沪教版九年级数学常见题型重难点专练：相似三角形中的“一线三等角”模型（原卷版+解析）

重难点专项突破04相似三角形中的“一线三等角”模型

【知识梳理】

一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，

也可以是锐角或钝角。或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形

形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：

当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往

是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

一般类型：

基本类型:

同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”

【考点剖析】

例1.如图，直角梯形ABC。中，AB//CD,/4BC=90。，点E在边8C上，AD=10,

ECCD4

求AAED的面积.

D

例2.已知：如图，△/8C是等边三角形，点久£分别在边8aAC±,//庞=60°.

(1)求证：丛ABD^丛DCE；

(2)如果46=3,EC=Z,求"的长.

例3.已知，在等腰AASC中，AB=AC=10,以BC的中点。为顶点作NEDF=NB,分别交4B、AC于点

E、F,AE=6,AF=4,求底边BC的长.

例4.已知：如图，ABLBC,AD//BC,AB=3,AD=2.点?在线段四上，联结7%过点，作功的垂

线，与以相交于点C设线段/尸的长为工

(1)当加5=4?时，求线段PC的长；

(2)设△勿C的面积为y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

(3)当△/々s△加C时，求线段6c的长.

D

例5.在梯形力阅9中8GAD=AB=l,BC=2,NA=90°.（如图1）

（1）试求NC的度数；

⑵若反尸分别为边/43上的两个动点（不与端点/、D、C重合），且始终保持NE5b=45°,8。与所

交于点尸.（如图2）

①求证：ABDEsAfiCF；

②试判断ABM的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明；

③设AE=x,OP=y,试求y关于x的函数解析式，并写出定义域.

（图2）-

【过关检测】

一、填空题

1.如图，在四边形A3CD中，0A=0D=12O°,48=6、4。=4,点及尸分别在线段A。、DC1.（点E与点

A、。不重合），若aBEE=120°,AE=x,DF=y,则y关于x的函数关系式为

AED

2.如图，四边形ABCD中，AB0CD,回C=90。，AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上一动点，若

AP0DP,贝I]BP的长为.

3.如图，在矩形ABC。中，BC=6,AB=2,RtABEP的顶点E在边或延长线上运动，且回8所=90。,

4.如图，在等边0ABe中，P为BC上一点,。为AC上一点，且SAPZ)=60。，2BP=3CD,BP=1.

(1)求证13ABpaaPCZ)；

(2)求0ABe的边长.

5.如图，在正方形A3CD中，点£在&。上，历_LBE交C。于点尸.

(1)求证：AABE-ADEF；

(2)连结8尸，若MBE〜AEBF,试确定点E的位置并说明理由.

6.如图，在AABC中，Afi=AC=10,BC=15,点。为边BC上一点，且3D<CD,点E为AC中点,

ZADE=NB.

(1)求80的长.

(2)求证：DA=DE.

7.如图，已知四边形ABCD,0B=0C=9O°,P是BC边上的一点，回APD=90°.

(1)求证：AABP-APCD；

(2)若BC=10,CD=3,PD=3&\求AB的长.

8.【感知】如图①，在四边形A8C。中，点尸在边上（点尸不与点A、8重合），

ZA=ZB=ZDPC=90°.易证3c.（不需要证明）

【探究】如图②，在四边形A3C。中，点尸在边上（点尸不与点A、2重合），ZA=NB=NDPC.若

PD=4,FC=8,BC=6,求AP的长.

【拓展】如图③，在AABC中，AC=BC=8,AB=12,点尸在边AB上（点尸不与点A、B重合），连结

CP,作NCPE=NA,PE与边BC交于点E,当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长.

图①图③

9.在矩形ABCD的。边上取一点E,将ABCE沿BE翻折，使点C恰好落在AO边上点/处.

（1）如图1,若BC=2BA,求NCBE的度数；

（2）如图2,当AB=5,且A?ED=10时，求BC的长;

(3)如图3,延长E尸，与/ABb的角平分线交于点M,BM交AD于点、N,当NP=4V+FD时，求一

出的值.

10.如图，在矩形ABC。中，E为的中点，£7泡EC交AB于尸，延长尸E与直线CD相交于点G,连接

FC(AB>AE).

⑴求证：SAEF^SiDCE；

(2)EAEF与回ECP是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

⑶设黑=%，是否存在这样的人值，使得她所与&BBC相似？若存在，证明你的结论并求出左的值；若不

BC

存在，请说明理由.

11.如图，正方形ABCD的边长为1,点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在

BE的上方作正方形BEFG,连接CG.

(1)求证：4AEB沿乙CGB；

(2)若设AE=x,DH=y,当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值;

(3)连接BH,当点E运动到AD的何位置时有△的

12.如图，在四边形A3CD中，AD//BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2,若点P是4。上的一点,

且4PC=NA,求证：△ABPS^DPC.

APD

BC

13.在矩形ABC。中，E为。C边上一点，把VADE沿AE翻折，使点。恰好落在8c边上的点R

(1)求证：AABF-AFCE；

(2)若AB=2G，AD=4,求EC的长.

14.如图，AABC为等腰直角三角形，13A=90。，D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC上，且EIDEF=

45°.

(1)求证：△BEDH3CFE；

(2)若BD=3,BE=20,求CF的长.

15.如图，正方形ABCD的边长等于由，尸是3C边上的一动点，HAPB,SAPC的角平分线PE、尸厂分别

交A8、CD于E、尸两点，连接EF.

(1)求证：EIBEP0EICPF；

(2)当国出8=30。时，求IBPEF的面积.

16.(1)问题

如图1,在四边形ABC。中，点P为A3上一点，当/DPC=NA=/3=90。时，求证:

ADBC=APBP.

(2)探究

若将90。角改为锐角(如图2),其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由.

(3)应用

如图3,在AABC中，AB=2四,/B=45。，以点A为直角顶点作等腰点。在BC上，点、E

在AC上，点尸在8C上，且NEFD=45°,若CE=A/L求以)的长.

17.如图，己知边长为10的正方形ABCD,E是8C边上一动点(与B、C不重合)，连结G是BC延

长线上的点，过点E作AE的垂线交/OCG的角平分线于点尸，若FGLBG.

(1)求证：AABESAEGF；

(2)若EC=2,求△CEF的面积；

(3)请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大.

5ECG

18.在RSABC中，ABAC=90°,M=AC=2,点。在2C所在的直线上运动，作NAT>E=45。（A、

D、E按逆时针方向）.

（1）如图，若点。在线段BC上运动，DE交AC于E.

①求证：AABDsADCE；

②当VADE是等腰三角形时，求AE的长；

（2）如图，若点。在BC的延长线上运动，OE的反向延长线与AC的延长线相交于点E,是否存在点

。，使几位汨'是等腰三角形？若存在，求出线段8的长度；若不存在，请简要说明理由；

（3）若点£）在BC的反向延长线上运动，是否存在点。，使VADE是等腰三角形？若存在，写出所有点

。的位置；若不存在，请简要说明理由.

19.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边上动点（不与民C重合）.连接AE,过点E作所，A瓦交

DC于点F.

⑴求证：NABE:7ECF；

（2）连接AF,试探究当点E在8C什么位置时，NBAE=NEAF,请证明你的结论.

20.如图，在AABC中，点ZXE分别在边BC、AC上，连接AD、DE,ZBZADE=ZC.

（1）证明：ABDAsMED；

（2）若N3=45。,3c=2,当点。在8C上运动时（点。不与B、C重合），且V4）E是等腰三角形，求此

时的长.

重难点专项突破04相似三角形中的“一线三等

角”模型

【知识梳理】

一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个

角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫“K字模型”。

三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以

矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，

几种常见的基本图形如下：

一般类型:

基本类型:

同侧“一线三等角”异侧“一线三等角”

【考点剖析】

ADRFQ

例1.如图，直角梯形A8C。中，A8〃C£),ZABC=90。，点E在边BC上，且一=一=-,

ECCD4

AD=10,求的面积.

D

【答案】24.

【解析】VZABC=90,AB//CD,

ZDCB=ZABC=90.

又・.・-=—=/.AABE^AECD.

ECCD4

,ZAEB=ZEDC./.—.

EDEC4

•・・/EDC+/DEC=90,

二.ZAEB+/DEC=90./.ZAED=90.

在R/AAED中，:AD=10,.".AE=6,ED=8.5^^=24.

【总结】本题考查一线三等角模型的相似问题，还有外角知识、平行的判定等.

例2.已知：如图，△49C是等边三角形，点久£分别在边8G/C上，//庞=60°.

(1)求证：&ABM&DCE；

(2)如果四=3,£C=2,求小的长.

3

【分析】（1）是等边三角形，得到/6=/C=60°,AB=AC,推出/&/=/期

得到△/物s△力您

（2）由△/如△〃"，得到理=理，然后代入数值求得结果.

ABDC

【解答】（1）证明：•••△力8。是等边三角形，

：.ZB=ZC=60Q,AB=AC,

•:/B+/BAD=2ADE+/CDE,/B=/ADE=60°,

:./BAg/CDE

：.4ABD^丛DCE；

(2)解:由(1)证得A4即s△OCE,

.BD=CE

"ABDC'

设CD=x,则BD=3-x,

2_

•.•3-x-—3-，

3x

x—1或x—2,

."C=l或%=2.

【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，注意数形结合和方

程思想的应用.

例3.已知，在等腰AA6C中，AB=AC=10,以2C的中点。为顶点作=,分

另(J交4?、AC于点E、F,AE=6,AF=4,求底边的长.

【答案】476.

［解析】VZEDC^ZB+ZBED,

而ZEDC=ZEDF+ZFDC,

•.ZB+ZBED=ZEDF+AFDC.

XvZEDF=ZB,..ZBED=ZFDC.

:AB=AC,..ZB=ZC.

.BEBD

:.空DBsM)CF.

,~DC~~CF'

.10-6_BD

.DC»BD=24.

…DC-10—4,

X-：CD=DB=-BC,.•.BC=4后

2

【总结】本题是对“一线三等角”模型的考查.

例4.己知：如图，ABLBC,AD//BC,AB=3,49=2.点户在线段上，联结PD,过

点〃作刃的垂线，与死相交于点C.设线段/2的长为x.

(1)当AP=4)时，求线段A7的长；

(2)设△如C的面积为为求了关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

(3)当△/阳s△即:时，求线段6c的长.

满分解答：

（1）过点C作或，交4?的延长线于点£.

ABVBC,CELAD,PDLCD,AD//BC,

：.Z.ABC=/AEC=Z.PDC=90°,

CE二AB=3.

；AD//BC,：.N4+NABC=180°.即得//=90°.

又；ZADC^ZDCE+ADEC,ZADC^ZADP+ZPDC,

：.Z.ADP=4DCE.

又由NA=/DEC=90°,得XAPMXDCE.

ADAP

~CE~DE

于是,由/3=49=2,得DE=CE=3.....................（2分）

在脱△加力和RtZXOCS'中,

得PD=2亚,CD=3日..................................（1分）

于是，在RtZ\W中，得PC={PD。+CD?=J8+18=每.（1分）

（2）在少中，由AD=2,AP=x,

得PD=G+4..........................................（1分）

AnPD

•・•MAPMXDCE,：.——二—.

CECD

CD=-PD=-s/x2+4..................................（1分）

22

在Rt△户切中，Sg.尸。.CD=；x|（6+4）2=|X2+3.

/.所求函数解析式为y=（/+3...........................（2分）

函数的定义域为0<xW3..................................（1分）

（3）当△APAADPC时,即得XAPD^XDPCsXDCE........（1分）

根据题意，当如s△勿&时，有下列两种情况：

（i）当点户与点6不重合时，可知AAPD=ZDPC.

越=殁.即得APDE

由△APMXDCE,得

DEDC而一~CD

APAD

由△APD^△DPC,得

~PD~~DC.

ADDE

・.—.即nri得DE二AD=2.

CDCD

AE=4.

易证得四边形/犯S'是矩形，，BC-AE-4.（2分）

（ii）当点户与点6重合时，可知ZABD=ADBC.

在Rt△/初中，由"=2,46=3,得BD=岳.

ADBD

由△ABD^ADBC,Z得H一=—.

BDBC

即得三二史.

A/13BC

n

解得BC=-.-（2分）

2

13

/.△8C时，线段a1的长分别为4或一.

2

方法总结

本题重点在于：过点C作血交/。的延长线于点反（构造一线三角，出现相似

三角形，进行求解）

例5.在梯形/阅9中，4。〃a；AD=A3=l,BC=2,NA=90°.（如图1）

（1）试求NC的度数；

（2）若区尸分别为边/久缪上的两个动点（不与端点力、4C重合），且始终保持/石8/=45°,

BD与EF交于点P.（如图2）

①求证：ABDE^ABCF；

②试判断ABE尸的形状（从边、角两个方面考虑），并加以说明；

③设AE=x,OP=y,试求y关于％的函数解析式，并写出定义域.

(1)作DH工BC,垂足为"，

在四边形ABHD中，AD//BC,=43=1,NA=90°,

则四边形为正方形

又在ACDH中，NDHC=90°,DH=AB=T,CH=BC—BH=1,

.1800-ZDHC_=

・・N.Cz——43.

2

(2)①•.•四边形为正方形,

ZCBD=45°,ZADB=45°,

又；NEBF=45°,

：.ZDBE=ZCBF

又；NBDE=NC=45°,

/.ABDESABCF.

②ABER是等腰直角三角形,

■:ABDEsABCF,

,BEFB

•♦茄-ZF'

又ZEBF=NDBC=45°,

AEBFsADBC,

又在ADBC中，NO3C=NC=45°,为等腰直角三角形,

ABER是等腰直角三角形.

f—x-xA/2X—\p2.x~

③y=J2x-------(0<x<l).

1+x1+X

方法总结

第三问方法提示：过点P作AD的垂线于点H,构造一线三直角相似，进行求解，很简单。

【过关检测】

一、填空题

1.如图，在四边形A8C。中，0A=0£>=12O°,AB=6,AD=4,点、E、尸分别在线段A。、DC

上（点E与点A、。不重合），若SBEF=120。，AE=x,DF=y,则y关于x的函数关系式为

17

［答案］y=~~zx

o3

【分析】根据题意证明△AB石s△DEF,列出比例式即可求得y关于x的函数关系式

【详解】解：•.•团4二回0=120°,^\BEF=120°,

二ZAEB+ZDEF=ZDEF+ZDFE=60°

ZAEB=ZDFE

△AREs/\DFF

AEDF

AB-DE

AB=6>AD=4,AE=x、DF=y,

.「二y

64-x

1-、

「•尸二(4_%)

i?

即,=__X2+-X(0<X<4)

17

故答案为：y=一工九2+彳1

63

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，函数解析式，掌握相似三角形的性质与判

定是解题的关键.

2.如图，四边形ABCD中，AB团CD,回C=90°,AB=1,CD=2,BC=3,点P为BC边上一

动点，若AP团DP,则BP的长为.

【答案】1或2

【分析】设BP=x,则PC=3-x,根据平行线的性质可得回B=90。，根据同角的余角相等可得

团CDP二团APB,即可证明团CDP酿BPA,根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案.

【详解】设BP二X,则PC=3-x,

©AB回CD,回C=90°,

加B=180°-团090°,

团团B二团C,

国AP团DP,

酿APB+团DPC=90°,

幽CDP+团DPC=90°,

加CDP二团APB,

酿CDP如BPA,

ABPB

团---=---，

PCCD

回AB=LCD=2,BC=3,

解得：Xl=l,X2=2,

0BP的长为1或2,

故答案为：1或2

【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的对应边成比例列方程

是解题的关键.

3.如图，在矩形A8CD中，BC=6,AB=2,RtABEP的顶点E在边或延长线上运

动，且EIBEP=90°,EF=；BE,DF=M,则3E=.

【答案】3卮

【分析】过F作FG团CD,交CD的延长线于G,依据相似三角形的性质，即可得到FG=g

EC,GE=2=CD；设EC=x,则DG=x,FG=；x,再根据勾股定理，即可得到CE2=9,最

后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长.

【详解】如图所示，过尸作FG0C。，交CD的延长线于G,则回G=90。，

EBC=90°,AB=CD=2,

又H3B£F=90°,

IBELFEG+EIBEC=90°=^EBC+^BEC,

^FEG^EBC,

又EBC=[3G=90°,

00BC£00£GF,

FGGEEFanFGGE1

ECCBBEEC63

^FG=-EC,GE=2=CD,

3

回。G=EC,

设EC=x,则。G=x,FG—^x,

回RtElPDG中，FG2+DG2=DF2,

0(1x)2+x2=(如)2,

解得无2=9,

即C呼=9,

0Rt0BCE中，BE=7CE2+BC2=J9+36=3出,

故答案为：36.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角

形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的

作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图

形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形.

二、解答题

4.如图，在等边0ABe中，P为BC上一点、,。为AC上一点，且0Apz)=60。，2BP=

3CD,BP=l.

(1)求证0ABpEEPQ)；

(2)求0ABe的边长.

【答案】(1)证明见解析；(2)3.

【分析】(1)由0ABC是等边三角形，证明SB=^C=60。，再利用平角的定义与三角形的内

角和定理证明：aBE4=aPDC,从而可得结论；

(2)由23P=3CZ),8P=1,先求解CD,AB—BC=x,再利用相似三角形的性质可

得：备=器’列方程，解方程即可得到答案.

【详解】证明：(1)回0ABe是等边三角形，

SAB=BC=AC,0B=0C=6O°,

180°且回AP£)=60°,

00BB4+0£)PC=12O°

EEIZ)PC+EC+13Poe=180°,

ffl£>PC+0PDC=12O°,

00ABP00PCD；

(2)^2BP=3CD,且8P=1,

iacr>=2,

3

丽A3用团PC。

BPAB

'~CD~~PC'

^AB=BC=x,则尸。=九一1,

1x

3

2।

团一x=x—I,

3

x—3,

经检验：x=3是原方程的解，

所以三角形A3c的边长为：3.

【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，分式方程的解法，

掌握三角形的判定及利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键.

5.如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF_LBE交CO于点尸.

（1）求证：AABE-ADEF；

（2）连结所，若AABE〜AEBF,试确定点E的位置并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）点E为的中点.理由见解析

【分析】（1）根据同角的余角相等证明尸，再由直角相等即可得出两三角形相似

的条件；

（2）根据相似三角形的对应边成比例，等量代换得出三=下，即可得出。氏AE.

DEAE

【详解】（1）证明回四边形A3CZ）是正方形，

团0A=回0=90°,

瓯AEB+M3090°,

团E7唱3E,

RO1AE3+团。E尸=90°,

^\ABE=^\DEF.

在和△£）£；/中，

（ZABE=ZDEF

[ZA=ZD

m^BE^DEF；

（2）m\BE^DEF,

ABBE

团---=----，

DEEF

^ABE^\EBF,

ABBE

团---=---，

AEEF

ABAB

团---=---，

DEAE

^\DE=AEf

回点E为AD的中点.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据等角的余角相等证出两角相等是

解决（1）的关键，根据相似三角形的对应边成比例等量代换是解决（2）的关键.

6.如图，在44BC中，AB=AC=10,BC=15,点。为边8C上一点，且3D<CD,点

E为AC中点，ZADE=ZB.

(1)求3。的长.

(2)求证：DA=DE.

【答案】(1)5；(2)证明见解析；

【分析】(1)先证明出△ABD回ADCE,得出照=%，假设BD为X,则DC=15-x,代

DCCE

入分式方程求出BD的长；

(2)由(1)可知NB=NC,推出△ABD回△OCE,得出结果；

【详角军】(1)回AB=AC=10,0ZB=ZC,

0ZADE=ZS,018O°-ZA£>E=18O°-ZB,

团ZADB+NEDC=NADB+/BAD,®NEDC=NBAD,

…nAABBD

回△ABD回△DCE,0一=一,

DCCE

回E为AC中点，0C£=-AC=5,

2

回8c=15,设BD=x,贝IJDC=15—x,

inx

即：-一==，解得：玉=5,%=10，

15-x5

田BD<CD,

回BD=5.

(2)由(1)可知_BD=CE=5,[21AB=DC=10,mAB=Z.C,

BD=CE

在△ABD和△DCF,中，＜ZB=ZC,0△ABDEI△OCE（SAS）

AB=DC

^\DA^DE

【点睛】本题考查三角形全等的性质，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握相关性

质并灵活运用.

7.如图，已知四边形ABCD,0B=0C=9O°,P是BC边上的一点，0APD=9O°.

（1）求证：AABP〜APCD；

（2）若BC=10,CD=3,PD=36\求AB的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）8.

【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余、角的和差可得/及声=NCPD,再根据相

似三角形的判定即可得证;

（2）先利用勾股定理求出PC的长，从而可得BP的长，再利用相似三角形的性质即可

得.

【详解】（1）ZB=ZC=90°,ZAPD=90°,

ZBAP+ZAPB=ZCPD+ZAPB=90°,

:.ZBAP=ZCPD,

NBAP=NCPD

在AABP和APCD中,

ZB=ZC'

:.AABP~^CD；

（2）,在R/VPCD中，CD=3,PD=3^5,

PC=^PD2-CD2=6,

•.­BC=10,

:.PB=BC-PC=4,

由（1）已证：AABP-APCD,

ABPB„AB4

■■■——=——,即n——=-,

PCCD63

解得AB=8.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形

的判定与性质是解题关键.

8.【感知】如图①，在四边形ABC。中，点尸在边A8上（点P不与点A、8重合），

ZA=ZB=ZDPC=90°.易证△ZMPs^pgc.（不需要证明）

【探究】如图②，在四边形ABCD中，点尸在边AB上（点P不与点A、B重合），

ZA=ZB=ZDPC.若尸D=4,PC=8,BC=6,求A尸的长.

【拓展】如图③，在AABC中，AC=BC=8,AB=12,点P在边AB上（点P不与点

A、8重合），连结CP,作NCPE=NA,PE与边BC交于点E,当△口，£是等腰三角形

时，直接写出AP的长.

【答案】【探究】3；【拓展】4或亍.

【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；

拓展：ffi01AACP00BP£,分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质

计算即可.

【详解】探究：证明：国/^总是人^口的外角，

^\ZDPB^ZA+ZPDA,

即Z.DPC+Z.CPB=NA+ZPDA,

^\ZA=ZDPC,

^\ZPDA=ZCPB,

XEZA=ZB,

HAZMP^APBC,

0PD=4,PC=8,BC=6,

4AP

团一二---,

86

解得：AP=3；

拓展：^AC=BC,

的4二回3,

能1cp3是△APC的夕卜角，

团团。尸3二团A+团尸CA,艮团CPE+团EP5二团A+团尸CA,

团朋二团CPE1,

团团AC尸二团8PE,

的4二回3,

^ACP^\BPE,

当。尸二CE时，国CPE二国CEP,

回团。石尸〉回3,团CPE二她二团3,

团C尸二CE不成立；

当PC=PE时，△ACP团团5P5

贝UPB=AC=8,

^AP=AB-PB=12-8=^；

当EOE尸时，^CPE=^\ECPf

团团3二团CPE,

团团EC尸二回8,

⑦PC=PB,

^ACP^BPE,

ACAPPC

°BPBEEP'

8n-PBPB

n即n——,

PBBE8-BE

解得：尸B=T，

^\AP=AB-PB=12--=—,

33

20

综上所述：回“E是等腰三角形时，AP的长为4或

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性

质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键.

9.在矩形ABCD的CO边上取一点E,将ABCE沿班翻折，使点C恰好落在AD边上点歹

处.

(1)如图1,若BC=254,求NC3E的度数;

（2）如图2,当A3=5,且AF-ED=10时，求BC的长;

（3）如图3,延长E尸，与NAB歹的角平分线交于点Af,BM交AD于点N,当

Nb=AN+FD时，求——出的值.

3

【答案】（1）15。；（2）3石；（3）-

【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到NAEB=30。，再由折叠的性质

可得到NCBE=15。；

（2）由三等角证得AfAfisAEo尸，从而得£>E=2,EF=CE=3,再由勾股定理求出

DE,则8C=AD=3/；

（3）过点N作产于点G,可证得A2VFGSABE4.再根据相似三角形的性质得出对

应边成比例及角平分线的性质即可得解.

【详解】（1）团矩形ABCD,

0ZA=9O°,AD!IBC

由折叠的性质可知BF=BC=2AB,ZCBE=-ZCBF,

2

^ZAFB=30°,

^\ZFBC=ZAFB=30°,

^\ZCBE=15°

(2)由题意可得NA=NO=90。,

ZAFB+ZDFE=90°,

NFED+NDFE=90。

^\ZAFB=ZDEF

©△FABSAEDF

AFAB

团---=---，

DEDF

AF•DF

^\DE=

AB

团EF=CE—3,

由勾股定理得DF=732-22=75，

10非,

0AF=忑=2

^BC=AD=AF+FD=3s[5■,

(3)过点N作NGLB尸于点G.

0zWGF=ZA=9O"

劝ZBFA=ZNFG

QANFGsABFA.

NGFGNF

团---=---

ABFABF

中NF=AN+FD,

222

NGFGNF

团---=---=---

ABFABF2

又回BM平分NAB/，NG.LBF,NA=90。,

团NG=AN,

^\NG=AN=-AB,

2

FGBF-BGBC-AB

赤TAN+NF=LAB+LBC2

22

整理得：——=|^.

nC5

A£

F

D

【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和

相似三角形的判定与性质的综合应用，是中考真题.

10.如图，在矩形A8CZ)中，E为的中点，ER3EC交A8于F,延长FE与直线C。相

交于点G,连接尸C(AB>AE).

(1)求证：0AER3EIOCE；

(2)04所与SECB是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；

⑶设>=左，是否存在这样的左值，使得0AEP与SBPC相似？若存在，证明你的结论并求

BC

出左的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴见解析

⑵相似，证明见解析

⑶存在，后=半

【分析】(1)由题意可得她EF+I3DEC=9O°,又由0A£F+EIAFE=9O°,可得EIDEC=a4f'E,

据此证得结论；

(2)根据题意可证得R/fflAE；迥MEIOEG(ASA),可得EF=EG,^AFE^EGC,可得CE垂直平

分FG,回CG尸是等腰三角形，据此即可证得0AE尸与SECT相似；

⑶假设她所与SBFC相似，存在两种情况：①当0AFE=aBCF,可得匹k=90。，根据题

意可知此种情况不成立；②当EAFE=SBFC,使得BAEV与SBFC相似，设BC=a,贝UAB

12

=ka,可得24月=一攵〃，BF=—ka,再由她E7回HDCE,即可求得无值.

33

【详解】(1)证明：回口WEC,

加/£。=90°,

团明跖+团。EC=90°,

回回AEF+回AbE=90°,

^\DEC=^AFE,

又回朋=回即。=90°,

^\AEF^1DCE；

(2)解：^AEF^IECF.

理由：团E为AO的中点，

^\AE=DE,

^AEF=^DEG,^\A=^EDG9

回朋EfWJDEGlASA),

WF=EG,^AFE=^1EGC.

又回ETHECE,

回CE垂直平分FG,

丽CG尸是等腰三角形.

^\AFE=^1EGC=0EFC.

又能於=回尸£。=90。，

^\AEF^\ECF；

(3)解：存在尢=坐使得0AEF与MFC相似.

理由：

假设0A所与aBFC相似，存在两种情况：

①当0APE=E1BCR则有0AEE与EIBEC互余，于是回£/C=90。，因此此种情况不成立;

②当0APE=0BFC,使得0AEF与回2/。相似，

设5C=Q,则A8=faz,

^AEF^BCF,

AFAE1

团-------——,

BFBC2

12

^\AF=—ka,BF=—ka,

33

^AEF^\DCE,

一ka

3

解得，k*

回存在k=^-使得EIAEP与回8FC相似.

【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定与及性

质，等腰三角形的判定及性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键.

11.如图，正方形ABCD的边长为1,点E是AD边上的动点，从点A沿AD向点D运动，

以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG,连接CG.

（1）求证：AAEB^ACGB：

（2）若设AE=x,DH=y,当x取何值时，y有最大值？并求出这个最大值；

（3）连接BH,当点E运动到AD的何位置时有△班以6加场？

11

【答案】（1）见解析；（2）当工=二，y有最大值:；（3）当点E是AD的中点

24

【分析】（1）由同角的余角相等得到EIABE=I3CBG,从而全等三角形可证；

ADAF

（2）先证明AABE瓯DEH,得到——=——,即可求出函数解析式y=#+x,继而求出最值.

【详解】(1)证明：00ABE+0EBC=0CBG+0EBC=9O°

fflABE=EICBG

在AAEB和ACGB中：

0BAE=0BCG=9O°,AB=BC,0ABE=0CBG

ElAAEBfflCGB(ASA)

(2)如图

团四边形ABCD,四边形BEFG均为正方形

00A=0D=9O°,0HEB=9O-

团团DEH+团AEB=90°,团DEH+团DHE=90°

酿DHE二团AEB

团4ABE团团DEH

ABAE

团---=----

DEDH

x

y

2,1、21

回y=_犬+x=-(x--)+—

故当尤=?，y有最大值：

24

(3)当点E是AD的中点时有4BEH回团BAE.

理由：0点E是AD的中点时由(2)可得AE=1,DH=\

24

又团回ABEREDEH

EH_HD_1

~^A~2

「AE

又回一=

AB2

EHAE1

0——=

BE~AB~2

又回BEH=回BAE=90°

团aBEH团团BAE

【点睛】本题结合正方形的性质考查二次函数的综合应用，以及正方形的性质和相似三角

形的判定，解答关键是根据题意找出相似三角形构造等式.

12.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AD<BC,且4)=5,AB=DC=2,若点。是

AD上的一点，且NSPC=NA,求证：△ABQsAj)尸c.

【答案】见解析

【分析】当团BPC二团A时，团ABP+团APB+团A=180°,而团APB+团DPC+团BPC=180°,因此

团ABP二团DPC,此时三角形ABP与三角形DPC相似.

【详解】证明：团AD回BC,AD<BC,AB=DC=2,

回团A二团D

回回ABP+回APB+回A=180°,回APB+团DPC+团BPC=180°,回BPC二回A

回回ABP二团DPC,

00ABP00DPC.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，根据已知得出团ABP=MPC是解题的关键.

13.在矩形A8CD中，E为DC边上一点、,把VADE沿AE翻折，使点。恰好落在BC边上

的点F.

（1）求证：AABF~^FCE；

（2）若AB=25AD=4,求EC的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）2叵.

3

【分析】（1）先根据矩形的性质可得N3=NC=NO=90。，再根据翻折的性质可得

ZAFE=ZD=90°,然后根据角的和差、直角三角形的性质可得NAEB=NFEC,最后根据

相似三角形的判定即可得证；

（2）设EC=x,先根据翻折的性质可得AF=AD=4,再根据勾股定理可得•=2,从

而可得CF=2,然后根据相似三角形的性质即可得.

【详解】（1）回四边形ABCD是矩形，

0ZB=ZC=Zr>=9O°,

由翻折的性质得：ZAFE=/D=90°,

0ZAFB+ZEFC=90°,ZFEC+NEFC=90°,

SZAFB=ZFEC,

ZB=ZC

在△ABF和中,

NAFB=ZFEC

团AAB尸〜^pCE；

（2）设£C=x,

由翻折的性质得：AF=AD=4,

团BF=-JAF2-AB2=次-（2后=2，

回四边形ABCD是矩形，

BC=AD=4,

^CF=BC-BF=2,

由（1）可知，AABF~AFCE,

CFEC口2_尤

0----=-----，即n/=——，

ABBF2V32

解得x—

即於孚

【点睛】本题考查了矩形的翻折问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟

练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.

14.如图，AABC为等腰直角三角形，回A=90°,D为AB的中点，点E在BC上，点F在AC

上，且I3DEF=45°.

BEc

（1）求证：△BEDB3CFE；

（2）若BD=3,BE=20,求CF的长.

【答案】（1）见解析；（2）CF=—.

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到回B=®：,然后根据三角形的外角的性质得到回BDE

=ECEF,从而证得结论；

（2）首先求出线段CE的长，再利用ABED瓯CFE得出丝=空，最后得出结果.

CECF

【详解】⑴证明：丽ABC为等腰直角三角形，回A=90。，

团团B=R1C=45°.

团团DEC=[UB+R]BDE=R]DEF+[i]CE