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文档简介

专题24切线的性质与判定

1.(2021•青岛中考)如图,AB是OO的直径,点E,C在。。上,点/是黄的中点,过点/画。。的切线,交

3c的延长线于点。,连接EC.若/4D8=58.5°,则N/CE的度数为()

A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°

解:是O。的切线,

J.BALAD,

;//。2=58.5°,

:.Z5=90°-ZADB=3>1.5°,

是。。的直径,

AZACB=90°,

AZBAC^90°-/5=58.5°,

:点/是能的中点,

J.BAA.EC,

:.ZACE=90°-ZBAC=31.5°,

答案:B.

2.(2021•湘潭中考)如图,8C为。。的直径,弦40,3c于点E,直线/切O。于点C,延长。。交/于点厂,

若AE=2,/ABC=225°,则C尸的长度为()

A.2B.2圾C.2«D.4

解:为。。的直径,弦/OL8C于点E,

AC=CD-AE=DE=2,

COD=2//8C=45°,

:.AOED是等腰直角三角形,

:.OE=ED=2,

OD—+22=2^"^,

•.•直线/切(DO于点C,

:.BCLCF,

/.△OCF是等腰直角三角形,

:.CF=OC,

,:OC=OD=2近,

,CF=2圾,

答案:B.

3.(2021•遵义中考)如图,是。。的弦,等边三角形。CD的边CD与。。相切于点尸,且CD〃/2,连接。4,

OB,OP,AD.若/COZ)+//O8=180°,AB=6,则的长是()

B.3-/^C.2713D.713

解:如图,延长尸。交于,,连接/尸,BP,过点N作交。C的延长线于E,

:C。与O。相切于点P,

:.OP±CD,

又•.•△COD是等边三角形,

:.ZCOD=60°=ZOCD,CP=PD,

•:CD//AB,

:.OH.LAB,

:・AH=BH=3,

':ZCOD+ZAOB=\SO°,

AZAOB=120°,

u

:OA=OBf

:.ZOAB=ZOBA=30°,

:.AO=2OH,AH=4^JH=3,

:・OH=M,AO=2M=OB=OP,

VsinZOCD=空=返,

OC2

:.OC=4,

:.CP=PD=2,

■;AH=BH,PHLAB,

:.AP=BP,

•・•ZAOB=2ZAPB.

:.ZAPB=60°,

•••△4P3是等边三角形,

:.AP=BP=6,ZAPH=30°,

:・NAPE=60°,

AZEAP=30°,

・・.E尸=[尸=3,AE=y/^P=3M,

2

:.ED=EP+PD=5,

・・・AD=VAE2+DE2=也7+25=2后,

答案:C.

4.(2021•山西中考)如图,在。。中,45切。。于点4,连接。5交。。于点C,过点4作05交。。于点

D,连接CD.若N5=50°,则NOCQ为()

A.15°B.20°C.25°D.30°

解:连接。4如图,

切OO于点/,

:.OA±AB,

:.ZOAB^90°,

:48=50°,

:.ZAOB=90°-50°=40°,

/.ZADC=l-ZAOB=20o,

2

■:AD//OB,

:.ZOCD^ZADC^20°.

5.(2021•娄底中考)如图,直角坐标系中,以5为半径的动圆的圆心/沿x轴移动,当ON与直线/:只

有一个公共点时,点/的坐标为()

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

解:当ON与直线/:»=&只有一个公共点时,直线/与04相切,

12

设切点为2,过点2作于点E,如图,

12

'.OE=-m,BE=-^—m.

12

在Rt2\OE3中,tan//O8=^=_L.

OE12

•••直线/与ON相切,

:.AB±BO.

在RtZ\CM3中,tan/NO8=^=_L.

OB12

;AB=5,

.•.08=12.

•••°^=VAB2-K)B2=752+122=13-

:.A(-13,0).

同理,在x轴的正半轴上存在点(13,0).

综上所述,点/的坐标为(±13,0).

答案:D.

6.(2021•泰安中考)如图,在△45。中,AB=6,以点4为圆心,3为半径的圆与边5C相切于点。,与/C,AB

分别交于点E和点G,点尸是优弧GE上一点,ZCDE=1S°,则NG也的度数是()

B

D

A.50°B.48°C.45°D.36°

解:连接ZQ,〈Be与相切于点。,

:.AD±BC,

:.ZADB=ZADC=90°,

,.•45=6,AG=AD=3,

:.AD=1AB,

2

AZB=30°,

:.ZGAD=60°,

':ZCDE=\S°,

AZADE=90°-18°=72°,

•;AD=AE,

:.ZAED=ZADE=72°,

・・・/D4E=1800-ZADE-ZAED=lS0°-72°-72°=36°,

ZBAC=ZBAD+ZCAD=60°+36°=96°,

AZGFE=L/GAE=LX96°=48。,

答案:B.

7.(2021•河池中考)如图,在平面直角坐标系中,以M(2,3)为圆心,45为直径的圆与x轴相切,与〉轴交于

A,C两点,则点5的坐标是(4,3-弋亏).

解:设以45为直径的圆与1轴相切于点。,连接M),BC,

贝!jMZ)_Lx轴,

;点〃■的坐标为(2,3),

:.CE=BE=2,BM=DM=3,

为圆的直径,

:.AC±BC,

."C〃x轴,

J.MDVBC,

:.BC=2CE=4,CE=BE=2,

在中,由勾股定理得:ME=7BM2-BE2=732-22=

:.DE=MD-ME=3-遍,

...点8的坐标为(4,3-巡),

答案:(4,3-遥).

8.(2021•温州中考)如图,O。与△048的边48相切,切点为以将△048绕点2按顺时针方向旋转得到△(?'

A'B,使点。落在。。上,边A'5交线段/。于点C.若NT=25°,则NOC8=85度.

解::。。与△048的边48相切,

J.OBLAB,

:.ZOBA^90°,

连接OO',如图,

•.•△048绕点2按顺时针方向旋转得到△O'A'B,

:.ZA=ZA'=25°,ZABA'=ZOBO',BO=BO'

,:0B=00

.•.△O。'2为等边三角形,

J.Z.OBO'=60°,

:.ZABA'=60°,

:.ZOCB=Z.A+ZABC=250+60°=85

B

9.(2021•张家界中考)如图,△48C内接于。。,/4=50°,点。是8c的中点,连接。。,OB,OC,则

AZBOC=100°.

\'OB=OC,

:./\OBC为等腰三角形,

又•.•。为8C中点,

为3c上中线,

根据等腰三角形三线合一性质可得OD为/BOC的平分线,

ZBOD=l.ZBOC^50o.

2

答案:50°

10.(2021•荆州中考)如图,N8是。。的直径,/C是。。的弦,OD_L/C于。,连接OC,过点。作。/〃OC交

AB于F,过点2的切线交NC的延长线于£若40=4,DF==,则

2—2―

解:\'OD.LAC,4D=4,

:.AD=DC=4,

,:DF〃OC,。尸=包,

2

:.OC=2DF=5,

在RtZ\C8中,8=阮生子=便彳=3,

•:BE是OO的切线,

:.ABLBE,

U:ODLAD,

:.ZADO^ZABE,

•:/OAD=/EAB,

:.△AODS/\AEB,

•OD-ADpn3一4

BEABBE10

解得:BE=^-,

2

答案:生.

2

11.(2021•德阳中考)如图,已知:为。。的直径,。。交△NBC于点。、E,点尸为/C的延长线上一点,且

/CBF=LNBOE.

2

(1)求证:BF是OO的切线;

(2)若/8=4如,NCBF=45°,BE=2EC,求4D和CF的长.

NBAE=/CBF,

・・・/B为OO的直径,

;.NAEB=90°,

AZBAE+ZABE=90°,

:・NABE+NCBF=90°,

即N/5/=90°,

C.BFLAB,

・・・8/是。。的切线;

ZCBF=45°,

NABE=9。。-NCBF=45°,

在RtZ\/5£中,AB=4&,

:.AE=BE=4y/2xsin45°=4,

■:BE=2EC,

:,EC=2,BC=6,

在Rt^CBG中,ZCBG=45°,BC=6,

:・CG=BG=3近

':CG±BFfBFLAB,

:・AB〃CG,

:.△FCGs&AB,

・CG=FG

**ABBF,

•FG,

啦FG+3加,

."G=9圾,

:.BF=\2®

在RtZXFCG中,CF=JCG2+FG2=675-

在RtZ\/8尸中,AF=JAB2+BF2=8V5,

为O。的直径,

/.ZADB=90°,

又:ZBAD=ZBAF,

cosZBAD=cos/BAF,

即旦L=延,

ABAF_

-AD=V2

"472

;./。=生叵

5

12.(2021•郴州中考)如图,△ABC是O。的内接三角形,NC是O。的直径,点。是前的中点,DE〃BC交AC

的延长线于点E.

(1)求证:直线与。。相切;

(2)若。。的直径是10,N/=45°,求CE的长.

(1)证明:连接如图,

:点。是黄的中点,

:.ODLBC,

'JDE//BC,

C.ODLDE,

直线与OO相切;

(2)解::/C是O。的直径,

Z5=90°,

VZA=45°,

:.ZACB=45°,

':BC//DE,

;./E=45°,

而/ODE=90°,

MODE为等腰直角三角形,

**•OE=yf0QD=5

:.CE=OE-OC=5近-5.

13.(2021•东营中考)如图,以等边三角形4BC的5c边为直径画圆,交4c于点。,于点R连接OR

且4方=1.

(1)求证:。/是。。的切线;

AZC=NZ=60。,

':OC=OD,

•••△OC。是等边三角形,

:.ZCDO=ZA=60°,

:.OD//AB,

'JDF^AB,

:.ZFDO=ZAFD=90°,

C.ODLDF,

.••D尸是。。的切线;

(2)解:':0D//AB,OC=OB,

.•.OD是△NBC的中位线,

VZAFD=90°,ZA=60°,

:.ZADF=30°,

:.CD=OD=AD=2AF=2,

在RtZUD尸中,由勾股定理得DF2=AD2-AF2=3,

在RtAODF中,由勾股定理得^西萨=电福动,

线段。尸的长为由.

14.(2021•济宁中考)如图,点C在以48为直径的O。上,点。是2c的中点,连接。。并延长交。。于点E,

作/EBP=ZEBC,BP交OE的延长线于点P.

(1)求证:P2是O。的切线;

(2)若NC=2,PD=6,求。。的半径.

解:(1)证明:为直径,

/.ZACB=90°,

又。为8c中点,。为48中点,

故OD=/AC,OD//AC,

:.ZODB=ZACB=90°.

;OB=OE,

:./OEB=/OBE,

又:NOEB=ZP+ZEBP,ZOBE=ZOBD+ZEBC,

NP+/EBP=/OBD+/EBC,

又/EBP=/EBC,

:.ZP=ZOBD.

VZBOD+ZOBD=90°,

;・NBOD+NP=90°,

:.ZOBP=9Q°.

又05为半径,

故心是。。的切线.

(2),.・力。=2,

由(1)得OD=-i-AC=L

又尸。=6,

:.P0=PD+OD=6+1=7.

VZP=ZP,ZBDP=ZOBP=90°,

△BDPsAOBP.

2

aBP_=DP_;gpBP=OP-DP=JX6=42,

OPBP

•\OB=jop2.Bp2=449-42=V7•

故OO的半径为

15.(2021•玉林中考)如图,。。与等边△/BC的边/C,48分别交于点。,E,NE是直径,过点。作。尸_L8C

于点F.

(1)求证:。尸是。。的切线;

(2)连接斯,当即是。。的切线时,求O。的半径,与等边△43C的边长°之间的数量关系.

(1)证明:连结OD,如图所示:

VZDAO=60°,OD=OA,

:.ADOA是等边三角形,

:.ZODA=ZC=60°,

:.OD//BC,

又,:NDFC=90°,

:.ZODF=9Q°,

J.ODLDF,

即。尸是。。的切线;

(2)设半径为r,等边△N3C的边长为a,

由(1)可知:AD=r,则CD=a-r,BE=a-2r

在RtZXCFD中,ZC=60°,CD=a-r,

•••CP=/(a-r>

:.BF=a-/(a-r>

又尸是O。的切线,

...△FEB是直

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