高等数学教程 下册（第4版）课件：常微分方程

常微分方程7.1常微分方程的基本概念常微分方程是指含有一元未知函数的导数(或微分)微分方程中出现的最高阶导数的阶数n称为该微分例如,是二阶常微分方程.n阶常微分方程的一般形式为

的方程.的阶,此时也称该方程为n阶常微分方程.使微分方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.

即如果

则是方程

的解.解的图形叫做微分方程的积分曲线.以后我们讨论的微分方程都是可以把最高阶导数解出来的,即例1

人口增长的微分方程模型

2004年初,世界人口总量约为64亿.据说,到2020年世界总人口将达到79亿.这个结果是怎么预测出来的?在数学上是这样处理这个问题的:

是一个未知函数,取值是整数,当有人出生用表示世界人口在2004年后时刻的总量(时间单位是年).或死亡时,的值是跳跃的.然而,相对于巨大的人口总量,这种跳跃幅度如此之小,以至于我们可以把看作一个可导函数.其中时人口总量增加,时人口总量减少.假设:在一个很小的时间段内,即，当时，的变化率与人口总量y成比例,

人口总量容易验证,满足微分方程这个微分方程模型被称作指数模型.自然界中的许多量的变化都与本身的大小成一定的比率,如细菌的繁殖、放射性物质的质量、按复利计算的投资收益等,这些问题都适合于指数模型.即是该微分方程的解,其中C为任意常数.由条件

得

世界人口的历史数据表明

即

解因例2

验证是任意常

数)是二阶微分方程的解.故,

是原方程的解.如果微分方程的解中包含有独立的任意常数,且独立的任意常数的个数等于该微分方程的阶数,则称这种解是微分方程的通解.解将例3

验证是任意常数)是微分方程的通解.代入方程,得恒等式

所以,

是原方程的解.又因中含有一个任意常数,原方程是一阶微分方程,因此是原方程的通解.注:微分方程的通解不一定能包含所有的解.许多情况下,我们关心微分方程满足一定条件的解,例如,

是方程的解,但它并不在通解当中.微分方程不含任意常数的解称为方程的特解.例如,

都是方程的特解.这样的条件称为初始条件.

带有初始条件的微分方程问题称为初值问题或定解问题.例1的微分方程模型可以改写为:

常微分方程分为线性微分方程和非线性微分方程.

在n阶微分方程中形如

的微分方程称为线性微分方程;为已知函数,

其中其它的都是非线性微分方程.都是线性微分方程,都是非线性微分方程.例如,

而

例4试指出下列微分方程的阶数,并说明它们是线性的还是非线性的?

解(1),(4),(6)为一阶微分方程;(2),(5)为二阶微分方程;(3)为三阶微分方程;其中(2),(3),(5),(6)是线性微分方程;(1),(4)是非线性微分方程.

练习：指出下列方程的阶数,并指出哪些方程是线性微分方程二阶非线性三阶线性二阶线性一阶非线性的微分方程,称为可分离变量的微分方程.2.解法1.定义分离变量7.2.1可分离变量的微分方程7.2一阶微分方程或可化为形如求得积分后,即得原微分方程的通解两端积分注意:如果

则常函数也是方程的一个特解.

这种求解方法称为分离变量法解分离变量得两端积分得从而故原方程的通解为

是方程的一个解.

例1求微分方程的通解.例2求微分方程的通解.解分离变量两端积分原方程的通解为整理得从而化简得解先求其通解,分离变量,得两端积分,得例3

求解定解问题:整理得原方程的通解为注意:是两个特解.但是不满足定解条件得于是所求定解问题的特解为的一阶微分方程,称为齐次方程.1.定义7.2.2齐次微分方程例如,方程可化成是齐次方程.可化为形如分离变量,得两端积分2.解法作变量代换代入原方程,得求得积分后再将代入,即得原方程的通解.化为可分离变量的方程.得例4解方程解将方程改写成令于是上述方程化为即分离变量,得积分得原方程的通解为

则有解原方程可化为是齐次方程.代入原方程得两端积分,得例5

求微分方程的通解.得原方程的通解为即将代入,准齐次方程的一般形式为其中均为常数.对这类方程进行适当的变量替换可化为齐次方程.例6解方程解解方程组得令代入原方程,得再令分离变量可得解得则原方程化为整理并做任意常数的代换再将替换代回,可得其中为任意常数.得原方程的通解为称为一阶线性非齐次微分方程.称为一阶线性齐次微分方程.7.2.3一阶线性微分方程1.定义未知函数及其导数都是一次的微分方程通常称方程(7-4)是方程(7-3)所对应的齐次方程．

齐次方程的通解为(1)先解线性齐次方程使用分离变量法2.解法积分,得(2)再解线性非齐次方程设非齐次方程通解形式为

把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的待定函数方法,称为常数变易法.积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为对应齐次方程通解非齐次方程的特解或一阶线性非齐次微分方程的通解是由莱布尼茨在1673年给出的解此方程为一阶线性方程(1)先求对应的齐次方程变形方程为

积分,得对应的齐次方程通解为例7求微分方程

的通解.设原非齐次方程通解为代入原方程,得积分,得故,原方程通解为解原方程可化为设原方程通解为即例8求微分方程的通解.的微分方程,称为伯努利方程.*7.2.4伯努利方程1.定义形如方程的两边除

得则代入原方程整理得即得伯努利方程的通解.它是一阶线性方程,求出其通解,再将代入,2.解法通过变量代换化为线性微分方程.解此方程是伯努利方程,其中

原方程化为其通解为故,原方程的通解为例9求微分方程的通解.注意：能用初等积分的方法求解的微分方程只有很小的一部分.7.3.1型的微分方程特点:左端是未知函数

y的n阶导数,且不含未知函数

y

及其两边积分……连续积分n次,得到含有n个任意常数的通解.右端是自变量x的一个已知函数,各阶导数.再积分7.3可降阶的高阶微分方程解例1

求微分方程的通解.原方程通解为特点:

方程中不显含未知函数

y.解法:7.3.2型的微分方程

设代入原方程,化为一阶微分方程即再积分一次,得原方程通解若求得其解为解例2

求方程的通解.这是以

p为未知函数的一阶线性微分方程即代入原方程,得再次积分,得为原方程通解令求出通解后,再积分k次,即可求得原方程的通解.方程就可化为阶方程推广:例3

解方程

解令则方程变为由分离变量法解得于是得原方程的通解再积分4次是可分离变量方程解法:分离变量,得7.3.3型的微分方程

特点:

方程中不显含自变量x

.设代入原方程,化为一阶微分方程若求得其解为所以,原方程的通解为即解代入原方程得

原方程通解为设例4

求方程的通解.即例5设函数在上具有连续的导数,并且满足:求

解已知方程可化为

方程两边对x求导数,有再求导,有注意到:代入原方程得

于是原方程的求解问题就转化为求解初值问题：设所以满足原积分方程的解为

积分,得于是则称这n个函数在区间I上线性相关;线性无关.个函数,如果存在n个不全为零的常数

使得

否则,称为7.4高阶线性微分方程7.4.1函数的线性相关与线性无关

n阶微分方程的通解中含有n个独立的任意常数,设是定义在区间I上的n常数的独立性可以归结为函数的线性相关性的讨论.例1证明函数在证上线性相关.由三角函数恒等式有线性相关.例2证明函数在令x=0,得k1=0.证假设

线性无关.故,在线性无关.等式两端对x

求导,再令x=0,得k2=0.依次类推,可得

例3设可微，令x=0,得k1=0.证设

且故

线性无关.等式两端对x

求导,再令x=0,得k2=0.即证明：线性无关.存在不全为零的常数k1

和k2,使得特别地,只考虑k1≠0的情况即y1(x)可以由y2(x)线性表示.进而

数中至少有一个函数可以用其它的函数线性表示.对于线性相关的两个函数与n个函数线性相关是说:这组此时只用一个任意常数C3,以及C3

y2(x)就可以表示和的任意线性组合C1y1(x)+C2

y2(x).说明C1和C2不是独立的任意常数.n阶非齐次线性微分方程的一般形式为7.4.2线性微分方程解的结构

称为(7-7)所对应的n阶齐次线性微分方程.其中为已知的连续函数,且不恒为零.

性质2如果y1(x)、y2(x)是方程(7-8)的解,则y1(x)+y2(x)也是方程性质1如果y(x)是方程(7-8)的解,则Cy(x)也是方程(7-8)的解,线性微分方程的基本性质性质3如果y1(x),y2(x)是方程(7-7)的解,则y1(x)-y2(x)也是方程(7-8)的解。其中C

为任意常数.(7-8)的解.称为(7-9)所对应的二阶齐次线性微分方程.特别地,二阶非齐次线性微分方程记为其中不恒为零.

方程定理7.1设函数是二阶非齐次线性微分方程(7-9)的一个特解,函数是方程对应的二阶齐次线性方程(7-10)的两个线性无关的特解,则

是方程(7-10)的通解,其中是任意常数.

是方程(7-9)的通解,其中是任意常数.

证(1)先证明C1y1+C2y2

是方程(7-10)的解.因为y1

和y2

是方程(7-10)的解,所以代入方程(7-10),有则是(7-10)的解.由有又因线性无关,所以是独立的任意常数.

故是方程(7-10)的通解.是方程(7-8)的通解,一般地,如果是n阶非齐次线性微分方程(7-7)函数是其对应的齐次线

是方程(7-7)的通解,其中是任意常数.

的一个特解,

性方程(7-8)的n个线性无关的特解,

则

定理7.2(叠加原理)

的解,和

则是方程的解.定理7.3设

是非齐次线性微分方程的解,其中都是实函数.

和

的解.

其中p,q为常数.7.5.1二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为

依照线性微分方程解的结构理论:

7.5常系数齐次线性微分方程

只要求出方程(7-11)的两个线性无关的特解,就可以得到方程(7-11)的通解,也是全部解.

特解是故有为叙述方便,我们称

为方程(7-11)的特征多项式,

代入方程,得的特征方程,称为方程(7-11)称的根为方程(7-11)特征根.因因此,的解等价于:

r是特征方程的根.因为一阶常系数齐次线性微分方程

的一个可得两个线性无关的特解故齐次方程的通解为情形1:特征方程有两个不相等的实根根据特征根的三种不同的情形分别讨论如下:

可得一特解故齐次方程的通解为设另一特解为于是情形2:特征方程有两个相等的实根故齐次方程的通解为利用欧拉(Euler)公式得两个线性无关的特解及齐次方程解的叠加原理,得实函数解情形3:特征方程有一对共轭复根特征方程常系数齐次线性方程通解的表达式特征根的情况实根复根实根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法,称为特征方程法.综上所述,求解的一般步骤:写出特征方程求出特征根根据不同情况得到相应的通解解特征方程为特征根为例1求方程的通解.故所求通解为解第一步先求通解特征根为原方程通解为例2求方程满足初始条件的特解.由于线性微分方程的通解就是其全部解,求线性微分方程满足某个初始条件的特解可以分为两步:求方程的通解代入初始条件确定通解中的任意常数特征方程为由得故所求特解为第二步确定常数C1,C2解特征方程为特征根为故所求通解为例3求方程的通解.特征方程为7.5.2n阶常系数齐次线性方程n阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为特征根的情况

通解中的对应项

其中

为常数.特征根为故,所求通解为解特征方程为例4求方程的通解.特征根为所求微分方程为解由题设知,

特征方程为例5已知一个常系数线性微分方程的通解为其中为任意常数,求这个微分方程.即都是微分方程的特解.易验证,线性无关.二阶常系数非齐次线性方程的标准形式为7.6常系数非齐次线性微分方程

7.6.1二阶常系数非齐次线性微分方程其中

p,q为常数,不恒为0是方程的非齐次项.1.非齐次项为多项式这类二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式为

其中

是m次多项式.因多项式的导数仍是多项式,我们猜测这类方程

的特解也是多项式.例1求下列方程的一个特解:解(1)做两次积分取积分常数为零,得特解为设代入方程整理得

比较系数得即

比较方程两边次数,

应为2次多项式.则积分并取积分常数为零,得特解设,则代入方程得

整理得

比较系数得解得

特解为

应为2次多项式.总结上例的特解形式,我们得出:方程的特解形式为

其中为m次待定多项式,更一般地,我们有下面的结论:方程的特解形式为其中为m次待定多项式,导数的最低阶数.

k是方程中出现的y的导数的最低阶数.k是方程中出现的y的为此只需要做变量代换

其中z是未知函数.

2.非齐次项为多项式与指数函数的乘积这类二阶常系数非齐次线性微分方程的标准形式为其中是x的m次多项式,

是常数.注意到只要能消去指数ex即可归结为上一种情形.解令代入方程,整理得设则比较系数,得例2求方程的一个特解.

则解得原方程的一个特解为解特征方程为则例3求方程的通解.

特征根为对应的齐次方程通解令则代入方程,整理得设该方程特解为解得原方程的一个特解为原方程通解为解令例4(二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式)

其中p,q,是常数,是x的m次多项式.则代入方程,整理得消去得到注意到方程的特征多项式为

上式可简记为

方程(7-13)即为非齐次项是多项式的类型

因此,方程的特解形如其中为m次待定多项式,k是方程(7-13)中出现的z的导数的最低阶数,

即解(一)求对应齐次微分方程通解特征方程为特征根为对应的齐次方程通解例5求方程的通解,并求满足条件的特解.

(二)求非齐次微分方程通解特征多项式为

令原方程通解为因此,原方程的一个特解为得特解则原方程化为

其中即有解得所以,原方程满足初始条件的特解为(三)确定非齐次微分方程满足初始条件的特解求导得令则或3.非齐次项为多项式、指数函数与正弦或余弦函数的乘积基本形式为

其中是x的m次实系数多项式,

p,q,是实常数.的解.的特解求法与前面的讨论完全相同,和由线性微分方程解的结构理论

的解实部和虚部分别是方程方程只不过加入了复数的运算,其求导法则与实数相同.解特征多项式为

对应齐次方程通解特征方程特征根先解方程则方程化为

例6求方程的通解.令令其中解出一个特解即方程的一个特解为原方程通解为取其虚部,得原方程的一个特解

解令

则方程化为

例7

求方程的一个特解.令特征多项式为

先解方程其中即设特解

则方程的一个特解为比较系数得

其实部即为原方程的一个特解.

令和方程

是m次实系数待定多项式.由方程的特解形式可推出:

的特解都具有如下形式:

其中故可设特解为

例8求方程的特解.解特征多项式为

则

代入原方程得于是原方程的特解为解得解由通解式可知特征方程的根为故特征方程为即因此,所求微分方程为例1求以为通解的微分方程.高阶常微分方程习题课例2已知线性微分方程的三个特解,求此微分方程及该微分方程的通解.是某二阶常系数非齐次解因是二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解,故所求二阶微分方程的两个特征根为所求二阶微分方程为该微分方程的通解为将代入得设所求二阶微分方程为

例3设连续,且满足求

解原式可化为上式两边求导,得上式两边再求导,得是二阶常系数非齐次方程.且微分方程

(1)的特征根为故方程

(1)所对应的齐次方程的通解为

所以设微分方程

(1)的一个特解为代入方程

(1),得

所以又得

于是因此方程

(1)的通解为再将代入,解(1)求对应齐次方程的通解对应齐次方程通解特征方程特征根例4设函数(2)求非齐次方程的特解设特解为代入,得解得(3)求原方程的特解即所以,原方程通解为且设由题意,得即所函数y的解析表达式为解得例5已知是微分方程的一个特解,

求该方程的通解.因代入原微分方程,得

解设是原微分方程的另一特解,

而是微分方程的一个解,

所以

又

因此

于是