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文档简介
专题05多项式乘多项式压轴四大类型
就.考点速览
题型一:多项式乘积不含某项求字母的值
题型二:多项式乘多项式化简求值问题
题型三:多项式乘多项式与图形面积问题
题型四:多项式乘多项式与规律探究问题
典例精讲
题型一:多项式乘积不含某项求字母的值
【典例1】(2023春•江都区期中)已知(x3+nu+/i)(x2-3x+4)的展开式中不含丁和/项.
(1)求相与〃的值.
(2)在(1)的条件下,求(m+n)(»i2-mn+n2)的值.
【变式1-1](2023秋•黑龙江期末)若(7+ax+2)(2%-4)的结果中不含/项,则a的值
为()
A.0B.2C.AD.-2
2
【变式1-2](2023秋•德惠市校级月考)如果计算。加+8)(2-3x)展开后不含尤的一次项,
求m的值.
【变式1-3](2022秋•济北区期末)已知代数式(办-3)(2x+4)化简后,不含小
项和常数项.求a,b的值
题型二:多项式乘多项式化简求值问题
【典例2】(2023秋•镇贲县校级期末)先化简,再求值:(x+y)(尤-y)-(4x3y-8xy3)+
2xy,其中x=-l,A.
-3
【变式3-1](2022秋•城关区校级期末)先化简,再求值.(/匕-2"-/)--(a+6)(a
-b),其中,a=0.5,b--1.
【变式3-2](2022秋•万州区校级期中)先化简,再求值:(2x+l)(2x-1)-4x(x+1),
其中尤=-A.
4
【变式3-3](2023春•道县期中)先化简,再求值:(2%+1)(2尤-1)-(x-2)2-3x2,其
中x=-
4
题型三:多项式乘多项式与图形面积问题
【典例3】(2022春•江北区期中)将7张相同的小长方形纸片(如图1所示)按图2所示的
方式不重叠的放在长方形A8CD内,未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形,面积分
别为Si和S2.已知小长方形纸片的长为。,宽为6,且。>瓦
(1)当。=9,6=3,4。=30时,长方形A8C。的面积是,Si-S2的值为_;
(2)当&。=40时,请用含°、6的式子表示Si-S2的值;
(3)若长度保持不变,变长,将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新
的长方形A8C。内,当a、6满足什么关系时,Si-S2的值与A。的长度无关?
•4!---------------------------------------\D
B1
图1图2
【变式3-1](2022春•乾县期末)如图,在某住房小区的建设中,为了提高业主的宜居环境,
小区准备在一个长为(4a+3b)米,宽为(2a+3b)米的长方形草坪上修建两条宽为。米
的通道.
(1)通道的面积是多少平方米?
(2)剩余草坪的面积是多少平方米?
【变式3-2](2022春•中原区校级期中)有两类正方形A,B,其边长分别为a,b.现将2
放在A的内部得图1,将A,8并列放置后构造新的正方形得图2.若图1和图2中阴影
部分的面积分别为1和12,求:
(1)正方形A,8的面积之和为.
(2)小明想要拼一个两边长分别为(2a+b)和(a+3b)的长方形(不重不漏),除用去
若干个正方形A,8外,还需要以a,b为边的长方形一个.
(3)三个正方形A和两个正方形2如图3摆放,求阴影部分的面积.
图1图2图3
【变式3-3](2023春)我们知道多项式的乘法,可以利用图形的面积进行解释,如:(2a+6)
(a+b)=2/+3aZ?+b2就可以用图1、图2等图形的面积表示.
(1)请你写出图3所表示的一个等式:
(2)试画出一个几何图形,使它的面积能表示为(a+3b)(a+b)=fl2+4^+3&2;
题型四:多项式乘多项式与规律探究问题
【典例4】(2023春•渠县校级期末)探究应用:
(1)计算:(a-2)(『+2。+4)=.(2x-y)(4x2+2xy+y2)—.
(2)上面的乘法计算结果很简洁,聪明的你又可以发现一个新的乘法公式,可以用含a,
b的字母表示为.
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是一
A、(。-3)(a2-3a+9)B、(2m-n)(Irr?+2mn+rT)
C、(4-尤)(16+4x+?)D、(m-n)Crrr+lmn+n1)
(4)直接用公式计算:(3x-2y)C9x2+6xy+4y2)=.
【变式4-1](2023秋•静安区校级月考)探究应用:
(1)计算:(x-1)(x2+x+l)=;(2x-y)(4x2+2xy+y2)=.
(2)上面的乘法计算结果很简洁,你发现了什么规律(公式)?用含字母a、b的等式
表示该公式为:.
(3)下列各式能用第(2)题的公式计算的是—.
A.(m+2)(;TZ2+2m+4)
B.(m-2〃)(加2+2加”+2”2)
C.(3-«)(9+3〃+层)
D.(m-n)(m2+2/nn+n2)
(4)设A=1()9一1,利用上述规律,说明A能被37整除.
【变式4-2](2023秋•宁津县期末)Q+6)"为非负整数)当w=0,1,2,3,…时的展
开情况如下所示:
(a+b)°—1
(a+b)1—a+b
(a+b)2—a2+2ab+b2
(a+b)3=cr'+3a2b+3ab2+b1'
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5=a5+5aib+10a3b2+10a2/?3+5aZ?4+Z>5
观察上面式子的等号右边各项的系数,我们得到了如图所示:
这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”,他揭示了
(a+6)”展开后各项系数的情况,被后人称为“杨辉三角”.根据图,你认为(a+b)9
展开式中所有项系数的和应该是()
1.已知一个长方形,若它的长增加6cm,宽减少2cm,则面积保持不变;若它的长减少3cm,
宽增加2cm,则面积仍保持不变.这个长方形的面积为()
A.12B.24C.36D.72
2.暑假,小颖所在的生物小组参观了太原植物园,植物园共收集植物3000多种,来自五大
洲的20多个国家.在“热带温室”馆中一块长方形土地被分成6块,种植着不同的花卉,
六块地的长和宽如图所示,甲、乙、丙、丁四位同学给出了不同的表示该长方形土地面
积的多项式:①(2a+6)(m+w);②2a(zw+w)+bGn+n);@m(2a+b)+n(2a+b);④
2am+2an+bm+bn.你认为正确的有()
A.仅①②B.仅③④C.仅①②③D.①②③④
3.如图,正方形卡片A类、8类和长方形卡片C类各若干张,如果要拼一个长为(2°+36),
宽为Q+2b)的大长方形,则需要A类、2类和C类卡片的张数分别为()
aba
A.2,8,5B.3,8,6C.3,7,5D.2,6,7
4.计算:(3a+2b)(a-2b)=.
5.(2023春•滁州期末)已知甲、乙两个长方形,它们的边长如图所示(机为正整数),甲、
乙的面积分别为Si,S2.
(1)Si与S2的大小关系为:Si—&(填”或“<”);
(2)若满足|S2-SI|<〃W2023的整数〃有且只有2个,则机的值是.
m+2
6.(2023秋•博兴县期末)我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列,如南宋数学家
杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中,用如图所示的三角形来解释二项和
Q+b)”的展开式(按。的次数由大到小的顺序)的各项系数.例如三角形第4行的4
个数1,3,3,1,恰好对应着(a+b)3=/+3426+3刈2+匕3展开式中各项(。+匕)5的系数,
此三角形称为“杨辉三角”.若根据“杨辉三角”的特征写出(a+b)10的展开式,则其
第三项的系数为一.
(a+b)°...........................................①
(a+b)*.................................................①①
(a+b)2......................................①②①
(a+b)3...........................①③③①
(a+b)4................①④⑥④①
(a+b)5……①⑤⑩⑩⑤①
7.如果计算(wu+8)(2-3x)展开后不含x的一次项,求力的值.
8.(2022秋•秦安县期中)若(/+nx+3)(/-3x+〃z)的乘积中不含/项和尤项,求加,n
的值.
9.(2023秋•右玉县期末)综合与实践
如图1,长方形的两边长分别为777+1,7M+7;如图2.长方形的两边长分别为根+2,〃7+4.(其
中机为正整数)
E.
m+7
m+2
m+1
图1
(1)图1中长方形的面积Si=:图2中长方形的面积S2=
比较Si&(选填“<”、“=”或">”);
(2)现有一正方形,其周长与图1中的长方形周长相等.
①求正方形的边长;(用含机的代数式表示)
②试探究:该正方形的面积S与图1中长方形的面积Si的差(即S-S1)是一个常数,
并求出这个常数.
10.(2022春•二七区校级期中)探究应用:
(1)计算(a+3)(a2-3a+9)=;(2x+y)(4X2-2xy+y2)=.
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁,你又发现一个新的乘法公式:(请用含
a,b的字母表示).
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是—.
A.(。+3)(/+3。+9)
B.(,m+2n)(4/??2-Imn+ii1)
C.(5+x)(25-5%+x2)
D.Gn+n)(nr-2mn+n2)
(4)直接用公式计算:(3x+5y)(9/-15孙+25/)=.
11.(1)填空:
(a-b)(a+b)=;
(a-b)C(r+ab+b2)—;
(a-b)(cc,+a2b+ab1+lr')=;
(a-b)(/。22+/。2%+…+/。21+/22)=.
(2)猜想:
(.a-b^^an'1+an-b+-+abn2+bn1)^(其中”为正整数,且”N2).
(3)利用(2)中猜想的结论计算:29-28+27--+23-22+2.
12.【阅读理解】
在计算机上可以设置程序,将二次多项式处理成一次多项式,设置程序为:将二次多项
式A的二次项系数乘以2作为一次多项式2的一次项系数,将二次多项式A的一次项系
数作为一次多项式8的常数项.
例如:A=5/-7x+2,A经过程序设置得到B=2X5x-7=10x-7.
【知识应用】
关于x的二次多项式A经
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