2022年广东省中考数学总复习第22章：二次函数(附答案解析)

第第页2022年广东省中考数学复习第22章：二次函数2012-2021广东省中考十年真题五年模拟一．选择题（共25小题）1.（2021•广东省）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若pA．5 B．4 C．25 D．52．（2020•广东省）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（2020•广东省）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+34．（2020•广东省二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，以下结论：①abc＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3；⑤当x＜0时，y随x的增大而增大．其中正确个数是（）A．4 B．3 C．2 D．15．（2020•广东省一模）如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜-b③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．46．（2020•广东省一模）如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（）A． B． C． D．7．（2020•广东省校级模拟）若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1 C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣18．（2020•广东省模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①a＜0；②b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；其中结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2019•广东省校级模拟）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）10．（2018•广东省模拟）抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线x=12 B．直线x=-12 C．直线x＝211．（2018•广东省模拟）抛物线y＝2（x+3）2﹣5的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（3，5）12．（2017•广东省三模）把抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+313．（2017•广东省二模）把抛物线y＝x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣1）2+7 D．y＝（x+1）2+714．（2017•广东省模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③9a+3b+c＞0；④c＜﹣3a；⑤a+b≥m（am+b），其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个15．（2017•广东省一模）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的图象可能是（）A． B． C． D．16．（2017•广东省二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④a2bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．（2016•广东省校级三模）二次函数y＝x2+2x﹣5有（）A．最大值﹣5 B．最小值﹣5 C．最大值﹣6 D．最小值﹣618．（2016•广东省校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c的图象大致可能是（）A． B． C． D．19．（2016•广东省模拟）如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象为（）A． B． C． D．20．（2015•广东省校级一模）关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法错误的是（）A．顶点坐标为（1，﹣2） B．函数有最小值为﹣2 C．开口方向向上 D．当x＞1时，y随x的增大而减小21．（2015•广东省校级一模）二次函数y＝x2﹣6x+5配成顶点式正确的是（）A．y＝（x﹣3）2﹣4 B．y＝（x+3）2﹣4 C．y＝（x﹣3）2+5 D．y＝（x﹣3）2+1422．（2015•广东省校级一模）抛物线y＝x2+2的对称轴是（）A．直线x＝0 B．直线x＝1 C．直线x＝1 D．直线x＝223．（2015•广东省校级一模）抛物线y＝2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（1，﹣3） D．（1，3）24．（2015•广东省校级一模）抛物线y＝3x2向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线解析式为（）A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3 C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣325．（2015•广东省校级一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（）A． B． C． D．二．填空题（共5小题）26．（2020•广东省校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是．27．（2020•广东省一模）抛物线y＝2x2+8x+12的顶点坐标为．28．（2020•广东省模拟）抛物线y＝（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的图象经过原点，则m＝．29．（2018•广东省模拟）抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是．30．（2018•广东省一模）抛物线y＝x2+4的对称轴是．三．解答题（共20小题）31．（2020•广东省）如图，抛物线y=3+36x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．32．（2019•广东省）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=38x2+334x-738与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？33．（2018•广东省）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．34．（2013•广东省）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．35．（2020•广东省一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2020•广东省校级一模）已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．37．（2020•广东省校级二模）如图，已知二次函数y＝ax2+32x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．38．（2020•广东省一模）如图，抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（a，m为正的常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为F，CD∥AB交抛物线于点D．（1）当a＝1时，求点D的坐标．（2）若点E是第一象限抛物线上的点，过点E作EM⊥x轴于点M，当OM＝2CD时，求证：∠EAB＝∠ADC．（3）在（2）的条件下，试探究：在x轴上是否存在点P，使得以PF，AD，AE为边长构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．39．（2020•广东省一模）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成本为每千克18元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元．经试销发现，销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．40．（2019•广东省一模）已知如图1，抛物线y=-38x2-34x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D（1）求出直线AD的解析式；（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN=5（点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N（3）如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC为△DB′C′，若直线B′C′与直线AC交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，求CP的值．41．（2020•广东省模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．42．（2018•广东省三模）已知抛物线y=14x（1）填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；（2）如图，已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；（3）如图，在第二问的基础上，在抛物线有一点C（x，y），连接AC、OC、BC、PC，当△OAC的面积等于△BCP的面积时，求C的横坐标．43．（2018•广东省模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOC绕原点O逆时针旋转90°得到△DOB，其中点A的坐标为（﹣1，0），CD＝2．（1）写出C点的坐标，B点的坐标；（2）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；（3）在（2）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得PA+PC最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．44．（2018•广东省二模）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，点P为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求∠PAB的正弦值；（3）如图2，四边形MCDN为矩形，顶点C、D在x轴上，M、N在x轴上方的抛物线上，若MC＝8，求线段MN的长度．45．（2018•广东省模拟）如图，抛物线y=12x2-x﹣4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC（1）直接写出A、B、C的坐标；（2）求抛物线y=12（3）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．46．（2016•广东省校级一模）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连结AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标．47．（2016•广东省校级三模）如图，直线AB解析式为y＝2x+4，C（0，﹣4），AB交x轴于A，A为抛物线顶点，交y轴于C，（1）求抛物线解析式？（2）将抛物线沿AB平移，此时顶点即为E，如顶点始终在AB上，平移后抛物线交y轴于F，求当△BEF于△BAO相似时，求E点坐标．（3）记平移后抛物线与直线AB另一交点为G，则S△BFG与S△ACD是否存在8倍关系？若有，直接写出F点坐标．48．（2016•广东省校级一模）已知：二次函数y＝ax2+bx+6（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧，点A、点B的横坐标是一元二次方程x2﹣4x﹣12＝0的两个根．（1）直接写出点A、点B的坐标：A，B．（2）求出该二次函数的解析式及对称轴；（3）若点P是抛物线对称轴上的一个动点，d＝|BP﹣CP|，探究：是否存在一点P，使得d的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．49．（2016•广东省二模）如图，已知直线y=12x+72与x轴、y轴分别相交于B、A两点，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O运动，过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P运动的时间为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，s取得最大值？50．（2016•广东省一模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB＝∠PAB，求△PAB的面积．

2022年广东省中考数学复习第22章：二次函数2012-2021广东省中考十年真题五年模拟参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．（2021•广东省）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，则其面积S=p(p-a)(p-b)(p-c)．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若pA．5 B．4 C．25 D．5【解答】解：∵p=a+b+c2，p＝5，∴5=a+b+4∴a+b＝6，∴a＝6﹣b，∴S==5(5-a)(5-b)(5-4)=5(5-a)(5-b)=5ab-25=5b(6-b)-25=-5=-5(b-3当b＝3时，S有最大值为20=25故选：C．2．（2020•广东省）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以-b2a=1，可得b由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，即8a+c＜0，故③正确；由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；∴结论正确的是②③④3个，故选：B．3．（2020•广东省）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．故选：C．4．（2020•广东省二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，以下结论：①abc＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3；⑤当x＜0时，y随x的增大而增大．其中正确个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，∴-b∴b＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，∴abc＜b2，故①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故②正确；∵x=-b2a=1，即b而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故③错误；由②得，方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0），又抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x≤3，故④正确；当x＜1时，y随x的增大而增大，故⑤错误；因此正确的结论有3个．故选：B．5．（2020•广东省一模）如图，函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）经过点（﹣1，0）、（m，0），且1＜m＜2，下列结论：①abc＜0；②0＜-b③若点A（﹣2，y1），B（2，y2）在抛物线上，则y1＜y2；④a（m﹣1）+b＝0．其中结论正确的有（）个A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∴①的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，∴0＜-b2a＜∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比点B（2，y2）到对称轴的距离远，∴y1＞y2，∴③的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，∴am2﹣a+bm+b＝0，a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0，∴a（m﹣1）+b＝0，∴④的结论正确；故选：B．6．（2020•广东省一模）如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（）A． B． C． D．【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx﹣2的图象经过一、三、四象限；函数y＝kx2的开口向上，对称轴在y轴上；当k＜0时，函数y＝kx﹣2的图象经过二、三、四象限；函数y＝kx2的开口向下，对称轴在y轴上，故C正确．故选：C．7．（2020•广东省校级模拟）若将抛物线y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A．y＝5（x﹣2）2+1 B．y＝5（x+2）2+1 C．y＝5（x﹣2）2﹣1 D．y＝5（x+2）2﹣1【解答】解：y＝5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为y＝5（x﹣2）2+1，故选：A．8．（2020•广东省模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①a＜0；②b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；其中结论正确的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵抛物线开口向下，∴a＜0，结论①正确；②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴-b∴b＝2a＜0，结论②错误；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，结论③正确；④∵当x＝1时，y＜0，∴a+b+c＜0，结论④正确．故选：C．9．（2019•广东省校级模拟）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣1）2+3，∴其顶点坐标为（1，3）．故选：B．10．（2018•广东省模拟）抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）A．直线x=12 B．直线x=-12 C．直线x＝2【解答】解：∵y＝﹣2x2+1，∴b＝0，∴其图象关于y轴对称，故选：D．11．（2018•广东省模拟）抛物线y＝2（x+3）2﹣5的顶点坐标是（）A．（﹣3，﹣5） B．（﹣3，5） C．（3，﹣5） D．（3，5）【解答】解：∵抛物线y＝2（x+3）2﹣5，∴顶点坐标为：（﹣3，﹣5）．故选：A．12．（2017•广东省三模）把抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3 C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+3【解答】解：y＝﹣x2向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3，故选：C．13．（2017•广东省二模）把抛物线y＝x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣1）2+7 D．y＝（x+1）2+7【解答】解：将抛物线y＝x2+4向左平移1个单位所得直线解析式为：y＝（x+1）2+4；再向下平移3个单位为：y＝（x+1）2+4﹣3，即y＝（x+1）2+1．故选：A．14．（2017•广东省模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③9a+3b+c＞0；④c＜﹣3a；⑤a+b≥m（am+b），其中正确的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵-b∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∴abc＜0，∴结论①错误；∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，∴结论②正确；∵当x＝﹣1和x＝3时，函数值相等，均小于0，∴y＝9a+3b+c＜0，∴结论③错误；∵x=-b∴b＝﹣2a，由x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0得a+2a+c＜0，即c＜﹣3a，∴④正确；由图象知当x＝1时函数取得最大值，∴am2+bm+c≤a+b+c，即a+b≥m（am+b），故⑤正确；故选：B．15．（2017•广东省一模）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，三象限，a＞0，故此选项错误；B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a＞0，二次项系数b为负数，与一次函数y＝ax+b中b＞0矛盾，故此选项错误；C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过二，四象限a＜0，故此选项正确；D、由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b＜0，由抛物线可知，开口向上，b＞0矛盾，故此选项错误；故选：C．16．（2017•广东省二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④a2bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵图象开口向下，∴a＜0；故本选项正确；②∵该二次函数的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0；故本选项正确；③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个不相同交点，∴根的判别式△＝b2﹣4ac＞0；故本选项正确；④∵对称轴x=-b2a＞综上所述，正确的结论有4个．故选：D．17．（2016•广东省校级三模）二次函数y＝x2+2x﹣5有（）A．最大值﹣5 B．最小值﹣5 C．最大值﹣6 D．最小值﹣6【解答】解：y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∵a＝1＞0，∴当x＝﹣1时，二次函数由最小值﹣6．故选：D．18．（2016•广东省校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c的图象大致可能是（）A． B． C． D．【解答】解：A、当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；B、当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故B选项错误；C、当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，且两个函数图象交于y轴上的同一点，故C选项正确；D、∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故D选项错误；故选：C．19．（2016•广东省模拟）如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y＝ax2+bx+c的大致图象为（）A． B． C． D．【解答】解：∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c＜0，∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a＜0、b＞0，对称轴为x=-b∴对称轴在y轴右侧，故第四个选项错误．故选：B．20．（2015•广东省校级一模）关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法错误的是（）A．顶点坐标为（1，﹣2） B．函数有最小值为﹣2 C．开口方向向上 D．当x＞1时，y随x的增大而减小【解答】解：由抛物线y＝（x﹣1）2﹣2可知，顶点坐标为（1，﹣2），抛物线开口向上，函数有最小值为﹣2，x＞1时y随x增大而增大，∴A、B、C判断正确，D错误．故选：D．21．（2015•广东省校级一模）二次函数y＝x2﹣6x+5配成顶点式正确的是（）A．y＝（x﹣3）2﹣4 B．y＝（x+3）2﹣4 C．y＝（x﹣3）2+5 D．y＝（x﹣3）2+14【解答】解：y＝x2﹣6x+5＝x2﹣6x+32+4＝（x﹣3）2﹣4，即y＝（x﹣3）2﹣4．故选：A．22．（2015•广东省校级一模）抛物线y＝x2+2的对称轴是（）A．直线x＝0 B．直线x＝1 C．直线x＝1 D．直线x＝2【解答】解：∵抛物线y＝x2+2中a＝1，b＝0，∴对称轴为x=-b故选：A．23．（2015•广东省校级一模）抛物线y＝2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（3，1） B．（﹣3，1） C．（1，﹣3） D．（1，3）【解答】解：∵抛物线的解析式为：y＝2（x﹣3）2+1，∴其顶点坐标为（3，1）．故选：A．24．（2015•广东省校级一模）抛物线y＝3x2向下平移3个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线解析式为（）A．y＝3（x+2）2+3 B．y＝3（x﹣2）2+3 C．y＝3（x+2）2﹣3 D．y＝3（x﹣2）2﹣3【解答】解：∵抛物线y＝3x2向下平移3个单位，向左平移2个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），∴平移得到的抛物线的解析式为y＝3（x+2）2﹣3．故选：C．25．（2015•广东省校级一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意可知二次函数y＝ax2+bx的图象经过原点O（0，0），故B选项错误；当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，一次函数y＝ax+b的斜率a为负值，故D选项错误；当a＜0、b＞0时，二次函数y＝ax2+bx的对称轴x=-b2a＞0，一次函数y＝ax+b与y轴的交点（0，b）应该在y当a＞0、b＜0时，二次函数y＝ax2+bx的对称轴x=-b2a＞0，一次函数y＝ax+b与y轴的交点（0，b）应该在y故选：A．二．填空题（共5小题）26．（2020•广东省校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．【解答】解：由图象可得，该抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），故抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），故当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．27．（2020•广东省一模）抛物线y＝2x2+8x+12的顶点坐标为（﹣2，4）．【解答】解：x=-8把x＝﹣2代入得：y＝8﹣16+12＝4．则顶点的坐标是（﹣2，4）．故答案是：（﹣2，4）．28．（2020•广东省模拟）抛物线y＝（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的图象经过原点，则m＝﹣2．【解答】解：∵抛物线y＝（m﹣2）x2+2x+（m2﹣4）的图象经过原点，∴0＝m2﹣4，∴m＝±2，当m＝2时，m﹣2＝0，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．29．（2018•广东省模拟）抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣3∴该抛物线的顶点坐标为：（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）．30．（2018•广东省一模）抛物线y＝x2+4的对称轴是y轴．【解答】解：抛物线y＝x2+4的对称轴是y轴．故答案为：y轴；三．解答题（共20小题）31．（2020•广东省）如图，抛物线y=3+36x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC（1）求b，c的值；（2）求直线BD的函数解析式；（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3，∴点B（3，0），点A（﹣1，0），∴抛物线解析式为：y=3+36（x+1）（x﹣3）=3+36∴b=-3+33，（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴BCCD∵BC=3CD，BO∴3=∴OE=3∴点D横坐标为-3∴点D坐标为（-3，3设直线BD的函数解析式为：y＝kx+b，由题意可得：3+1=-解得：k=-3∴直线BD的函数解析式为y=-33x（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（-3，3∴AB＝4，AD＝22，BD＝23+2，对称轴为直线x∵直线BD：y=-33x+3与y∴点C（0，3），∴OC=3∵tan∠CBO=CO∴∠CBO＝30°，如图2，过点A作AK⊥BD于K，∴AK=12∴DK=AD∴DK＝AK，∴∠ADB＝45°，如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），若∠CBO＝∠PBO＝30°，∴BN=3PN＝2，BP＝2PN∴PN=233，当△BAD∽△BPQ，∴BPBA∴BQ=433∴点Q（1-2当△BAD∽△BQP，∴BPBD∴BQ=433∴点Q（﹣1+4若∠PBO＝∠ADB＝45°，∴BN＝PN＝2，BP=2BN＝22当△DAB∽△BPQ，∴BPAD∴22∴BQ＝23+∴点Q（1﹣23，0）；当△BAD∽△PQB，∴BPBD∴BQ=22×2∴点Q（5﹣23，0）；综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1-233，0）或（﹣1+4332．（2019•广东省）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=38x2+334x-738与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？【解答】解：（1）令38x2+33解得x1＝1，x2＝﹣7．∴A（1，0），B（﹣7，0）．由y=38x2+334x-738=38（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1，∴∠COF＝∠DD1F＝90°，∵∠D1FD＝∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴D1∵D（﹣3，﹣23），∴D1D＝23，OD1＝3，∵AC＝CF，CO⊥AF∴OF＝OA＝1∴D1F＝D1O﹣OF＝3﹣1＝2，∴23∴OC=3∴CA＝CF＝FA＝2，∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC＝∠ACF，∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，∴∠ECF＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF，∵EC＝DC=3∵BF＝6，∴EC＝BF，∴四边形BFCE是平行四边形；（3）∵点P是抛物线上一动点，∴设P点（x，38x2+33①当点P在B点的左侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴DD1PM∴2338解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2=-37当点P在A点的右侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴PMAM=D∴38x2解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2=-5当点P在AB之间时，∵△PAM与△DD1A相似，∴PMAM=D∴38x2解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2=-5综上所述，点P的横坐标为﹣11或-373或②由①得，这样的点P共有3个．33．（2018•广东省）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：b=-39a+b=0解得：a=1所以二次函数的解析式为：y=13x（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC•tan30°=3设DC为y＝kx﹣3，代入（3，0），可得：k=3联立两个方程可得：y=3解得：x1所以M1（33，6）；②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°﹣15°＝30°，∴∠OCE＝60°，∴OE＝OC•tan60°＝33，设EC为y＝kx﹣3，代入（33，0）可得：k=3联立两个方程可得：y=3解得：x1所以M2（3，﹣2），综上所述M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．34．（2013•广东省）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1＝0，解得：m＝±1，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x或y＝x2+2x；（2）∵m＝2，∴二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1得：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1），当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为：（0，3），∴C（0，3）、D（2，﹣1）；（3）当P、C、D共线时PC+PD最短，过点D作DE⊥y轴于点E，∵PO∥DE，∴PODE∴PO2解得：PO=3∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（3235．（2020•广东省一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线的解析式为y＝x2+bx+c中得：1-b+c=0c=-3解得：b=-2c=-3∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点的坐标为（1，﹣4）；（2）如图1，设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴B（3，0），将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d中，得：3k+d=0d=-3，解得：k=1∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∵OP＝t，设点P的坐标为（t，0），则点N的坐标为（t，t﹣3），H（t，t2﹣2t﹣3），∴NH＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，∴S＝S△BCH=12NH•OB=3∵0≤t≤3，-3∴当t=32时，S取最大值，最大值为（3）分两种情况：①当Q在x轴的上方时，如图2和图4，四边形ACPQ是平行四边形，根据A（﹣1，0）和C（0，﹣3）可知：点Q的纵坐标为3，当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝3，解得：x1＝1+7，x2＝1-∴P（2+7，0）或（2-②当Q在x轴的下方时，如图3，四边形ACQP是平行四边形，当y＝﹣3时，由对称得：Q（2，﹣3），∴P（1，0）；综上，P点的坐标为（2+7，0）或（2-36．（2020•广东省校级一模）已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交L于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得1-b+c=0c=-3，解得：b=-2故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3①，将点A的坐标代入直线L的表达式得：0＝﹣k﹣1，解得：k＝﹣1，故直线L的表达式为：y＝﹣x﹣1②；（2）设点M的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），点N的纵坐标与点M的纵坐标相同，将点N的纵坐标代入y＝﹣x﹣1得：m2﹣2m﹣3＝﹣x﹣1，解得：x＝﹣m2+2m+2，故点N（﹣m2+2m+2，m2﹣2m﹣3），则MN＝﹣m2+2m+2﹣m＝﹣m2+m+2，∵﹣1＜0，故MN有最大值，当m=-b2a=12（3）设点M（m，n），则n＝m2﹣2m﹣3③，点M′（s，﹣s﹣1），①当CD为边时，点C向右平移2个单位得到D，同样点M（M′）向右平移2个单位得到M′（M），即m±2＝s且n＝﹣s﹣1④，联立③④并解得：m＝0（舍去）或1或1±17故点M的坐标为（1，﹣4）或（1+172，1-172）或（②当CD为对角线时，由中点公式得：12（0+2）=12（m+s）且12（﹣3﹣3）=12（联立③⑤并解得：m＝0（舍去）或﹣1，故点M（1，﹣4）；综上，点M的坐标为（1，﹣4）或（1+172，1-172）或（37．（2020•广东省校级二模）如图，已知二次函数y＝ax2+32x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、（1）请直接写出二次函数的表达式；（2）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（3）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+32x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点∴0=64a+12+cc=4∴a=-1∴二次函数的表达式为：y=-14x2+（2））∵A（0，4），C（8，0），∴AC=(0-4)2+(8-0)①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣45，0）或（8+45，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，∴AN＝NC，∵AN2＝AO2+NO2，∴AN2＝16+（8﹣AN）2，∴AN＝5，∴ON＝3，∴N的坐标为（3，0），综上所述，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）或（8﹣45，0）或（3，0）或（8+45，0）；（3）∵抛物线y=-14x2+32x+4与x轴交于∴0=-14x2+∴x1＝﹣2，x2＝8，∴点B（﹣2，0），∴BO＝2，设点N的坐标为（n，0），则BN＝n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，∴MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，∴BMBA∵MN∥AC，∴BMBA∴MDOA∵OA＝4，BC＝10，BN＝n+2，∴MD=25（∵S△AMN＝S△ABN﹣S△BMN=12BN•OA-12BN•MD=12（n+2）×4-12×2∴当n＝3时，△AMN面积最大，∴N点坐标为（3，0）．38．（2020•广东省一模）如图，抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（a，m为正的常数）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为F，CD∥AB交抛物线于点D．（1）当a＝1时，求点D的坐标．（2）若点E是第一象限抛物线上的点，过点E作EM⊥x轴于点M，当OM＝2CD时，求证：∠EAB＝∠ADC．（3）在（2）的条件下，试探究：在x轴上是否存在点P，使得以PF，AD，AE为边长构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形？如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当a＝1时，y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）＝x2﹣2mx﹣3m2，∵与y轴交于点C（0，﹣3），∴﹣3m2＝﹣3，解得：m＝±1，∵m＞0，∴m＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∵CD∥AB，∴C，D关于直线x＝1对称，∴D点坐标为：（2，﹣3）；（2）如图，过点A作AN⊥CD交CD的延长线于N，对于y＝a（x2﹣2mx﹣3m2），当y＝0，则0＝a（x2﹣2mx﹣3m2），解得：x1＝﹣m，x2＝3m，当x＝0，y＝﹣3am2，可得：A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3am2），∵点C，点D关于对称轴直线x＝m对称，∴点D（2m，﹣3am2）∴CD＝2m，∵OM＝2CD＝4m，∴点E横坐标为4m，∴点E坐标（4m，5am2），∵A（﹣m，0），B（3m，0），C（0，﹣3am2），点E坐标（4m，5am2），点D（2m，﹣3am2），∴AM＝5m，EM＝5am2，DN＝3m，AN＝3am2，∵tan∠EAB=EMAM=am，tan∠ADC∴tan∠EAB＝tan∠ADC∴∠EAB＝∠ADC；（3）存在，理由：当x＝m时，y＝a（m2﹣2m2﹣3m2）＝﹣4am2，∴F（m，﹣4am2），∵A（﹣m，0），点E的坐标为（4m，5am2），点D的坐标为（2m，﹣3am2），设P（b，0），∴PF2＝（m﹣b）2+16（am2）2，AD2＝9m2+9（am2）2，AE2＝25m2+25（am2）2，∴（m﹣b）2+9m2＝25m2，解得：b1＝﹣3m，b2＝5m∴P（﹣3m，0）或（5m，0）．39．（2020•广东省一模）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季试销售成本为每千克18元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元．经试销发现，销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）符合一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象．（1）求y与x的函数解析式；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W元，求W的最大值．【解答】解：（1）设y＝kx+b，将x＝20、y＝300和x＝30、y＝280代入，得：20k+b=30030k+b=280解得：k=-2b=340∴y＝﹣2x+340（18≤x≤40）；（2）根据题意，得：W＝（x﹣18）（﹣2x+340）＝﹣2x2+376x﹣6120＝﹣2（x﹣94）2+11552，∵a＝﹣2＜0，∴当x＜94时，W随x的增大而增大，∴在18≤x≤40中，当x＝40时，W取得最大值，最大值为5720．40．（2019•广东省一模）已知如图1，抛物线y=-38x2-34x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D（1）求出直线AD的解析式；（2）如图2，若在直线AC上方的抛物线上有一点F，当△ADF的面积最大时，有一线段MN=5（点M在点N的左侧）在直线BD上移动，首尾顺次连接点A、M、N、F构成四边形AMNF，请求出四边形AMNF的周长最小时点N（3）如图3，将△DBC绕点D逆时针旋转α°（0＜α°＜180°），记旋转中的△DBC为△DB′C′，若直线B′C′与直线AC交于点P，直线B′C′与直线DC交于点Q，当△CPQ是等腰三角形时，求CP的值．【解答】解：（1）∵抛物线y=-38x2-34x+3与x轴交于∴0=-38x2-∴x＝2或x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0），∵D（0，﹣1），∴直线AD解析式为y=-14（2）如图1，过点F作FH⊥x轴，交AD于H，设F（m，-38m2-34m+3），H（m∴FH=-38m2-34m+3﹣（-14m﹣1）∴S△ADF＝S△AFH+S△DFH=12FH×|xD﹣xA|＝2FH＝2（-38m2-12m+4）=-34m2﹣m+8当m=-23时，S△∴F（-23，如图2，作点A关于直线BD的对称点A1，把A1沿平行直线BD方向平移到A2，且A1A2=5连接A2F，交直线BD于点N，把点N沿直线BD向左平移5得点M，此时四边形AMNF的周长最小．∵OB＝2，OD＝1，∴tan∠OBD=1∵AB＝6，∴AK=6∴AA1＝2AK=12在Rt△ABK中，AH=125，A1H∴OH＝OA﹣AH=8∴A1（-85，过A2作A2P⊥A2H，∴∠A1A2P＝∠ABK，∵A1A2=5∴A2P＝2，A1P＝1，∴A2（25，-∵F（-23，∴A2F的解析式为y=-10716x-∵B（2，0），D（0，﹣1），∴直线BD解析式为y=12x﹣1联立①②得，x=-2∴N点的横坐标为：-2（3）∵C（0，3），B（2，0），D（0，﹣1）∴CD＝4，BC=13，OBBC边上的高为DH，根据等面积法得，12BC×DH=12CD∴DH=CD×OB∵A（﹣4，0），C（0，3），∴OA＝4，OC＝3，∴tan∠ACD=OA①当PC＝PQ时，简图如图1，过点P作PG⊥CD，过点D作DH⊥PQ，∵tan∠ACD=∴设CG＝3a，则QG＝3a，PG＝4a，PQ＝PC＝5a，∴DQ＝CD﹣CQ＝4﹣6a∵△PGQ∽△DHQ，∴PGDH∴4a8∴a=2∴PC＝5a=10②当PC＝CQ时，简图如图2，过点P作PG⊥CD，∵tan∠ACD=∴设CG＝3a，则PG＝4a，∴CQ＝PC＝5a，∴QG＝CQ﹣CG＝2a，∴PQ＝25a，∴DQ＝CD﹣CQ＝4﹣5a∵△PGQ∽△DHQ，同①的方法得出，PC＝4-4③当QC＝PQ时，简图如图1过点Q作QG⊥PC，过点C作CN⊥PQ，设CG＝3a，则QG＝4a，PQ＝CQ＝5a，∴PG＝3a，∴PC＝6a∴DQ＝CD﹣CQ＝4﹣5a，利用等面积法得，CN×PQ＝PC×QG，∴CN=245∵△CQN∽△DQH同①的方法得出PC=④当PC＝CQ时，简图如图4，过点P作PG⊥CD，过H作HD⊥PQ，设CG＝3a，则PG＝4a，CQ＝PC＝5a，∴QD＝4+5a，PQ＝45，∵△QPG∽△QDH，同①方法得出．CP=综上所述，PC的值为：103-251339；4-41．（2020•广东省模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：-1+b+c=0-4-2b+c=3，解得：b=-2∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：m+n=0-2m+n=3，解得：m=-1∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，PF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC=12AQ•PF=-32x2-32x+3=-3∵-3∴当x=-12时，△APC的面积取最大值，最大值为278，此时点P的坐标为（-（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC=32+32=∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝32+∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为32+42．（2018•广东省三模）已知抛物线y=14x（1）填空：抛物线的顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或直线x＝0）；（2）如图，已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；（3）如图，在第二问的基础上，在抛物线有一点C（x，y），连接AC、OC、BC、PC，当△OAC的面积等于△BCP的面积时，求C的横坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的表达式为：y=14x∴顶点坐标是（0，1），对称轴是y轴（或x＝0）．故答案是：0，1；y轴（或直线x＝0）．（2）∵△PAB是等边三角形，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°．∴AB＝20A＝4．∴PB＝4．把y＝4代入y=14x得x＝±23，∴P（23，4）；（3）x＝2（23-x解得x=4∴C的横坐标是4343．（2018•广东省模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOC绕原点O逆时针旋转90°得到△DOB，其中点A的坐标为（﹣1，0），CD＝2．（1）写出C点的坐标（0，﹣3），B点的坐标（3，0）；（2）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，求该二次函数的解析式；（3）在（2）条件下，在二次函数的对称轴l上是否存在一点P，使得PA+PC最小？若P点存在，求出P点坐标；若P点不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵△AOC绕原点O逆时针旋转90°得到△DOB，点A的坐标为（﹣1，0），CD＝2，∴OD＝OA＝1，∴OC＝OB＝3，∴点C的坐标为（0，﹣3），点B的坐标为（3，0）．故答案为：（0，﹣3）；（3，0）．（2）将A（﹣1，0）、C（0，﹣3）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+c，得：a-b+c=09a+3b+c=0c=-3，解得：∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（3）由抛物线的对称性可以得出点A、B关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC交对称轴于点P，则点P是所求的点．∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴对称轴为直线x＝1，∴P点的横坐标为1．设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，﹣3）代入y＝mx+n，得：3m+n=0n=-3，解得：m=1∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∴当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，∴点P的坐标为（1，﹣2）．44．（2018•广东省二模）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，点P为抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求∠PAB的正弦值；（3）如图2，四边形MCDN为矩形，顶点C、D在x轴上，M、N在x轴上方的抛物线上，若MC＝8，求线段MN的长度．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、（5，0）两点分别代入y＝﹣x2+bx+c得：-1-b+c=0-25+5b+c=0解之得：b=4c=5∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5；（2）∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴P（2，9），如图1，过点P作PQ⊥x轴，连接AP，则AQ＝3，PQ＝9∴AP=32+∴sin∠PAB=9（3）当y＝8时，﹣x2+4x+5＝8，解之得：x1＝1，x2＝8，∴M（1，8），N（3，8），∴MN＝3﹣1＝2．45．（2018•广东省模拟）如图，抛物线y=12x2-x﹣4与坐标轴相交于A、B、C三点，P是线段AB上一动点（端点除外），过P作PD∥AC，交BC（1）直接写出A、B、C的坐标；（2）求抛物线y=12（3）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．【解答】解：（1）A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）．（2）抛物线：y=1∴抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，-9（3）设P（x，0）（﹣2＜x＜4），∵PD∥AC，∴PDAC解得：PD=2∵C到PD的距离（即P到AC的距离）：d=PA×sin45∴△PCD的面积S=1∴S=-1∴△PCD面积的最大值为3，当△PCD的面积取最大值时，x＝1，PA＝4﹣x＝3，PD=2因为PA≠PD，所以以PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．46．（2016•广东省校级一模）如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连结AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标．【解答】（1）设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）∵抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，∴y＝a（x﹣1）（x+3）∵抛物线与y轴交于点C（0，3）∴a（0﹣1）（0+3）