湖南省长沙市2024-2025学年上学期九年级数学期末考试试卷（含答案与解析）

机密★启用前

长沙市明德教育集团2024-2025学年上学期期末考试卷

九年级数学

时量：120分钟满分120分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意

的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

2.下列事件是必然事件的是（）

A.任意五边形的外角和为540。

B.抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次

C.367个同学参加元旦晚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日

D.一名篮球运动员在罚球线上投篮，“投中”

3.已知x=3为方程f―x+a=0的解，则。的值为（）

A-6B.6C.-3D.3

4.如图，直线/]〃4〃,3,直线AC和。R被4,‘2,4所截，43=2,5。=4,防=6,则。石的长为（）

D

C.F3

A.12B.4C.3D.8

5.已知方程2/+6%-3=0的两根分别为A和4，则七+%2的值等于（）

A3B.-3C.1.5D.-1.5

6.如图,AB是。。的直径，弦CD_LAB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE=（）

3

7.已知反比例函数y=—-，下列结论不正确是()

x

A.其图象经过点(-L3)B.其图象位于第二、四象限

C.当x<0时，y随x的增大而增大D.当x>-l时，y>-3

8.将抛物线丁=必向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为()

Ay=(x—1>+2B.y=(x+iy+2

C.y=(x-l)2-2D.y=(无+1)2-2

9.如图，AB是。的直径，弦CD交AB于点E，连接AC,AD，BC.若44C=30°,则"=

()

A.60°B.70°C.30°D.40°

10.如图，在RtaABO中，AO=2,ZAOB=60°,若反比例函数y=（左w0）的图象经过点A,则上

X

为()

A.2B.73C.-2D.-73

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

H.点4（3,。）与点30,2）关于原点对称，则。+上=.

12.二次函数y=-2（x-I）2+3的顶点坐标为.

13.在Rt/VLBC中，AB=10,AC=8,则tanA=.

14.如图，已知（。的半径为3,点C在圆周上，ZACB=6Q°,则阴影扇形A05的面积为

15.为了估计水塘中的鱼数，老李从鱼塘中捕获100条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘.过

一段时间，他再从鱼塘中随机打捞上100条鱼，发现其中有20条鱼有记号.则鱼塘中总鱼数大约为

条.

16.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m,测得AB=2m,BC=14cm,则楼高CD为

m.

口

□口

□口□

口

口

口

三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第

22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.）

17.计算：（2025—乃）°+4sin45°—（―工）一1+次

18.解方程:

（1）x2=7x；

（2）2f+5x-3=0.

19.二次函数y=ax2+2x+c中的x,y满足下表:

X-10123

y0343m

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)求加的值.

20.“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A篮球，8足球，C绘画，。舞蹈四类兴趣

班.为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理

人.

(2)请将以上学个统计图补充完整.

(3)甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A,B,C,。四类兴趣班中随机选取一类，请用

画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率.

21.如图，为的直径，过圆上一点。作(。的切线0D交5A的延长线于点C,过点。作。后〃

OE交CD于点E,连接3E.

E

(2)若0A=3,CD=4,求。£的长.

22.为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药

量》(mg)与燃烧时间X(分钟)成正比例；燃烧后，y与X成反比例(如图所示).现测得药物10分钟燃

完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg.据以上信息解答下列问题：

"(mg)

(1)求药物燃烧时y与x的函数关系式；

(2)求药物燃烧后y与x的函数关系式；

(3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？

23.如图，在矩形ABCD中，E为AO的中点，EFLEC,垂足为E,并与交于点孔连接产C

(AB>AE).

(1)若A3=6,AD=4,求AF的长；

(2)求证：FE平分NAFC.

24.如图，在「。中，已知AB=AC,。为上一动点，连接AD.直线AD与直线3C相交于点E.

DD

o

（品用图

(备用图)

(1)若ZABC=70°,则ZBDC=；

(2)若BC=2,cosZABC=-,则AZ>AE=

4

(3)点。在劣弧AC上，

211AD

⑴记ABE，Z\ABD,VBDE的面积分别为S、、S2,且《=不一丁，求---；

331»2DE

（汾若=BD=m,CD=n,试用含机，n,p的式子表示

25.在平面直角坐标系中，设直线/解析式为：y=kx+b（左、）为常数且左片0）,当直线与一条曲线有

且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”.

（1）已知直线y=x-2与双曲线y=—（7〃w0）相切，求加的值；

（2）已知直线,=履+方（左。0）与双曲线y=9相切，且该直线交心y轴分别于点A、B,求AAO3的面

x

积；

（3）已知直线1:y=女科+伪（匕彳0）,直线6:y=自％+&（&*°）是抛物线>=-炉-2尤+3的两条切

线，且/1与/2的交点坐标尸5,2）,试判断匕•七是否为定值，并说明理由.

参考答案

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意

的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1.下列图形中，是中心对称图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能

够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.根据中心对称图形的定

义进行逐一判断即可.

【详解】解：A.不是中心对称图形，故A不符合题意；

B.是中心对称图形，故B符合题意；

C.不是中心对称图形，故C不符合题意；

D.不是中心对称图形，故D不符合题意.

故选：B.

2.下列事件是必然事件的是（）

A.任意五边形外角和为540。

B.抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次

C.367个同学参加元旦晚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日

D.一名篮球运动员在罚球线上投篮，“投中”

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事

件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发

生也可能不发生的事件.

根据事件发生的可能性大小，判断相应事件的类型即可.

【详解】A.•.•任意多边形的外角和为360°,...任意五边形的外角和为540。是不可能事件；

B.抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次，是随机事件；

C.367个同学参加元旦晚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日，是必然事件；

D.一名篮球运动员在罚球线上投篮，“投中”，是随机事件.

故选：C.

3.已知x=3为方程X?—%+4=o的解，则a的值为（）

A.-6B.6C.-3D.3

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解,

熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键.把x=3代入x+a=。，然后解关于。的方程即

可.

【详解】解：把％=3代入7―x+a=O,得

9—3+〃=0,

••CL——6•

故选A.

4.如图，直线4〃乙〃4,直线AC和。方被4,/2，/3所截，筋=2,5。=4,防=6,贝切£1的长为（）

A.12B.4C.3D.8

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出的比例式是解此题的

关键.根据平行线分线段成比例定理得出比例式—,代入求出即可.

BCEF

【详解】解：；直线/1〃/2〃4，

ABDE

"~BC~~EF'

-：AB=2,BC=4,EF=6,

.2_DE

•«一,

46

/.DE=3,

故选c.

5.已知方程2必+6x-3=0的两根分别为毛%2和，则%+%的值等于（）

A.3B.-3C.1.5D.-1.5

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题的关键是掌握％是一元二次方程

bc

依2+法+。=0（〃£（））的两根时%+%2=——,石工2~一・

一aa

b

根据石+/=—一求解即可.

a

【详解】解：:方程2f+6*-3=0的两根分别为巧和马，

，6

.*•Xj+%2-—-~-3,

故选：B.

6.如图,AB是。。的直径，弦CD_LAB于点E,OC=5cm,CD=8cm,则AE=（）

A.8cmB.5cmC.3cmD.2cm

【答案】A

【解析】

【分析】根据垂径定理可得出CE的长度，在中，利用勾股定理可得出。石的长度.

【详解】解：：弦0），居于点£,CD=8cm,

/.CE=—CD=4cm.

2

在RtACOE中，CO=5cm,

OE=^OC2-CE2=752-42=3•

故选：C.

【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，勾股定理是求线段长的常用方法.

3

7.已知反比例函数丁=—-，下列结论不正确的是（）

x

A.其图象经过点（-1,3）B.其图象位于第二、四象限

C.当x<0时，y随X的增大而增大D.当x>—1时，y>—3

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查对反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，能

灵活运用反比例函数的性质进行判断是解此题的关键.

根据反比例函数的性质：当左<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随尤的增大

而增大进行分析即可.

【详解】解：A.•••—1x3=—3,.•.图象经过点(-1,3),故本选项正确，不符合题意；

B.二―2<0,...图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意；

C.：图象在第二、四象限，.•.当x<0时，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意；

D.当—1<%<0时，>〉3；当x>0时，y<0；故本选项错误，符合题意.

故选：D.

8.将抛物线丁=/向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为()

A.y=(x—1,+2B.y=(x+l)2+2

C.y=(x-l)2-2D.y=(尤+1)2-2

【答案】A

【解析】

【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可，解题

的关键是熟练掌握平移的规律:左加右减，上加下减.

【详解】解：将抛物线》=必向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为

y—(x-1)?+2,

故选：A.

9.如图，是。的直径，弦交于点E，连接AC,AD，BC.若44C=30。，则"=

A.60°B.70°C.30°D.40°

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两个锐角互余，同弧或等弧所对的圆周角

相等等知识点，熟练掌握直径所对的圆周角是直角及同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键.

由直径所对的圆周角是直角可得ZACB=9Q°,由直角三角形的两个锐角互余可得

ZABC=9Q°-ZBAC=6Q°,由同弧或等弧所对的圆周角相等可得ND=NA6C,于是得解.

【详解】解：4?是。的直径，

:.ZACB=90°,

ZBAC=30°,

ZABC=90°-ZBAC=90°-30°=60°,

ZD=ZABC=60°,

故选：A.

k

10.如图，在Rt2XABO中，AO=2,ZAOB=60°,若反比例函数y=—(4w0)的图象经过点A,则太

x

为()

IAF

A.2B.73C.-2D.-V3

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查反比例函数系数4的几何意义，含30度角的直角三角形，解直角三角形求出点A的坐标

可得结论.

【详解】解：在RtZVlBO中，AO=2,ZAOB=60°,

：.ZOAB=30°,

AOB=^OA=1,AB=y/3OB=73>

k

•.•反比例函数y=—(4H0)的图象经过点A,

故选：D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.点4（3,。）与点30,2）关于原点对称，则。+上=.

【答案】-5

【解析】

【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键.

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，即可求解.

【详解】解：•••点4（3,与点3（。,2）关于原点对称，

a——2,Z?=—3,

a+b=—2+（—3）=—5,

故答案为:-5.

12.二次函数）=—2（犬一1）2+3的顶点坐标为.

【答案】（1,3）

【解析】

【分析】此题考查了二次函数y=a（x-丸）2+左的性质，顶点坐标是（九左），对称轴是兀=左.据此求解即

可.

【详解】解：二次函数了=—2（戈—1）2+3的顶点坐标为。,3）.

故答案为：（1,3）.

13.在RtZkABC中，AB=10,AC=8,贝hanA=.

3

【答案匕

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理，求角的正切值等知识点，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键.

由题意可知NA为的一个锐角，由于AB>AC,因而可知AB是斜边，AC是直角边，则由

勾股定理可得BC=JAB?_A02=6,再根据锐角三角函数的定义得出tanA=智，代入计算即可得

出答案.

【详解】解：由题意可知：

/A为的一个锐角，

又,AB>AC,

AB是斜边，AC是直角边，

如图所示，

BC=yjAB2-AC2=V102-82=6>

63

...tanA=^=

AC84

3

故答案为：-

14.如图，已知:。的半径为3,点C在圆周上，ZACB=60°,则阴影扇形A05的面积为

【答案】3乃

【解析】

【分析】本题考查扇形的面积，圆周角定理，解题的关键是记住扇形面积公式5=竺二.先由圆周角定理

360

求出NAOB=120。，再利用扇形面积公式求解.

【详解】解：•••NACB=60°,AB=AB>

：.ZAOB=2ZACB=120°，

扇形AOB的面积=3%'=3万

360

故答案为：3

15.为了估计水塘中的鱼数，老李从鱼塘中捕获100条鱼，在每条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘.过

一段时间，他再从鱼塘中随机打捞上100条鱼，发现其中有20条鱼有记号.则鱼塘中总鱼数大约为

条.

【答案】500

【解析】

【分析】本题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想.根

据样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数.

【详解】解：100+20'=500条.

100

故答案为：500.

16.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m,测得AB=2m,BC=14cm,则楼高CD为

_______m.

口□□

口□□

口

口

口

【解析】

【详解】试题分析：：EB_LAC,DC_LAC,...EB〃DC,.•.△ABEs/iACD,,VBE=1.5,AB=2,

CDAC

159

BC=14,.-.AC=16,・・・——二一，.\CD=12.故答案为12.

CD16

考点：相似三角形的应用.

三、解答题(本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第

22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.)

17.计算：(2025-乃)°+4sin45°—(―g)T+次

【答案】472+3

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的加减，零指数累和负整数指数基的意义，特殊角的三角函数值，先根据零指

数哥和负整数指数累的意义、二次根式的性质、特殊角的三角函数值，再算加减.

【详解】解：原式=l+4x#—(—2)+2虚

=472+3.

18.解方程：

⑴=7%;

⑵2x2+5x-3=o.

【答案】(1)玉=0,%2=7

(2)X[=万,々=-3

【解析】

【分析】此题主要考查了解一元二次方程.

(1)利用提取公因式法分解因式即可求解；

(2)利用十字相乘法分解因式即可求解.

【小问1详解】

解：£=7x，

%?—7%=0，

x(x-7)=0,

二.无=0或x-7=0,

xx=0,%2=7；

【小问2详解】

2尤2+5x—3=0，

(2x-l)(x+3)=0,

...2》一1=0或x+3=0,

19.二次函数丁=4/+2%+。中的x,y满足下表:

X-10123

y0343m

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求，的值.

【答案]（1）y=—x2+2x+3

（2）0

【解析】

【分析】⑴由题可知，函数y=a/+2x+c过点（一1,0）,（0,3）,将（一1,0）,（0,3）代入，可得（-'

[c=3

解方程组即可求出。、c的值，进而可得出该二次函数的解析式；

（2）由（1）可得，该二次函数的解析式为y=—£+2x+3,当无=3时，加=—32+2x3+3,于是得

解.

【小问1详解】

解：由题可知：函数丁=以2+2^+°过点（-1,0）,（0,3），

将（-1,0）,（0,3）代入,得：

〃—2+c=0

。=3，

a=-1

解得：,

c=3

该二次函数的解析式为y=-彳2+2x+3；

【小问2详解】

解：由(1)可得：该二次函数的解析式为y=-/+2x+3,

当x=3时，机=—3?+2><3+3=—9+6+3=0,

，加的值为0.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，求函数值，含乘方的有理数

混合运算等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.

20.“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A篮球，8足球，C绘画，。舞蹈四类兴趣

班.为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理

后绘制成两幅不完整的统计图.请根据统计图信息回答下列问题.

(1)本次抽取调查学生共有人,估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为

人.

(2)请将以上争个统计图补充完整.

(3)甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A,B,C,。四类兴趣班中随机选取一类，请用

画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率.

【答案】(1)50,300

(2)见解析(3)：

4

【解析】

【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概

率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键.

（1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再利用3000乘以

喜欢舞蹈的学生所占百分比即可得；

（2）先求出喜欢篮球学生人数，据此补全条形统计图，再求出喜绘画和舞蹈的学生所占百分比，据此补

全扇形统计图即可得；

（3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择

同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得.

【小问1详解】

解：本次抽取调查学生的总人数为15+30%=50（人），

估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为3000x9=300（人），

50

故答案为:50,300.

【小问2详解】

解：喜欢篮球的学生人数人50x36%=18（人），

喜欢绘画的学生所占百分比为Uxl00%=24%,

50

喜欢舞蹈的学生所占百分比为9x100%=io%.

50

则补全两个统计图如下：

［人数

12

12rH--------/jo%\36%\

【小问3详解】

Jn>

解：由题意，画树状图如下：

开始

甲ABCD

AAAA

乙ABCDABCDABCDABCD

由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类

的结果有4种,

41

则两人恰好选择同一类的概率为P=—=-,

164

答：两人恰好选择同一类的概率为

21.如图，为的直径，过圆上一点。作一。的切线。交班的延长线于点C,过点。作OE〃A£）,

0E交CD于点、E,连接3E.

（1）证明：直线班与相切；

（2）若OA=3,CD=4,求的长.

【答案】（1）见解析（2）DE=6

【解析】

【分析】（1）连接0£>,由与；。相切于点。，可得NODE=90°,由。后〃A。，可得

ZADO=ZDOE,NDAO=NEOB,由0D=Q4,可得ZADO=NZMO,则NDOE=N5OE,证

明DOE与BOE（SAS）,则ZOBE=ZODE=90°,进而结论得证；

CDCA

（2）由勾股定理得OC=5,由平行线分线段成比例定理得——=——，代入数据可得0E的长.

DEAO

【小问1详解】

证明：连接OD,

CD是.。的切线,

:.ZODE=90°,

"."OE//AD,

:.ZODA=ZDOE,ZOAD=ZBOE,

OA=OD,

：.ZODA=ZOAD,

.-.ZDOE=ZBOE

在△£>(?£和△BOE,中

OD=OB

<ZDOE=ZBOE,

OE=OE

：.DOE-BOE(SAS),

NODE=NOBE=90。,

又・AB为C)O的直径，

,直线BE1与.。相切；

【小问2详解】

解：RtZkODC中，由勾股定理得oc=Jcr)2+or)2=J42+32=5，

:.CA=CO-AO=5-3=2,

AD//OE,

.CDC442

..---=----即Bn----=—,

DEAODE3

解得：DE=6.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理

等知识.熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是

解题的关键.

22.为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”.已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药

量y(mg)与燃烧时间x(分钟)成正比例；燃烧后，y与x成反比例(如图所示).现测得药物10分钟燃

完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg.据以上信息解答下列问题：

Aj(mg)

x(分)

(1)求药物燃烧时y与无的函数关系式；

(2)求药物燃烧后y与尤的函数关系式；

(3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长?

【答案】(1)y=1%(0<%<10)

(2)y=^^(x>10)

(3)对病毒有作用的时间长为—分钟

6

【解析】

【分析】本题考查反比例函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键.

(1)利用待定系数法求正比例函数解析式即可；

(2)利用待定系数法求反比例函数解析式即可；

(3)根据题意列不等式组，求出不等式组的解集即可解题.

【小问1详解】

解：设药物燃烧时的函数解析式为y=左式左W0),

A

由题意得：12=10尤，解得：1^=-,

.­•燃烧时的函数关系式为y=jx(0<x<10)；

【小问2详解】

解：设燃烧后函数解析式为y=&(%w0),

由题意得：12=8，解得：42=120,

燃烧后的函数关系式为y=——(%>10)；

【小问3详解】

—x>5

5

解：由题意得:解得:——<x<24,

6

三325119-、

24----=----（分钟）,

66

答：对病毒有作用的时间长为1匕19分钟.

6

23.如图，在矩形ABCD中，E为AZ）的中点，EF工EC,垂足为E,并与交于点片连接PC

（1）若A3=6,AD=4,求AF的长；

（2）求证：FE平分NAFC.

【答案】（1）-

3

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由矩形的性质可得NCDE=NE4b=90。，DC=AB=6,由直角三角形的两个锐角互余可

ZDEC+ZDCE=90°,进而可得/DCE=NAEF,于是可证得可Fs-。。石，由相似三角形的性

AFAp1AF2

质可得一=——，由E为AD的中点可得AE=DE=—AD=2,于是可得——=—,由此即可求出”

DEDC226

的长；

（2）设人石=和，CD=n,由E为AD的中点可得DE=AE=m,由（1）可得..ELF②.⑺石，于是可

得f43，进而可得Ab=DE'E=4，由勾股定理可得CE=7DE2+CD2=yjm2+n2，

DEDCDCn

EF=1AE2+AF2=坊而—,由（1）可得N£4P=NCEF=90°,且且=二=4，即目=”,

nAFEFmCEEF

于是可证得一EWs-CEE,由相似三角形的性质可得NEE4=NCEE,于是结论得证.

【小问1详解】

解：四边形ABCD为矩形，且所，EC,

:.ZCDE=ZEAF=90°,DC=AB=6,ZCEF=9Q°,

ZDEC+ZDCE=90°,

ZDEC+ZAEF=180°-ZCEF=180°-90°=90°,

:.ZDCE=ZAEF,

：.EAFs,CDE,

AF_AE

"DE~DC'

£为AD的中点，

■.AE=DE=-AD=2,

2

、AF2

\=—,

26

AF=-;

3

【小问2详解】

证明：设AE=m,CD=n,

石为AD的中点，

DE=AE=m,

由(1)可得：.EAFS-CDE,

AF_AE

'~DE~~DC'

.门DE•AEm2

AF=------------二——,

CE=y/DE2+CD~=J*+*,

EF=YIAE2+AF2=

由(1)可得：ZEAF=ZCEF=90°,

2

EAmnCE[m+.2n

又2，

AFmmEFrn/,2m，

—Vm2+n

nn

EACEn

~AFEFm

EAAF

即:

CE—EF

：._EAFs_CEF,

：.ZEFA=ZCFE,

即：FE平分NAFC.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的两个锐角互余，相似三角形的判定与性质，线段中点

的有关计算，勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

24.如图，在:「。中，已知A5=AC,D为。上一动点，连接AD.直线AD与直线3C相交于点E.

(2)若BC=2,cosZABC=-,则AZ>AE=；

4

(3)点。在劣弧AC上，

211AD

⑺记ABE,△ABD,NBDE面积分别为S、、S2,且《=丁一丁，求---；

332DE

(〃)若AB=p,BD=m,CD=n,试用含机，n,p的式子表示

【答案】(1)40。或140。

(2)16(3)(I)72-1；(而)AE•DE=臂

p-mn

【解析】

【分析】(1)根据等腰三角形的性质求得ZACB=ZABC=70°,再由三角形内角和定理求得NB4C=40。,

然后分两种情况：当点。在优弧3c上时，由圆周角定理求得=4c=40。；当点。在劣弧3C

上时，根据圆内拉四边形的性质求得4DC=180°—4AC=140。；

(2)过点A作”13。于凡利用等腰三角形的性质与解直角三角形求得AC=AB=4,不规则分三

种情况：当点。在优弧AC上时，当点D在优弧A3上时，当点。在劣弧3C上时，利用相似三角形的

性质求解即可；

(3)⑴由==5=^+5,,求得S2=(1+J5)E，再根据同高两三角形面积比等于等于

ADS

的比，即==在}，代入求解即可；

DES2

DCCEnz-xBDDEm入

(ii)证明DCEs.BAE,得^^二-^二一①，再证明△HDESAACE,-②，求

ABAEpACCEp

mnACAO

得DE=—AE,由(2)知：_ACD^_AEC,得一=—,则有/=AES。，即可由

p-AEAC

p2=AE-(AE_DE)=AE2_AE2,粤求解,

P'

【小问1详解】

解：*/AB=AC,

：.ZACB=ZABC=70°,

：.ZBAC=1SO°-ZACB-ZABC=4O0,

当点。在优弧3c上时，

AZB£>C=ZSAC=40°；

当点。在劣弧3C上时，

:点A、B、D、C四点都在t。上，

四边形ABOC内接于0,

：.ZBDC+ZBAC=180°,

：.ZBDC=180°-ZBAC=140°,

综上，4£>C=40。或140°.

故答案为：40。或140。.

【小问2详解】

解：过点A作AFSBC于尸，如图，

•：AB=AC,AFJ.BC,

：.ZAFB=90°,BF=-BC=-x2=l,

22

BF1

-：cosZABC=——=—,

AB4

AB=4所=4,

AC=AB=4,

当点。在优弧AC上时，

则四边形A3CD内接于CO,

：.ZADC=1SO°-ZABC,

VAC=AB,

：.ZABC=ZACB,

：.ABAC=1300-2ZABC,

：.ZACE=ZABC+ABAC=ZABC+180°-2ZABC=180°-ZABC,

：.ZADC^ZACE,

■:ADAC=ACAE,

：.AADC^AACE,

.ACAD

'*AE-AC'

AADAE=AC2=42=16;

同理可证得AADBsAABE，

.ABAD

•••ADAE=AB2=42=16;

当点。在劣弧上时，如图,

VZADB=ZACB,ZABC=ZACB,

，?ABC?ADB即ZABE=ZADB,

■:ZBAE^ZDAB,

△ABEMADB，

.ABAE

••一,

ADAB

ADAE=AB2=42=16;

综上，ADAE=16.

故答案为：16.

【小问3详解】

211

解：（i）-----丁

2sls2=S(S2—£),

S=S,+S2,

2sls2=(SI+S2)6—Sj,

6-Sj2=2S：,

52—51-,

S2=(1+V2)S1；

ADB的边AD与‘DEB的边。E上的高相同,

AD_S,

京一£，

A。_H_1

=