苏科版七年级数学下册压轴题：多项式乘多项式（四大类型）原卷版

专题05多项式乘多项式压轴四大类型

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题型一：多项式乘积不含某项求字母的值

题型二：多项式乘多项式化简求值问题

题型三：多项式乘多项式与图形面积问题

题型四：多项式乘多项式与规律探究问题

典例精讲

题型一：多项式乘积不含某项求字母的值

【典例1】(2023春•江都区期中)已知(x3+nu+/i)(x2-3x+4)的展开式中不含丁和/项.

(1)求相与〃的值.

(2)在(1)的条件下，求(m+n)(»i2-mn+n2)的值.

【变式1-1](2023秋•黑龙江期末)若(7+ax+2)(2%-4)的结果中不含/项，则a的值

为()

A.0B.2C.AD.-2

2

【变式1-2](2023秋•德惠市校级月考)如果计算。加+8)(2-3x)展开后不含尤的一次项，

求m的值.

【变式1-3](2022秋•济北区期末)已知代数式(办-3)(2x+4)化简后，不含小

项和常数项.求a,b的值

题型二：多项式乘多项式化简求值问题

【典例2】（2023秋•镇贲县校级期末）先化简，再求值：（x+y）（尤-y）-（4x3y-8xy3）+

2xy,其中x=-l,A.

-3

【变式3-1］（2022秋•城关区校级期末）先化简，再求值.（/匕-2"-/）--（a+6）（a

-b）,其中，a=0.5,b--1.

【变式3-2］（2022秋•万州区校级期中）先化简，再求值：（2x+l）（2x-1）-4x（x+1）,

其中尤=-A.

4

【变式3-3］（2023春•道县期中）先化简，再求值：（2%+1）（2尤-1）-（x-2）2-3x2,其

中x=-

4

题型三：多项式乘多项式与图形面积问题

【典例3】（2022春•江北区期中）将7张相同的小长方形纸片（如图1所示）按图2所示的

方式不重叠的放在长方形A8CD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分

别为Si和S2.已知小长方形纸片的长为。，宽为6,且。＞瓦

（1）当。=9,6=3,4。=30时，长方形A8C。的面积是,Si-S2的值为_；

（2）当&。=40时，请用含°、6的式子表示Si-S2的值；

（3）若长度保持不变，变长，将这7张小长方形纸片还按照同样的方式放在新

的长方形A8C。内，当a、6满足什么关系时，Si-S2的值与A。的长度无关？

•4!---------------------------------------\D

B1

图1图2

【变式3-1］（2022春•乾县期末）如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，

小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建两条宽为。米

的通道.

（1）通道的面积是多少平方米？

（2）剩余草坪的面积是多少平方米？

【变式3-2］（2022春•中原区校级期中）有两类正方形A,B,其边长分别为a,b.现将2

放在A的内部得图1,将A,8并列放置后构造新的正方形得图2.若图1和图2中阴影

部分的面积分别为1和12,求：

（1）正方形A,8的面积之和为.

（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去

若干个正方形A,8外，还需要以a,b为边的长方形一个.

（3）三个正方形A和两个正方形2如图3摆放，求阴影部分的面积.

图1图2图3

【变式3-3](2023春)我们知道多项式的乘法，可以利用图形的面积进行解释，如：(2a+6)

(a+b)=2/+3aZ?+b2就可以用图1、图2等图形的面积表示.

(1)请你写出图3所表示的一个等式：

(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a+3b)(a+b)=fl2+4^+3&2；

题型四：多项式乘多项式与规律探究问题

【典例4】(2023春•渠县校级期末)探究应用：

(1)计算：(a-2)(『+2。+4)=.(2x-y)(4x2+2xy+y2)—.

(2)上面的乘法计算结果很简洁，聪明的你又可以发现一个新的乘法公式，可以用含a,

b的字母表示为.

(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是一

A、(。-3)(a2-3a+9)B、(2m-n)(Irr?+2mn+rT)

C、(4-尤)(16+4x+?)D、(m-n)Crrr+lmn+n1)

(4)直接用公式计算：(3x-2y)C9x2+6xy+4y2)=.

【变式4-1](2023秋•静安区校级月考)探究应用：

(1)计算：(x-1)(x2+x+l)=；(2x-y)(4x2+2xy+y2)=.

(2)上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律(公式)？用含字母a、b的等式

表示该公式为：.

(3)下列各式能用第(2)题的公式计算的是—.

A.(m+2)(；TZ2+2m+4)

B.(m-2〃)(加2+2加”+2”2)

C.(3-«)(9+3〃+层)

D.(m-n)(m2+2/nn+n2)

(4)设A=1()9一1,利用上述规律，说明A能被37整除.

【变式4-2](2023秋•宁津县期末)Q+6)"为非负整数)当w=0,1,2,3,…时的展

开情况如下所示：

(a+b)°—1

(a+b)1—a+b

(a+b)2—a2+2ab+b2

(a+b)3=cr'+3a2b+3ab2+b1'

(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5=a5+5aib+10a3b2+10a2/?3+5aZ?4+Z>5

观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了如图所示：

这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了

(a+6)”展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”.根据图，你认为(a+b)9

展开式中所有项系数的和应该是()

1.已知一个长方形，若它的长增加6cm,宽减少2cm,则面积保持不变；若它的长减少3cm,

宽增加2cm,则面积仍保持不变.这个长方形的面积为()

A.12B.24C.36D.72

2.暑假，小颖所在的生物小组参观了太原植物园，植物园共收集植物3000多种，来自五大

洲的20多个国家.在“热带温室”馆中一块长方形土地被分成6块，种植着不同的花卉，

六块地的长和宽如图所示，甲、乙、丙、丁四位同学给出了不同的表示该长方形土地面

积的多项式：①(2a+6)(m+w)；②2a(zw+w)+bGn+n)；@m(2a+b)+n(2a+b)；④

2am+2an+bm+bn.你认为正确的有（)

A.仅①②B.仅③④C.仅①②③D.①②③④

3.如图，正方形卡片A类、8类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2°+36）,

宽为Q+2b）的大长方形，则需要A类、2类和C类卡片的张数分别为（）

aba

A.2,8,5B.3,8,6C.3,7,5D.2,6,7

4.计算：（3a+2b）（a-2b）=.

5.（2023春•滁州期末）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（机为正整数），甲、

乙的面积分别为Si,S2.

（1）Si与S2的大小关系为：Si—&（填”或“<”）；

（2）若满足|S2-SI|<〃W2023的整数〃有且只有2个，则机的值是.

m+2

6.（2023秋•博兴县期末）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家

杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形来解释二项和

Q+b）”的展开式（按。的次数由大到小的顺序）的各项系数.例如三角形第4行的4

个数1,3,3,1,恰好对应着（a+b）3=/+3426+3刈2+匕3展开式中各项（。+匕）5的系数,

此三角形称为“杨辉三角”.若根据“杨辉三角”的特征写出（a+b）10的展开式，则其

第三项的系数为一.

(a+b)°...........................................①

(a+b)*.................................................①①

(a+b)2......................................①②①

(a+b)3...........................①③③①

(a+b)4................①④⑥④①

(a+b)5……①⑤⑩⑩⑤①

7.如果计算（wu+8）（2-3x）展开后不含x的一次项，求力的值.

8.（2022秋•秦安县期中）若（/+nx+3）（/-3x+〃z）的乘积中不含/项和尤项，求加，n

的值.

9.（2023秋•右玉县期末）综合与实践

如图1,长方形的两边长分别为777+1,7M+7;如图2.长方形的两边长分别为根+2,〃7+4.（其

中机为正整数）

E.

m+7

m+2

m+1

图1

（1）图1中长方形的面积Si=:图2中长方形的面积S2=

比较Si&（选填“<”、“=”或">”）；

（2）现有一正方形，其周长与图1中的长方形周长相等.

①求正方形的边长；（用含机的代数式表示）

②试探究：该正方形的面积S与图1中长方形的面积Si的差（即S-S1）是一个常数,

并求出这个常数.

10.(2022春•二七区校级期中)探究应用:

(1)计算(a+3)(a2-3a+9)=；(2x+y)(4X2-2xy+y2)=.

(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：(请用含

a,b的字母表示).

(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是—.

A.(。+3)(/+3。+9)

B.(,m+2n)(4/??2-Imn+ii1)

C.(5+x)(25-5%+x2)

D.Gn+n)(nr-2mn+n2)

(4)直接用公式计算：(3x+5y)(9/-15孙+25/)=.

11.(1)填空：

(a-b)(a+b)=；

(a-b)C(r+ab+b2)—；

(a-b)(cc,+a2b+ab1+lr')=；

(a-b)(/。22+/。2%+…+/。21+/22)=.

(2)猜想：

(.a-b^^an'1+an-b+-+abn2+bn1)^(其中”为正整数，且”N2).

(3)利用(2)中猜想的结论计算:29-28+27--+23-22+2.

12.【阅读理解】

在计算机上可以设置程序，将二次多项式处理成一次多项式，设置程序为：将二次多项

式A的二次项系数乘以2作为一次多项式2的一次项系数，将二次多项式A的一次项系

数作为一次多项式8的常数项.

例如：A=5/-7x+2,A经过程序设置得到B=2X5x-7=10x-7.

【知识应用】

关于x的二次多项式A经