苏科版七年级数学下册压轴题：乘法公式压轴五大类型（解析版）

专题06乘法公式压轴五大类型

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题型一：展开式是完全平方问题

题型二：利用乘法公式化简求值问题

题型三：利用完全平方配方法求最值值问题

题型四：平方差公式在几何图形中的应用

题型五：完全平方公式在几何图形中的应用

典例精讲

题型一：展开式是完全平方问题

【典例1】（2023秋•宁强县期末）已知（3x+a）2=9?+fe+4,则6的值为（）

A.6B.±6C.12D.±12

【答案】D

【解答】解：（3x+a）2=9/+bx+4,

9x1+6ax+a2=9x2+bx+4,

.a2=4

tb=6a

.•卜±2.

lb=±12

故选：D.

【变式1-1］（2023秋•望城区期末）若（x-3）2=/+丘+9,那么女的值是（）

A.-6B.-3C.6D.-9

【答案】A

【解答】解：（％-3）2=冗2_6x+9=x1+kx+9,可得k=-6.

故选：A.

【变式1-2］（2023•任丘市模拟）小刚把（2022%+2021）2展开后得到0?+法+c,把（2021X+2020）

2展开后得到rw^+nx+q,则的值为（）

A.1B.-1C.4043D.-4043

【答案】C

【解答】解：：(2022X+2021)2展开后得到af+bx+c,

；.。=20222,

(2021x+2020)之展开后得到想收+«,

.•.机=20212,

：.a-w=20222-20212=(2022+2021)(2022-2021)=4043,

故选：C.

【变式1-3](2023秋•松江区月考)若(无+相)2=/-6X+W,则〃?+“=6.

【答案】6.

【解答】解：已知等式整理得：x2+2nu+m2—x1-6x+n,

可得2m=-6,m2=n,

解得：m=-3,n=9,

m+n=-3+9=6.

故答案为：6.

题型二：利用乘法公式化简求值问题

【典例2】(2023秋•衡阳期末)先化简，再求值：(x+2)2+(2x+l)(2x7)-4尤(x+1),

其中x=V2.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(x+2)~+(2尤+1)(2x-1)-4x(x+1)

=X2+4X+4+4X2-1-4X2-4X

=X2+3,

当尤=^^时，原式=2+3=5.

【变式2-1](2023春•道县期中)先化简，再求值：(2x+l)(2x-1)-(x-2)2-37,其

中x=-A.

4

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式=4--1-X2+4X-4-3尤2=4%-5,

当x=--1时，原式=-1-5=-6.

4

【变式2-2](2022秋•东莞市期末)先化简，再求值：(2x-3y)2-(2x+y)(2x-y),其中

X=-A,y=-2.

6

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式=4/-12xy+9y2-(4f-y2)

=4?-12xy+9y2-4?+/

=10/-I2xy,

当％=-A,y=-2时，原式=10X(-2)2-12X(-A)X(-2)=36.

66

【变式2-3](2022秋•郸城县期中)先化简，再求值：[(x+y)(x-y)+2y(x-y)-(x

->)2]+(2y),其中x=l,y=2.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：[(%+y)(x-y)+2y(x-y)-(x-y)2]4-(2y)

=[x2-『+2孙-2y之-j(^+2xy-y2]^-(2y)

=[-4y2+4孙]4-(2y)

=-2y+2x,

当x=l,y=2时，原式=-2X2+2X1=-2.

题型三：利用完全平方配方法求最值问题

【典例3】(2022秋•偃师市期末)(1)用等号或填空，探究规律并解决问题：

比较片+院与2M的大小.

①当a=3,b=3时，/+廿=2ab：

②当〃=2,卜。时，6z2+/?2>2ab；

2

③当a=-2,b=3时，tz2+Z?2>2ab.

(2)通过上面的填空，猜想/+必与2"的大小关系，并证明你的猜想；

(3)如图，直线/上从左至右任取A、B、G三点，以A3,BG为边,在线段AG的两侧

分别作正方形A5CDBEFG,连接CG.设两个正方形的面积分别为Si,S2.若△3CG

的面积为2保持不变，请直接写出S1+S2的最小值.

【答案】(1)=,>>>;

(2)/+房》2"；证明见解答；

(3)8.

【解答】解：(1)①把。=3,b=3代入，/+/=9+9=18,2"=2X3X3=18,所以

=2ab；

②把a=2,代入，a2+b2=4+—=AZ.,2ab=2X2X_1=2,所以次+庐〉?"；

2442

③把a=-2,6=3代入，/+.=4+9=13,2ab=2X(-2)X3=-12,所以/+房>

2ab；

故答案为：=,>,>：

(2)由(1)可得，a2+b2^2ab,理由如下：

,?(a-b)220,即。2-2"+/》。，

：.a2+b2^2ab；

(3)由题意可知Si=/,Sz=b1,

,.•△BCG的面积为2,即Lb=2,

2

ab=4,

'：Si+S2=a2+b2^2ab,

：.S\+S2=cr+b2^8,

因此S1+S2的最小值为8.

【变式3-1](2022秋•研口区期末)a、。为实数，整式J+必_4a+66的最小值是()

A.-13B.-4C.-9D.-5

【答案】A

【解答】解：屋+庐,4a+6b

（。2-4。+4）+（廿+6b+9）-13

=(a-2)2+33)2-13,

•・・(q-2)22o,33)22o,

・•・(a-2)2+(b+3)2-13的最小值为-13,

即c^+b2-4〃+6。的最小值为-13.

故选：A.

【变式3-2](2022春•庐阳区校级期中)用四个长为相，宽为〃的相同长方形按如图方式拼

成一个正方形.

(1)根据图形写出一个代数恒等式：(m-n)2=(加+几))-4加〃；

(2)已知3m+及=9,m〃=6,试求3冽一〃的值；

(3)若加+〃=1,求存+几2的最小值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)・・♦直接用阴影正方形边长的平方可求阴影面积=(m-n)2,用大正方

形面积减四个小长方形的面积可求阴影面积=(m+n)2-4mn,

(m-AZ)2=(m+n)2-4mn；

(2)'/(3m-H)2=(3m+n)2-12mn,

：.(3m-n)2=81-72=9,

3m-n=±3；

(3)Vm+n=l,

••in1-n9

nr+n2=(1-n)2+n2=l+2n2-2n=2(w--1)2+A^A,

222

rrT+n2的最小值为工.

2

【变式3-3](2023春•龙岗区校级期中)数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必

须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这

就是“算两次”原理，换句话说，“算两次”的思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，

得到的答案是A,而用方法乙计算则得到的答案是8,那么等式成立.例如，我们

运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积,可以得到等式(。+6)2=/+2"+户.

理解：

(1)如图2,四个完全一样的长方形摆成一个大的正方形，长方形的长和宽分别为a和

b,运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是(。+甘)

2=(a-b)(用a、表示)

应用：

(2)利用(1)中的结论解决问题：若x+y=8,冲=4,贝!|(x-y)2—48；

拓展：

(3)如图3,已知中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,点D是AB

【答案】(1)(a+b)2=(a-6)2+4出

(2)48；

⑶12.

5

【解答】解：(1)图2中正方形42CO的面积=(a+b)2

图2中正方形ABCD的面积=(a-b)2+4ab,

(a+b)2=(a-Z>)2+4ab,

故答案为：(a+b)2=(a-b)~+4ab；

(2)Vx+y=8,孙=4,

/.(x-y)2

(x+y)2-4xy

=64-16

=48,

故答案为：48；

(3)当CD_LA8时，CD取得最小值,

设CD的最小值为h,

VZACB=9Q°,AC=3,BC=4,AB=5,

△ABC的面积=/_AOBO

△ABC的面积■前少，

.11

••yAC-BC=yAB-h-

解得/z=2咨=£,

55

.•.CD的最小值为卫.

题型四：平方差公式在几何图形中的应用

【典例4】(2022秋•任泽区期末)乘法公式的探究及应用.

【探究】(1)将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的长方形，通过比较

图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式(a+b)(a-b)=H；

【应用】(2)运用你所得到的乘法公式，完成下列齐题：

①若/-9/=12,尤+3y=4,求x-3y的值；

②计算：102X98.

【拓展】(3)计算：(1凸)(1凸)(1凸)…(1-(1—^).

2022220232

a---->

【答案】(1)(a+b)(a-b)=a2-b2；(2)①3；②9996；(3)1012.

2023

【解答】解：(1)大的正方形边长为a,面积为小正方形边长为从面积为序,

•••图1阴影部分的面积为大的正方形面积减去小的正方形面积，

...图1阴影部分面积=。2-庐,

图2阴影部分面积=(a+b)(a-b),

1/图1的阴影部分与图2面积相等，

(a+b)(a-6)=a2-b1,

故答案为：(a+6)(a-b)=(r-b2；

(2)①/=(x+3y)(x-3y)=12,x+3y=4,

即:4X(x-3j)=12,

.*.x-3y=3；

②102X98

=(100+2)(100-2)

=1002-22

=10000-4

=9996；

⑶(1々)(13)(1凸)…(1—(1—

2^32022z2023J

(1)-)(1)(1——)

2022202220232023

3szm2〃2023、，2021、，2024.2022

22332022202220232023

12024

72023

1012

2023,

【变式4-1](2023春•高密市月考)如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正

方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形.

(1)通过计算两个图形的面积(阴影部分的面积)，可以验证的等式是B；(请选择

正确的一个)

A.a2-2ab+b2=(a-b)2

B.cr-b2—Ca+b)(a-b)

C.a+ab2=a(a+b)

D.cr-b2—(a-b)2

(2)应用你从(1)选出的等式，完成下列各题：

①已知x2-4y2=12,x+2y=4,求尤-2y的值.

②计算：(22+42+62+82+102+122+—1002)-(l2+32+52+72+92+ll2+—992).

【答案】(1)B-,

(2)①3；

②5050.

【解答】解：(1)左图中，阴影部分为正方形，面积为：a2-b2,

右图阴影是拼成的长方形，长是：a+b,宽是：a-b,

所以右图阴影部分面积为：Q+6)(a-b),

由于左右两图面积相等，

所以有：cr-b2=(A+ZJ)(a-b),

故答案为：B.

(2)①由(1)中规律，利用平方差公式可得：

x2-4y2=(x+2y)(x-2y),

Vx2-4)^=12,x+2y=4,

**.x-2y=12+4=3.

故答案为：3.

②通过观察，此题数字具有一定规律，可用运算定律将原式写成：

(22-I2)+(42-32)+(62-52)+(82-72)+...+(1002-992),

=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(8+7)(8-7)+....+(100+99)

(100-99),

=3+7+11+15+...+199

=(3+199)X[(199-3)4-4+1]4-2

=202X504-2

=5050.

故答案为：5050.

【变式4-2](2023秋•林州市期末)(1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公

式(a+6)(a-6)=/-射(用式子表达).

(2)运用你所得到的公式，计算(a+26-c)(a-26-c).

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)(a+b)(a-b)=a2-b2；

故答案为：(a+6)(a-b)=/-/.

(2)(a+2b-c)(a-2b-c),

=[(.a-c)+2b][(〃-c)-2b],

=(〃-c)2-(2b)2,

=a2-lac+c2-4b2.

【变式4-3](2022秋•杜尔伯特县月考)如图1所示，边长为。的大正方形中有•个边长为

b的小正方形，如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.

(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：>2,(a+b)(a-b)

(2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式？Q+6)Q-b)；

(3)试利用这个公式计算：

①(2m+n-p)(2m-n+p)

②―

2522-2482

③(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)原阴影面积=7-后，拼剪后的阴影面积=Q+b)(a-b),

故答案为：cT-b2,(a+b)(a-Z>)；

(2)验证的公式为：a2-b2—(a+b)(a-b)；

故答案为：/-庐=(q+6)(a-b)；

(3)①(2m+"-p)(2m-几+p),

=[2m+[n-p)][2m-(n-p)],

=(2m)2-(几-〃)2,

=4m2-Q+2np-p2；

②1。。2=_______1002_______=10。2=10000=5.

2522-2482(252+248)(252-248)500X4500X4'

③(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1,

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1,

=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(2,6+1)(232+1)+1,

=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1,

=(28-1)(28+1)(216+1)(232+1)+1,

=(216-1)(2,6+1)(232+1)+1,

=(232-1)(232+1)+1,

=264-1+1,

=264.

题型五：完全平方公式在几何图形中的应用

【典例5】(2023秋•清原县期末)“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，

隔裂分家万事休.”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.通常情况下，通过用两种

不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式.如图①是一个长为4%

宽为机的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一

个大正方形.

(1)【知识生成】

请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积(直接用含如”的代数式表示)：

方法—,：(〃?+w)2-；

方法二：("L〃)2；

(2)【得出结论】

根据(1)中的结论，请你写出代数式(〃计“)2,(机-九)2,机〃之间的等量关系为(加+〃)

2-4mn=-几)?；

(3)【知识迁移】

根据(2)中的等量关系，解决如下问题：

已知实数匕满足：〃+/?=8,ab=7,求的值.

①②

【答案】(1)方法一：(加+几)2-4加〃；方法二：(m-几)2；(2)(m+n)2-^mn—(m-

/)2；(3)-6或6.

【解答】解：(1)方法一：(m+几)2-4mn；

方法二：(m-〃)2,

故答案为：(m+n)2-4mn；(m-n)2

(2)代数式(m+n)2,(m-n)2,徵〃之间的等量关系为：

(m+n)2-4mn=(m-n)2；

故答案为：(m+n)2-4mn=(m-n)2

(3)由(2)可得Qa-b)2=(〃+。)2-4"=82-4X7=36.

••ct~。=6u~-6.

【变式5-1](2023秋•大安市期末)完全平方公式：Q+6)2=/+2油+必经过适当的变形,

可以解决很多数学问题，例如：若。+6=3,ab=l,求/+庐的值.

解：Va+b—3,ab=l,(a+b)2=9,2ab=2,

.,.a2+b2+2ab=9,cr+b2=l.

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

(1)若x+y=6,X2+J2=28,则、=4；

(2)如图，C是线段上的一点，以AC,8c为边向两边作正方形，设A8=8,两正

方形的面积和51+52=44,求△AFC的面积.

【答案】(1)孙=4；(2)5.

【解答】解：⑴'：x+y=6,/+9=28,

(x+y)2=36,贝!J工2+/+2孙=36,

・・・2移=36-28=8,则孙=4；

故答案为：4；

(2)设AC=x,BC=y,

VAB=8,

.,.x+y=8,贝!j(x+y)2=64,

V51+52=44,

.•./+y2=44,

・・x+y+2xy=44+2孙=64,

Vxy=10,

•••SAAFC夺了=5

【变式5-2](2022秋•宁乡市期末)【阅读理解】

若x满足(32-x)(%-12)=100,求(32-%)2+(%-12)2的值.

解：设32-x—a,x-12—b,贝U(32-x)(x-12)—a*b—10Q,a+b—(32-尤)+(x

-12)=20,(32-x)2+(x-12)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2X100=200,

我们把这种方法叫做换元法.利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想.

【解决问题】

(1)若x满足(100-尤)(%-95)=5,则(100-x)2+(%-95)15；

(2)若x满足(2023-x)2+(%-2000)2=229,求(2023-x)(%-2000)的值；

(3)如图，在长方形ABC。中，A8=24cm,点E,F是边BC,CC上的点，EC=12cm,

且BE=DF=xcm,分别以FC,CB为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CBMN,

若长方形CBQF的面积为320cm2,求图中阴影部分的面积和.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）根据阅读材料的方法，设100r=m『95=4

贝ljab=5,

而〃+。=5,

工(100-x)2+(x-95)2=a2+b2=(〃+。)2-2^=52-2X5=15；

故答案为：15；

(2)设2023-x=〃，x-2000=fe,则/+廿=229,

而〃+。=23,

Va1+b2=(tz+Z?)2-lab,

：・2ab=(〃+。)2-(/+/)=232-229=529-229=300,

ab=150,

即(2023-x)(x-2000)=150；

(3)由题意得：CF=CD-DF=24-x,BC=CE+BE=x+12,

设CF=mBC=b,

/.a+b=24-x+x+12=36,

•长方形CBQF的面积为320cm2,

(24-x)(12+x)=。。=320,

.••图中阴影部分的面积和=(24-x)2+(x+12)2=a2+b2=(a+b)2-2a&=362-2X320

=656(cm2).

【变式5-3](2023春•揭阳期末)两个边长分别为a和6的正方形如图放置(图1),其未

叠合部分(阴影)面积为Si.若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为6的小正

方形(如图2),两个小正方形叠合部分(阴影)面积为S2.

(2)若a+b=9,ab=2L求S1+S2的值;

（3）当51+52=30时，求出图3中阴影部分的面积S3.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）由图可得，Si=a2-b2,S2=2b2-ab.

(2)'：a+b=9,ab=21

.,.Si+Si—a2-/+2庐-ab

=a2+b2-ab

=(a+6)2-3ab

=81-3X21

=18

；.Si+S2的值为18.

(3)由图可得：

S3=a2+b2-A/?(a+Z?)-JL2

22a

=A(c^+b1-ab)

2

'：S\+S2=a1+b1-ab=30

/.S3=AX30=15

2

•••图3中阴影部分的面积S3为15

制专题训练

一.选择题（共2小题）

1.如图所示，两个正方形的边长分别为a和6,如果。+6=10,而=20,那么阴影部分的

面积是（）

A.10B.20C.30D.40

【答案】C

【解答】解：首先令直线BF与直线8的交点为。；

贝!)SABDO+SAEFO=SABDC+SEIECGF--(a+b)・b+2；①

S△DEF=底EF•高DE+2=b・(a-b)4-2；②

5M6/=底《?•高GP+2=>~+2；③

；.阴影部分面积=①+②+③

=/+2+庐-(ab+b2)4-2+(ab-阳+2+/+2

={/+2庐-(ab+b2)+(ab-俨)+贬}+2

=(E+/)4-2,④

由已知a+6=10,ab=20,构造完全平方公式：

(a+b)2=1()2,

解得/+必+2人=100,

/+/=100-2・20,

化简=60代入④式，

得60+2=30,

•''S阴影部分=30・

故选：C.

2.已知(x-2021)2+(%-2025)2=34,贝！］(%-2023)2的值是()

A.5B.9C.13D.17

【答案】C

【解答】解：令t=x-2023,则原式可化简为(f-2)2+(r+2)2=34,则?-4r+4+P+4什4

=34,

解得：?=13,即(尤-2023)2=13.

故选：C.

二.填空题（共6小题）

b

a的意义是：|&]=以/-如则当m2_-3=0时,m,m-3的值为

若规定符号

3.cd

l-2mm-2

9.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由题意可得，

m2m-3

l-2mm-2

=m2(m-2)-(m-3)(1-2m)

—nv'-7m+3,

Vm2-2m-3=0,

/.m2=2m+3,m2-2m=3

m3-7m+3

=m(根2)-7加+3

=m(2m+3)-7M+3

=2m2-4m+3

=2(m2-2m)+3

=2X3+3

=9,

所以当苏-2m-3=0时，1r>2m-3的值为以

l-2mm-2

故答案为：9.

4.已知(a-4)(a-2)=3,则(a-4)2+(a-2)2的值为10

【答案】见试题解答内容

【解答】解：•/Q-4)(a-2)=3,

A[(a-4)-(o-2)]2

=(a-4)2-2(a-4)(a-2)+(a-2)?

—(a-4)"+(a-2)2-2X3

=4,

(a-4)"+(a-2)"=10.

故答案为：10.

5.如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.例如3

=22-I2,7=42-32,16=52-32,3,7,16就是三个智慧数.在正整数中，从1开始，

第2022个智慧数是2699.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：设两个数分别为4+1,k,其中左N1,且左为整数.则1+1)2-/=(k+1+k)

(k+1-k)=2k+l.

设两个数分别为4+1,k-1,其中且人为整数.则(Z+l)2-Ck-1)2=(k+1+k

-1)(A+l-A+l)=4k,%=2时，44=8,

.•.除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数.

：Ak122且％为整数)均为智慧数；

除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还

剩被4除余2的数，特殊值2,6,10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是

智慧数，推广到一般式，证明如下：

:假设4Z+2是智慧数，那么必有两个正整数机和小使得4%+2=/-层，

.•.4左+2=2(2左+1)=(加+九)(m-n)①,

m+n和m-n这两个数的奇偶性相同，

等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍

数.可左、右两边不相等.所以4什2不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数.

•••把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3

个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，

又,:(2022-1)+3=673・2,

.•.第2022个智慧数在1+673+1=675(组)，并且是第三个数，即675X4-1=2699,是

个奇数，

；.2k+1=2699,解得人=1349,左+1=1350,

即第2022个智慧数是2699,1349和1350是它的智慧分解.

故答案为：2699.

6.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著

的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和(。+6)”的展开式的各项系数，

此三角形称为“杨辉三角”.根据“杨辉三角”请计算Q+26)2。的展开式中第二项的系

数为40.

（4—。）。••••••①

（4-3）1......①①

（。-以..................①②①

（a-6）3..................①③③①

（45......①④⑥④①

（肝城.....①⑤⑩⑩⑤①

【答案】40.

【解答】解：根据“杨辉三角“，可知,

(。+26)°的第二项系数为0X2,

Q+26)1的第二项系数为1X2,

(a+26)2的第二项系数为2X2,

Q+26)3的第二项系数为3X2,

(。+26)20的第二项系数为20X2=40,

故答案为：40.

7.已知观2+2b"+i6是完全平方式，则k=±4.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：：，〃2+2加计16是完全平方式，

2km=

解得女=±4.

32

8.计算：(5+1)(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)+1=—.

4—4―

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(5+1)(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)+A,

4

=1.(5-1)(5+1)(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)+A,

44

=_1(532-1)+A,

44

二史

4

三.解答题(共11小题)

9.先化简，后求值：[(2a-b)2-(6+2。)(b-2a)]4-(4a),其中a=」，b=2.

2

【答案】见试题解答内容

【解答】解：原式=[4〃2-4而+庐-(启-4/)]4-(4a)

=(4/-4。/?+廿-冉止)-2_(4〃)

=(8〃2-4q。)4-(4〃)

~~-b,

当a=蒋，b=2时，原式=2X(-^-)-2=-3-

10.阅读材料：

若尤满足(尤-3)(%-5)=16,求(尤-3)2+(x-5)2的值.

解：设x-3=a,x-5=b,贝!Jab=(尤-3)(x-5)=16,a-b=(尤-3)-(x-5)=

2,

(x-3)2+(尤-5)2—a2+b2—(a-b)2+2OZJ=22+2X16=36.

请仿照上面的方法求解下面问题：

(1)若x满足(%-2)(x-5)=10,求(%-2)2+(x-5)2的值；

(2)已知正方形ABC。的边长为无，E,尸分别是4。、。。上的点，且AE=1,CF=3,

分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形DFGH.

&MF=x-],DF=x-3；(用含x的代数式表示)

②若长方形的面积为24,则阴影部分的面积为20.

【答案】(1)29；

(2)@x-1,x-3；②20.

【解答】解：(1)设x-2=a,x-5=b,

>•ci-Z?=x-2-(x-5)=3,

V(x-2)(x-5)=10,

ab=10,

・•・(X-2)2+(X-5)2

=a2+b2

=(a-b)2+2ab

=32+2X10

=9+20

=29,

A(x-2)2+(x-5)2的值为29；

(2)①由题意得：MF=x-1,DF=x-3,

故答案为：x-1；x-3；

②由题意得MF=x-1,DF=x-3,则(x-1)(x-3)=24,

设x-1=〃，x-3=0.贝"(x-1)(x-3)=〃。=24,a-b—x-1-x+3=2,

(x-1+x-3)2=(〃+。)2=(a-b)2+4«Z?=22+4X24=100,

•・Z20,020,

Ax-1+x-3=a+b=1100=10,

，阴影部分面积为(x-1)2-(x-3)2=4i2-b2=(〃+Z?)(a-b)=10X2=20.

11.有一系列等式：

1X2X3X4+1=52=(12+3X1+1)2

2X3X4X5+1=112=(22+3X2+l)2

3X4X5X6+1=192=(32+3X3+1)2

4x5X6*7+1=292=(42+3X4+1)2

(1)根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8X9X10X11+1的结果89?

(2)试猜想〃(n+1)(九+2)(几+3)+1是哪一个数的平方，并予以证明.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)根据观察、归纳、发现的规律，得到8X9X10X11+1=(82+3X8+1)

2=892；

故答案为：892；

(2)依此类推：n(n+1)(〃+2)(九+3)+1—(n^+3n+l)

理由如下：等式左边=（川+3及）（川+3几+2）+1=箱+6及，9几2+2M+6几+1=/+6/+l1川+6〃+1，

22222423

等式右边=(n+3n+l)2=(w+i)+2*3«*(«+1)+9n--w+2n+l+6H+6n+9n2=

7?4+6n3+11/+6a+1,

左边=右边.

12.(1)如图1,已知正方形ABCZ)的边长为a,正方形尸GCH的边长为"长方形A8GE

和EF/m为阴影部分，则阴影部分的面积是(写成平方差的形式)

(2)将图1中的长方形ABGE和剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形AHOE

的面积是(a+b)(a-b.)(写成多项式相乘的形式)

(3)比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式(a+6)(a-6)=2-伊.

(4)利用所得公式计算：2(

AB

囹1

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)根据题意得：阴影部分面积为次-房；

(2)根据题意得：阴影部分面积为(a+b)(«-&)；

(3)可得(a+6)(a-Z>)=a2-Z?2；

(4)原式=4(1-1)(1+1)(1+-L)(1+工)(1+-1-)+工

22222428214

=4(1-工))(1+A.)(1+工)(1+A-)+-^-

22222428214

=4(1-工(1+A-)(i+L+JL

n4n4n8n14

2102

=4-J-+J-

214214

=4.

222

故答案为：(1)a-b；(2)(a+b)(a-b)；(3)(a+6)(a-b)=cr-b

13.已知关于x的一元一次方程ax+6=0(其中aWO,a、6为常数)，若这个方程的解恰好

为尤=a-b,则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4=0的解为=-2,恰好为x

=2-4,则方程2x+4=0为“恰解方程”.

(1)已知关于x的一元一次方程3x+k=0是“恰解方程”，则上的值为2.

一2一

(2)已知关于龙的一元一次方程-2X=/M+W是“恰解方程”，且解为无=〃求

(m+n)(nt-n)的值；

(3)已知关于x的一元一次方程3x=mn+n和-3尤=加〃+也都是“恰解方程”，求代数式

4(mn+n)2-6(mn+m)-(m-n)的值.

【答案】⑴1

2

⑵立

9

⑶243

4

【解答】解：(1)3x+左=0,

3x=-k,

_k

x="T

•.•关于x的一元一次方程3x+k=0是“恰解方程”，

.*.x=3-k,

・k

,,《=3-k，

o

-k=9-3k,

-k+3k=9,

2k=9,

kA

2

故答案为：1.

2

(2)把代入关于x的一元一次方程-2x=加几十〃，

-2n=mn+n,

/.mn=-3",

・••加=-3,

•关于x的一元一次方程-2x=mn+n是"恰解方程”，即方程为-2x-根九-〃=0,

-2-（-mn-几）=-2+mn+n,

，・,关于x的一元一次方程-2x=/n〃+几解为x=n(〃W0),

:.-2+mn+n=n,

••TTIYI2,

-3几=2,

用牛1寸：n=——，

3

(m+n)(m-H).

=(-34)X[-3-(4)]

oO

=小(-3号)

TP

=77.

9

ITin+n

(3)解3x=/wz+”得：x=»

x3

..•方程3x=mn+n是“恰解方程”，

/.x—3+mn+n,

•m+n_

,---=3+mntn,

O

••M+ZZ一9-,

2

解-3x=m〃+加得：*二一1mHm

X3

二,方程-3%=加几+m是“恰解方程”，

.*.%=-3+znn+m.

・m+m_

,,—--=-3+inn+iii,

o

••in/i+/n-—■9

4

9

mtn=­z-

，＜解得加-〃=2Z_,

~94

im+m="r

4

4(mn+n)2-6(mn+m)-(m-n).

=4X2-6X^.-2J-

12，44

=4X^1-6x9-1L

444

=243

~T'

14.如图所示，图1是一个长为2%宽为2w的长方形，沿图中的虚线剪成四个全等的小长

方形，再按图2围成一个较大的正方形.

(1)请用两种方法表示图2中阴影部分的面积(只需表示，不必化简)；

(2)比较(1)的两种结果，你能得到怎样的等量关系？

(3)请你用(2)中得到的等量关系解决下面问题：如果机-〃=4,加〃=12,求利+"的

值.

2m

In

图1

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)方法一：•••大正方形的面积为(m+〃)2,四个小长方形的面积为4〃切,

，中间阴影部分的面积为S=(m+n)2-4mn.

方法二：：中间小正方形的边长为%...其面积为(m-n)2.(4分)

(2)(m+n)2-Amn—(m-n)?或(m+n)2=(m-n)，45w).(6分)

(3)由(2)得(m+n)2-4X12=42,即(m+n)2=64,

...，"+〃=±8.又〃?、“非负，m+n=8.(8分)

15.阅读理解：

①32+42>2><3*4

②32+32=2X3X3；

③(-2)2+42>2X(-2)X4；

@(-5)2+(-5)2=2X(-5)X(-5)

(1)观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有。、6的式子表示上述规律;

(2)运用你所学的知识证明你发现的规律；

(3)已知〃+b=4,求出?的最大值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)规律是：如果。、。是两个实数，则有〃2+必22曲;

(2)•・・Qa-b)220,

4Z2-2〃。+。220,

：•〃2+房22〃。；

(3)・：/+/22ab,

(4+。)2-2ab^2ab,

(〃+。)224次?，

(〃+。)2=_Lxi6=4.

44

故ab的最大值是4.

16.已知(%+y)2=1,(x-y)2=49,求/+丁2与孙的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：:(x+y)2=/+y2+2xy=l①，(x-y)2=f+y2_2孙=49②，

・,•①+②得：2(/+/)=50,即f+y2=25；

①-②得：4xy=-48,即孙=-12.

17.先阅读下面的内容，再解决问题，

例题：若加2+2相〃+2九?-6〃+9=0,求相和〃的值.

解：*.*m2+2mn+2n2-6n+9=0

m2+2mn+n2+n2-6n+9=0

(m+n)2+(«-