切线的性质与判定（解析版）-中考数学二轮复习难点题型专项突破

专题24切线的性质与判定

1.（2021•青岛中考）如图，AB是OO的直径，点E,C在。。上，点/是黄的中点，过点/画。。的切线，交

3c的延长线于点。，连接EC.若/4D8=58.5°,则N/CE的度数为（)

A.29.5°B.31.5°C.58.5°D.63°

解：是O。的切线,

J.BALAD,

；//。2=58.5°,

：.Z5=90°-ZADB=3>1.5°,

是。。的直径，

AZACB=90°,

AZBAC^90°-/5=58.5°,

:点/是能的中点，

J.BAA.EC,

：.ZACE=90°-ZBAC=31.5°,

答案：B.

2.（2021•湘潭中考）如图，8C为。。的直径，弦40,3c于点E,直线/切O。于点C,延长。。交/于点厂,

若AE=2,/ABC=225°,则C尸的长度为（）

A.2B.2圾C.2«D.4

解：为。。的直径，弦/OL8C于点E,

AC=CD-AE=DE=2,

COD=2//8C=45°,

:.AOED是等腰直角三角形，

：.OE=ED=2,

OD—+22=2^"^,

•.•直线/切（DO于点C,

：.BCLCF,

/.△OCF是等腰直角三角形，

：.CF=OC,

,：OC=OD=2近,

，CF=2圾，

答案：B.

3.（2021•遵义中考）如图，是。。的弦，等边三角形。CD的边CD与。。相切于点尸，且CD〃/2,连接。4,

OB,OP,AD.若/COZ）+//O8=180°,AB=6,则的长是（）

B.3-/^C.2713D.713

解：如图，延长尸。交于，，连接/尸，BP,过点N作交。C的延长线于E,

:C。与O。相切于点P,

：.OP±CD,

又•.•△COD是等边三角形,

：.ZCOD=60°=ZOCD,CP=PD,

•：CD//AB,

：.OH.LAB,

:・AH=BH=3,

'：ZCOD+ZAOB=\SO°,

AZAOB=120°,

u

：OA=OBf

：.ZOAB=ZOBA=30°,

:.AO=2OH,AH=4^JH=3,

：・OH=M，AO=2M=OB=OP,

VsinZOCD=空=返，

OC2

：.OC=4,

:.CP=PD=2,

■;AH=BH,PHLAB,

：.AP=BP,

•・•ZAOB=2ZAPB.

：.ZAPB=60°,

•••△4P3是等边三角形，

：.AP=BP=6,ZAPH=30°,

：・NAPE=60°,

AZEAP=30°,

・・.E尸=［尸=3,AE=y/^P=3M，

2

：.ED=EP+PD=5,

・・・AD=VAE2+DE2=也7+25=2后，

答案：C.

4.（2021•山西中考）如图，在。。中，45切。。于点4,连接。5交。。于点C,过点4作05交。。于点

D,连接CD.若N5=50°,则NOCQ为（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

解：连接。4如图，

切OO于点/,

：.OA±AB,

：.ZOAB^90°,

：48=50°,

：.ZAOB=90°-50°=40°,

/.ZADC=l-ZAOB=20o,

2

■:AD//OB,

：.ZOCD^ZADC^20°.

5.（2021•娄底中考）如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心/沿x轴移动，当ON与直线/：只

有一个公共点时，点/的坐标为（）

A.(-12,0)B.(-13,0)C.(±12,0)D.(±13,0)

解：当ON与直线/：»=&只有一个公共点时，直线/与04相切,

12

设切点为2，过点2作于点E,如图，

12

'.OE=-m,BE=-^—m.

12

在Rt2\OE3中，tan//O8=^=_L.

OE12

•••直线/与ON相切，

：.AB±BO.

在RtZ\CM3中，tan/NO8=^=_L.

OB12

；AB=5,

.•.08=12.

•••°^=VAB2-K）B2=752+122=13-

：.A（-13,0）.

同理，在x轴的正半轴上存在点（13,0）.

综上所述，点/的坐标为（±13,0）.

答案：D.

6.（2021•泰安中考）如图，在△45。中，AB=6,以点4为圆心，3为半径的圆与边5C相切于点。，与/C,AB

分别交于点E和点G,点尸是优弧GE上一点，ZCDE=1S°,则NG也的度数是（）

B

D

A.50°B.48°C.45°D.36°

解：连接ZQ,〈Be与相切于点。，

：.AD±BC,

：.ZADB=ZADC=90°,

,.•45=6,AG=AD=3,

:.AD=1AB,

2

AZB=30°,

：.ZGAD=60°,

'：ZCDE=\S°,

AZADE=90°-18°=72°,

•；AD=AE,

：.ZAED=ZADE=72°,

・・・/D4E=1800-ZADE-ZAED=lS0°-72°-72°=36°,

ZBAC=ZBAD+ZCAD=60°+36°=96°,

AZGFE=L/GAE=LX96°=48。,

答案：B.

7.(2021•河池中考)如图，在平面直角坐标系中，以M(2,3)为圆心，45为直径的圆与x轴相切，与〉轴交于

A,C两点，则点5的坐标是(4,3-弋亏).

解：设以45为直径的圆与1轴相切于点。，连接M),BC,

贝！jMZ)_Lx轴，

;点〃■的坐标为（2,3）,

：.CE=BE=2,BM=DM=3,

为圆的直径，

：.AC±BC,

."C〃x轴,

J.MDVBC,

：.BC=2CE=4,CE=BE=2,

在中，由勾股定理得：ME=7BM2-BE2=732-22=

：.DE=MD-ME=3-遍，

...点8的坐标为（4,3-巡），

答案：（4,3-遥）.

8.（2021•温州中考）如图，O。与△048的边48相切，切点为以将△048绕点2按顺时针方向旋转得到△（?'

A'B,使点。落在。。上，边A'5交线段/。于点C.若NT=25°,则NOC8=85度.

解：:。。与△048的边48相切，

J.OBLAB,

：.ZOBA^90°,

连接OO',如图，

•.•△048绕点2按顺时针方向旋转得到△O'A'B,

：.ZA=ZA'=25°,ZABA'=ZOBO',BO=BO'

,：0B=00

.•.△O。'2为等边三角形,

J.Z.OBO'=60°，

：.ZABA'=60°,

：.ZOCB=Z.A+ZABC=250+60°=85

B

9.（2021•张家界中考）如图，△48C内接于。。，/4=50°,点。是8c的中点，连接。。，OB,OC,则

AZBOC=100°.

\'OB=OC,

：./\OBC为等腰三角形，

又•.•。为8C中点，

为3c上中线，

根据等腰三角形三线合一性质可得OD为/BOC的平分线，

ZBOD=l.ZBOC^50o.

2

答案：50°

10.（2021•荆州中考）如图，N8是。。的直径，/C是。。的弦，OD_L/C于。，连接OC,过点。作。/〃OC交

AB于F,过点2的切线交NC的延长线于£若40=4,DF==,则

2—2―

解：\'OD.LAC,4D=4,

：.AD=DC=4,

,:DF〃OC,。尸=包，

2

：.OC=2DF=5,

在RtZ\C8中，8=阮生子=便彳=3,

•:BE是OO的切线，

：.ABLBE,

U：ODLAD,

：.ZADO^ZABE,

•：/OAD=/EAB,

：.△AODS/\AEB,

•OD-ADpn3一4

BEABBE10

解得:BE=^-,

2

答案：生.

2

11.(2021•德阳中考)如图，已知：为。。的直径，。。交△NBC于点。、E,点尸为/C的延长线上一点，且

/CBF=LNBOE.

2

(1)求证：BF是OO的切线；

(2)若/8=4如，NCBF=45°,BE=2EC,求4D和CF的长.

NBAE=/CBF,

・・・/B为OO的直径，

；.NAEB=90°,

AZBAE+ZABE=90°,

:・NABE+NCBF=90°,

即N/5/=90°,

C.BFLAB,

・・・8/是。。的切线；

ZCBF=45°,

NABE=9。。-NCBF=45°,

在RtZ\/5£中，AB=4&,

：.AE=BE=4y/2xsin45°=4,

■:BE=2EC,

:,EC=2,BC=6,

在Rt^CBG中，ZCBG=45°,BC=6,

:・CG=BG=3近

'：CG±BFfBFLAB,

:・AB〃CG,

：.△FCGs&AB,

・CG=FG

**ABBF，

•FG,

啦FG+3加，

."G=9圾，

:.BF=\2®

在RtZXFCG中，CF=JCG2+FG2=675-

在RtZ\/8尸中，AF=JAB2+BF2=8V5，

为O。的直径，

/.ZADB=90°,

又：ZBAD=ZBAF,

cosZBAD=cos/BAF,

即旦L=延，

ABAF_

-AD=V2

"472

;./。=生叵

5

12.(2021•郴州中考)如图，△ABC是O。的内接三角形，NC是O。的直径，点。是前的中点，DE〃BC交AC

的延长线于点E.

(1)求证：直线与。。相切；

(2)若。。的直径是10,N/=45°,求CE的长.

(1)证明：连接如图，

:点。是黄的中点，

：.ODLBC,

'JDE//BC,

C.ODLDE,

直线与OO相切；

(2)解：:/C是O。的直径,

Z5=90°,

VZA=45°,

：.ZACB=45°,

'：BC//DE,

；./E=45°,

而/ODE=90°,

MODE为等腰直角三角形,

**•OE=yf0QD=5

:.CE=OE-OC=5近-5.

13.(2021•东营中考)如图，以等边三角形4BC的5c边为直径画圆，交4c于点。，于点R连接OR

且4方=1.

(1)求证：。/是。。的切线；

AZC=NZ=60。，

'：OC=OD,

•••△OC。是等边三角形,

：.ZCDO=ZA=60°,

：.OD//AB,

'JDF^AB,

：.ZFDO=ZAFD=90°,

C.ODLDF,

.••D尸是。。的切线；

(2)解：'：0D//AB,OC=OB,

.•.OD是△NBC的中位线，

VZAFD=90°,ZA=60°,

：.ZADF=30°,

：.CD=OD=AD=2AF=2,

在RtZUD尸中，由勾股定理得DF2=AD2-AF2=3,

在RtAODF中，由勾股定理得^西萨=电福动，

线段。尸的长为由.

14.(2021•济宁中考)如图，点C在以48为直径的O。上，点。是2c的中点，连接。。并延长交。。于点E,

作/EBP=ZEBC,BP交OE的延长线于点P.

(1)求证：P2是O。的切线；

(2)若NC=2,PD=6,求。。的半径.

解：(1)证明：为直径，

/.ZACB=90°,

又。为8c中点，。为48中点,

故OD=/AC，OD//AC,

：.ZODB=ZACB=90°.

；OB=OE,

：./OEB=/OBE,

又：NOEB=ZP+ZEBP,ZOBE=ZOBD+ZEBC,

NP+/EBP=/OBD+/EBC,

又/EBP=/EBC,

：.ZP=ZOBD.

VZBOD+ZOBD=90°,

；・NBOD+NP=90°,

：.ZOBP=9Q°.

又05为半径，

故心是。。的切线.

(2),.・力。=2,

由(1)得OD=-i-AC=L

又尸。=6,

：.P0=PD+OD=6+1=7.

VZP=ZP,ZBDP=ZOBP=90°,

△BDPsAOBP.

2

aBP_=DP_；gpBP=OP-DP=JX6=42,

OPBP

•\OB=jop2.Bp2=449-42=V7•

故OO的半径为

15.(2021•玉林中考)如图，。。与等边△/BC的边/C,48分别交于点。，E,NE是直径，过点。作。尸_L8C

于点F.

(1)求证：。尸是。。的切线；

(2)连接斯，当即是。。的切线时，求O。的半径，与等边△43C的边长°之间的数量关系.

(1)证明：连结OD,如图所示:

VZDAO=60°,OD=OA,

:.ADOA是等边三角形，

：.ZODA=ZC=60°,

：.OD//BC,

又,：NDFC=90°,

：.ZODF=9Q°,

J.ODLDF,

即。尸是。。的切线；

(2)设半径为r,等边△N3C的边长为a,

由(1)可知：AD=r,则CD=a-r,BE=a-2r

在RtZXCFD中，ZC=60°,CD=a-r,

•••CP=/(a-r>

:.BF=a-/(a-r>

又尸是O。的切线，

...△FEB是直