人教B版高中数学必修三同步讲义：角的推广（学生版+解析）

第01讲角的推广

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握角的推广定义，理解正角、负角、零1.掌握角的推广定义和性质，能够判断一个角是正角、

角的定义及其性质。负角还是零角，并能够进行简单的计算。

2.掌握象限角的概念，理解终边相同的角的2.理解象限角和终边相同的角的概念，掌握它们的表示

概念及其表示方法。方法，能够进行简单的判断和计算。

3.通过实例了解任意角在现实生活中的应3.通过实例了解任意角在现实生活中的应用，提高解决

用，如时钟指针的旋转、自行车轮的旋转等。实际问题的能力。

02思维导图

L

任意角的定义

任意角的概念

，终边相同的角

象限角及其集合表示题型

确定已知角所在的象限

轴线角及其集合表示;判断n倍角象限

判断n分角所在象限

知识清单

知识点01任意角的定义

1.任意角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

2.角的表示:

（1）始边：射线的起始位置3.

（2）终边：射线的终止位置OB.

（3）顶点：射线的端点O.

（4）记法：图中的角a可记为“角a”或“No”或“ZAOB”.

3.角的分类：

（1）正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

（3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角

4.角的加减运算的几何意义.

设a,夕是任意两个角，把角a的终边旋转角〃，这时终边所对应的角A（B）是

a+13-,把角a的终边旋转角-"，这时终边所对应的角是a-尸

【即学即练1】

1.（24-25高一上•全国•课后作业）若将钟表调慢5min,则分针转动角为（）

A.60°B.30°C.-60°D.-30°

2.（24-25高一上•全国•课后作业）将一条射线绕着其端点逆时针旋转208。，再顺时针旋转60。，则形成

的角的度数为.

知识点02象限角及其集合表示

1.终边相同的角

所有与角。终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合$=仍|尸=a+h360°«eZ｝,即任一与

角a终边相同的角，都可以表示成角。与整个周角的和.

【解读】对于集合S｛用能+k380。，AGZ｝的理解应注意三点：

（1）«是任意角.

（2）"GZ”有三层含义：

①特殊性：左每取一个整数值就对应一个具体的角；

②一般性：表示所有与角a终边相同的角（包括a自身）；

③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，左取正整数时，逆时针旋转；左取负整

数时，顺时针旋转；如时，没有旋转.

（3）集合中“左380。”与“a”之间用“+”连接，如一30。+左380。应看成（一30。）+左380。，表示与一30。角终边

相同的角.

2.象限角的定义

在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就

说这个角是第几象限的角。

3.象限角的集合表示

象限角集合表示

第一象限角{Xk-360<a<k-360。+90°,上ez}

第二象限角{x|H360+90<a<k•360°+180,左ezj

第三象限角{戈|心360+180<a<k-360+270,k&z]

第四象限角{N人3600+270<a<k•360°+360°,左ezj

【即学即练211.（24-25高一上•河北邢台・阶段练习）2025。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2.（23-24高一下•安徽淮北•阶段练习）角戊=45。+h180。（左eZ）的终边落在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

知识点03轴线角及其集合表示

1、轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与无轴的正半轴重合，角的终边在坐

标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。

2、轴线角的集合表示

角的终边位置集合表示

X轴的非负半轴\p\/3=kx36ff,k&z}

X轴的非正半轴加|/?=女x360°+180°,上ez}

X轴上加|夕=左xl80。,左ez}

y轴非负半轴{^|^=^x360°+90°,^ez}

y轴非正半轴物|£=以360。-90。,无ez)

y轴上\p\/3=kxl80°+90°,k&z}

【即学即练3】若角用的终边相同，则的终边在（）.

A.x轴的正半轴上B.x轴的负半轴上C.y轴的正半轴上D.y轴的负半轴上

2

04题型精讲

题型01任意角的概念

【典例1】（23-24高一上•上海•阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于日的角一定是锐角；

②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题

的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式1］（24-25高一上•全国•课后作业）若角a=30。，把角a逆时针旋转20。得到角£,则.

【变式2】（25-26高一上•全国,课后作业）下列说法中正确的个数是（）

①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90。的角都是

锐角.

A.1B.2C.3D.4

题型02终边相同的角

【典例2］（24-25高一上•安徽阜阳•期中）角a的终边与65。的终边关于丫轴对称，则。=（）

A.左.180。一65。(keZ)B.公360。一65。（左eZ）

C.公180°+115°(左eZ)D.fc-360°+115°(fceZ)

【变式1】（24-25高一上,全国,课后作业）下列选项中两个角终边相同的一组为（）

A.35°和575°B.-72°和198°

C.147。和957。D.-234°和一954°

【变式2］（24-25高一上•黑龙江绥化•阶段练习）在0°~360°的范围内，与-510°终边相同的角是（

A.330,B.30°C.150°D.210,

【变式3】（24-25高一上•全国•课后作业）与-660。角终边相同的最小正角是最大负角是.

题型03确定已知角所在的象限

【典例3］（24-25高一上•广东东莞・期中）-2024。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【变式1］（24-25高三上•黑龙江佳木斯•阶段练习）已知角£=1370。，则角a的终边落在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【变式2］（24-25高一上•全国,随堂练习）2024。角是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【变式3】（24-25高一上•全国,课后作业）（多选）下列命题，为真命题的是（）

A.-75。角是第四象限角B.225。角是第三象限角

C.475。角是第二象限角D.-225。角是第一象限角

题型04判断〃倍角象限

【典例4］（23-24高一上•河北保定•期中）（多选）设C为第二象限角，则2a可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【变式1］（22-23高一上•吉林长春•期末）若角。是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（

A.~aB-180°C.a-270°D.2a

°

【变式2］（多选）角|■的终边在第三象限,则e的终边可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.y轴非负半轴D.第三或四象限

题型05判断〃分角所在象限

【典例5】（23-24高一下•上海•期中）若a是第二象限角，则（）

A.券是第一象限角B.3是第一或第三象限角

C.多是第二象限角D.券是第二或第四象限角

a

【变式1】（23-24高一下•江西吉安•期末）（多选）已知上•360°＜。＜90°+公360°,keZ,那么§的终边可

能位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【变式2】（23-24高一下•江西•阶段练习）如图,若角a的终边落在阴影部分，则角言的终边可能在（)

C.第三象限D.第四象限

强化训练

一、单选题

1.（22-23高一下•全国•课后作业）下列说法正确的有几个（）

（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于0。小于90。的角；

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.（22-23高一•全国•课后作业）下列说法中正确的是（）

A.第一象限的角是锐角B.小于90。的角是锐角

C.第二象限角必大于第一象限角D.相等的角终边必定重合

3.（23-24高三上•海南省直辖县级单位•阶段练习）若a是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（）

A.90。一aB.90。+aC.360°-aD.3600+a

4.（24-25高一上•全国•课后作业）已知角。和角则下列说法正确的是（）

A.若角a是第一象限角，则角a是锐角

B.若角£和角尸的终边相同，则a=£

C.若角a和角力分别是角0。的终边绕端点。按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则a+尸=0

D.若角6的终边在第二象限，则角力是钝角

5.（23-24高一下•广东广州•课后作业）设集合卜=45。+3*180。欢€2,,

N=1x|x=45°+Axl80°,左eZ，那么（）

A.M=NB.NyM

C.MjND.McN=0

6.（24-25高一上•上海•课后作业）集合加="|》=七90。±45。,丘2｝与集合「=同彳=%45。即©2｝之间的

关系为（）

A.MuPB.PuMC.M=PD.McP=0

7.（23-24高三下・甘肃•阶段练习）集合A=｛（z[&=-2024。+公180。,左€2｝中的最大负角a为（）

A.-2024°B.-224°C.-44°D.-24°

8.（22-23高一上•全国•课后作业）射线Q4绕端点。逆时针旋转120。到达08位置，由03位置绕端点。旋

转到达OC位置，得NAOC=-150。，则射线03旋转的方向与角度分别为（）

A.逆时针，270°B.顺时针，270°

C.逆时针，30°D.顺时针，30°

二、多选题

9.（22-23高一下•四川遂宁•阶段练习）下列说法错误的是（）

A.钝角是第二象限角B.第二象限角比第一象限角大

C.大于90。的角是钝角D.-165。是第二象限角

10.（23-24高一上•江苏宿迁•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.锐角都是第一象限角B.第二象限角都比第三象限角小

C.角a与角尸不等，则两角的终边不同D.若角a与角尸终边相同，则尸=人360。+%左eZ

11.（23-24高一上•江苏淮安•阶段练习）下列说法中正确的是（）

A.锐角是第一象限角B.第二象限角为钝角

C.小于90。的角一定为锐角D.角。与-a的终边关于x轴对称

三、填空题

12.（23-24高一下•上海徐汇・期中）1860。的角属于第象限.

13.（24-25高一上•上海•随堂练习）给出下列四个命题：①-75。角是第四象限的角；②225。角是第三象限

的角；③475。角是第二象限的角；④-315。是第一象限的角.其中真命题有个.

14.（22-23高一•全国•随堂练习）如果角a为锐角，那么左」80。+。，所在的象限是.

四、解答题

15.（24-25高一上•全国,课后作业）已知角夕=30。.

⑴求在-360。~0。范围内与角a终边相同的角；

⑵若角£与角。终边相同，判断角，是第几象限角.

16.（24-25高一上•全国•课后作业）已知夕=-2022。.

⑴把。写成£+上360。，keZ,0。W/?<360。的形式，并指出它是第几象限角；

（2）求。，使。与口的终边相同，M-7200^6><0°.

第01讲角的推广

「学习目标

01

课程标准学习目标

1.掌握角的推广定义，理解正角、负角、零1.掌握角的推广定义和性质，能够判断一个角是正角、

角的定义及其性质。负角还是零角，并能够进行简单的计算。

2.掌握象限角的概念，理解终边相同的角的2.理解象限角和终边相同的角的概念，掌握它们的表示

概念及其表示方法。方法，能够进行简单的判断和计算。

3.通过实例了解任意角在现实生活中的应3.通过实例了解任意角在现实生活中的应用，提高解决

用，如时钟指针的旋转、自行车轮的旋转等。实际问题的能力。

02思维导图

任意角的定义

任意角的概念

象限角及其集合表示终边相同的角

确定已知角所在的象限

轴线角及其集合式示判断n倍角象限

判断n分角所在象限

03知识清单

知识点01任意角的定义

1.任意角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

2.角的表示：

(1)始边：射线的起始位置。L

(2)终边：射线的终止位置03.

(3)顶点：射线的端点O.

(4)记法：图中的角a可记为“角a”或“N。”或“ZAO3”.

3.角的分类：

(1)正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；

(2)负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；

（3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角

4.角的加减运算的几何意义#

设a,"是任意两个角，把角a的终边旋转角广，这时终边所对应的角是

a+13-,把角a的终边旋转角-"，这时终边所对应的角是a-6

【即学即练1】

1.（24-25高一上•全国•课后作业）若将钟表调慢5min,则分针转动角为（）

A.60°B.30°C.-60°D.-30°

【答案】C

【分析】根据分针转一圈80min共360。求解即可.

【详解】分针转一圈80min共360。，将钟表的分针调慢5min,为逆时针，

则分针逆时针转过之x360。=30°.

2.（24-25高一上•全国•课后作业）将一条射线绕着其端点逆时针旋转208。，再顺时针旋转60。，则形成

的角的度数为.

【答案】148。

【分析】根据任意角的概念得到所形成的角的度数.

【详解】由题知所形成的角的度数为208°-60。=148°.

故答案为：148。

知识点02象限角及其集合表示

1.终边相同的角

所有与角。终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合5=｛川尸=戊+小360。水€2｝,即任一与

角«终边相同的角，都可以表示成角«与整个周角的和.

【解读】对于集合S｛用能+k380。，ZGZ｝的理解应注意三点：

（l）a是任意角.

（2）*ez”有三层含义：

①特殊性：左每取一个整数值就对应一个具体的角；

②一般性：表示所有与角a终边相同的角（包括a自身）；

③从几何意义上看，左表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，左取正整数时，逆时针旋转；上取负整

数时，顺时针旋转；⑶时，没有旋转.

（3）集合中“左380。”与“a”之间用“+”连接，如一30。+左380。应看成（一30。）+及380。，表示与一30。角终边

相同的角.

2.象限角的定义

在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就

说这个角是第几象限的角。

3.象限角的集合表示

象限角集合表示

第一象限角{Xk-360<a<k-3600+90,keZ|

第二象限角何女・360+90<a<k・3600+180,左£z}

第三象限角{司人・360°+180<a<k•360+270,左GZ}

第四象限角1x|k-360°+270°<a<左•360+360,keZj

【即学即练2】1.（24-25高一上•河北邢台•阶段练习）2025。是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【分析】根据终边相同的角判断象限角.

【详解】因为2025。=5*360。+225。，225。终边在第三象限，所以2025。是第三象限角.

2.（23-24高一下•安徽淮北•阶段练习）角a=45。+公180。（左eZ）的终边落在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】AC

【分析】分左为奇数、偶数两种情况讨论，分别判断角所在的象限.

【详解】当左=2〃z+l（"zeZ）时，«=2mxl80o+225°=mx360o+225°,故a为第三象限角;

当左=2〃z（〃zeZ）时，0=7/2x360。+45。，故e为第一象限角.

故角。的终边落在第一或第三象限.

C

知识点03轴线角及其集合表示

1、轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与无轴的正半轴重合，角的终边在坐

标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。

2、轴线角的集合表示

角的终边位置集合表示

X轴的非负半轴\j3\j3=kx360°,k&z\

X轴的非正半轴{/?|/?=^x360°+180°,jtez)

X轴上\p\j3=kxl8(T,kez\

y轴非负半轴\/3\j3=kx360°+90°,k&z]

y轴非正半轴物|£“上360。-90。,左ez)

y轴上物/=-180。+90。,丘2}

【即学即练3】若角。、夕的终边相同，则a-尸的终边在（）.

A.x轴的正半轴上B.x轴的负半轴上C.y轴的正半轴上D.y轴的负半轴上

【答案】A

【解析】因为角a,£的终边相同，所以&-6=左360。，keZ,

所以a-夕的终边落在x轴的正半轴上，.

题型精讲

04L—1

题型01任意角的概念

【典例1】（23-24高一上•上海•阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于彳的角一定是锐角；

②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题

的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】结合任意角的概念分析即可.

【详解】因为锐角ae（0°,90。），所以小于90。的角不一定是锐角，故①不不成立；

因为钝角£e（90°,180。），第二象限角〃€（90。+公360。,180。+公360。），kwZ,所以钝角一定是第二象限角,

故②不成立；

若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③不成立；

例如夕=120°,£=390°,但a（月，故④不不成立.

【变式1］（24-25高一上•全国•课后作业）若角a=30。，把角a逆时针旋转20。得到角0,则.

【答案】-20°

【分析】逆时针旋转得到的是正角，由此得到角£,再求出e-刀即可.

【详解】回角户是由角a逆时针旋转20。所得

"=a+20°=30°+20°=50°,

回夕―£=30°-50°=-20°.

故答案为：-20。.

【变式2］（25-26高一上•全国•课后作业）下列说法中正确的个数是（）

①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90。的角都是

锐角.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】由象限角、任意角以及锐角的概念逐一判断即可.

【详解】对于①，终边相同的角可以相差380。的整数倍，不一定相等，①错误；

对于②，钝角是大于90。且小于180。的角，一定是第二象限角，②正确；

对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确；

对于④，小于90。的角可以是锐角，也可以是负角，④错误.

综上，正确的个数是2.

题型02终边相同的角

【典例2](24-25高一上•安徽阜阳•期中)角a的终边与65。的终边关于，轴对称，则。=()

A.^-180°-65°(^eZ)B.公360。—65。优eZ)

C.fc-180°+115°(^eZ)D,^-360°+115°(fceZ)

【答案】A

【分析】先求与大小为65。的角的终边关于V轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求a即可.

【详解】因为大小为115。的角的终边与大小为65°的角的终边关于V轴对称，

所以1=公360。+115。(左eZ).

【变式1】(24-25高一上•全国,课后作业)下列选项中两个角终边相同的一组为()

A.35°和575°B.一72°和198°

C.147°和957°D.一234°和—954°

【答案】A

【分析】根据终边相同的角的知识求得正确答案.

【详解】由575°—35°=540°rF360°(JeZ),A错误;

198。+72°=270°W公360°(左eZ),B错误；

957°-147°=810°■360°eZ),C错误；

由于-234°-(-954°)=954°-234°=720°=360°x2,

所以-234。和-954。终边相同，D正确.

【变式2】(24-25高一上•黑龙江绥化•阶段练习)在0。~360°的范围内，与-510°终边相同的角是()

A.330。B.30°C.150°D.210°

【答案】A

【分析】由终边相同的角的表示尸=心360。+&,则尸,夕终边相同，再判断即可得解.

【详解】解:因为-510°=-720。+210。,

则在0°~360°的范围内，与-510°终边相同的角是210°.

【变式3】（24-25高一上•全国,课后作业）与-660。角终边相同的最小正角是;最大负角是

【答案】60°-300°

【分析】根据与角-660。终边相同的角是-6600+h360°（ZeZ）,对k取满足要求的整数可得解.

【详解】因为与角-660。终边相同的角是-660。+k.360。（左eZ）,

所以当左=2时，与角-660。终边相同的最小正角是60。.

当上=1时，与角-660。终边相同的最大负角是-300。.

故答案为：60°,-300°.

题型03确定已知角所在的象限

【典例3］（24-25高一上•广东东莞•期中）-2024°是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】C

【分析】分析可知-2024。的终边与136。的终边相同，结合象限角的定义可得结论.

【详解】因为-2024。=-6x360。+136。，可知-2024。的终边与136。的终边相同，

而136。为第二象限角，所以-2024。是第二象限角.

【变式1］（24-25高三上•黑龙江佳木斯•阶段练习）已知角£=1370。，则角a的终边落在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【分析】求出。与290。的角终边相同，从而得到得到答案.

【详解】1370°=360°八3+290°,故a与290。的角终边相同，

其中290。在第四象限，故角a的终边落在第四象限.

【变式2］（24-25高一上•全国•随堂练习）2024。角是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【分析】分析可知2024。的终边与224。的终边相同，结合象限角的定义分析判断.

【详解】因为2024。=5x360。+224。，可知2024。的终边与224。的终边相同，

且224。为第三象限角，所以2024。角是第三象限角.

【变式3】（24-25高一上•全国,课后作业）（多选）下列命题，为真命题的是（）

A.-75。角是第四象限角B.225。角是第三象限角

C.475。角是第二象限角D.-225。角是第一象限角

【答案】ABC

【分析】找出各角在0°〜360。范围内终边相同的角，由此可判断出各命题中角的象限.

【详解】对于A,Q-75°=285°-360°,285。是第四象限角，则-75。是第四象限角，A正确；

对于B,225。是第三象限角，B正确；

对于C475°=115°+360°,115。是第二象限角,则475。是第二象限角，C正确;

对于D,-225°=135°-360°,135。是第二象限角，则-225。是第二象限角，D错误.

BC.

题型04判断〃倍角象限

【典例4］（23-24高一上•河北保定•期中）（多选）设。为第二象限角，则2a可能是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

【答案】DD

【详解】a为第二象限角，故公360°+90°<。<入360°+180°化eZ）,

所以4h180°+180。<2（z<4k-180°+360°（左eZ），

所以2c可能是第三象限角，也可能是第四象限角，或y轴的负半轴.

D

【变式1］（22-23高一上•吉林长春•期末）若角。是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（）

A.~aB.i8o°-«C.«_270°D-2a

【答案】AC

【分析】利用不等式表示象限角，根据象限角的定义逐项判断可得答案.

【详解】因为角。是第二象限角，所以90。+公360。<0<180。+公360。，fceZ,

对于A，-180°-^-360°<«<-90°-）t-360okeZ'故一1是第三象限角，故A正确；

对于B,__k.360°<180°-a<-360°+90°>kwZ,故建。。—。是第一象限角，故B不正确；

对于C，-180°+^-360°<a-270°<k-360°-90°>keZ,故£_270°是第三象限角，故C正确；

对于D,］_80。+4左2tz<4左J8（F+36O。，&eZ,故2a是第三象限角或V轴负半轴上的角或第四象限角,

故D不正确.

C

【变式2］（多选）角的终边在第三象限，则e的终边可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.y轴非负半轴D.第三或四象限

【答案】ABC

°

【解析】•••角•I的终边在第三象限，

1800+入360°<-<270°+b360°,keZ,

2

360°+-720°<<540°+k-720°,keZ.

・•・。的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴.BC.

题型05判断〃分角所在象限

【典例5］（23-24高一下•上海•期中）若a是第二象限角，则（）

A.最是第一象限角B.■!•是第一或第三象限角

C.券是第二象限角D.最是第二或第四象限角

【答案】C

【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可.

ZV

【详解】由题意可知900+公360°<a<180°+公360°n45°+hl80°<5<90°+hl800（《eZ）,

当上为偶数时，45。+上180。终边为第一象限角平分线，9（）。+左.18/终边为纵轴正半轴，

当上为奇数时，45。+上180。终边为第三象限角平分线，90。+后.180°终边为纵轴负半轴，

即y的终边落在直线丁=%及V轴之间，即第一或第三象限.

0（

【变式工】（23-24高一下•江西吉安・期末）（多选）已知上•360°<a<90°+人360°,keZ,那么不的终边可

能位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】ABC

【分析】利用给定条件解出?的范围，再分类讨论求解即可.

【详解】由题意可得h360。<a<90°+H360。，kwZ,贝12h；0。<（<30。+2h；0。，keZ,

当左=3〃（“eZ）时，此时蓝的终边落在第一象限，故A正确；

当上=3〃+l（weZ）时，此时段的终边落在第二象限，故B正确；

当々=3"+2（〃eZ）时，此时/的终边落在第三象限，故C正确.

BC

【变式2】（23-24高一下•江西,阶段练习）如图，若角a的终边落在阴影部分，则角会的终边可能在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】AC

【分析】利用象限角的定义即可得解.

【详解】依题意,得上360°+40°Va〈h360°+100°,左eZ,

Of

所以左•180。+20。4—4左•180。+50。,左£Z,

2

当％为偶数时，2的终边在第一象限；当人为奇数时，1的终边在第三象限.

05强化训练

一、单选题

1.（22-23高一下•全国•课后作业）下列说法正确的有几个（）

（1）第一象限的角都是锐角；（2）锐角都是第一象限的角；（3）锐角是大于0。小于90。的角；

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【分析】根据角的定义及象限角的确定方法来解答.

【详解】第一象限角的集合为｛a10°+%•360。＜a＜90。+H360。,左eZ｝,

锐角是大于0°小于90。的角，锐角的集合为｛。|0°＜打＜90。｝,所以（1）错误，（2）正确，（3）正确,

2.（22-23高一•全国•课后作业）下列说法中正确的是（）

A.第一象限的角是锐角B.小于90。的角是锐角

C.第二象限角必大于第一象限角D.相等的角终边必定重合

【答案】A

【分析】根据角概念的推广逐项判断即可.

【详解】解：对于A,第一象限的角是指终边落在第一象限的角的集合，有正有负，而锐角仅指大于。。小

于90。的角，故不相同，故A错误；

对于B,小于90。的角还包含0。和负角，而锐角仅指大于0。小于90。的角，故不相同，故B错误；

对于C,例如120。为第二象限的角，361。为第一象限的角，显然不满足120。＞361。，故C错误；

对于D,相等的角终边必定重合，故D正确.

3.（23-24高三上•海南省直辖县级单位,阶段练习）若a是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是（）

A.90°B.90°+crC.360°-aD.3600+a

【答案】D

【分析】由题意，根据角的定义和象限角的概念可判断各个选项.

【详解】因为夕是第一象限角，所以-a是第四象限角，

贝190。-a是第一象限角，故A错误；90°+a是第二象限角，故B错误；

360。-a是第四象限角，故C正确；360。+a是第一象限角，故D错误.

4.（24-25高一上•全国•课后作业）已知角。和角£,则下列说法正确的是（）

A.若角a是第一象限角，则角a是锐角

B.若角。和角£的终边相同，则夕=尸

C.若角。和角户分别是角0。的终边绕端点。按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则a+£=0

D.若角月的终边在第二象限，则角£是钝角

【答案】D

【分析】根据任意角的概念逐项判断.

【详解】A,角a=360。+20。=380。，是第一象限角，但不是锐角，A错误；

B,角c=90。，角分=360。+90。=450。，则角a和尸的终边相同，但B错误；

C,0。的终边绕端点O按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的两个角互为相反角，C正确；

D,角方=120。+360。的终边在第二象限，则角£不是钝角，D错误.

5.（23-24高一下•广东广州•课后作业）设集合加=]%卜=45。+3、180。,左©2；,

N=卜=45°+：xl80°,大eZ,那么（）

A.M=NB.NjM

C.MjND.McN=0

【答案】D

【分析】变形表达式为相同的形式，利用集合间的关系，比较可得.

【详解】由题意得用=］彳卜=45。+：、180。水€2

=｛九|%=（2左+1）x45°,左wZ｝,

即M是由45°的奇数倍构成的集合，

又N=,x|x=45°+：xl80°#ez｝

=｛尤|x=（左+1）x45°,左wZ｝,

即N是由45。的整数倍构成的集合，

则MUN,

6.（24-25高一上•上海•课后作业）集合河=｛尤［%=左-90945。,上eZ｝与集合P=｛尤|%=底45。即€2｝之间的

关系为（）

A.MuPB.PuMC.M=PD.A/cP=0

【答案】A

【分析】根据题意，由条件可得集合M,P分别表示45。的奇数倍与45。的整数倍，即可得到”,P的关系.

【详解】对于集合彳=45。（2左±1）,keZ,表示45。的奇数倍，

对于集合P,x=m-4-5°,/TIGZ,表示45。的整数倍，

所以MuP

7.（23-24高三下•甘肃•阶段练习）集合A=｛4£=-2024。+上180。次eZ｝中的最大负角。为（）

A.-2024°B.-224°C.-44°D.-24°

【答案】D

【分析】利用任意角的定义与集合A所表示的角即可得解.

【详解】因为-2024。==14。—11x180°,

所以集合4=｛司a=-2024。+公180。水eZ｝中的最大负角。为⑷。.

8.（22-23高一上•全国•课后作业）射线绕端点。逆时针旋转120。到达OB位置，由03位置绕端点。旋

转到达OC位置，得NAOC=T50。，则射线03旋转的方向与角度分别为（）

A.逆时针，270°B.顺时针，270°

C.逆时针，30°D.顺时针，30°

【答案】C

【分析】由题意可得NAOB=120。，ZAOC=ZAOB+ZBOC=-150°,从而可求出/BOC,进而可得答案.

【详解】由题意可得NAO3=120。，设N3OC=。，则

ZAOC=ZAOB+ZBOC=120°+。=-150。，

解得8=—270。，

所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°，

二、多选题

9.（22-23高一下•四川遂宁•阶段练习）下列说法错误的是（）

A.钝角是第二象限角B.第二象限角比第一象限角大

C.大于90°的角是钝角D.-165°是第二象限角

【答案】CCD

【分析】利用象限角的概念可判断ABD选项；取390。可判断C选项.

【详解】对于A选项，钝角a的范围是90。<a<180。，

第二象限角户的取值范围是左secr+goov/?〈人SGOUlgO。住eZ）,

因为｛a|900<e<180。｝｛划入360。+90。<£<h360。+180°,左ez｝,

所以，钝角是第二象限角，A对；

对于B选项，120。是第二象限角，390。是第一象限角，但120。<390。，B错；

对于C选项，390>9。，但