2025年中考数学一轮知识梳理考前突破01规律探究（3大必考题型）60题（解析版）

考前突破01规律探究（3大必考题型）60题题型一：数式规律探究题型二：图形规律探究题型三：点坐标的规律探究题型一：数式规律探究【中考母题学方法】1．（2024·山东日照·中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字．现有一列数：，进行第1次构造，得到新的一列数：，第2次构造后，得到一列数：，…，第n次构造后得到一列数：，记．某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（

）A． B．为偶数 C． D．【答案】D【知识点】数字类规律探索【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先求出的值，以及对应的k值，可得规律，此时，据此可判断A、C、D；再证明是偶数即可判断B．【详解】解：由题意得，此时，，此时，第3次构造后得到的一列数为，∴，此时，故A正确，不符合题意；同理可得，此时，……，以此类推可知，，此时，故D错误，符合题意∴，，故C正确，不符合题意；∵是偶数，∴是偶数，∴是偶数，∴是偶数，∴是偶数，以此类推，也是偶数，∴为偶数，故B正确，不符合题意；故选：D．2．（2024·宁夏·中考真题）观察下列等式：第1个：第2个：第3个：第4个：按照以上规律，第个等式为．【答案】【知识点】数字类规律探索【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，据此可得答案．【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号减1，所以第个等式为：，故答案为：．3．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记为数表中第行第列位置的数字，如，，．若，则，．【答案】452【知识点】数字类规律探索【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行．【详解】解：由图中排布可知，当正整数为时，若为奇数，则在第行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若为偶数，则在第1行，第列，下一个数再下一列，上一个数在第2行；∵，而，在第行，第1列，∴2024在第行，第2列，∴，，故答案为：45，2．【中考模拟即学即练】4．（2025·山东临沂·一模）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．……11

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1……则展开式中所有项的系数和是．（结果用指数幂表示）【答案】【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（n为非负整数）展开式的项系数和为，求出系数之和即可．【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为，当时，展开式中所有项的系数和为，当时，展开式中所有项的系数和为，当时，展开式中所有项的系数和为，由此可知展开式的各项系数之和为，则展开式中所有项的系数和是，故答案为：．5．（2024·重庆江津·二模）一个四位自然数，如果满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位数字之差为2，百位数字与十位数字之差为2，则称这个数为“双喜数”．对于一个“双喜数”，记．例，因为，所以6314是“双喜数”，．则；若一个四位自然数是“双喜数”，且是整数，则满足条件的的最大值为．【答案】766【分析】本题主要考查了“双喜数”的定义、实数的运算、整除等知识点，掌握实数的运算法则成为解题的关键．根据的定义即可求得；由已知可得设，其中，且x，y都是整数，，可得，而是整数，可知是整数，可知必为偶数，为偶数，故x最大为8；设，即；然后列举的值找到最大的y值，最后根据“双喜数”的定义即可解答．【详解】解：由题意可得，根据“双喜数”定义，设，其中，且x，y都是整数，，∴，∵是整数，∴是整数，∵，且x是整数，∴，∴是整数，设，即，∵，∴当时，∴满足条件四位自然数m的最大值为．故答案为：766，．6．（2024·湖北黄冈·模拟预测）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．

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当代数式的值为8时，则的值为．【答案】5【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，立方根的定义等知识，灵活的应用规律解题是关键．由规律可得：，令，，可得，再解方程即可．【详解】解：由规律可得：，令，，，∴，∵x的值为8∴，∴，∴，故答案为：5．7．（2024·山东滨州·三模）如图，在中，，，以的斜边为直角边作等腰直角三角形，再以的斜边为直角边作等腰直角三角形，…同样的作法，作下去可以依次得到一组等腰直角三角形，，，，…，，则第个等腰直角三角形的面积为．【答案】【分析】本题考查图形和数字类规律探究，涉及等腰直角三角形的性质、勾股定理、算术平方根等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，找到面积变化规律是解答的关键．先求得前几个等腰直角三角形的直角边长和面积，找到变化规律，进而可求解．【详解】解：∵是等腰直角三角形，，∴，，，，，，……，∴，，，，……依次类推，得，故答案为：8．（2024·重庆铜梁·一模）在中国文化中，“6”被视为完美的数字，因为它寓意和谐、顺遂和圆满，因此，“66”可以被解读为双倍顺遂或更加完美．一个四位自然数，若各个数位上的数字均不为0．且满足|−|．则称这个四位数M为“双顺数”．例如：对于9226，∵，∴9226是“双顺数”；对于2689，∵，∴2689不是“双顺数”．则最大的“双顺数”是；如果将一个“双顺数”的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数，并且规定：．若是整数，则符合条件的M的最小值是．【答案】99331682【分析】此题考查学生数的表示方法及数学推理能力，解题的关键是根据题意确定出是7的倍数的数98．一个四位数尝试最大时尝试千位数和百位数字是9，根据可得个位，十位上数字为3，因此最大的“双顺数”是9933．用、、、表示出和，互换位置后两数是7的倍数，，可推断出的最小值为1682．【详解】解：由题意，当，时，，此时这个四位数是9933．故最大的“双顺数”是为9933．因为，不妨设，则这个四位数各位上数为，，，，，当千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数，所以，因为可得，又是7的倍数，所以可推出的值为98则，可得，因此，，．所以，故的最小值为1682．故答案为：9933、1682．9．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知，则．【答案】【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算，得到即可求解，找到规律是解题的关键．【详解】解：由题意得：，，，，∴，∴，故答案为：．10．（2023·辽宁锦州·三模）设的面积为1，如图①，将边、分别2等分，、相交于点O，的面积记为；如图②，将边、分别3等分，、相交于点O，的面积记为；……，依此类推，则．【答案】【分析】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律．利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得结果．【详解】解：在图①中，连接，

，，，，，，，，，设，则，解得；在图②中，连接、、，则，，设，则，解得；在图③中，连、、、、，则，，设，则，解得，．由可知，，，故答案为：．题型二：图形规律探究【中考母题学方法】11．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】B【知识点】图形类规律探索【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数．【详解】解：第1个图案有4个三角形，即，第2个图案有7个三角形，即，第3个图案有10个三角形，即，…，按此规律摆下去，第n个图案有个三角形，则第674个图案中三角形的个数为：（个）．故选：B．12．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（

）A．90 B．91 C．92 D．93【答案】B【知识点】图形类规律探索【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有个，第3个图形有个，…由此得到规律求得第6个图形中正方形的个数即可．【详解】第1个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，……第6个图形有（个）正方形，故选：B.13．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】图形类规律探索、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可；【详解】解：∵12个相似的直角三角形，∴，，∵，∴，，，∴，故选C14．（2024·青海·中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有个火柴棒．

【答案】15【知识点】图形类规律探索【分析】本题考查图形类规律探究．根据题意得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，由此可得第（n）个图形有根火柴棒，即可．【详解】解：根据题意得：第（1）个图形有根火柴棒，第（2）个图形有根火柴棒，第（3）个图形有根火柴棒，……第（n）个图形有根火柴棒，∴第（7）个图案中有根火柴棒，故答案为：1515．（2024·西藏·中考真题）如图是由若干个大小相同的“”组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了2个“”，第2个图案用了6个“”，第3个图案用了12个“”，第4个图案用了20个“”，……，依照此规律，第n个图案中“”的个数为（用含n的代数式表示）．【答案】【知识点】图形类规律探索【分析】本题考查了图形类规律，根据图形规律求得第n个图案中“”的个数为，解题的关键是明确题意，发现题目中个数的变化规律．【详解】解：∵第1个图案用了个“”，第2个图案用了个“”，第3个图案用了个“”，第4个图案用了个“”，……，∴第n个图案中“”的个数为，故答案为：．16．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．【答案】12【知识点】用代数式表示数、图形的规律、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可．【详解】解：由所给图形可知，第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；…，所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；由题知，解得，又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．故答案为：12．【中考模拟即学即练】17．（2024·浙江嘉兴·一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（

）块A．28 B．30 C．34 D．36【答案】D【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索【分析】根据所给图形，依次求出图形中灰砖和白砖的块数，发现规律即可解决问题．本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现灰砖及白砖块数变化的规律是解题的关键．【详解】由所给图形可知，第1个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，第2个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，第3个图形中灰砖块数为：，白砖块数为：，所以第个图形中灰砖块数为块，白砖块数为块，当时，（舍负），则（块），即所选的图中灰砖有64块，则白砖有36块．故选：D．28．（2025·湖南娄底·一模）观察图形，若有六边形2024个，则需火柴棍根．【答案】10121【知识点】图形类规律探索【分析】本题考查探索与表达规律，列代数式，熟练掌握列代数式是解题的关键；对于找规律的题目首先应找出发生变化的位置，并且观察变化规律，进而用式子表示一般规律．观察图形发现，然后可求出第个六边形需要根小棒，把代入求值即可．【详解】解：∵有六边形个，需要火柴棒根数为，有六边形个，需要火柴棒根数为，有六边形个，需要火柴棒根数为，有六边形个，需要火柴棒根数为，……有六边形个，需要根小棒，∴有六边形2024个，需要火柴棒（根）．故答案为：10121．19．（2025·山西长治·模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的“<>”组成的，第1个图案中有3个“”，第2个图案中有9个“”，第3个图案中有18个“”……按此规律，第n个图案中有个“”．（用含n的代数式表示）【答案】【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第n个图案中图形的个数是解题的关键．根据图案找出规律即可．【详解】解：第1个图案中有：个，第2个图案中有：个，第3个图案中有：个，第4个图案中有：个，……∴第n个图案中有个；故答案为：题型三：点坐标的规律探究【中考母题学方法】20．（2023·山东烟台·中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形，正方形，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，则顶点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】A【知识点】点坐标规律探索【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律．【详解】解：∵，，，，，∴，∵，则，∴，故选：A．【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．21．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点1,0中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【知识点】点坐标规律探索、求自变量的值或函数值、成中心对称【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解．【详解】解：∵这个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，∴，∴，∴，而即，∵，当时，，即，∵关于点1,0中心对称的点为2,1，即当时，，∴，故选：D．22．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】图形类规律探索、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可；【详解】解：∵12个相似的直角三角形，∴，，∵，∴，，，∴，故选C23．（2023·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，以为边作正方形点在y轴上，延长交直线l于点，以为边作正方形，点在y轴上，以同样的方式依次作正方形，…，正方形，则点的横坐标是．

【答案】【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题、根据正方形的性质求线段长【分析】分别求出点点的横坐标是，点的横坐标是，点的横坐标是，找到规律，得到答案见即可．【详解】解：当，，解得，∴点,∵是正方形，∴，∴点，∴点的横坐标是，当时，，解得，∴点，∵是正方形，∴，∴点，即点的横坐标是，当时，，解得，∴点，∵是正方形，∴，∴点的横坐标是，……以此类推，则点的横坐标是故答案为：【点睛】此题是点的坐标规律题，考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合是是解题的关键．24．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为．

【答案】【知识点】点坐标规律探索、等腰三角形的性质和判定【分析】根据题意，结合图形依次求出的坐标，再根据其规律写出的坐标即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，同理可得：均为等腰直角三角形，，根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：由此可推出：点的坐标为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出的坐标，找出其坐标的规律．25．（2024·山东青岛·中考真题）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为．(1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）；(2)当时，______（用含n的代数式表示）．【答案】(1)；；；(2)【知识点】图形类规律探索、反比例函数与几何综合【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索：（1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可；（2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可．【详解】（1）解：当时，反比例函数解析式为，在中，当时，；当时，；当时，，∴，∵轴，∴，∵，∴，∴；同理可得，，，∴，，，∴，，……以此类推可得，；故答案为：；；；；（2）解：当时，反比例函数解析式为，在中，当时，；当时，；当时，，∴，∵轴，∴，∵，∴，同理可得，，，∴，，，以此类推可得，．【中考模拟即学即练】26．（2024·河北石家庄·二模）如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点1,0，第2次运动到点，第3次运动到点2,1…按这样的规律，经过第2024次运动后，蚂蚁的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】点坐标规律探索【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据前几次运动的坐标特点可得规律横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，据此求解即可．【详解】解：第1次：，第2次：，第3次：，第4次：，第5次：，…，以此类推可知，横坐标是从1开始的连续的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，∵，∴第2024次运动后，蚂蚁的横坐标为，纵坐标为∴第2024次的坐标是，故选D．27．（2024·山东威海·二模）如图，矩形为台球桌面示意图．小球起始位置在处，沿图中所示的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2024次碰到球桌边时，小球的位置在（

）

A． B． C． D．【答案】B【知识点】点坐标规律探索【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，由图可得，点第一次碰撞后的点的坐标为，第二次碰撞后的点的坐标为，第三次碰撞后的点的坐标为，第四次碰撞后的点的坐标为，第五次碰撞后的点的坐标为，第六次碰撞后的点的坐标为，则小球点坐标每六次为一循环，即可得到答案．【详解】解：由图可得，点第一次碰撞后的点的坐标为，第二次碰撞后的点的坐标为，第三次碰撞后的点的坐标为，第四次碰撞后的点的坐标为，第五次碰撞后的点的坐标为，第六次碰撞后的点的坐标为，……，∴小球碰撞后的坐标每六次为一循环，∵∴小球第次碰到球桌边时，小球的位置是，故选：B．28．（2024·新疆喀什·二模）如图，正方形的顶点，，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形，…，按照这样的规律，点的纵坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长【分析】本题考查了正方形的性质、规律型、点的坐标，连接，根据已知可得，即可得，然后根据正方形的性质可得，，从而求出点D的纵坐标，同理可求得点的纵坐标，最后从数字找规律即可．【详解】解：连接，∵，∴，∵，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴点D的纵坐标为，∵，∴，同理可得：，，，∴点的纵坐标分别是：，以此类推，∴点的纵坐标为，故选：D．29．（2024·河南商丘·二模）在如图所示的平面直角坐标系中，有一个由等边三角形和以为直径的半圆组成的“冰淇淋”形图案，且点A，B在x轴上，点C在y轴上，，过点A作交半圆于点D，将该“冰淇淋”形图案绕点C逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点D的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】点坐标规律探索、全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、解直角三角形的相关计算【分析】本题考查利用旋转变换设计图案，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．第98次旋转结束时点的位置与第二次点的位置相同，如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的位置即为98次旋转结束时点的位置．利用全等三角形的性质以及解直角三角形的知识，求出，可得结论．【详解】解：∵，∴每旋转8次一个循环，，∴第98次旋转结束时点的位置与第二次点的位置相同，如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的位置即为98次旋转结束时点的位置．分别过点作轴于点轴于点，则，连接，过点作于点．，，，，，，，故选：D．30．（2024·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在x轴、y轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形，照此规律作下去，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】点坐标规律探索、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形，解题的关键是由坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍．首先求出、、、、、、、、的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出的坐标．【详解】解：正方形的边长为1，，正方形的边是正方形的对角线，，的坐标为，同理可知，的坐标为，同理可知，的坐标为，的坐标为，的坐标为，，，，，由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，，的横坐标符号与相同，横纵坐标相同，且都在第一象限，的坐标为．故选：B．31．（2024·河南洛阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的“赵爽弦图”，正方形的中心与原点重合，轴，正方形的面积为5，正方形的面积为1，将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】D【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了坐标与图象，勾股定理等知识，先判断出将绕点顺时针旋转，每次旋转，旋转4次回到原来的位置，则第2024次旋转结束时点回到起点，过G作于M，利用勾股定理求出，，利用等面积法求出，利用勾股定理求出，进而求出，即可求出点G的坐标．【详解】解：∵，∴每4次一循环，∵，∴第2024次旋转结束时，点回到起点，过G作于M，

∵正方形的面积为5，正方形的面积为1，∴，，设，则，在中，由勾股定理得，∴或（舍去），∵，∴，∴，，∴，，∴G的坐标为，故选：D．32．（2024·四川达州·二模）如图，在平面直角坐标系中，等边，点A的坐标为，每一次将绕着点O顺时针方向旋转，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到，第二次旋转后得到，…，依次类推，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】点坐标规律探索、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算【分析】本题考查旋转变换，等边三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是确定所在的象限．每旋转次，A的对应点又回到x轴负半轴上，故在第一象限，且边长为，由此求解即可．【详解】∵∴∵每次旋转∴每6次旋转因为余,∴点在射线上，因为每次旋转时，三角形的边扩大为原来的倍,所以第次旋转所得三角形的边长为，过点作轴于点H，∴，，故点的坐标为故选:D.33．（2024·甘肃武威·三模）如图，点，，将扇形沿轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点的对应点依次记为点，点，点，则的坐标是（）A． B．C． D．【答案】C【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、求弧长【分析】本题考查了规律型：点的坐标，由点，，得到，，，根据弧长的计算公式得到的长度，得到的长度，于是得到结论，根据规律确定坐标对应点是解本题的关键．【详解】解：点，，，，，的长度，将扇形沿轴正方向做无滑动的滚动，的长度，点，点，点，点，，，的．故选：C．34．（2024·河南漯河·二模）如图，弹性小球从点出发，沿箭头所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时就会反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时对应点的坐标为，第2次碰到矩形的边时对应点的坐标为……则第100次碰到矩形的边时对应点的坐标为（

）A．1,4 B． C． D．【答案】D【知识点】点坐标规律探索【分析】本题主要考查了点的坐标，先根据反射角与入射角的定义作出图形，观察图形，找出点P每次碰到矩形边时的坐标，找出规律，进行解答即可．【详解】解：如图所示，当小球第8次碰到矩形的边时回到出发点，即每8次完成一个循环，，即第100次碰到矩形的边与第4次碰到矩形的边的位置相同，第4次对应的点的坐标为，故选：D．35．（2024·河南南阳·三模）如图，点，点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点；…按这个规律平移得到点，则点的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】点坐标规律探索、由平移方式确定点的坐标【分析】本题考查坐标与图形变化-平移、规律型问题等知识，先求出点的坐标，再从特殊到一般探究出规律，得出的横坐标为为，，纵坐标为，然后利用规律即可解决问题．【详解】解：点的横坐标为，纵坐标为,点的横坐为标，，纵坐标为,点的横坐标为，，纵坐标为,点的横坐标为，，纵坐标为,…按这个规律平移得到点的横坐标为为，，纵坐标为∴点的横坐标为，纵坐标为故选：C．36．（2024·江苏盐城·三模）如图，平面直角坐标系中，都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点；则根据图示规律点A2025的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索【分析】依次求出点为正整数）的坐标，发现规律：点的坐标为，为正整数），，结合图象，则，即可解决问题．本题考查点的坐标变化规律，抓住点坐标的变化规律是解题的关键．【详解】解：由题知，点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；点的坐标为；，由此可知，点的坐标为，为正整数），又∵，∴，观察图象,得出，为正整数即∴点的横坐标为，纵坐标为0∴点的坐标为．故选：B．37．（2024·山东泰安·二模）含角的菱形，，，……，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点，，，……，和点，，，，……，分别在直线和轴上．已知，，根据所给图形，可以依次求出点，，，…，则图中点的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】点坐标规律探索、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长【分析】利用菱形的性质得出是等边三角形，进而得出坐标，进而得出，即可求解．【详解】过点作x轴的垂线，垂足为M∵，，∴，∴∵∴∴∵∴是等边三角形∴∵∴在中，∴∴同理可得，……∴故选：B．【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，得出点A坐标变化规律是解题关键．38．（2024·河南周口·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点B的坐标为，点P在菱形的边上，从点O出发以每秒2个单位长度的速度，沿的路线作循环运动，则第2024秒时，点P的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】点坐标规律探索、利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形【分析】本题考查菱形的性质、坐标变换规律型问题，解题的关键是找出点P坐标变换规律．根据菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，找出点P坐标变换规律，即可求解．【详解】解：四边形是菱形，，点的坐标为，，，第1秒时，点在上，此时，第2秒时，点在上，此时，，第3秒时，点在上，此时，，第4秒时，点在上，此时，第5秒时，点在上，此时，第6秒时，点在上，此时，第7秒时，点在上，此时，第8秒时，点在上，此时，第9秒时，点在上，此时，第10秒时，点在上，此时，第11秒时，点在上，此时，第12秒时，点在上，此时，…点P每12秒一个循环，，秒时，点在第四象限，点在上，，故选：B．39．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，，，，都是斜边在轴上，斜边长分别为1，2，3，…的等腰直角三角形，若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，点的坐标为．

【答案】【知识点】点坐标规律探索【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据题意可得，据此规律求解即可．【详解】解：由题意得，，，，……，以此类推可知，，∵，∴故答案为：．40．（2024·四川内江·一模）如图，直线，点坐标为．过点作轴的垂线交直线l于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，记的长为；再过点作轴的垂线交直线l于点，以原点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，记的长为，以此类推．那么的长为．【答案】【知识点】点坐标规律探索、用勾股定理解三角形、求弧长、解直角三角形的相关计算【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，先根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据点的坐标求出点的坐标，得出的坐标，以此类推总结规律便可求出点的坐标，再根据弧长公式计算即可求解．【详解】解：直线，点坐标为．过点作轴的垂线交直线l于点，可知点的坐标为，∴以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，，∴点的坐标为，同理：的坐标为，点的坐标为，以此类推便可求出点的坐标为，即又，∴，则的长为．故答案为：．41．（2024·河南信阳·三模）将半径为1、圆心角为60°的扇形纸片按如图所示的位置放于平面直角坐标系中，现将扇形纸片沿x轴正半轴向右作无滑动的连续滚动，点A依次落在x轴上的点，…的位置上，则点的横坐标为．【答案】【知识点】点坐标规律探索、求弧长【分析】点的横坐标为半径加弧长，从点开始的横坐标规律都是在原来长度基础上再加两个半径和一个弧长，根据以上规律即可求出点的横坐标．本题考查了弧长公式以及点坐标规律的探索，根据题意求出，根据变化过程中的规律求解是解题的关键．【详解】解：由题意得：，点的横坐标为：，点的横坐标为：，点的横坐标为：…∴点的横坐标为：．故答案为：．42．（2024·四川内江·二模）如图，（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，，顶点均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点的坐标为．【答案】【知识点】化为最简二次根式、点坐标规律探索、等边三角形的性质【分析】此题考查了点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质和解直角三角形求出点、、的坐标，找到点的变化规律，求出点的坐标，再利用轴对称的性质可得．【详解】解：∵，，，…，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，顶点均在轴上，过点作轴于点B，连接，∵点O是所有等边三角形的中心，∴，∵，∴，∴，∴的坐标为，同理可得，，则第二个三角形的顶点的坐标为，则第三个三角形的顶点的坐标为，∵，∴是第个等边三角形的第1个顶点，位于第三象限，∴点的坐标是，由与关于轴对称，∴点的坐标是故答案为：43．（2024·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，，连接AB，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为．【答案】/【知识点】点坐标规律探索、等腰三角形的性质和判定【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，先证明是等腰直角三角形，同理可得：均为等腰直角三角形，依次求出的坐标，找出其坐标的规律即可得到答案．【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，同理可得：均为等腰直角三角形，，根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：由此可推出：点的坐标为．故答案为：．44．（2024·山东东营·模拟预测）含角的菱形，，，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，点…，和点，…，分别在直线和轴上．已知，则点的坐标是【答案】【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索、一次函数与几何综合【分析】本题考查点的坐标变化规律，根据所给图形，依次求出点，发现规律即可解决问题．【详解】解：过点作轴于点，∵含角的菱形，∴，∴是等边三角形，∵，∴，∴，∴，则，∵，∴，同理可得出：，则，则点的坐标是：，∴点的坐标是：．故答案为：．45．（2024·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的横坐标是．【答案】【知识点】点坐标规律探索、求一次函数自变量或函数值、根据正方形的性质求线段长【分析】本题考查了一次函数，正方形的性质，点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由一次函数解析式，正方形的性质可求，即，，，即，，即，，即，……，可推导一般性规律为，的横坐标均为，然后求的横坐标即可．【详解】解：令，则，解得，，∴，即，∵正方形，∴，令，则，解得，，∴，即，∵正方形，∴，同理，即，，即，……∴可推导一般性规律为，的横坐标均为，∴的横坐标为，故答案为：．46．（2024·山东德州·二模）如图，在平而直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，第1个点的坐标为，第2个点的坐标为，第3个点的坐标为……根据这个规律，第2024个点的坐标为．【答案】【知识点】点坐标规律探索【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键．根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．而，由，解得．由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为，由图可知，再往前推1个点的坐标即可得到答案．【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为；第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有个点，且终点为；第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为；第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为；故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．而，，解得：．由规律可知，第44个正方形每条边上有45个点，且终点坐标为，由图可知，再往前推1个点的坐标为：．故答案为：47．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如0,1，，0,2，，2,3，，0,3，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是．【答案】【知识点】点坐标规律探索【分析】本题考查了点的坐标规律探索，探索出点的坐标规律是解题的关键；按点的纵坐标分类：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；而，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，则可得第2024个点的坐标．【详解】解：纵坐标是1的点有1个，纵坐标是2的点有3个，纵坐标是3的点有5个，纵坐标是4的点有7个，……，一般地，纵坐标为n的点有个，且这n个点的横坐标从左往右依次是；考虑点排列方向：纵坐标是1、3、5、7，……，点是从右往左的方向，纵坐标是2、4、6，……，点是从左往右排列的方向；，当纵坐标是45时，这样的点共有89个，且点是从右往左方向，最左边的点坐标为，即第个点的坐标，第2024个点的坐标为．故答案为：．48．（2024·山东东营·二模）在直角坐标系中，点从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：，，，，，，则的坐标为．【答案】【知识点】点坐标规律探索【分析】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．根据题意可得在第二象限内，然后根据第二象限内点，，的坐标特点求解即可．【详解】解：根据题意得：从点开始点所到达的位置4个一循环，∵，∴在第二象限内，根据题意得：在第二象限的点为，，，……，∴的横坐标为，纵坐标为，∴的坐标为．故答案为：．49．（2024·山东泰安·二模）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到的位置，再到的位置依次进行下去，若已知点，，则的坐标为．【答案】【知识点】点坐标规律探索【分析】本题考查了点的坐标的规律，找到点的坐标的变化规律是解题的关键．根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点，，在第一象限，点，，在x轴上，，然后寻找规律，即可完成解答．【详解】根据题意得：每滚动3次为一个周期，点，，在第一象限，点，，在x轴上，，，，点的横坐标为，同理得出的横坐标为，的横坐标为，，的横坐标为（n为正整数），坐标为，的坐标为．故答案为：50．（2024·山东淄博·二模）如图，四边形，，，，…，都是正方形，对角线，，，，…，都在x轴上（n是整数，且），点，，，，…，在反比例函数的图象上．若已知正方形的面积为2，则点的坐标为．【答案】【知识点】点坐标规律探索、求反比例函数解析式、根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算【分析】由于四边形是正方形，可知直线的解析式为，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是的横坐标的两倍，从而确定点的坐标；由于四边形，都是正方形，则，直线可看作是直线向右平移个单位长度得到的，因而得到直线的解析式，同样，将它与联立，求出方程组的解，得到点的坐标，则的横坐标是线段的中点，从而确定点的坐标；依此类推，从而确定点的坐标，即可求得点的坐标，得出规律，即可得到结果．【详解】解：过作轴于，∵正方形的面积为2，∴，，∴，∴,∴是的中点，．可得的坐标为，∴,∴反比例函数,的解析式为：，，的表达式一次项系数与的一次项系数相等，将代入，，的表达式是，与联立，解得同上，．，以此类推，点的坐标为，∴故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题．51．（2024·山东泰安·二模）如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形按如图所示的方式放置，其中点均在一次函数的图象上，点均在x轴上．若点的坐标为1,0，点的坐标为，则点的坐标为．【答案】【知识点】点坐标规律探索、求一次函数解析式、等腰三角形的定义【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律．首先，根据等腰直角三角形的性质求得点的坐标；然后，将点的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点的坐标，即可求得点的坐标．【详解】解：如图，∵点的坐标为，点的坐标为，∴，则．∵是等腰直角三角形，，∴．∴点的坐标是．同理，在等腰直角中，，则．∵点均在一次函数的图象上，∴，解得，∴该直线方程是．∵点的横坐标相同，都是3，∴当时，，即，则，∴．，∴当时，，即点的坐标为．∴的坐标为．故答案为：．52．（2024·广东珠海·三模）如图，在平面直角坐标系内，动点M第1次从点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，第6次运动到，第7次运动到……依此规律，第2024次运动到的坐标是．【答案】【知识点】点坐标规律探索【分析】此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．根据图象可得出：本题考查了点坐标规律探索，旨在考查学生的抽象概括能力．根据题意得动点横坐标为对应的运动次数减3，纵坐标依次为：，每6次一个循环，据此即可求解．【详解】解：由题意得：动点在平面直角坐标系中的运动为：，，，，，，．．．．∴横坐标为对应的运动次数减，则第次运动到点的横坐标为：；纵坐标依次为：，每6次一个循环，∵，∴第次运动到点的纵坐标为：1．故答案为：．53．（2024·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为1,0．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则点的坐标为．【答案】【知识点】点坐标规律探索、根据旋转的性质求解【分析】本题考查点的坐标变化规律，旋转的性质，能通过变换方式发现点位置及边长的变化规律是解题的关键．首先得到每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现，然后由余1，得到第2023次变换后点A的对应点与点在一条方向线上，即在一条方向线上，然后求出的边长为，进而求解即可．【详解】解：因为，所以每变换六次，点A的对应点所在方向线循环出现．又因为余1，所以第2023次变换后点A的对应点与点在一条方向线上，即在一条方向线上，因为，所以的边长为1，则根据变换方式可知，的边长为2，的边长为，的边长为，…，的边长为．所以的边长为，，所以点的坐标为．故答案为：．54．（2024·甘肃酒泉·三模）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点P的坐标是．

【答案】【知识点】点坐标规律探索【分析】本题考查了点坐标的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．由题意可知，第次接着运动到的点坐标