几何证明（18大核心考点）解析版-2024-2025学年沪教版八年级数学上册

几何证明(18大核心考点)

考点一命题(共4题)

1.对于命题“若/>/,贝lk>b”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是

()

A.a=2,b=\B.a=2,b=—1

C.a=—\,b-0D.a=~\,b=-2

【答案】C

【分析】本题考查命题与定理的知识.根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案.

【详解】解：,••命题“若/>方2,贝h>6”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，

:.当a=2,6=1时，若22>心,则2>1,不符合题意，

.♦.当a=2,6=—1时,若则2>-1,不符合题意，

二当°=_1,6=0时，若(-I)?>()2,则-1<0,符合题意,

二当a=-1,8=-2时，不符合若(-1)~>2)2,不符合题意，

故选：C.

2.下列命题中，属于假命题的是()

A.直角三角形的两个锐角互余B.锐角互余的三角形是直角三角形

C.三角形的外角等于两个内角的和D.三角形的两个外角可能会相等

【答案】C

【分析】本题考查了命题的判断，根据直角三角形的性质、三角形的外角的性质即可逐一判断.

【详解】解：A.直角三角形的两个锐角互余，真命题，不合题意；

B.锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，不合题意；

C.三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，符合题意；

D,三角形的两个外角可能会相等，真命题，不合题意.

故选：C.

3.用一组b,c的整数值说明命题“若a>6>c,则ab>c”是假命题，则这组值可以是。=_,b=_

c=_.

【答案】3-1-2

【分析】本题主要考查了列举法证明假命题，解题关键是结合题意找到合适的。，b,。的整数值.证明一

个命题是假命题，只需要列举出满足题设，但不满足结论的例子即可.根据题意确定合适的b,c的整

数值，证明。>b>c,而ab<c,即可解题.

【详解】解：当。=3,/?=-1,c=-2时，

可有=3x(-1)=-3,

v-3<-2,

•••ab<c,

二命题“若。>6>c,则ab>c”是假命题.

故答案为：3,-1,-2(答案不唯一).

4.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例.

(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

(2)有两边相等的三角形是等腰三角形；

(3)两个锐角的和是钝角.

【答案】(1)假命题.反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等

(2)真命题

(3)假命题.反例：当Na=20。,/夕=50。时，Nc+N〃=70。，不是钝角

【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的定义，判断命题正真假，以及写反例.

(1)根据平行线的性质，即可解答；

(2)根据等腰三角形的定义，即可解答；

(3)根据钝角的定义，即可解答.

【详解】(1)解：该命题为假命题，

反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等；

(2)解：该命题为真命题；

(3)解：该命题为假命题，

反例：当/a=20。，/4=50。时，Za+Z^=70°,不是钝角.

考点二证明(共4题)

1.用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是()

A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆中D.点在圆上或圆内

【答案】D

【分析】根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定

成立，这样的证明方法叫做反证法；据此即可求解.

【详解】解：假设结论“点在圆外”不成立，

•••点在圆上或圆内；

故选：D.

【点睛】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键.

2.如图，已知直线a,b与直线c相交，下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（）

A.z2+z3=180°B.zl+z5=180°C.z4=z7D.zl=z8

【答案】A

【分析】因为42与43是邻补角，所以不能判定直线a与直线b平行；而其他三项均可通过同位角相等两直

线平行进行判定.

【详解】A,因为N2与43是邻补角，所以不能判定直线a与直线b平行；

B,因为N1+45=180。/1+44=180°,所以根据同位角相等两直线平行即可判定；

C,因为44=/7,Z4=Z2,所以乙2=47,根据同位角相等两直线平行即可判定；

D,因为N1=N8,所以根据同位角相等两直线平行即可判定；

故选A.

【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握其判定定理.

3.如图所示，已知=AD=FC,BC=ED.下列结论：①NA=NF；②4B//E尸；

@AD//FC.其中正确的结论是.（填序号）

【答案】①②③

【分析】根据SSS证明△ABDMAFEC,由全等三角形性质，对选项进行分析判断即可.

【详解】W：■■-BC=ED,

BC+CD—ED+CDf

・・.BD=EC,

vAB=FE,AD=FC,

/.AABD=AFEC（SSS）,

.,.zA=zF,zB=zE,zADB=zFCE,

ABHEF,ADIIFC,

所以①②③都正确，

故答案为①②③.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角

形的判定和性质.

4.【阅读】在证明命题“如果。>方>0,c<0,那么/+儿>M+比”时，小明的证明方法如下：

证明：•・,a>b〉0,

Q2>_____•,*•a2+be>•

'：a>b,c<0,

.*.be>___./.ab+bc>.

••・a2+bc>ab+ac-

【问题解决】

⑴请将上面的证明过程填写完整；

（2）有以下几个条件：@a>b,@a<b,③④6<0.请从中选择两个作为已知条件，得出结论

>网.你选择的条件序号是—，并给出证明过程.

【答案】（1）见解析

（2）②④，证明见解析

【分析】（1）根据可得从而得到/+bc>+.再由0>b,c<0,可得bc>ac.从

而得到ab+6c>qb+oc.即可求证；

（2）选择②④.理由：根据"6,X0,可得a<0.再由绝对值的性质可得同=-。，\b\=~b.然后根据

a<b,可得一。>一6,即可.

【详解】（1）证明：">"0,

•t•a2>ab.

••a1+be>ab+be.

,：a>b,c<0,

・•・bc>ac,

/.ab+bc>ab+ac.

•'•a2+bc>ab+ac.

（2）解:选择②④.

证明如下：b<Q,

:.\a\=-a,\b\=-b.

<b,

—ci>—b.

|a|>MI.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的

关键.

考点三逆命题和逆定理（共4题）

1.关于命题“若。<0,b<0,贝！|a+b<0"，下列判断正确的是（）

A.该命题及其逆命题都是真命题

B.该命题是真命题，其逆命题是假命题

C.该命题是假命题，其逆命题是真命题

D.该命题及其逆命题都是假命题

【答案】B

【分析】本题考查了命题与定理、逆命题，先判断出原命题的真假，再写出逆命题，再判断真假即可得解.

【详解】解：“若。<0，b<0,贝!|。+6<0”是真命题，它的逆命题是“若。+6<0,贝6<0”是假命

题，

故选：B.

2.关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法不正确的是（）

A.逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”

B.原命题是真命题

C.逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补”

D.逆命题是真命题

【答案】C

【分析】本题考查了写命题的逆命题，命题真假判断，把命题的条件与结论互换得到逆命题；写出命题的

逆命题，判断出真假即可判断.

【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题为：“两直线平行，同旁内角互补”，原命题与逆命

题都是真命题，故选项c错误；

故选：C.

3.命题“如果数a,6的积大于0,那么a,b都是正数”的逆命题是.

【答案】如果数。，6都是正数，那么。，6的积大于0

【分析】本题考查逆命题，根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题求解即可.

【详解】解：命题“如果数。，6的积大于0,那么a,6都是正数”

逆命题为：如果数。，6都是正数，那么a,b的积大于0

故答案为：如果数。，6都是正数，那么a,6的积大于0.

4.写出下列命题的逆命题，并判断真假.

(1)三角形三个内角的和等于180。；

(2)两直线平行，同旁内角互补.

【答案】(1)内角和等于180。的多边形是三角形；真命题

(2)同旁内角互补，两直线平行；真命题

【分析】(1)将命题“如果0,那么4”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果4,那么0"，我们称这

样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题.据此写出命题的逆命题,

然后判断真假即可；

(2)根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可.

【详解】(1)解：命题“三角形三个内角的和等于180。”的逆命题为：“内角和等于180。的多边形是三角

形”，

逆命题是真命题；

(2)解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”，

逆命题是真命题.

【点睛】此题考查了命题与判断命题的真假，熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论

是解答此题的关键.

考点四线段垂直平分线的判定与性质（共4题）

1.如图，三个村庄/、3、C构成△N8C,供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（）

A

A

/'、

/、

/、\

Z------->9

RC

A.三条边的垂直平分线的交点B.三个角的角平分线的交点

C.三角形三条高的交点D.三角形三条中线的交点

【答案】A

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

是解答本题的关键.到三个村的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，在三角形中，只有三边垂直

平分线的交点到各顶点距离相等.

【详解】解：•••在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等，

，供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点处.

故选：A

2.如图，在ZUBC中，DE是边/C的垂直平分线，垂足为E,交BC于点、D,若4B=6,BC=9,则△48。

的周长是（）

【答案】C

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可

得4D=CD,再根据三角形周长计算公式可推出△ARD的周长=48+8D+40=48+BC,即可求解.

【详解】解：•.•DE是边/C的垂直平分线，

AD=CD,

AB=6,BC=9,

ZXABD的周长=43+8。+=48++CD=43+8C=15,

故选：C.

3.如图，在△/2C中，边奶的垂直平分线OM与边NC的垂直平分线ON交于点O,这两条垂直平分线分

别交8c于点。、E,已知ZUDE的周长为15cm,分别连接。4、OB、OC,若△O2C的周长为28cm,则

OA的长为____cm.

【答案】6.5

【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到以=。8，OA=OB,

EA=EC,OA=OC,根据三角形的周长公式计算，得到答案.

【详解】解：•・•。河、ON分别为AB、NC的垂直平分线，

DA=DB,OA=OB,EA=EC,OA=OC,

■■■"DE的周长为15cm,

AD+DE+EA=\5cm,

BD+DE+EC=15cm,即BC=15cm,

•••△O3C的周长为28cm,

OB+BC+OC=28cm,

204=28-15=13cm,

OA=6.5cm,

故答案为：6.5.

4.如图，4。是△4BC的角平分线，DE,。尸分别是△4BO和的高，连接£F、/D交于点。.

BDC

⑴证明：AAED，AFD；

(2)证明：40垂直平分£尸；

⑶若DE=6,SABC=60,求加+/。的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)AB+AC=20

【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的

关键是熟练掌握三角形全等的判定方法.

(1)用AAS证明A4ED9"7力即可；

(2)根据全等三角形的性质，得出/E=/尸，DE=DF,说明点/、。在线段即的垂直平分线上，即可证

明结论；

(3)根据S“BC=S/BO+S/S=g/8CD+g/C•。尸=60,得出3(/B+/C)=60,即可求出结果.

【详解】(1)证明：•••3是△N8C的角平分线，

・•・NDAE=ZDAF,

DE,。尸分别是△48。和△/CZ)的高，

・•.ZAED=ZAFD=90°,

丁AD=AD,

••・AAED=AAFD；

(2)证明：•:AAED%AFD,

AE=AF,DE=DF,

・••点/、。在线段斯的垂直平分线上，

.•・川垂直平分即；

(3)解：■.-DE=6,

DE=DF=6,

■.■S.=S/砧+S.=-AB-ED+-AC-DF=6Q,

^AD(-RCAABDAALDcn22

」/BX6+L/CX6=60,

22

.•.3(/3+/C)=60,

解得：AB+AC=2Q.

考点五作垂线（共4题）

1.如图，△4BC中，AB<AC<BC,使+=那么符合要求的作图痕迹是（）

【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的

性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂

作图拆解成基本作图，逐步操作.

由以+P8=8C和可得尸/=PC,根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在/C的垂直平分线上,

进而得出结论.

【详解】解：•••P/+PB=BC,PC+PB=BC,

:.PA=PC,

•••点尸在/C的垂直平分线上,

即点P为AC的垂直平分线与BC的交点.

故选：D.

2.如图，已知△/8C,按以下步骤作图:

①分别以3,。为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点N；

②作直线交48于点。，连接CD若CD=/C,44=50。，则NNC3的度数为（）

A.90°B.95°C.105°D.110°

【答案】C

【分析】根据等腰三角形的性质，可求得/CZM的度数，又由题意可得为2。的垂直平分线，根据线段

垂直平分线的性质可得8。=CD,则可求得的度数，据此即可解题.

【详解】解：；=乙4=50。，

:.NCDA=4=50°,

由题知，直线为8c的垂直平分线，

BD=CD,

:.NB=NDCB,

■：ZB+ZDCB=ZCDA,

ZB=-ZCDA=25°,

2

ZACB=1800-ZB-ZA=105°.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形外角的性质，三角形内

角和定理，数轴相关知识是解题的关键.

3.如图，在△/BC中，以点/为圆心，48长为半径作弧，交2c于点。，取加的中点£,连接故，以

点。为圆心，适当长为半径作弧，与边2C相交于点G和〃，分别以点G和〃为圆心，以大于〈G”的长

为半径作弧交于点/,作直线。/,交NC于点尸.若AB=CD,且即，则下列结论：①/EL8C；

@AF=CF；③NEAD=NCAD；（4）ZB=2ZC.正确的有

【答案】①②④

【分析】本题考查作图-基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由作图可知=DI

垂直平分G〃，DH=DG,利用等腰三角形“三线合一”“等边对等角”以及三角形外角的性质逐项判断即可.

【详解】解：由作图可知48=40,

•••E是助的中点，

AE1BC,故①正确；

•••AB=CD,AB=AD,

：.AD=CD,

由作图知，DH=DG,IG=IH

■■。/垂直平分G77,

AF=CF,故②正确；

AD=CD,

：.ACAD=ZC,

NADB=ACAD+ZC=2ZC,

■■■NB=NADB,

Z5=2ZC,故④正确；

现有条件不能证明NEAD=ACAD,

综上所述，正确的有①②④.

故答案为：①②④.

4.如图，在△ABC中，AB>AC.

⑴用直尺和圆规作2。的中垂线，交48于点D；（要求保留作图痕迹）

（2）连接CD,若23=10,AC=5,求A/CD的周长.

【答案】（1）见解析

⑵15

【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图是解题的关键.

（1）根据线段垂直平分线的尺规作图可进行求解；

（2）由（1）可知CD=8。，然后问题可求解.

【详解】（1）解：如图所示，直线及W即为所求.

cN

(2)解：由(1)可知，直线MV是线段8。的垂直平分线,

CD=BD,

的周长为：

AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB.

-：AB=\O,AC=5,

.•.ANCD的周长为10+5=15.

考点六角平分线的判定与性质（共4题）

1.如图，在ZUBC中，ZC=90°,4D平分交3C于D.若8C=34,且CD:BD=8:9,则点。到

边少的距离为（）

A

A.14B.15C.16D.17

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.过点。作

DE人4B于点、E,根据比例求出8,再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD,进而解

出此题的答案.

【详解】解：过点。作48于点E,如图所示：

A

且C。：8。=8:9,

8+9

vZC=90°,3平分/3/C,

DE=CD=16,

故选：C.

2.如图，△4BC的边/B=3,BC=5,。是△4BC三条角平分线的交点，若A4BO的面积为3,贝心8co的

面积为（）

【答案】D

【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.由角平分线的性质可

得，点。至必8,BC,/C的距离相等，贝IJA/03、&BOC、A/OC面积的比实际为4B,BC,ZC三边的

比.

【详解】•••点。是三条角平分线的交点，

.••点。至MB,3c的距离相等，

“AOB、ABOC面积的比=48：BC=3：5.

的面积为3,

.1△BC。的面积为5.

故选：D.

3.如图，在△/BC中，4D为△48。的角平分线，DE1AB,垂足为£,DF1AC,垂足为尸，若

48=5,AC=3,DF=\,则△4BC的面积为

A

【答案】4

【分析】此题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解决此题关键;

根据角平分线的性质可得OE=。尸=1然后根据三角形面积公式可得答案；

【详解】解：；4。为△NBC的角平分线，DE±AB,DF±AC,

DE=DF=\

■：AB=5,AC=3

一^AABC_34BDTQ"CZ>

=-ABDE+-ACDF

22

=—1x5-xl+—1x3…xl

22

=4

故答案为：4；

4.如图，在△45。中，为/氏4C的平分线，DEJ.AB于E,DF_LAC于F,△45。的面积是28cmz,

AB=20cm,AC=Scxn,求。£的长.

【答案】DE=2cm

【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出。£=。尸，根据三角形面积公式推出

S"BC~S"BD+S&ACD-^DE（AB+AC）,代入数据求解即可.

【详解】解：•••40为/8/C的角平分线，DEJ.AB,DF1AC,

■■DE=DF,

.V-v_i_v

,•Q"BC-丁2"CD

=-ABDE+-ACDF

22

=-ABDE+-AC-DE

22

=^DE-（AB+AC）

,・•△45。的面积是28cm2,AB=20cm,AC=8cm,

.-.28=1£>£（20+8）

解得DE=2cm.

考点七角平分线的性质的实际应用（共4题）

1.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉

亭的位置应选在（）

A.△ABC三条中线的交点B.△ABC内任意一点

C.△/8C三条高所在直线的交点D.△Z8C三条角平分线的交点

【答案】D

【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于凉亭到草坪三条边的距离相等,

所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是8c三条角平分线的交点.由此即可确定凉亭位置.

【详解】•••凉亭到草坪三条边的距离相等，

•,・凉亭选择△N3C三条角平分线的交点，

故选：D.

2.如图，4、BI、C7分别平分28/C、NABC、ZACB,ID±BC,△ABC的周长为18,ID=4,则

△48C的面积为（）

A

A.18B.30C.36D.72

【答案】C

【分析】本题考查了角平分线的性质，过/点作血，43于。不上4c于F,利用角平分线的性质得到

+S+

IE=IF=ID=4,然后根据三角形面积公式得到S”5cA1BCS^IAC=2(AB+BC+AC),掌握角平分

线的性质是解题的关键.

【详解】解：如图，过/点作"_L4g于E,/F_L/C于尸，

：［E=IF=ID=4,

…S4ABe=SAABI+S"BC+S"AC

=—x^45x4+—x5Cx4+—x^4Cx4

222

=2(Z3+BC+ZC)

=2x18

=36.

故选：C.

3.将一张面积为45cm2的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1,使点3落在/C边上的点？处,

折痕所在的直线为心如图2,使点A落在3c边上的点H处，折痕所在的直线为34与4相交于点O.经

测量得知，纸板的三边48,AC,3C的长分别为10cm,15cm,20cm,则点。到4c的距离为cm.

【答案】2

【分析】根据题意可得，点。是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点。到三边的距离都相等，设

点。到三边的距离为〃，根据三角形面积的计算方法即可求解.

【详解】解：•••点5落在NC边上的点?处，折痕所在的直线为4,

是NBAC的角平分线，

•・•点A落在3c边上的点H处，折痕所在的直线为/?，

.•4是2N2C的角平分线，

.••点。是角平分线的交点，如图所示，连接OC,

.••点。到三边的距离都相等，设点。到三边的距离为力，

2

：•s&ABC=S&AOB+SABOC+S&AOC，且N8AC,3c的长分别为lOcui,15cm,20cm，S&ABC=45cm,

•'1=—AB»h=—x10«/z=5h,SA=—BC*h=—x.15h=—h,S^.=—AC*h=—x20A=10A,

22ZAZKJrCZ)Vr222ZA/lnCzcv22

/.5/z+—7z+10/z=45,

2

解得，h=2cm,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查三角形的折叠，角平分线的性质的综合，掌握角平分线的交点到角两边的距离相等,

几何图形面积的计算方法等知识是解题的关键.

4.如图，在的两边0408上分别取点M,N,连接若MP平济NAMN,NP平%2MNB.

⑴求证：OP平分/NQB；

Q)若MN=8,且APMN与AO儿W的面积分别是16和24,求线段0M与CW的长度之和.

【答案】(1)见解析

(2)20

【分析】本题主要考查了三角形的角平分线.添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面

积公式求三角形面积，是解题的关键.

(1)过点尸作尸垂足为C,过点尸作尸。，MV,垂足为O,过点尸作尸£，。5,垂足为E,先利

用角平分线的性质定理可得PC=PE=P。，再利用角平分线判定定理，即可解答；

(2)根据S/MN=16,MN=8,可求出P£>=4,从而可得尸C=PE=PZ)=4,然后再利用

SMONP=SAPMN+SAOMN=SAPOM+S.PON，进行计算即可解答.

【详解】(1)如图，过点夕作尸垂足为C,过点夕作尸。，肱V,垂足为。，过点尸作夕

垂足为反

•・,MP平分/AMN,PCLOA,PDLMN,

PC=PD,

,：NP斗分4MNB,PD1MN,PELOB,

PD=PE.

・•.PC=PE,

.•.O尸平分N/O5；

(2)SWN='6,

.-,-MNPD=16,

2

•:MN=8,

.-.-x8xPZ)=16.

2

••.PQ=4.

/.PC=PE=PD=4.

24

*•-S^OMN=，

SMONP=S4PMS4OMN=40.

SgoM+SAPON=40.

OMPC+-ON-PE=40,

22

即,(Wx4+goNx4=40.

.-.OM+ON=20,

故线段OM与ON的长度之和为20.

考点八作角平分线（共4题）

1.如图，在△N8C中，BD平分NABC,以点/为圆心，以任意长为半径画弧交射线NC于两点，分

别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点£,作射线工£,交BD于点1,连接C7,以下

说法错误的是（）

A./到48,ZC边的距离相等B.C7平分//CB

C./到4B,C三点的距离相等D./是三角形三条角平分线的交点

【答案】C

【分析】本题考查尺规作图，三角形的角平分线的性质，根据作图先判断北平分-A4C,再由三角形角

平分线的性质解答即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图和角平分线的性质.

【详解】解：由作图可知，小是的平分线，

到褴，/C边的距离相等，故选项A正确，不符合题意；

・：BD平分/ABC,三角形三条角平分线交于一点，故选项D正确，不符合题意；

;.C/平分故选项B正确，不符合题意；

二/到边48,AC,2C的距离相等，不是到A,B,C三点的距离相等，故选项C错误，符合题意；

故选：C.

2.如图，在△4BC中，以点/为圆心，/C的长为半径作弧，与8。交于点£,分别以点E和点C为圆心、

大于;EC的长为半径作弧,两弧相交于点尸,作射线"交8C于点D.若NB=35°,ZC=2/CAD,则ZBAE

的度数为（)

A

A.15°B.25°C.30°D.35°

【答案】B

【分析】本题考查了作图-基本作图，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法.

根据作图过程可得，&是EC的垂直平分线，也是/C4E的角平分线，可得

AE=AC,NADB=NADC=90。,再根据/8=35。，ZC=2ZCAD,即可求出NC4D=30。的度数，进而即

可求解.

【详解】解：由作图过程可知：

"是EC的垂直平分线，也是/C4E的角平分线，

AE=AC,ZADB=NADC=90°,

•；/B=35°,

ABAD=55°,

•1•ZC=2ZCAD,

.-.3ZCAD=90°,

ACAD=30°,

:.ZEAD=3O°,

.,./5/E=55°-30°=25°.

故选：B.

3.如图，在RtZ\/3C中，ZC=90°,以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交/C于点。，E,

再分别以点。，E,为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点尸，作射线互交BC于点G,

2

若45=16,CG=4,贝!的面积是

【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得招为-A4c的平分线，过点G作

于点X,根据角平分线的性质可得G〃=CG=4,再利用三角形面积公式计算即可.

【详解】解：过点G作G”，AB于点H,

由作图可得，4为，氏4c的平分线，

•••ZC=90°,

GH=CG=4,

•••SA,BG=；/"G"=；X16X4=32.

故答案为：32.

4.如图，已知点P为2/8C内一点，用两种不同方法利用直尺和圆规确定一条过点P的直线，分别交

AB,BC于点E,F,使得BE=BF.（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

【答案】见解析

【分析】本题考查基本作图，解题的关键是理解题意，灵活应用基本作图解决问题，属于中考常考题型.

方法一，①截取3M=8N,②过P作4W的平行线，分别交48,3c于点E,F,直线所即为所求；

方法二，作的平分线，过P作角平分线的垂线，分别交N8BC于点E,F,即可.

【详解】解：方法一，①在/B3c上截取=连接PM,MN,

②过P作MV的平行线，分别交/BBC于点、E,F.

如图，直线斯即为所求.

A

B]NMC

-MN\\EF,

ABMN=ABEF,ABNM=ABFE,

•••BM=BN,

・•.ZBMN=ZBNM,

/BEF=/BFE,

；・BE=BF.

vZEBD=ZFBD,ZEDB=ZFDB=90°,BD=BD,

；・BE=BF.

考点九直角三角形全等的判定与综合（共4题）

1.如图，在△4BC中，NC=90。，40平分/A4C,DE^AB^E,有下列结论：①CD=ED；②

AC+BE=AB；（3）ZBDE=ABAC-④AD平分NCDE；⑤4公。：=/。：刖，其中正确的有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

【答案】A

【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，由角平分线的性质可

以判断①；证明RtANOC空Rt-OE（HL）可以判断②；由同角的余角相等可以判断③；由

RtA/DCgRM/OE,根据全等三角形的性质可以判断④；利用三角形面积和角平分线的性质可以判断⑤；

熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解:①*."=90。,

：.BC±AC,

・・・皿平分N34C,DE1AB,

:.CD=ED,故①正确；

②由①得

•••DE_LAB,

；,/AED=/ACD=90。,

在Rt„ADC和Rt"DE中，

[CD=ED

[AD=AD

AC=AE,

，AC+BE=AE+BE=AB,故②正确；

③•・•DEIAB,

；,/AED=/BED=900,

・•.ZB+ZBDE=90°,

vZC=90°,

・•.NB+NB4c=90。,

/.ZBDE=ZBAC,故③正确；

④由②得：RM4DC名,

/ADC=/ADE,

;・AD平分NCDE,故④正确;

S^ACD-AC-CD

⑤由2_______

q1

3ABD-ABDE

2

VCD=ED,

v-ACCDA”C

QANCD2_

S&ABD-ABDEAB

2

>SAABD二AC:AB,故⑤正确,

综上①②③④⑤正确，共5个,

故选：A.

2.如图，在四边形中，AD=CD,BD平分N4BC,作。于点BC=9,AB=5,则"C

7

CD.-

-14

【答案】B

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，过点。作创交A4延长线于E,证明

△DBEmADBH（AAS）,得到。E=Z>",BE=BH,再证明RM/DE空RMCDH,得到/E=S,据此根据

线段的和差关系求解即可.

【详解】解：如图所示，过点。作DEL胡交胡延长线于£,

ZDEB=ZDHC=ZDBH=90°,

・；BD平分N4BC,

；,ZDBE=ZDBH,

.・.ADBE%DBH〈AA^,

/.DE=DH,BE=BH,

又AD=CDf

.•.RGADE会RtKDH(HL),

・•.AE=CH,

••・BC=BH+CH=BE+CH,

BC=AB+AE+CH=AB+2cH,

vBC=9,AB=5,

；.CH=2,

故选：B.

3.如图，CAYAB,垂足为点，，AB=8,AC=4,射线垂足为点8,一动点£从/点出发以2

个单位/秒的速度沿射线期运动，点。为射线9上一动点始终保持ED=C8,当点E运动秒时，

“DEB与ABCA全等.

【答案】。或2或6或8

【分析】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键.首先根据题意

可知，本题要分两种情况讨论：①当E在线段A5上时，②当E在射线RV上时；再分别分成两种情况

AC=BE,AB=BE,结合已知即=C8,运用HL即可得出A。班与ZXBC/全等，然后分别计算空的长

度即可.

【详解】解：••・C/_L48,BM上AB,

ZCAB=ZABD=NDBN=90°,

-：BC=DE,

.,.当/C=8E或=时，ADEB与4BCA全等;

①当E在线段初上，NC=8E时，"ACBABED,

•••AC=4,

BE=4,

4£=8—4=4,

・・•点E的运动时间为4+2=2（秒）；

②当E在3N上，时，小ACBaBED,

•・・ZC=4,

二.BE=4,

/石二8+4二12,

.・•点E的运动时间为12+2=6（秒）；

③当E在线段48上，=时，AACB知BDE,

这时£在A点未动，因此时间为0秒；

④当E在册上，=时，AACB知BDE,

AE=8+8=16,

点石的运动时间为16+2=8（秒），

故答案为：0或2或6或8.

4.如图，平分NB4C,DEJ,4B于点、E,DF上AC于点、F,若BD=CD.

（1）求证：BE=CF；

⑵己知48=10,/C=18,求5E的长.

【答案】（1）见解析

⑵4

【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的

判定是解题的关键.

（1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可；

（2）根据全等三角形的判定得出4曲《根据全等三角形的性质得出4E=/尸，即可得出答案.

【详解】（1）证明：•・•/£＞平分N8/C,DEJ.AB于点、E,DF，AC于点、F,

■.DE=DF,NE=NDFC=90°,

在RGDBE和RtADCF中,

DB=DC

[DE=DF'

.•.RMQ8E之RMQCF(HL),

：.BE=CF；

(2)解：由(1)得DE=DF,NE=NDFC=90。,BE=CF,

在和尸中，

ZE=ZAFD=90°

<ZEAD=/FAD

AD=AD

・•・RM4OE丝RMADF(AAS),

AE=AF,

/.AB+BE=AC-CF,

即10+8E=18-C斤，IO+BE=IS-BE,

BE=4.

考点十含30度角的直角三角形（共4题）

1.如图，在△4BC中，AB=AC,/C=30。，点。是的中点；过点、D作DE人AB交BC于点E,

DE=2,则CE的长度为（）

【答案】B

【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰

三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，30。的角所对的直角边是斜边的一半是解决

问题的关键.连接烈，先求出48=/C=30。，ZBAC=120°,再根据线段垂直平分线的性质得，

BE=AE,由此得NB=NZME=30。，进而利用直角三角形的性质得/幽=2/宏=4,然后求出/C/E=90。，

再利用直角三角形的性质即可求出CE的长.

【详解】解：连接北，如图：

在△ABC中，AB=AC,ZC=30°,

NB=NC=30°,

ABAC=180°-(ZS+ZC)=120°,

••,点。是4B的中点，DEJ.AB,

・•.OE是线段他的垂直平分线，

BE=AE,

NB=ND4E=30°,

在Rb/OE中，ZDAE=30°,DE=2,

AE=IDE=4,

■：ABAC=no°,ZDAE=30°,

NCAE=ZBAC-ZDAE=120°-30°=90°,

在RtAC4E中，ZC=30°,AE=4.

CE=2AE=8.

故选：B.

2.如图，在△48。中，ZC=90°,NB=15°,力的垂直平分线交BC于点。，交4B于点、E.若

C.6cmD.7cm

【答案】C

【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30。角的直角三角形的性质，解题

关键是利用垂直平分线的性质添加辅助线构造等腰三角形.

根据垂直平分线的性质得出=12cm,根据等边对等角得出N/DC=30。，然后根据含30度角的直角

三角形的性质，即可求解.

【详解】解：如图，连接3,

・••OE是他的垂直平分线，Z)S=12cm,

DA=DB=12cm,

•.-ZS=15°,

:.ND4B=/B=15°,

ZADC=ZDAB+ZB=30°,

在A/CA中，ZC=90°,

AC=—AD=—DB=6cm.

22

故选：C.

3.如图，等边△4BC中，点P是C4延长线上一点，点。是3c上一点，且依=即.若CP+CD=10,

BD=3,则48的长为.

【分析】本题主要考查了含有30度的直角二角形、等腰二角形的性质、等边二角形的性质等内容，熟练掌

13

握相关知识是解题的关键.由=可过尸作垂直，利用三线合一求出。=：,再设CD=x,则

22

CP=10-x,CM=x+~,最后在RM尸CH中，利用30度所对直角边是斜边的一半建立方程，求出x,进而

求出2C,即可得解.

【详解】解：过P作尸于点

p

PB=PD,BD=3,

BMD

13

:.DM=—BD=一,

22

3

设S=贝IJCM=CQ+Z)M=X+5,

\'CP+CD=10,

：.CP=10-x,

・・•△力5C是等边三角形,

.-.zc=60°,AB=BC,

・・•PM_LBC,

ZPMC=90°,

4Mpe=30°,

131

：.CM=-CP,BP%+j=1(10-x),

7

解得X=J

:.BC=BD+CD=3+-=—,

33

AB=—.

3

故答案为：—.

4.如图，在ZU3C中，AB=AC,。是“3上的一点，过点。作。于点E,延长即和。，交于点

F.

(1)求证：△/£＞尸是等腰三角形;

(2)若/尸=30。，BD=4,EC=6,求ZC的长.

【答案】⑴见解析

(2)8

【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点.解决本题的关键是熟练掌

握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征.

(1)由4B=/C,可知=再由DE12C,可知/尸+NC=90。，NBDE+NB=9Q,然后余角的性

质可推出ZF=NBDE,再根据对顶角相等进行等量代换即可推出NF=ZFDA,于是得到结论；

(2)根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到BE,再由N3=NC可证明△4BC是等边三角形,

最后可得答案.

【详解】(1)证明：=

.­.NB=NC,

•••FELBC,

：.ZF+ZC=90°,ZBDE+ZB=90°,

ZF=ZBDE,

而ZBDE=ZFDA,

ZF=ZFDA,

AF=AD,

.一/〃下是等腰三角形；

(2)W：■-DEIBC,

NDEB=90°,

-30。,BD=4,

：.BE=LBD=2,ZC=90°-ZF=60°,

2

VAB=AC,

.•.△4BC是等边三角形，

；.AC=BC=BE+EC=8.

考点十一斜边的中线等于斜边的一半(共4题)

1.如图，在△4BC中，ZABC=90°,点£为NC的中点，在