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文档简介
专题24切线的性质与判定
1.(2021•青岛中考)如图,AB是OO的直径,点E,C在。。上,点/是黄的中点,过点/画。。的切线,交
3c的延长线于点。,连接EC.若/4D8=58.5°,则N/CE的度数为()
A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°
解:是O。的切线,
J.BALAD,
;//。2=58.5°,
:.Z5=90°-ZADB=3>1.5°,
是。。的直径,
AZACB=90°,
AZBAC^90°-/5=58.5°,
:点/是能的中点,
J.BAA.EC,
:.ZACE=90°-ZBAC=31.5°,
答案:B.
2.(2021•湘潭中考)如图,8C为。。的直径,弦40,3c于点E,直线/切O。于点C,延长。。交/于点厂,
若AE=2,/ABC=225°,则C尸的长度为()
A.2B.2圾C.2«D.4
解:为。。的直径,弦/OL8C于点E,
AC=CD-AE=DE=2,
COD=2//8C=45°,
:.AOED是等腰直角三角形,
:.OE=ED=2,
OD—+22=2^"^,
•.•直线/切(DO于点C,
:.BCLCF,
/.△OCF是等腰直角三角形,
:.CF=OC,
,:OC=OD=2近,
,CF=2圾,
答案:B.
3.(2021•遵义中考)如图,是。。的弦,等边三角形。CD的边CD与。。相切于点尸,且CD〃/2,连接。4,
OB,OP,AD.若/COZ)+//O8=180°,AB=6,则的长是()
B.3-/^C.2713D.713
解:如图,延长尸。交于,,连接/尸,BP,过点N作交。C的延长线于E,
:C。与O。相切于点P,
:.OP±CD,
又•.•△COD是等边三角形,
:.ZCOD=60°=ZOCD,CP=PD,
•:CD//AB,
:.OH.LAB,
:・AH=BH=3,
':ZCOD+ZAOB=\SO°,
AZAOB=120°,
u
:OA=OBf
:.ZOAB=ZOBA=30°,
:.AO=2OH,AH=4^JH=3,
:・OH=M,AO=2M=OB=OP,
VsinZOCD=空=返,
OC2
:.OC=4,
:.CP=PD=2,
■;AH=BH,PHLAB,
:.AP=BP,
•・•ZAOB=2ZAPB.
:.ZAPB=60°,
•••△4P3是等边三角形,
:.AP=BP=6,ZAPH=30°,
:・NAPE=60°,
AZEAP=30°,
・・.E尸=[尸=3,AE=y/^P=3M,
2
:.ED=EP+PD=5,
・・・AD=VAE2+DE2=也7+25=2后,
答案:C.
4.(2021•山西中考)如图,在。。中,45切。。于点4,连接。5交。。于点C,过点4作05交。。于点
D,连接CD.若N5=50°,则NOCQ为()
A.15°B.20°C.25°D.30°
解:连接。4如图,
切OO于点/,
:.OA±AB,
:.ZOAB^90°,
:48=50°,
:.ZAOB=90°-50°=40°,
/.ZADC=l-ZAOB=20o,
2
■:AD//OB,
:.ZOCD^ZADC^20°.
5.(2021•娄底中考)如图,直角坐标系中,以5为半径的动圆的圆心/沿x轴移动,当ON与直线/:只
有一个公共点时,点/的坐标为()
A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)
解:当ON与直线/:»=&只有一个公共点时,直线/与04相切,
12
设切点为2,过点2作于点E,如图,
12
'.OE=-m,BE=-^—m.
12
在Rt2\OE3中,tan//O8=^=_L.
OE12
•••直线/与ON相切,
:.AB±BO.
在RtZ\CM3中,tan/NO8=^=_L.
OB12
;AB=5,
.•.08=12.
•••°^=VAB2-K)B2=752+122=13-
:.A(-13,0).
同理,在x轴的正半轴上存在点(13,0).
综上所述,点/的坐标为(±13,0).
答案:D.
6.(2021•泰安中考)如图,在△45。中,AB=6,以点4为圆心,3为半径的圆与边5C相切于点。,与/C,AB
分别交于点E和点G,点尸是优弧GE上一点,ZCDE=1S°,则NG也的度数是()
B
D
A.50°B.48°C.45°D.36°
解:连接ZQ,〈Be与相切于点。,
:.AD±BC,
:.ZADB=ZADC=90°,
,.•45=6,AG=AD=3,
:.AD=1AB,
2
AZB=30°,
:.ZGAD=60°,
':ZCDE=\S°,
AZADE=90°-18°=72°,
•;AD=AE,
:.ZAED=ZADE=72°,
・・・/D4E=1800-ZADE-ZAED=lS0°-72°-72°=36°,
ZBAC=ZBAD+ZCAD=60°+36°=96°,
AZGFE=L/GAE=LX96°=48。,
答案:B.
7.(2021•河池中考)如图,在平面直角坐标系中,以M(2,3)为圆心,45为直径的圆与x轴相切,与〉轴交于
A,C两点,则点5的坐标是(4,3-弋亏).
解:设以45为直径的圆与1轴相切于点。,连接M),BC,
贝!jMZ)_Lx轴,
;点〃■的坐标为(2,3),
:.CE=BE=2,BM=DM=3,
为圆的直径,
:.AC±BC,
."C〃x轴,
J.MDVBC,
:.BC=2CE=4,CE=BE=2,
在中,由勾股定理得:ME=7BM2-BE2=732-22=
:.DE=MD-ME=3-遍,
...点8的坐标为(4,3-巡),
答案:(4,3-遥).
8.(2021•温州中考)如图,O。与△048的边48相切,切点为以将△048绕点2按顺时针方向旋转得到△(?'
A'B,使点。落在。。上,边A'5交线段/。于点C.若NT=25°,则NOC8=85度.
解::。。与△048的边48相切,
J.OBLAB,
:.ZOBA^90°,
连接OO',如图,
•.•△048绕点2按顺时针方向旋转得到△O'A'B,
:.ZA=ZA'=25°,ZABA'=ZOBO',BO=BO'
,:0B=00
.•.△O。'2为等边三角形,
J.Z.OBO'=60°,
:.ZABA'=60°,
:.ZOCB=Z.A+ZABC=250+60°=85
B
9.(2021•张家界中考)如图,△48C内接于。。,/4=50°,点。是8c的中点,连接。。,OB,OC,则
AZBOC=100°.
\'OB=OC,
:./\OBC为等腰三角形,
又•.•。为8C中点,
为3c上中线,
根据等腰三角形三线合一性质可得OD为/BOC的平分线,
ZBOD=l.ZBOC^50o.
2
答案:50°
10.(2021•荆州中考)如图,N8是。。的直径,/C是。。的弦,OD_L/C于。,连接OC,过点。作。/〃OC交
AB于F,过点2的切线交NC的延长线于£若40=4,DF==,则
2—2―
解:\'OD.LAC,4D=4,
:.AD=DC=4,
,:DF〃OC,。尸=包,
2
:.OC=2DF=5,
在RtZ\C8中,8=阮生子=便彳=3,
•:BE是OO的切线,
:.ABLBE,
U:ODLAD,
:.ZADO^ZABE,
•:/OAD=/EAB,
:.△AODS/\AEB,
•OD-ADpn3一4
BEABBE10
解得:BE=^-,
2
答案:生.
2
11.(2021•德阳中考)如图,已知:为。。的直径,。。交△NBC于点。、E,点尸为/C的延长线上一点,且
/CBF=LNBOE.
2
(1)求证:BF是OO的切线;
(2)若/8=4如,NCBF=45°,BE=2EC,求4D和CF的长.
NBAE=/CBF,
・・・/B为OO的直径,
;.NAEB=90°,
AZBAE+ZABE=90°,
:・NABE+NCBF=90°,
即N/5/=90°,
C.BFLAB,
・・・8/是。。的切线;
ZCBF=45°,
NABE=9。。-NCBF=45°,
在RtZ\/5£中,AB=4&,
:.AE=BE=4y/2xsin45°=4,
■:BE=2EC,
:,EC=2,BC=6,
在Rt^CBG中,ZCBG=45°,BC=6,
:・CG=BG=3近
':CG±BFfBFLAB,
:・AB〃CG,
:.△FCGs&AB,
・CG=FG
**ABBF,
•FG,
啦FG+3加,
."G=9圾,
:.BF=\2®
在RtZXFCG中,CF=JCG2+FG2=675-
在RtZ\/8尸中,AF=JAB2+BF2=8V5,
为O。的直径,
/.ZADB=90°,
又:ZBAD=ZBAF,
cosZBAD=cos/BAF,
即旦L=延,
ABAF_
-AD=V2
"472
;./。=生叵
5
12.(2021•郴州中考)如图,△ABC是O。的内接三角形,NC是O。的直径,点。是前的中点,DE〃BC交AC
的延长线于点E.
(1)求证:直线与。。相切;
(2)若。。的直径是10,N/=45°,求CE的长.
(1)证明:连接如图,
:点。是黄的中点,
:.ODLBC,
'JDE//BC,
C.ODLDE,
直线与OO相切;
(2)解::/C是O。的直径,
Z5=90°,
VZA=45°,
:.ZACB=45°,
':BC//DE,
;./E=45°,
而/ODE=90°,
MODE为等腰直角三角形,
**•OE=yf0QD=5
:.CE=OE-OC=5近-5.
13.(2021•东营中考)如图,以等边三角形4BC的5c边为直径画圆,交4c于点。,于点R连接OR
且4方=1.
(1)求证:。/是。。的切线;
AZC=NZ=60。,
':OC=OD,
•••△OC。是等边三角形,
:.ZCDO=ZA=60°,
:.OD//AB,
'JDF^AB,
:.ZFDO=ZAFD=90°,
C.ODLDF,
.••D尸是。。的切线;
(2)解:':0D//AB,OC=OB,
.•.OD是△NBC的中位线,
VZAFD=90°,ZA=60°,
:.ZADF=30°,
:.CD=OD=AD=2AF=2,
在RtZUD尸中,由勾股定理得DF2=AD2-AF2=3,
在RtAODF中,由勾股定理得^西萨=电福动,
线段。尸的长为由.
14.(2021•济宁中考)如图,点C在以48为直径的O。上,点。是2c的中点,连接。。并延长交。。于点E,
作/EBP=ZEBC,BP交OE的延长线于点P.
(1)求证:P2是O。的切线;
(2)若NC=2,PD=6,求。。的半径.
解:(1)证明:为直径,
/.ZACB=90°,
又。为8c中点,。为48中点,
故OD=/AC,OD//AC,
:.ZODB=ZACB=90°.
;OB=OE,
:./OEB=/OBE,
又:NOEB=ZP+ZEBP,ZOBE=ZOBD+ZEBC,
NP+/EBP=/OBD+/EBC,
又/EBP=/EBC,
:.ZP=ZOBD.
VZBOD+ZOBD=90°,
;・NBOD+NP=90°,
:.ZOBP=9Q°.
又05为半径,
故心是。。的切线.
(2),.・力。=2,
由(1)得OD=-i-AC=L
又尸。=6,
:.P0=PD+OD=6+1=7.
VZP=ZP,ZBDP=ZOBP=90°,
△BDPsAOBP.
2
aBP_=DP_;gpBP=OP-DP=JX6=42,
OPBP
•\OB=jop2.Bp2=449-42=V7•
故OO的半径为
15.(2021•玉林中考)如图,。。与等边△/BC的边/C,48分别交于点。,E,NE是直径,过点。作。尸_L8C
于点F.
(1)求证:。尸是。。的切线;
(2)连接斯,当即是。。的切线时,求O。的半径,与等边△43C的边长°之间的数量关系.
(1)证明:连结OD,如图所示:
VZDAO=60°,OD=OA,
:.ADOA是等边三角形,
:.ZODA=ZC=60°,
:.OD//BC,
又,:NDFC=90°,
:.ZODF=9Q°,
J.ODLDF,
即。尸是。。的切线;
(2)设半径为r,等边△N3C的边长为a,
由(1)可知:AD=r,则CD=a-r,BE=a-2r
在RtZXCFD中,ZC=60°,CD=a-r,
•••CP=/(a-r>
:.BF=a-/(a-r>
又尸是O。的切线,
...△FEB是直
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