高等数学教程 下册（第4版）课件：多元函数微分学及其应用

多元函数微分学及其应用10.1多元函数的极限与连续直角坐标系中,10.1.1n维空间一元函数的定义域可用数轴上的点来表示,记R2

为二元数组(x,y)的全体,称为二维空间,平面上的点与二元数组(x,y)一一对应.在平面在空间直角坐标系中,类似地,空间上的点与三元数组(x,y,z)R3为三元数组(x,y,z)的全体,一一对应,称为三维空间.n元有序数组

n维空间中的每一个元素称为n维空间中两点间的距离定义为记作一般地,设n为正整数,的全体称为n维空间,空间中的一个点.

邻域:设P0(x0,y0)是

xOy平面上的一个点,几何表示：Oxy.

P0令有时简记为称为

将邻域去掉中心,称为空心邻域.记为我们先讨论平面上的点集.内点:显然,E的内点属于E.边界点:如点P的任一邻域内则称P为E的边界点.设E为一平面点集,若存在则称P为E的内点.E的边界点的全体称为E的边界.既有属于E的点,也有不属于E的点,例如,设点集则P为E的内点;则P为E的边界点.E的边界为集合聚点:如果点P的任何空心邻域都有E中的点,则称P是E的聚点.开集:若E的任意一点都是内点,则称E为开集.例如,为开集,为闭集,既不是开集也不是闭集.设点集

,则称E为闭集.如果E的补集是开集，设D是开集,连通的开集称区域或开区域.如果D内任何两点,都可用折线连且该折线上的点都属于D,则称D是连通的.如都是区域.结起来,开区域连同它的边界一起,称为闭区域.有界区域:否则,称为无界区域.都是闭区域.如总可以被包围在一个以原点为中心、半径适当大的圆内的区域,为D的直径.有界闭区域的直径：

设D是有界闭区域,称称为有界区域.有关邻域、区域等概念可推广到

n维空间.都有唯一确定的z与之点集D称为该函数称为该函数的值域.则称z是x,y的二元函数.定义若对于D中设D是xOy平面上的点集,任意取定一个点P(x,y),对应,记为称x,y为自变量,的定义域,数集z为因变量,10.1.2多元函数的极限二元及二元以上的函数统称为多元函数.多元函数定义域类似地,可定义n元函数变量取值的全体.抽象的函数:定义域为使运算有意义的自变量取实际问题中的函数:定义域为符合实际意义的自值的全体.例1

求

的定义域．解所求定义域为二元函数的图形这个点集称为二元函数的图形.当x、y取遍D上一切点时,得一个空间点集,对应的函数值为取定的这样,以

x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标设函数的定义域为D,对于任意在空间就确定一点二元函数的图形通常是一张曲面例如,图形如右图.例如,图形是球面.单值分支:定义域记作定义10.1设二元函数在D有定义,有成立.时的极限.P0(x0,y0)是

D的聚点.A为常数,也记作如果说明:(1)二元函数的极限也称二重极限;(2)二元函数的极限运算法则与一元函数类似;称为二次极限;(3)与(4)欲证明极限存在,常用定义或夹挤定理;(5)类似地,可以给出n元函数极限的定义.Oxy(1)

P(x,y)趋向于P0(x0,y0)的方向有任意多个,路径又是多种多样的.Oxy注:(2)动点P(x,y)与定点P0(x0,y0)之间的距离记为总可以用来表示极限过程不论的过程多复杂,例2

设函数是否存在.解令故极限存在,且讨论极限例3

求极限

解令则例4

求极限

解其中由夹挤定理

例5设函数讨论极限

是否存在.解取其值随k的不同而变化,故极限不存在.定义10.2设函数z=(x,y)在点P0(x0,y0)有定义.10.1.3多元函数的连续性设D

为平面点集.如果则称z=f(x,y)在点(x0,y0)连续.每一点都连续,如果z=f(x,y)在D

的则称z=f(x,y)在D

连续.例6

讨论函数在点(0,0)处的连续性．解由例5知,故函数在(0,0)处不连续.极限

不存在,多元初等函数:定理10.1多元初等函数在其定义区域内是连续的.定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.定理10.2如果z=f(x,y)在有界闭区域D

上由常数及基本初等函数经过有并且可以取到最大值和最小值之间的任意值.限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称为多元初等函数.连续,则z=f(x,y)在D

上有最大值和最小值,函数定义区域为例7

求解故且10.2偏导数10.2.1偏导数的概念及其计算法

例如,二元函数

z=f(x,y),先让

y固定

(即y为了一元函数的变化率,我们引入了导数的概念.对于多元函数,我们先考虑它关于一个自变量的变化率.称为二元函数

z

对

x的偏导数.视为常数),这时z就是

x的一元函数,z对

x的导数,设二元函数z=f(x,y),P0(x0,y0)为平面上一点.定义1如果z=f(x,y0)在x0的某一邻域内有定义且在x0点即极限存在,则称此极限为函数对x的偏导数,记为或可导,同理,可定义函数

在点

处对y的偏导数为记为或的偏导数,

如果函数

z=f(x,y)在区域D

内任一点

(x,y)处那么这个偏导数就是x、y的

同理,可以定义函数

对自变量

y简称偏导数.函数,记作或记作或有时也会记做.请注意根据上下文区分.对x的偏导数都存在,

称其为函数z=f(x,y)对自变量

x的偏导函数，求多元函数的偏导数并不需要新的方法,利用一元函数的求导法对x求导即可.解例1求

在点

处的偏导数．如求只需将y看作常量,证证毕．例2

设证明偏导数的概念可以推广到二元以上函数如

在

处

解利用函数关于自变量的对称性,有例3

求的偏导数.证例4

已知理想气体的状态方程(R

为常数),求证:设二元函数在点有如图,为曲面偏导数.上的一点,过点作平面此平面与曲面相交得一曲线,曲线的方程为由于偏导数等于一元函数的导数故由一元函数导数的几何意义10.2.2偏导数的几何意义可知:偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对x轴的斜率;偏导数在几何上表示曲线在点处的切线对y轴的斜率.例5

求曲线在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角.解因所以有关偏导数的几点说明:例6解1.偏导数

是一个整体记号,不能拆分;2.分界点、不连续点处的偏导数要用定义求;按定义得一元函数中在某点可导

连续，偏导数存在与连续的关系？但函数在该点处并不连续.偏导数存在

连续.多元函数中在某点偏导数存在

连续，在(0,0)处,例如,函数例7研究函数在(0,0)点的解因为连续性与可导性.

所以,函数在(0,0)点连续.

而所以,纯偏导混合偏导定义二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.10.2.3高阶偏导数函数的二阶偏导数为证利用函数关于自变量的对称性,有例8

设拉普拉斯方程验证函数u满足因此解例9

求的四个二阶偏导数.

问题:混合偏导数都相等吗?怎样的条件才相等?验证解例10设因此一般地,多元函数的高阶混合偏导数如果连续就与求导次序无关.定理10.1那么在该区域内如如果函数的两个二阶混合偏导数在区域D内连续,由一元函数微分学中增量与微分的关系得10.3

全微分及其应用二元函数对x和y的偏增量二元函数对x和y的偏微分全增量:邻域内有定义,函数取得的增量的全增量.定义10.4

(全微分)可表示为处可微分,则称函数称为函数记作即的全增量处的全微分.如果函数即也不能保证函数在该点连续.多元函数即使在某点的偏导数都存在,若函数在某区域

D内各点处都可微分,定理

10.4

(可微的必要条件)设函数可微分,且处偏导数存在,则则称该函数在

D内可微分.证(1)有所以,函数在该点连续.于是由函数可微分,(2)令同理可得从而一元函数在某点可导可微分．多元函数的各偏导数存在可微分．？例如,但函数

f(x,y)在点(0,0)处不连续,所以不可微.说明:

多元函数的各偏导数存在并不能保证可微.在点(0,0)处有定理10.5

(微分的充分条件)证我们证明在定理条件下,有连续,可微分.如果函数的偏导数函数的全增量由一元函数的微分中值定理,所以故函数处可微分.由偏导数的连续性,有又因所以通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微叠加原理也适用于二元以上函数的情况.习惯上,全微分记为称为二元函数的微分符合叠加原理．如三元函数有分之和,解所以例1计算函数在点(1,2)的全微分.解所以例2计算函数在点(2,2)的全微分.解例3计算的近似值.所以令则因且取多元函数连续、偏导数存在、可微的关系

函数可微

函数连续偏导数连续偏导数存在答案练习求函数

的全微分.定理10.6设函数且其导数为可微,此时,

称为全导数.10.4多元复合函数的求导法则证令对任意的其中所以由(1)式,对任意的有令于是,对任意的

由(3)式,有又因

又因因此,当

有

且综上所述,有

所以,当

即

例1

设

求这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.yuvx解可用对数求导法计算.定理10.6可在两个方面进行推广.如则1.中间变量多于两个的情况.则复合函数偏导数存在,且有下列求导公式具有连续偏导数,的情形：2.中间变量可以是多元函数.

函数复合图uv类似地再推广,中间变量多于两个的情形复合函数在对应点的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:当时,有设函数具有连续偏导数,则全微分

称为一阶全微分的形式不变性

无论z是自变量u,v的函数或中间变量u,v的函数,它的全微分形式是一样的.

通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便.一阶全微分形式不变性的实质:解例2

设

而求全导数解例3

设

而求

例4设函数

f(u,v)可微分,而求函数的全微分与偏导数.解由一阶全微分的形式不变性,有故

对于抽象(即无具体表达式)的多元复合函数,我们通常用一种简便记号表示其偏导数,可以省却设中间变量的麻烦.

设

f是多元函数,用表示对其第k个变量的偏导数,是先对第k个变量再对第

j个变量的二阶偏导数,等等.例如,对函数z=f(u,v),有解例5设其中f

具有一阶连续偏导数,求解例6设其中f

具有二阶连续偏导数,求于是解例7设其中f(t)二阶可导,g(u,v)具有二阶偏导数,求而故例8设

其中f具有二阶连续偏导数,解求即于是解具有二阶连续偏导数,且满足故练习

设求10.5

隐函数及其求导法10.5.1一个方程的情形并不是所有的方程都能确定隐函数,就不能确定隐函数,现给出隐函数存在的充分条件.例如,方程y=f(x)满足方程定理10.7(隐函数存在定理1)则(1)存在x0

的某个邻域,在此邻域内存在唯一的函数隐函数的求导公式设二元函数F(x,y)满足(1)F(x,y)在的某一邻域内可偏导,(2)

y=f(x)具有连续导数,且且且

和

连续,或简写于是,得所以存在的一个邻域,在这个邻域内证明:现仅推导求导公式.将恒等式两边关于x求导,由全导数公式,得函数y=f(x)称为由方程F(x,y)=0所确定的隐函数.例1验证在点x=0某个邻域内存在唯一确定的一元函数y=f(x)满足方程xy–ex+ey=0,并求y=f(x)的导数.解令则在整个平面上连续,且由定理10.7,方程xy–ex+ey=0在点(0,0)的某个邻域内能唯一确定一个有连续导数的函数y=f(x),且解1令则例2

已知方程两边关于x求导,有解2解得定理10.8(隐函数存在定理)则在X0

的某个邻域内,存在唯一的函数y=f(X)设

X=(x1,x2,…,xn),函数F(x,y)满足(1)F(X,y)在的某一邻域内一阶偏导数连续满足方程F(X,y)=0,且以为例L

表示该椭球面与xOy

平面的交线.两个连续的二元函数满足F(x,y,z)=0.不满足定理的条件,在

的邻域内总存在一个连续的二元函数z=f(x,y)满足F(x,y,z)=0.满足定理的条件,在

的某个邻域内存在唯一的解令例3

设有隐函数其中F

具有连续的偏导数,求则解故先求例4设z=f(x,y)由方程求确定令则再求两边分别对y求偏导,得对代入得将解设例5设函数所确定,求方程组的情形定理10.9(隐函数组存在定理)设(1)Fk(X,Y)(k=1,…,m)在点(X0,Y0)的某个邻域内可偏导,且偏导数连续,(3)F关于Y

的雅可比(Jacobi)行列式满足:

则在点(X0,Y0)的某个邻域内存在唯一一组可偏导的隐函数y1=f1(X),…,ym=fm(X)满足方程组F(X,Y)=0.解方程组两边对x求导解得例6设及求解方程组的两边对x

求偏导,有移项,得例7设

求

和方程组的两边对y

求偏导,用同样方法得当时,设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.10.6

多元微分在几何上的应用10.6.1空间曲线的切线与法平面对应于设对应于割线的极限位置——曲线的切线割线

的方程为切向量:切线的方向向量称为曲线的切向量.当时,法平面:过点且与切线垂直的平面.曲线在处的切线方程法平面方程为1.空间曲线的方程为曲线的参数方程是由前面得到的结果,在M(x0,y0,z0)处,令x为参数,切线方程为特殊地:2.空间曲线的方程为方程组确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组表示).切线方程为法平面方程为

两边分别对x求全导数:求得解切线方程法平面方程例1求曲线

在

处的切线和法平面方程.即整理得解方程组两边对x

求导,有例2

求曲线在点处的切线及法平面方程.法平面方程为所求切线方程为切向量即在曲面Σ上任取一条过点在该点可微且偏导数不为零.

不全为零.的曲线Γ,设其参数方程为：10.6.2空间曲面的切平面与法线1.

曲面Σ的方程为的情形点对应于参数

由于曲线Γ在曲面Σ上,所以

在恒等式两端对t求全导数,

并令

则得

若记向量

曲线Γ在点M处切线的方向向量记为

则※式可改写成※即向量垂直.

因为曲线Γ是曲面Σ上过点的任意一条所有这些曲线在点M的切线都与同一向量垂直,因此这些切线必共面,切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面Σ在又是法线的方向向量.称为曲面Σ在点的过点且垂直于切点的法线,向量称为曲面Σ在点的法向量.曲线,曲面在处的法向量:法线方程为所以曲面Σ上在点的切平面方程为2.曲面方程形为

的情形曲面在M处的切平面方程为令曲面在处的法线方程为全微分的几何意义表示切平面上的点的竖坐标的增量.切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在处的切平面方程:法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与z轴的正向所成的角是锐角,则法向量的方向余弦为或解令切平面方程法线方程例3

求曲面

在点

处的切平面及法线方程.例4证明曲面上所有点处的切平面都过

证设则法向量为切平面方程为一定点.显然,切平面都过原点.即解设为曲面上的切点,所求切平面方程的法向量可取为由所求切平面方程平行于已知平面,得例5

求曲面平行于平面的切平面方程.令因为是曲面上的切点,所求切点为满足方程切平面方程(1)切平面方程(2)即即证过直线L的平面束方程为即其法向量为练习求过直线

且与曲面相切之切平面方程.设曲面与切平面的切点为则因而故,所求切平面方程为或即或10.7.1无条件极值10.7多元函数的极值定义则称点X0为函数的极大值点(或极小值点),称为函数的极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值.极大值点与极小值点统称为函数的极值点,如果对于该邻域内异于X0的任意一点X,都有设多元函数在点X0的某邻域内有定义,

简单函数的极值是容易判断的.在(0,0)点取极小值

(也是最小值).在(0,0)点取极大值

(也是最大值).在(0,0)点无极值.旋转抛物面下半锥面马鞍面例函数例函数例函数证定理1(极值存在的必要条件)同理，因为函数处取得极值,设函数处取得极值,且在该点处函数的偏导数都存在,则所以一元函数故由一元函数极值的必要条件知,必有推广如果三元函数偏导数,则它在有极值的必要条件为点,均称为函数的驻点.极值点仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的如何判定一个驻点是否为极值点?如,点的驻点,但不是极值点.注:驻点具有定理2(极值存在的充分条件)有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,时,有极大值,时,有极小值;(2)不是极值;(3)可能有极值,也可能无极值.设函数的某邻域内,且令说明:但z(0,0)=0为极小值,在(0,0)点处均有对于函数与而u(0,0)=0不是极值.求函数极值的一般步骤:第一步:解方程组求出实数解,得驻点.第二步:对于每一个驻点求出二阶偏导数的值A、B、C.再判定是否是极值.第三步:定出的符号,例1求函数的极值.解令又在(0,0)处,

在(1,1)处,

故在(1,1)有极小值,得驻点故点(0,0)不是

的极值点;解方程两边分别对x,y求偏导数,得得驻点方程组两边再分别对x,y求偏导数,例2求由方程令确定的函数的极值.故函数在P有极值.代入原方程,为极小值;为极大值.所以,所以,解设x,y是两个变量,通过实验测得了x与y的一组例3

(最小二乘法)令数据是x的线性函数,即如果猜测变量y试确定常数a,b,使得最小.解得得能在驻点处取得.然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,但也可能是极值点.如:函数不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,由极值的必要条件知,可微函数的极值只可在点(0,0)处的偏导数注:还应研究偏导数不存在的点.并无其他条件.无条件极值:对自变量除了限制在定义域内外,条件极值:对自变量有附加条件的极值.10.7.2条件极值拉格朗日乘数法得驻点解例4已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为由题意长方体的体积为且长方体体积一定有最大值,体体积最大.故当长、宽、高都为6时长方由于V在D内只有一个驻点,令上例的极值问题也可以看成是求三元函数的极值,要受到条件的限制,这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件目标函数中化为无条件极值.

有时条件极值可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的.

下面要介绍解决条件极值问题的一般下,这样做是有困难的,方法——拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法:在条件要求函数下的可能极值点,先构造函数为某一常数,其中可由解出其中(x,y)就是可能的极值点的坐标.其中

均为常数,可由偏导数为零及条件解出即得极值点的坐标.下的极值.例如,求函数在条件先构造函数拉格朗日乘数法可推广:或约束条件多于两个的情况.自变量多于两个解过

的切平面方程为

例5在第一卦限作椭球面的切平面,使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小,求切点坐标.令设为椭球面上一点,则所围四面体的体积

化简得

该切平面在三个轴上的截距分别为现只要求u的最大值.由在条件

下，求V的最小值,令

先构造函数即当切点坐标为

时,四面体的体积最小解得唯一驻点其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.

与一元函数相类似,可利用函数的极值求函数的最大值和最小值.求最值的一般方法:将函数在D内的所有嫌疑点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,解(1)求函数在D内的驻点

因所以,函数在D内无极值.(2)求函数在

D边界上的最值(现最值只能在边界上)围成的三角形闭域D上的最大(小)值.D例6求函数

＊在边界线＊在边界线因最小,因又在端点(1,0)处,有所以,最大.有驻点

函数值单调增加.D＊在边界线所以,最值在端点处.由于

函数单调减少,(3)比较D10.8方向导数与梯度10.8.1方向导数定义10.5(方向导数)

设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义,为单位向量.

如果极限存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处沿方向

的方向导数,记为或如果函数

f(x,y)在区域D内任何一点(x,y)处沿方向的方向导数都存在,则为D内的一个函数,称为f(x,y)沿方向的方向导函数(简称方向导数).

偏导数

分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线的变化率.的方向导数存在,同理,函数的方向导数存在,存在时,当函数函数函数类似,可定义三元函数的方向导数三元函数在点的方向导数为其中沿着方向证由于函数可微,定理10.12处可微,且则其中其中则函数故特别地,取类似地,如果三元函数处可微,且其中例1

考虑函数

定点P0(3,1),P1(2,3).

解

求函数在

P0沿

方向的方向导数.解令故其方向余弦为例2设处指向外侧的法向量,求函数故解(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有例3求函数故(1)方向导数达到最大值方向导数达到最小值方向导数等于0.和(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?问在怎样的方向上此方向导数有(2)(3)方向导数最大或最小?10.8.2梯度的概念问题:

函数沿什么方向的方向导数为方向导数取最大值方向导数取最小值其中而方向一致时,方向相反时,定义10.6记作即处的梯度,则梯度又可记为

为函数称向量引用记号称为奈布拉算子,或称为向量微分算子或哈密顿算子,结论:函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为沿着方向,函数减少得最快.

在几何上被平面所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线称为曲面的等高线表示一个曲面,所截得等高线两端微分,得

法线的斜率为:所以梯度为等高线上点P处的法向量.由于等高线上任一点等高线梯度与等高线的关系:在同一直线上,的梯度的方向与点P的等高且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方梯度的概念可以推广到三元函数则函数在该点的梯度为

设三元函数在点处可微分,

向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.解因为

正南方向,问他应当怎样往上登才能攀登得最快?

例4一个登山者在山坡上点