锐角三角函数的常考题型（6大热考题型）原卷版-2025年中考数学一轮复习知识清单

难点11锐角三角函数的常考题型

（6大热考题型）

麴型盘点G

题型一：正弦概念的辨析与应用

题型二：余弦概念的辨析与应用

题型三：正切的概念辨析与应用

题型四：特殊角三角函数值的应用

题型五：解直角三角形的相关运算

题型六：解直角三角形的实际应用

信精淮握分

题型一：正弦概念的辨析与应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024.内蒙古包头.中考真题）如图，在矩形ABCD中，瓦歹是边8C上两点，且BE=EF=FC,

连接£）石,4尸,。石与.相交于点6,连接2G.若45=4,BC=6,则sin/GB/的值为（）

2

D.

【变式1-1］（2024・四川资阳・中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME—14）会标如图1所示，会标中

心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形CABE,

NBCF,CDG,ZMH）和一个小正方形EFG”拼成的大正方形ABC。.若EF：A"=l：3,贝|sin/ASE=

D-哼

【变式1-2］（2024.江苏扬州.中考真题）如图，已知两条平行线4、12,点A是《上的定点，AB，/?于点B，

点C、。分别是4、6上的动点，且满足AC=BD,连接CD交线段A8于点E,BH工CD于点、H,则当4477

最大时，sinZBAH的值为

【变式1-3］（2024•山东潍坊・中考真题）如图，已知VA3C内接于。，AB是。的直径，-54C的平分

线交。于点O,过点。作。E上AC,交AC的延长线于点E,连接3DCD.

⑵若CE=1,sinZBAD=,求i。的直径.

【变式1-4］（2024•上海•中考真题）在平面直角坐标系xQy中，反比例函数丫=七"为常数且4#0）上有

X

一点A（-3,〃?），且与直线丫=-2工+4交于另一点3（〃,6）.

⑴求k与m的值；

（2）过点A作直线/〃x轴与直线y=-2%+4交于点C,求sin/0C4的值.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•河北张家口・模拟预测）在RABC中，/C=90。，AC=5,AB=13,则sinA的值为（）

A13

-卷B-HD.五

2.（2024.广东.模拟预测）正方形网格中，NAOB如图所示放置（点A,O,C均在网格的格点上，且点C在

05上），则sinNAQ5的值为（）

。「.-3-D.1

-43

3.（2024・广东广州•模拟预测）在中，?B90?,AB=12,AC=13f贝UsinA的值为()

5c12

A.cD.—

13-it-H5

4.（2024・陕西西安・模拟预测）直角三角形的斜边与一直角边的比是行：1,且较大的锐角为氏则sin。等于

()

A.5J5B.C.~TD.2^/^

525

5.（2025・上海奉贤•一模）在平面直角坐标系的第一象限内有一点RO尸=10,射线OP与1轴正半轴的夹角

3

为a,如果sina=g,那么点P坐标为.

6.（2024・四川成都•模拟预测）如图，正方形A3CD的边长为2,M是4D的中点，将四边形沿CM翻

折得到四边形EFCW,连接。尸，贝|sinZDEE的值等于.

7.（2024・上海青浦•模拟预测）如图是一张矩形纸片ABCD,点〃是对角线AC的中点，点E在BC边上，

把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点尸处，连接£）尸，EF.若叱=则ZDA尸的

8.（2024•广东.模拟预测）如图，在6x7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,四边形ABC。的顶

点均在网格的格点上.

⑴求sin£＞的值.

（2）操作与计算：用尺规作图法过点C作CELAD,垂足为E,并直接写出CE的长.（保留作图痕迹，不要

求写出作法）

9.（2024.北京.模拟预测）如图，VABC是等腰三角形，AB=AC=1,AD±BC,BH±AC.已知=

用两种方法表示VABC的面积

【探究】你能否从这里得出sin2a的计算公式呢？

A

题型二：余弦概念的辨析与应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024・四川眉山・中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6,8c=8,点E在。C上，把VTWE

沿AE折叠，点。恰好落在BC边上的点尸处，则cos/CEF的值为（）

A.也B.五C.-D.-

4344

【变式2-1］（2023•四川攀枝花•中考真题）VASC中，NA、/B、/C的对边分别为。、b、c.已知a=6,

b=8,c=10,贝hosNA的值为（）

3344

A.—B.—C.—D.一

5453

【变式2-2］（2023•江苏扬州•中考真题）在VABC中，/B=60。，AB=4,若VABC是锐角三角形，则满足

条件的BC长可以是（）

A.1B.2C.6D.8

【变式2-3］（2024•山东青岛•中考真题）如图，VABC中，BA=BC,以BC为直径的半圆。分别交AB,AC

3

于点。，E,过点E作半圆。的切线，交于点交BC的延长线于点M若ON=10,cosZABC=-,

则半径OC的长为.

A

【变式2-4］（2024•四川雅安・中考真题）如图，把矩形纸片ABCD沿对角线或）折叠，使点C落在点E处,

BE与AD交于点F,若A5=6,BC=8,贝hos/A5/的值是.

【变式2-5］（2024•上海・中考真题）在平行四边形A2CD中，NABC是锐角，将C。沿直线/翻折至所在

直线，对应点分别为C',M若AC':AB:3C=1:3:7,贝！JcosNABC=

【变式2-6］（2023・山东・中考真题）如图，VABC是边长为6的等边三角形，点D,E在边BC上,若

ZZME=30°,tanZ£AC=1,贝i|3£>=.

【中考模拟即学即练】

3

1.（2025・湖南娄底•一模）若。是一个锐角，且sina=y,则cosa的值为（）

3「4一4n5

A.—B.—C.—D.—

4354

2.（2024.湖南•模拟预测）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由

四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形面积为25,小正方形面积

为1,贝ijcosc的值为（）

3.（2024.宁夏石嘴山.模拟预测）如图，在正方形网格中，已知VABC的三个顶点均在格点上，则NA的余

弦值为（）

「3瓦2710

1010

4.（2024・广东•模拟预测）如图，直径为10的，A经过点C（0,6）和点。（0,0）,B是V轴右侧A上一点，则N03C

的余弦值为（）

「6

5.（2023・广东东莞・模拟预测）如图，在：。中，£是直径AB延长线上一点，CE切O于点C,若CE=2BE,

则/E的余弦值为（）

LE

6.（2024・上海.模拟预测）在RtAABC中，ZACB=90°,CD,AB于。，若一ACD和BCD的面积比为4:9,

则NA的余弦值为

7.（2024•甘肃兰州•模拟预测）如图，_。3石内接于OO,是的直径，BE平分/DBC,ZC=90°,

延长8。交CE的延长线于点A,连接OE.

C

£

⑴求证：AC是。O的切线；

（2）若cos/A2C=；,AD=8,求AE的值.

题型三：正切的概念辨析与应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024.云南・中考真题）在Rt^ABC中，？390?,已知AB=3,3c=4则tanA的值为（）

4343

A.—B.—C.—D.一

5534

【典例2】（2024•四川内江•中考真题）如图，在矩形ABCZ）中，AB=3,AD=5,点E在DC上，将矩形ABC。

沿AE折叠，点。恰好落在BC边上的点尸处，那么tan/EFC=.

【变式3-1]（2024.山东淄博•中考真题）如图所示，在矩形A2CD中，BC=2AB,点、M,N分别在边3C,

AD1..连接MN,将四边形CWD沿翻折，点C,。分别落在点A,E处.贝Utan/AMN的值是（）

A.2B.72C.V3D.V5

【变式3-2]（2024.四川达州•中考真题）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2,

ZABD=120°,其中点A,B,C都在格点上，贝UtanNBCD的值为（）

3

A.2B.26C.-D.3

【变式3-3］（2024•江苏常州,中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD

于点E、F.若AO=8,BE=10,贝！|tanNABD=.

【变式3-4］（2024•江西・中考真题）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD,连接AC,则

tanZCAB=

【变式3-5］（2023・江苏・中考真题）如图，3个大小完全相同的正六边形无缝隙、不重叠的拼在一起，连接

正六边形的三个顶点得到VABC,贝Utan/ACB的值是.

【变式3-6］（2024•湖南长沙•中考真题）如图，在；ABCD中，对角线AC,BO相交于点O,ZABC=90°.

⑴求证：AC=BD；

（2）点E在边上，满足NCEO=NCOE.若AB=6,BC=8,求CE的长及tanNCEO的值.

【中考模拟即学即练】

1.（2024.内蒙古包头.模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形

格点的位置上，连接AB,CD相交于点P,根据图中提示所添加的辅助线，可以求得tan/BPC的值是（）

A.9B.好C.2D.乖

25

2.（2023•四川乐山•模拟预测）在如图所示8x8的网格中，小正方形的边长为1,点A、B、C、。都在格点

上，则的正切值是（）

A.2B.4C.-D.好

235

3.（2024・广东•模拟预测）如图，在RtA4BC中，ZC=90°,AB=2,BC=1,延长C4到点。，使AD=AB,

连接30.利用此图，可算出tan75。的值是（）

A.2+73B.2C.^±1D.B

23

14

4.（2024.广东广州•模拟预测）已知点A与点8分别在反比例函数>=—（x>0）与y=——（x>0）的图像上,

x尤

且贝Utan/BAO的值为（）

A.|B.：C.2D.4

5.（2024・陕西渭南•一模）在VA3C中，ZC=90°,tanA=1,贝UcosA的值为.

6.（2025•山东青岛•一模）如图所示，在矩形ABCD中，3C=2AB,点M,N分别在边3C,上.连接肱V,

将四边形CMVD沿翻折，点C,。分别落在点AE处.贝UtanNAMN的值是.

7.（2024・甘肃定西•模拟预测）已知在RtAABC中，NC=90。，若3C:AB=5:13,则tanA的值为

题型四：特殊角三角函数值的应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•山东青岛•中考真题）计算：+-2sin45°=.

【变式4-1］（2024•西藏・中考真题）计算：（-l）3+2tan6O°->/12+（n-2）0.

【变式4-2］（2024•山东济南・中考真题）计算：79-（7t-3.14）°+W+|^|-2cos30°.

【中考模拟即学即练】

cot3。。

1.（2025•上海普陀•一模）计算：2cos30。+45布60。........-------.

3tan30°-tan45°

2.（2025•广东•模拟预测）计算：怖-2|+（兀-2024）°+1-£|-4cos45°.

3.（2025・湖南•模拟预测）计算：2$指30。+屈+卜5|-（兀+3）°.

题型五：解直角三角形的相关运算

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•黑龙江大庆•中考真题）如图，平行四边形中，AE,CF分别是ZBCD的

平分线，且E、P分别在边BC,AD上.

（1）求证：四边形AEC厂是平行四边形；

⑵若NAT>C=6O。，DF=2AF=2,求：GDP的面积.

【变式5-1］（2024.海南.中考真题）如图，在ABCZ）中，AB=8,以点。为圆心作弧，交于点M、N,

分别以点加、N为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点R作直线。尸交A3于点E,若

NBCE=NDCE,DE=4,则四边形BCL®的周长是（）

【变式5-2］（2024•江苏南通・中考真题）若菱形的周长为20cm,且有一个内角为45。，则该菱形的高为—

cm.

【变式5-3］（2024•山西•中考真题）如图，在A3C。中，AC为对角线，AE，8c于点E,点F是AE延长

线上一点，5.ZACF^ZCAF,线段的延长线交于点G.若43=6，AD=4,tanZASC=2,则BG的长

为.

G

【变式5-4］（2024.山东潍坊・中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为（0,4）,

点氏C均在x轴上.将VA5C绕顶点A逆时针旋转30。得到△AB'C,则点C'的坐标为.

【变式5-5］（2024•江苏南通・中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题

学习活动.

【特例探究】

（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积.

等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表

图序角平分线AD的长/BAD的度数腰长两腰之和两腰之积

图①160°244

图②145°V22四2

图③130°———

请补全表格中数据，并完成以下猜想.

已知VABC的角平分线AD=1,AB=AC,ZBAD=a,用含。的等式写出两腰之和M+AC与两腰之积

AC之间的数量关系：

【变式思考】

（2）已知VA3C的角平分线AD=1,44c=60。，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB-AC之间的

数量关系，并证明.

【拓展运用】

（3）如图④，VABC中，AB=AC=1,点。在边AC上，BD=BC=AD.以点C为圆心，CD长为半径

作弧与线段8。相交于点E,过点E作任意直线与边AB,BC分别交于M,N两点.请补全图形，并分析

图序角平分线AD的长/BAD的度数腰长两腰之和两腰之积

图①160°244

图②145°V2202

空4A/34

图③130°

丁

A

【中考模拟即学即练】

1.（2024•浙江宁波•二模）如图VABC与VADE均为等腰直角三角形，AD=^AB=a,直线8D与直线CE交

于点P,在VA2C与VADK绕点A任意旋转的过程中，P到直线BC的距离的最小值为（）

264

E

2.（2025.湖南.模拟预测）如图,在矩形ABCD中，AB=1,BC=y/3,AC为对角线，/BAC的平分线交BC

于点E,连接OE交AC于点?则下列结论中错误的是（）

AD

BEC

C0/□./oT

EC=二一C.sAnr=^-D.DF=

3.（2024•四川绵阳•三模）如图VABC中，tan/C=—,DE±AC,若CE=51,DE=1,且VBEC的面积是

2

VADE面积的10倍，则8E的长度是（）

X-------------------—

A.|B.立C.75D.万

22

2

4.（2025・上海普陀•一模）已知VABC中，ABAC=90°,AD是边BC上的高，cotADAC.如果5D=4,

那么AD=_________.

5.（2024・安徽蚌埠•模拟预测）正方形ABCD中，E,尸分别是BC,8的中点,贝Ijsin/E4B=_________

6.（2024•甘肃嘉峪关•二模）如图，已知ABC,ZACB=90°,ABAC=30°.

B

(D尺规作图：作ABC的边48的垂直平分线，交2B于点。，交AC于点E(保留作图痕迹，不写作法);

(2)若BC=3,求DE的长.

7.(2023・四川乐山・模拟预测)如图，AB为。的直径，AC是。的一条弦，。为弧BC的中点，过点。

作DE1AC,垂足为AC的延长线上的点E,连接ZM.

(2)延长EO交A8的延长线于忆若AE=8,tanZADE=2,求所的长.

8.(2024.河北邢台•一模)如图1,四边形ABCD中，/A=90。，AD=6,AB=8,BO为四边形ABC。的

2

对角线，sinZBDC^-.

⑴求点B到。C的距离；

(2)如图2,点E在AD边上，且AE=4.以8为圆心，2C长为半径作:B,点、F为B上一点，连接跖交

T「4

A3于P.tanC=—.

3

①当E尸与：8相切时，求砂的长；

②当EF〃钙时，度段写出所的长.

题型六：解直角三角形的实际应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024.山西•中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动.同学

们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3。扫描仪采集纪念碑的相

关数据.

数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，A3的长表示点A到水平地面的距离.航模从纪念碑前水平地面

的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角NACD=18.4。；然后沿CN方向继

续飞行，飞行方向与水平线的夹角/NCD=37。，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米；…

数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E,A,B三点在同一直线上.请根据上述数据，计算纪念

碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米.参考数据：sin37°。0.60,cos37°。0.80,tan37°。0.75,

sin18.4°®0.32,cosl8.4°®0.95,tan18.4°忍0.33）.

MB

【变式6-1］（2024.山东日照.中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌.某

数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔A5的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面H9m的点M处测

得潮汐塔顶端A的俯角为22。，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N,测得潮汐塔底端5的俯角为45。

（点在同一平面内），则潮汐塔A5的高度为（）

MN

（结果精确到1m.参考数据：sin22°«0.37,cos22°«0.93,tan220=0.40）

A.41mB.42mC.48mD.51m

【变式6-2］（2024•江苏徐州•中考真题）如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点3为

“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”.已知，3AC=60。，^BCA=45°,AC=1640m.求“彭城风

华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离4B（精确到1m）.（参考数据：及。1.41，石。1.73）

【变式6-3］（2024・四川巴中・中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动.如图所示，斜坡3E

的坡度i=l：A，BE=6m,在B处测得电线塔CO顶部。的仰角为45。，在E处测得电线塔顶部。的仰

（1）求点8离水平地面的高度AB.

（2）求电线塔CD的高度（结果保留根号）.

【变式6-4］（2023・江苏南京・中考真题）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A,

B.无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为36。52,无人机垂直上升5m悬停在。处，此时在2处

测得。的仰角为63。26',AB=10m,点A,B,C,。在同一平面内，A,8两点在C。的同侧.求无

人机在C处时离地面的高度.（参考数据：tan36052,»0.75,tan63026,«2.00）

【变式6-5］（2024•山东青岛•中考真题）“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性

越高.从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮

小亮解决方案中的问题.

方案

滑梯安全改造

名称

测量

测角仪、皮尺等

工具

如图，将滑梯顶端2C拓宽为BE,使CE=lm,并将原来的滑梯CF改为EG,（图中所有点均在同

一平面内，点民C,E在同一直线上，点在同一直线上）

方案BCE

设计

AZDFG

【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CO=L8m；

测量

【步骤二】在点尸处用测角仪测得NCFD=42。；

数据

【步骤三】在点G处用测角仪测得NEGD=32。.

解决

调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求AG的长）

问题

171752739

（参考数据：sin32°x一,cos32°«一,tan32°«―,sin42°«一,cos42°«―,tan42°«一）

3220840410

【变式6-6］（2024.海南.中考真题）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端,

是海南岛东北部最重要的航标.某天，一艘渔船自西向东（沿AC方向）以每小时10海里的速度在琼州海

峡航行，如图所示.

C斗

，BjF"渔船__之\_____

歌7兰灯塔

航行记录记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔尸北偏西60。方向上的A处.

记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔尸北偏西45。方向上的8处.

记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内,

会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东15。方向.

请你根据以上信息解决下列问题：

(1)填空：ZPAB=°,ZAPC=。，AB=海里；

(2)若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明.

(参考数据：&"41,—a1.73,而22.45)

【变式6-7](2024・山东济南・中考真题)城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实

践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：

综综合合实实践践活活动动记记录录表表

活

动

测量轻轨高架站的相关距离

内

容

测

量

测倾器，红外测距仪等

工

具

过轻轨高架站示意图

_BA_相关数据及说明：图中点瓦厂在同平面内，房顶吊顶CF和

程

c-地面所在的直线都平行，点在与地面垂直的中轴线上，

机1机DEFAE

资

卜车11车1

ZBCD=98°,ZCDE=97°,AE=8.5m,CD=6.7m.

\「台以二

料j1

成...

果

梳

理

请根据记录表提供的信息完成下列问题：

⑴求点C到地面DE的距离；

（2）求顶部线段的长.（结果精确到0.01m,参考数据：sinl5°«0.259,cosl5°~0.966,tanl5°«0.268,

sin83°«0.993,cos83°«0.122,tan83°«8.144）

【中考模拟即学即练】

1.（2025•山东临沂•一模）某中学为新操场采购了一批可调节高度的篮球架，右图是其侧面示意图，底座高

度忽略不计.已知其支架AD=221cm,=140cm,安装完毕后小明测得/C4B=72。，=138°,

国家规定中学生所用篮球架中篮筐距地面标准高度约为280cm,请你帮小明判断安装后的这批篮球架是否

符合国家标准？（参为数据：sin72°«0.95,cos72°«0.31,tan72°«3.08,结果保留整数）

2.（2025•山东青岛•一模）阿代的数学研学日记

课题：测量旗杆的高度

地点：青岛市山海二十六中学操场

时间：2025月3月2日

昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿

着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆

影长3c=6,旗杆的影长上=c,则可求得旗杆OE的高度为

E/

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图1图2

示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为37。，

然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台卜.，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5

米，此时测得绳子与平台的夹角为54。，利用这些数据能求出旗杆DE的高度吗？

请你回答阿代的问题.若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由.

（参考数据：sin37°«0.6,cos37°®0.8,tan37°«0.75；sin54°«0.8,cos54°®0.58,tan54°®1.45）

3.（2024浙江.一模）图1是我国古代提水的器具桔棒（jiegao）,创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿,

大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），

小竹竿上悬挂水桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井.当放松大竹竿时，

小竹竿下降，水桶就会回到井里.如图2是桔棒的示意图，大竹竿AB=8米，。为的中点，支架OD垂

直地面EF,此时水桶在井里时，ZAOD=120°.

图1

（1）如图2,求支点。到小竹竿AC的距离（结果精确到0.1米）；

⑵如图3,当水桶提到井口时,大竹竿AB旋转至A4的位置，小竹竿AC至AG的位置,此时ZAOD=143°,

求点A上升的高度（结果精确到0.1米）.（参考数据：73-1.73,sin37。。0.6,cos37。。0.8,tan37°®0.75）

4.（2024.浙江绍兴.二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流.某种手

机支架如图1所示，立杆A8垂直于地面，其高为115cm,为支杆，它可绕点B旋转，其中长为30cm,

CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度.（参考数据：sin53°»0.80,cos53°«0.60,tan53°®1.33）

Si图2图3

(1)如图2,当B、C、。三点共线，CD=40cm时，且支杆BC与立杆48之间的夹角ZABC为53。，求端

点。距离地面的高度;

(2)调节支杆BC,悬杆CD,使得NABC=60。，/BCD=97°,如图3所示，且点。到地面的距离为140cm,

求CD的长.(结果精确到1cm)

5.(2024.甘肃定西.模拟预测)甘肃科技馆(如图)是甘肃省有史以来投资和建设规模最大的社会公益性科

普项目，是实施科教兴国战略和创新驱动发展战略的重要基础设施建设.甘肃科技馆的建成，标志着甘肃

省科普阵地建设迈上了新台阶.

某校学习小组把测量甘肃科技馆CD的高度作为一次课题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量,

测得结果如下表

课题测量甘肃科技馆CD的高度

D

测量示

意图

ACE

甘肃科技馆楼顶一角的。处到地面的高度为C。，在A点用仪器测得点D的仰角为a，在E点用

说明

该仪器测得点。的仰角为夕，且点4B,C,D,E,尸均在同一竖直平面内

测量数a=76。，2=80。，AE=15m,测角仪AB(EF)的高度为2m

据

请你根据上表的测量数据，帮助该小组求出甘肃科技馆的高度（结果保留一位小数）.

（参考数据：sin76°®0.97,cos76°®0.24,tan76°®4.01,sin80°®0.98,cos80°M）.17,tan80Os»5.67）

6.（2024•上海浦东新•一模）如图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数

学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2,正八边形游乐城A4AAAA4A的边长为正km,南门。设

2

立在A4边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路aw,A4在BM上（门宽及门与道路间距离忽

略不计），东侧有一条南北走向的道路BC,C处有一座雕塑.在A处测得雕塑在北偏东45。方向上，在4处

测得雕塑在北偏东59。方向上.

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（1）/C4J4=°,NO12Al=°；

（2）求点A到道路3c的距离；

（3）若该小组成员小李出南门。后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会

受到游乐城的影响？（结果精确到Qlkm,参考数据：行“1.41，cosl4°»0.97,cotl4°®4,sin59°«0.86,

tan59°»1.66）

7.（2024・湖南长沙•模拟预测）为推进《学生出入校门智能管理方案》的实施，图1是某校安装的人脸识别

系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2,摄像头A的仰角、俯角均为15。，摄

像头高度。4=160cm,识别的最远水平距离03=150cm.(计算结果精确到0.1cm)

(1)头部高度为26cm、身高198cm的小帅站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小帅最少需要下蹲多

少厘米才能被识别？

(2)头部高度为16cm,身高120cm的小美踮起脚尖可以增高3cm,但仍无法被识别，若学校工作人员及时将

摄像头的仰角、俯角都调整为20。，此时小美能被识别吗？请计算说明.(参考数据：sinl5°«0.26.

cos15°»0.97,tan15°«0.27,sin20°»0.34,cos20°«0