：（1）,."PE//AB,/以8=135°,

ZAPE=180°-ZB4JB=45°,

'：AB//CD,

J.PE//CD,

：.ZCPE=1800-ZPCD=55

AZAPC=ZAPE+ZCPE=100°,

故答案为：100°；

(2)Z£)PC=Za+Zp,

理由：过点尸作尸尸〃A。，

・•・ZDPF=ZADP=Na,

9：AD//CB,

：.PF//CB,

：.ZCPF=ZPCB=Z^,

'：ZDPC=NDPF+NCPF,

AZZ)PC=Za+Zp；

(3)分两种情况：

当点尸在射线AM上运动时，Z£)PC=Zp-Za,

理由：如图：过点尸作尸G〃AD,

'ZGPD=ZADP=Na,

VAD//BC,

：.PG//BC,

：.ZGPC=ZBCP=Z^,

'：ZDPC=ZGPC-NGPD,

：.ZDPC=Z^-Na；

当点尸在05上运动时，ZDPC=Za-Zp,

理由：如图：过点P作

・•・ZHPD=ZADP=Za,

VAD//BC,

：.PG//BC,

・・・NHPC=NBCP=/B，

9：ZDPC=ZHPD-ZHPC,

：.ZDPC=Za-Zp；

综上所述：当点P在射线AM上运动时，Z£>PC=Zp-Za；当点尸在。8上运动时,

【变式2-5](2023春•南漳县期中)如图1,点A是直线“。上一点，C是直线GE上一点，

2是直线用)、GE之间的一点.ZHAB+ZBCG^ZABC.

(1)求证：AD//CE-,

(2)如图2,作NBCF=NBCG,C尸与的角平分线交于点R若a邛=50°,求

N8+/歹的度数；

(3)如图3,CR平分/BCG,BN平分/ABC,BM//CR,已知NA4H=40°,试探究

NN8M的值，若不变求其值，若变化说明理由.

图1图2

【答案】(1)证明过程见解答；

(2)N8+//的度数为150°；

(3)的值不变，NN2M的值为20°.

【解答】(1)证明：过点8作

，NABP=/HAB,

•・・ZABC=/ABP+NCBP,ZABC=ZHAB+ZBCG,

：.ZCBP=ZBCG,

J.BP//CE,

：.AD//CE；

(2)解：:A/平分NHA3,

：.ZHAF=ZFAB=^9

：.ZHAB=2ZFAB=2^,

■:/BCF=/BCG=a,

：./FCG=2/FCB=2a,

*：ZB=ZHAB+ZBCGf

：.NF=ZHAF+ZFCG,

•・・a+0=5O°,

・•・ZB+ZF=ZHAB+ZBCG+ZHAF+ZFCG

=20+a+B+2a

=3a+30

=3(a+p)

=150°,

・・・N8+N/的度数为150°；

(3)解：NN3M的值不变，

理由：:CR平分N3CG,BN平分NABC,

:・/BCG=2/BCR,ZABC=2ZNBC,

■:BM//CR,

：・NBCR=NMBC,

：.ZBCG=2ZMBC,

VZHAB+ZBCG=ZABC,ZBAH=40°,

Z.NHAB=ZABC-ZBCG

=2ZNBC-2ZMBC

=2(ZNBC-/MBC)

=2/NBM,

：.ZNBM=l-ZHAB=20°,

2

/.ZNBM的值为20°

Q模型解密

模型三“臭脚”模型

结论1：若A8〃CZ),则NP=NAEP-NC尸P或NP=NC尸4NAEP；

结论2：^ZP=ZAEP-ZCFP^ZP=ZCFP-ZAEP,贝！|A8〃CD

回典例精讲

【典例3】(2023春•中山区期末)如图，ZABE+ZBED^ZCDE.

(1)如图1,求证AB〃CD；

(2)如图2,点尸在AB上，/CDP=/EDP,BF平分NABE,交PD于点F,探究/

BFP,N8EZ)的数量关系，并证明你的结论；

(3)在(2)的条件下，如图3,尸0交瓦)延长线于点。，ZDPQ^2ZAPQ,ZPQD

=80,求/CDE的度

E

EE

【答案】(1)答案见解答过程；

(2)ZBED=2ZBFP,理由见解答过程；

(3)120°.

【解答】(1)证明：延长CO交5E于点”,

I.ZCDE=/DHE+/BED,

NABE+NBED=NCDE,

：.ZDHE=ZABE,

J.AB//CD,

(2)解：ZBFP,NBEO的数量关系是：NBED=2/BFP,理由如下:

设N班尸=a,/CDP=B，

/平分NABE,/CDP=/EDP,

:・NEBF=NABF=£,/CDP=NEDP=B，

:・/PBE=2/EBF=2a,

由(1)可知：AB//CD,

：・/DPB=/CDP=B，

：.ZAPD=180°-NN。尸5=180°-访

•・・/APD=/ABF+/BFP,

.*.180°-p=a+ZBFP,

：.ZBFP=180°-(a+P),

由四边形的内角和等于360°得：NBED+NEDP+NDPB+NPBE=36U°,

即：ZBED+p+p+2a=360°,

：.ZBED=360°-2(a+p),

：.ZBED=2ZBFP.

(3)解：设NA尸。=e,

・•・ZDPQ=2ZAPQ=2Q,

：.ZAPD=ZAPQ+ZDPQ=30,

由(1)可知：AB//CD,

・・・NCDP+NAPZ)=18(r,

AZCDP=180°-ZAPD=180°-30,

'：ZPQD=80°,

AZEDP=ZPQD+ZDPQ=80°+20,

'：ZCDP=ZEDP9

.*.180°-30=80°+20,

解得：0=20°,

：.ZCDP=180°-30=120°,ZEDP=800+20=120°,

根据周角的定义得：ZCDE+ZCDP+ZEDP=360°,

：.ZCDE=360°-QCDP+/EDP)=360°-(120°+120°)=120°.

【变式3-1](2023春•伊通县期末)如图1,线段CD是由线段平移得到的.分别连接B

D,AC.直线BELAC于点£延长。C与8E相交于点尸.点P是射线FD上的一个动

点，点P不与点尸、点C、点。重合.连接BP,EP.

AE/C

F/F/F/

(图1)(图2)(图3)

(1)线段AC,BD的关系是AC=BD,AC〃BD；

(2)如图1,当点尸在线段尸。上运动时，ZDBP,NCEP,NBPE之间的数量关系是

NDBP=ZCEP+/BPE；

(3)如图2,当点尸在线段CO上运动时，NDBP,/CEP,NBPE之间的数量关系是

否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由；

(4)如图3,当点尸在点。上方运动时，请直接写出NOBP,ZCEP,NBPE之间的数

量关系：/CEP=/DBP+/BPE.

【答案】(1)AC^BD,AC//BD；

(2)ZDBP=ZCEP+ZBPE；

(3)当点尸在线段CD上运动时，ZDBP,ZCEP,NBPE之间的数量关系不会发生变

化，理由见解析；

(4)NCEP=NDBP+NBPE.

【解答】解：(1);.线段CO是由线段平移得到的，

：.AB=CD,AB//CD,

...四边形ABCD为平行四边形，

J.AC^BD,AC//BD-,

故答案为：AC=BD,AC//BD；

(2)如图，设AC与3尸交于点G,

'：AC//BD,

:.NDBP=NCGP,

"：ZCGP=ZCEP+ZBPE,

：.ZDBP=ZCEP+ZBPE；

故答案为：ZDBP=ZCEP+ZBPE；

(3)当点尸在线段CD上运动时，NDBP,ZCEP,NBPE之间的数量关系不会发生变

化，理由如下：

如图，过点P作尸交A2于点X,

：.AC//HP//BD.

:・/DBP=/BPH,/CEP=/EPH,

ZBPE=/BPH+/EPH,

：./BPE=/DBP+/CEP；

r

U：AC//BD,

：.ZCEP=ZDMP,

•・・ZDMP=NDBP+/BPE,

：.ZCEP=ZDBP+ZBPE.

故答案为：ZCEP=ZDBP+ZBPE.

【变式3-2](2023春•大足区期末)已知直线A3〃CD,E为平面内一点，连接防、EC.

(1)如图1,已知N8=32°,ZC=120°,求N3EC的度数；

(2)如图2,判断NA5E、ZBEC.NOCE1之间的数量关系为NABE-/BEC+/DC

石=180°；

(3)如图3,BELCE,BF平分NABE,若/ECF二NECD=90。，求々FC的度

数

图1图2图3

【答案】(1)92°,

(2)ZABE-ZBEC+ZDCE=180°.

(3)NBFC=45°.

【解答】解：(1)过点E作斯〃A2,如图：

则A8〃C£)〃EF,

；.NB=NBEF=32°,ZC+ZC£F=180",

VZC=120°,

：.ZCEF=60°,

:./BEC=32°+60°=92°,

(2)过点E作则A2〃EM〃C。，如图:

"."AB//EM//CD,

：.ZB=ZBEM,ZCEM+ZC=180°,

,：ZCEM=/BEM-/BEC=ZB-/BEC,

：.ZB-ZBEC+ZC=180°,

即ZABE-ZBEC+ZDCE=\S00.

故答案为：ZABE-ZB£C+ZDCE=180°.

(3)过/作过E作EN〃AB,如图:

AB

CD

“-----N

vZECF+yZECD=90°>

设/FCE=x,则/ECD=180°-2x,ZFCD=180°-尤，

:.NABE=NBEN=90°+NCEN=90°+180°-ZECD=90°+2x,

由(2)可知/ABF-N8FC+FQ9=180°,

即/(90°+2x)-ZBFC+1800-X=1800)

解得NBPC=45°.

【变式3-3](2023春•吴兴区期中)已知：AB//CD,E、G是AB上的点，F、H是CD上

的点，N1=N2.

(1)如图1,求证：EF//GH；

(2)如图2,过P点作FM1GH交GH延长线于点M,作/BEF、ZDFM的角平分线

交于点N,EN交GH于点、P,求证：NN=45°；

(3)如图3,在(2)的条件下，作NAG8的角平分线交CD于点Q,若3NFEN=4N

HFM,直接写出/GQH的值.

ZMPN

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)证明：

Z.Z2=Z3,

又；N1=N2,

Z.Z1=Z3,

：.EF//GH；

AEGB

图1

(2)如图2,过点、N作NK〃CD,

：.KN//CD//AB,

:./KNE=ZA,Z6=Z7,

设N4=x,N7=y,

■:EN、WV分别平分N3EF、/DFM,

4ENK=N5=N4=x,N6=N8=N7=y,

又・・・AB〃CO,

：.ZEFD=180°-(Z4+Z5)=180°-2x,

又・・・bM_LGH,

：.ZEFM=90°,

.*.180°-2x+2y=90°,

.,.x-y=45°,

：.ZENF=ZENK-Z6=x-y=45°,

：3/FEN=A/HFM,即3%=4X2y,

'.x-y=—~y=45°

3v，

：.y=Tl°，尤=72°,

又和G。是角平分线,

GQ±EN,

：.ZGQH^ZEG2=180°-90°-72°=18°,

又,：Z.MPN=/FEN=x=12°,

.NGQH1

••/MPN7,

故答案为」.

4

猫专题训练

1.（2023•五华区校级模拟）如图，点5在△CDE的边EC的延长线上，AB//CD,若NB

=50°,ZE=30°,则N。的度数为（）

A.15°B.20°C.30°D.50°

【答案】B

【解答】解：•・・AB〃CQ,ZB=50°,

：.ZB=ZBCD=50°,

,：ZBCD=ZD-^ZE,ZE=30°,

：.ZD=20°,

故选：B.

2.（2023•西峡县三模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB//CD,Zl=30°,Z2

=70°,则N3的度数为（

【答案】c

【解答】解：：AB〃C。，Nl=30°,

/A=N1=3O°

AZA£F=180°-Z2=110°,

：.Z3=ZA+ZAEF^3O°+110°=140°.

故选：C.

3.（2023春•西塞山区期中）如图，AB与HN交于点E,点G在直线CD上，GF交于

点M,ZFMA=ZFGC,/FEN=2/NEB,/FGH=2/HGC,下列四个结论：①48〃

CD-,®ZEHG=2ZEFM；③NEHG+NEFM=9Q°；®3ZEHG-ZEFM=180°.其

中正确的结论是（）

A.①②③B.②④C.①②④D.①④

【答案】D

【解答】解：=

J.AB//CD

...①正确;

过点尸作尸尸〃AbHQ//AB,

"JAB//CD,

：.FP//AB//HQ//CD,

设NNEB=x,ZHGC=y,则NFEN=2x,ZFGH=2y

：.NEHG=ZEHQ+ZGHQ=ZAEH+ZHGC^ZNEB+ZHGC^x+y,

NEFM=/BEF-NFME=NBEF-/AMG=NBEF-(180°-ZFGC)=x+2x-(18

0°-y-y)=3x+3y-180°,

：.2ZEFM=6x+6y-360°,

NEHG¥2NEFM

•••②错误；

AZEHG+ZEFM=x+y+3x+'iy-180°=4x+4y-180°r90°,

③错误；

：.34EHG-NEFM=3(x+y)-(3x+3y-180°)=180°,

...④正确.

综上所述，正确答案为①④.

故选：D.

4.(2023春•德城区期末)已知N分别是长方形纸条ABC。边AB,CD上两点(.AM>

DN),如图1所示，沿M,N所在直线进行第一次折叠，点A,。的对应点分别为点E,

F,EM交CD于点、P；如图2所示，继续沿PM进行第二次折叠，点、B,C的对应点分

图1图2

A.74°B.72°C.70°D.68°

【答案】B

【解答】解：由翻折的性质得：NAMN=/NMP,NCPM=NHPM,

•.•四边形ABC。为长方形，

J.AB//CD,

・•・ZAMN=Z1,

：.ZNMP=Z1,

又・・・N1=N2,

・•・NAMN=NNMP=Z1=Z2,

AZAMP=2Z1,ZGMP=3Z1,

,:HP〃GM,

：.ZHPM+ZGMP=1SO°,

即：ZHPM+3Z1=18O°,

*：CP〃BM,

：.ZCPM=ZAMP=2Z1,

ZHPM=ZCPM=2Z1,

.•.2Z1+3Z1=18O°,

AZ1=36°,

：.ZCPM=2Z1=72°.

故选：B.

5.（2023•西城区二模）如图，直线AB〃CD,直线所分别交AB,CD于点、E,F,ZBEF

的平分线交CO点G,若N3EF=n6°,则NEGC的大小是（）

【答案】D

【解答】解：:EG为N5E/的平分线，NBEF=116：

：.ZFEG=58°,

AZAEF=180°-116°=64°,

•・,直线AB//CD,

：.ZEFG=AEF^6^°,

在中，NbEG+NE/G+NEG/=180°,

：.ZEGF=180°-58°-64°=58

，NEGC=58°,

故选：D.

6.（2023•佛山二模）如图，把正方形ABC。沿EF折叠，点A的对应点为点A',点8的

对应点为点），若/1=40°,则NAEB的度数是（）

A.100°B.110°C.115°D.120°

【答案】B

【解答】解：根据题意得，NBFE=/B,FE,

'：Z1+ZBFE+ZB'FE=18Q°,

.•.Zl+2ZBFE=180°,

：.NBFE=10°,

•••四边形ABC。为正方形，

.'.AD//BC,

.,.AE//BF,

:.NDEF=NBFE=7Q°,

VZAEF+ZDEF=180°,

AZA£F=110°.

故选：B.

7.（2023秋•长春期末）如图，AB〃CD,点、E、尸分别在直线A3、上，点P是A3、C

。之间的一个动点.

【感知】如图①，当点P在线段EP左侧时，若NAEP=50°,NPFC=7Q°,求NEPF

的度数.

分析：从图形上看，由于没有一条直线截48与C。，所以无法直接运用平行线的性质，

这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点P作PG〃A8,根据

两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知PG//CD,进而求出

NEPF的度数.

【探究】如图②，当点P在线段后方右侧时，/AEP、/EPF、/尸尸。之间的数量关系为

NAEP+NEPF+NPFC=360°.

【答案】(1)NEP/的度数为120°；

(2)ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°,

【解答】(1)过点尸作尸G〃A5,

：.ZEPG=ZAEP=50°,

*：AB//CD,

:.PG〃CD,

：.ZGPF=ZPFC=10°,

；・NEPF=NEPG+NGPF=500+70°=120°,

・・・NE尸产的度数为120°；

(2)过点尸作尸G〃AB,

：.ZEPG^-ZAEP=180°,

*：AB//CD,

：.PG//CD,

：.ZGPF+ZPFC=180°,

•••NAEP+NEPG+NF1尸G+N尸尸。=360°,

Z.ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°,

故答案为：ZAEP+ZEPF+ZPFC=360°.

8.(2023春•天元区校级期末)如图，AQ//BP,ABLBP,E、C、。分别是线段A。、AB、

2尸上的点，且满足ECLCD所是NGEC的角平分线与8尸交于点R在EQ上截一点

G,连接GF,令GF=FE.

(1)如图1,若NAEC=40°,求NC£>2的度数.

(2)如图1,连接GP,若GP〃EF,H是线段尸尸上的一点(FHVHP),连接GH,使

得2/GHP=3NAEC,求NPG8和NCOB的数量关系.

(3)如图2,在(2)的条件下，过点。作QMLGP,垂足为N是线段GP上的一

点，且满足/QVM=2NGEE求NGQN和/CEF的数量关系.

2

【答案】(1)ZCDB=50°；

(2)ZCDB+2ZFGH=90°；

(3)ZGQN+2.5ZCEF^180°.

【解答】解：(1)如图：

'：AQ//BP,ABLBP,

：.AB±AQ,

：.ZAEC+ZACE^90°,

VECXCD,

：.ZBCD+ZACE=90°,

ZAEC=/BCD,

VZAEC=40°,

AZBCD=40°,

'：AB±BP,

：.ZBCD-^-ZCDB=90o,

：.ZCDB=90°-NBCD=900-ZAEC=90°-40°=50°

即NCD3=50°；

(2)由2/GHP=3/AEC,

・••设NGH尸=3根，ZAEC=2mf

•・・EF是NGEC的角平分线，

・•・/GEC=2/GEF=2NCEF,

VZGEC=180°-ZAEC,

：.ZGEC=180°-2m,

AZGEF=1ZGEC=9O°-m,

2

'：GF=FE.

：,/GEF=/GFE=9U°-m,

■:AQ//BP,

：.ZGEF=ZEFD=90°-m,

・・・NGFD=NGEF+NEFD=2(90°-m)=180°-2m,

■:/GHP=3m,

：.ZGHF=180-ZGHP=180°-3m,

又丁ZGFD=NFGH+NFGH,

：.ZGFD^ZFGH+180°-3m,

.*.180°-2m=ZFG77+180°-3m,

：.ZFGH=m,

由(1)知：ZCDB=90°-/AEC,

,/ZAEC=2mf

：.ZCDB=90°-/AEC=90°-2m,

：.ZCDB=9Q°-2ZFGH,

即/CDB+2/FG"=90°；

(3)如图：

设/GEF=cc,

:EF是/GEC的角平分线，

：.ZGEF=ZCEF=a,

,：ZQNM=1ZGEF,

2

ZQNM=—a,

2

,JGP//EF,

：.ZQGN=ZGEF=a,

在aGON中，

：.ZGQN=180°-ZQGN-ZQNG=18Q°-a-2a=180°-2.5a,

2

：.ZGQN=180°-2.5ZCEF,

即NGQV+2.5NCEB=180°.

9.（2023春•安化县期末）在课后学习中，小红探究平行线中的线段与角的数量关系，如图，

直线点N在直线C。上，点P在直线A8上，点M为平面上任意一点，连接

MP,MN,PN.

图1图2图3

(1)如图1,点M在直线C。上，PM平分/APN,试说明/PMN=/MPN；

(2)如图2,点M在直线AB,CZ)之间，/PMN=1O°，/MNC=30°，求/APM的

度数;

(3)如图3,NAPM和NMNC的平分线交于点。，/PQN与有何数量关系？并

说明理由.

【答案】（1）说明见解析;

(2)40°；

(3)2ZPQN^ZPMN,理由见解析.

【解答】解：（1）'：AB//CD,

：.ZAPM=ZPMN.

平分N4PM

ZAPM=ZMPN,

：.NPMN=NMPN；

（2）如图，过点M作ME〃C£>,

图2

：.NEMN=NMNC=30°,

'：AB//CD,ME//CD,

J.ME//AB,

：.ZAPM=ZPME,

：.NPMN=ZPME+ZEMN=ZAPM+ZMNC,

'：ZPMN=J0°,

:.NAPM=NPMN-NMNC=10°-30°=40°；

(3)2ZPQN=ZPMN,理由如下：

由(2)可知/PMN=NAPM+/MNC,

同理可得：ZPQN=ZAPQ+ZQNC,

,：PQ和NQ分别是/APM和/MNC的平分线，

'NAPQ=//APM,NQNC卷NMNC，

NPQN=ZAPQ+ZQNC,

=yZAPM+yZMNC=yZPMN>

：.2ZPQN=ZPMN.

10.（2023春•海阳市期末）如图，AM//BN,NA=40°,点P是射线AM上一动点（不与

点A重合），BC,8。分别平分/A8尸和/PBM交射线AM于C,。两点.

（1）求NC8D的度数；

（2）当点P运动到使时，求/ABC的度数；

（3）当点尸运动时，NAPB与NADB的度数之比是否随之发生变化？若不变，求出NA

P8与NAD8的度数之比；若变化，请说明变化规律.

【答案】(1)NCBD=70°；

(2)ZABC=35°；

(3)NAPB：ZADB^2：1,理由见解析.

【解答】解：(1),:AM〃BN,ZA=40°,

AZABN=1SO°-ZA=140°,

:BC,BD分别平分/ABP和ZPBN,

：.ZCBP=^ZABP,ZPBD=1ZPBN,

22

'：ZCBD=ZCBP+ZPBD,

:.NCBD=L/ABP+工/PBN=1/ABN=70°；

222

(2)当NACB=N4BO时，

又•.,NBAC=ND4B,

AABC^AADB,

Z.ZABC=ZADB,

,:AM〃BN,

：.ZADB=ZDBN,

：.ZABC=ZCBP,NPBD=ZDBN,

：.ZABC=ZCBP=/PBD=ZDBN,

：.ZABC+ZCBP+ZPBD+ZDBN=1.ZABN=^X140°