沪教版九年级数学常见题型重难点专练：解直角三角形之“叠合式”模型（原卷版+解析）

重难点08解直角三角形之“叠合式”模型

【知识梳理】

【考点剖析】

1、如图，一艘轮船在A处时观测得小岛C,在船的北偏东60。方向，轮船以40海里/时的速度向正东方向航

行1.5小时到达B处，这时小岛C在船的北偏东30。方向.已知小岛C周围50海里范围内是暗礁区.

(1)求B处到小岛C的距离

(2)若轮船从B处继续向东方向航行，有无触礁危险？请说明理由.

(参考数据：后1.73)

2、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆A8的高，他们在旗杆正前方

台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45。，朝着旗杆的方向走到台阶下的点尸处，测得旗杆顶端

A的仰角为60。，已知升旗台的高度3E为1米，点C距地面的高度为3米，台阶CP的坡角为，

30°,且点E、F、。在同一条直线上，求旗杆的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：加

-1.41,A/§S1,73）

3.如图，小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC,测得8,C两点的俯角分别为60。和45。，已知

热气球离地面的高度为L20m,且大桥与地面在同一水平面上，求大桥8C的长度.（结果保留整数，小

=1.73）

解：如图，作AOLC8交C8所在直线于点D

4、广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，位于广州市海珠区赤岗塔附近，是中国第一高塔，世界第四

高塔.如图，,广州塔8。附近有一大厦AC高150米，张强在楼底A处测得塔顶。的仰角为45。，上到

大厦顶C处测得塔顶。的仰角为37。，求广州塔8D.的高.（参考数据：sin37%0.60,cos37%0.80,

tan37°=0.75)

5、如图，小明为了测量小河对岸大树2C的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45。，沿斜坡走3加

米到达斜坡上点。，在此处测得树顶端点B的仰角为30。，且斜坡AP的坡比为1：2.求大树8C的高

度约为多少米？（遮幻.732,结果精确到0.1）

【过关检测】

一、填空题

1.（2021・全国•九年级专题练习）如图，在一笔直的海岸线/上有相距4切?的A,2两个观测站，8站在A站

的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60。的方向上，从8站测得船C在北偏东30。的方向上，则船C到

海岸线I的距离是km.

南

60°

2.（2023・湖北黄石•校考一模）永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，

游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌.如图，在A处测得回CAD=30。，在B处测得回CBD=45。，并测得AB=

52米，那么永定塔的高CD约是米.（后=1.4,73=1.7,结果保留整数）

二、解答题

3.（2023秋,九年级单元测试）如图所示，在一个坡度7=1:2的山坡CB的顶端B处竖直立着一个电视发射

塔A3.为测得电视发射塔的高度，小明站在山脚的平地。处测得电视发射塔的顶端A的仰角为40。，若测

得斜坡BC长为1006米，点C到点。的水平距离CD=20米，求电视发射塔的高度.（参考数值：

sin40"0.64,cos40°~0.77,tan40。a0.84,结果保留整数）

4.（2022春•北京东城•八年级校考阶段练习）一副直角二角板如图放置，点C在FD的延长线上,

AB0CF,EF=0ACB=9O°,E£=45°,EIA=60°,AC=10,试求C£>的长.

5.（2020秋・山东德州•九年级统考期末）如图，在社会实践活动中，某数学兴趣小组想测量在楼房CD顶上

广告牌DE的高度，他们先在点A处测得广告牌顶端E的仰角为60。,底端D的仰角为30。，然后沿AC方向

前行20m,到达B点，在B处测得D的仰角为45°（C,D,E三点在同一直线上）.请你根据他们的测量数

据计算这广告牌DE的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：0=1.414,73«1.732）.

E

6.（2022春•江苏盐城•九年级校考阶段练习）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的

俯角为45。，。处的俯角为30。，乙在山下测得C,。之间的距离为100米.已知8,C,。在同一水平

面的同一直线上，求山高（结果保留根号）.

D

BC

7.（2021•贵州铜仁•统考三模）如图，小明去观赏一棵千年古银杏树，当走到点A处时，测得银杏树CD

的仰角为30。，当向树前进40米到8处时，又测得树顶端C的仰角为75。.请求出这棵千年古银杏树的

高.（结果精确到0.1米）.（参考数据：tan75-=2+6，高=1.732,夜=1.414）

8.（2020•天津和平•三模）学完三角函数知识后，某校"数学社团”的小明和小华决定用自己学到的知识测量

纪念塔的高度.如图，8是高为1m的测角仪，在。处测得塔顶端A的仰角为40。，向塔方向前进40m在

E处测得塔顶端A的仰角为63.4。，求纪念塔的高度（结果取整数）.

参考数据：sin40°«0.64,cos40°«0.77,tan40»0.84,tan63.4°»2.00.

9.（2020•天津红桥•三模）如图，垂直于地面的灯柱A3被一钢缆8固定，现需要在点C的上方2m的E

处增加一条钢缆ED进行加固.已知NCD3=45。，NEDB=53°,求OE的长（结果取整数）.参考数据:

sin53°«0.80,cos53°«0.60,tan53°«1.33.

10.（2020,河南•九年级统考学业考试）周日，妈妈带小岚到商场的攀岩墙处玩耍如图，AD是一攀岩墙，

小岚从攀岩墙底部。处向上攀爬，妈妈站在距离攀岩墙3机的8处，当他到达C处时，妈妈看向他的仰角

为30°,当他到达墙顶A处时，妈妈看向他的仰角为75°（小岚妈妈的身高均忽略不计），此时攀岩教练开始

释放手中的绳子，使小岚以1.5m/s的速度下落到C处，再减速下落到地面，则他从A处下落到C处需要

多长时间？（结果保留整数，参考数据：

sin75°«0.97,cos7s«0.26,tan7s«3.73,布«1.73）30°?

11.（2021秋・山东济宁•九年级统考期末）如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点A处测得小岛。在北

偏东60。方向，之后轮船继续向正东方向行驶1.5/z到达8处，这时小岛。在船的北偏东30。方向36海里

处.

（1）求轮船从A处到8处的航速.

（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛。的东南方向？

12.（2020,河南•模拟预测）二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大

罢工而修建的纪念性建筑物.学完三角函数知识后，某校"数学社团”的刘明和王华决定用自己学到的知识

测量二七纪念塔的高度.如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为40。，向塔方向前

进38米在E处测得塔顶端A的仰角为60。，求二七纪念塔AB的高度（精确到1米，参考数据

13.（2020春•内蒙古通辽•九年级校考期末）某人在A处测得大厦的仰角回BAC为30。，回ACB=90。沿AC方

向行40米至D处，测得仰角E1BDC为45。，求此大厦的高度BC.（百~1.7）

14.（2023春•重庆渝北•九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB,小明在斜坡的

坡脚D处测得宣传牌底部B的仰角为45。，沿斜坡OE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31。，已知

斜坡DE的坡度3:4,£>E=10米，£>C=22米，求宣传牌A3的高度.（测角器的高度忽略不计，参考数

据：sin31%=0.52,cos31°^0.86,tan31°®0.6）

15.（2023春•湖南永州•九年级统考期中）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用

仪器测得到塔尖D的仰角aDAC=15。，向塔正前方水平直行260m到达点B,测得到塔尖的仰角前8。=

30。，若小明的眼睛离地面1.6m,你能计算出塔的高度。E吗？写出计算过程.

16.（2022・河南周口,周口市第一初级中学校考模拟预测）（如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定

将园内的滑滑板的倾斜角由45。降为30。，已知原滑滑板的长为4米，点。、B、C在同一水平地面上.

（1）改善后滑滑板会加长多少米？

（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造

是否可行？请说明理由.

（参考数据：0=1.414,若=1.732,指=2.449,以上结果均保留到小数点后两位）

17.（2015•上海•统考中考真题）（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）

如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼.已知点A到〃N的距离为

15米，54的延长线与相交于点Z）,且/3DN=30。，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内

会受到噪音的影响.

也？0HQN

C

B

（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H.如果汽车沿着从M到N的方向在上行驶，当汽车到达点尸

处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？

（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板.当汽车行驶到点。时，它与这一排居民楼的距离

QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参

考数据：73«1.7）

18.（2021•福建厦门•厦门一中校考一模）如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从A处运往正东方

向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60。的方向上.该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛

在北偏东30。的方向上，

（1）求NACB的度数；

（2）已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.

（参考：7^=1.414、A/3«1.732）

19.（2023春・江苏南京•九年级南京市第一中学校考阶段练习）如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯,

图2是侧面示意图，是二楼楼顶，MA0PQ,点C在上，且位于自动扶梯顶端8点的正上方，

BCSMN.测得AB=10米，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50。，点B的仰角为30。，求二楼的层

高（结果保留根号）

（参考数据：sin50°=0.77,cos50°=0.64,tan50°=1.20）

20.（2023・广东•模拟预测）某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图所示，测得树底部中

心A到斜坡底C的水平距离为8.8m.在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m,树影落在斜坡上的部分

CD=3.2m.已知斜坡CD的坡比i=l：出,求树高AB.（结果精确到0.1米，参考数据：sin68°«0.93,

cos68°«0.37,tan68°=2.50,6=1.73)

21.（2022秋•湖南邵阳•九年级统考期末）2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，成都市天府

广场举行了盛大的升旗仪式.我市部分学生有幸见证了这一激动人心的时刻，并在现场作了如下测量工作；

身高1.8米的某同学（图中AE部分）在护旗手开始走正步的点A处测得旗杆顶部。的仰角为22°，在护旗

手结束走正步的点B处测得旗杆顶部。的仰角为45°,又测量得到4B两点间的距离是30米.求旗杆OC

的高度.（结果精确到0.1米；参考数据；sin22°»0.37,cos22°»0.93,tan22°®0.40.）

22.（2023•山东潍坊・统考一模）如图，一艘渔船沿南偏东42。方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏

东64。方向.又继续航行（40-16g）海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72。方向，已知以小岛P

为圆心，半径16近海里的圆形海域内有暗礁.如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以

说明.如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数

据：s-220=2'侬22。=噜'tan22。J)

重难点08解直角三角形之“叠合式”模型

【知识梳理】

【考点剖析】

1、如图，一艘轮船在A处时观测得小岛C,在船的北偏东60。方向，轮船以40海里/时的速度向正东方向航

行1.5小时到达B处，这时小岛C在船的北偏东30。方向.已知小岛C周围50海里范围内是暗礁区.

（1）求B处到小岛C的距离

（2）若轮船从B处继续向东方向航行，有无触礁危险？请说明理由.

（参考数据：V3-1.73）

ABD

解：（1）由题意得NCBO=60。，ZCAB=30°,；./ACB=30。,

：.ZCAB=ZACB,.•.CB=AB=40xL5=60（海里），处到小岛C的距离为60海里;

（2）过点C作CELAD,垂足为点E,

CE=CBxsinZCBE=60xsin60°=30A/3~51.96海里，：.CE>50,

轮船从B处继续向正东方向航行，没有触礁危险.

2、金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆A8的高，他们在旗杆正前方

台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45。，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端

A的仰角为60。，己知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度为3米，台阶b的坡角为，

30。，且点E、F、。在同一条直线上，求旗杆48的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：加

=1.41,V3-1-73）

解：过点C作于则四边形MEDC是矩形，

：.ME=DC=3.CM=ED,

在RtZXAEF中，ZAFE=60°,设E/=x,则4/=2无，AE=«x,

在Rt△/C£）中，CD=3,NCFD=30。，

:.DFS

在RtzXAMC中，ZACM=45°,：.ZMAC=ZACM=45°,：.MA=MC,

•:ED=CM,：.AM=ED,

"：AM=AE-ME,ED=EF+DF,：.43x-3=x+343>：-x=6+343>

（6+3&）=6V3+9，-1=18.4米.

答：旗杆AB的高度约为18.4米.

3.如图，小明在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC,测得3,C两点的俯角分别为60。和45。，己知

热气球离地面的高度为120m,且大桥与地面在同一水平面上，求大桥BC的长度.（结果保留整数，小

=1.73）

解：如图，作AOLC8交C8所在直线于点D

在RtZXACD中，ZACD=45°,

：.CD^AD^120m.

在RtZXABO中，ZABD=60°,

AZ)

tan60°=^^，

：.BD=^AD=4Q^3m,

.".BC=CD-JB£»=120-40V3~51(m).

答：大桥BC的长度约为51m.

4、广州塔又称广州新电视塔，昵称小蛮腰，位于广州市海珠区赤岗塔附近，是中国第一高塔，世界第四

高塔.如图，,广州塔8。附近有一大厦AC高150米，张强在楼底A处测得塔顶。的仰角为45。，上到

大厦顶C处测得塔顶。的仰角为37。，求广州塔的高.（参考数据：sin37P0.60,cos37yo.80,

tan37°=0.75）

解：如图，过点C作于点E,即四边形AC班是矩形，

：.BE=AC=150,CE=AB,

根据题意可知：

ZDAB=45°,

:.DB=AB=CE,

：.DE=DB-BE=DB-150,

在中，ZDCE=37°,

/.£）£=CE-tan37°,

即DB-150-0J5DB,

解得。8=600（米）.

答：广州塔BD的高约为600米.

5、如图，小明为了测量小河对岸大树的高度，他在点A测得大树顶端8的仰角为45。，沿斜坡走3掂

米到达斜坡上点D,在此处测得树顶端点B的仰角为30°,且斜坡AF的坡比为1：2.求大树BC的高

度约为多少米？（T句.732,结果精确到0.1）

解：作于点“，作。GLBC于点G,如图，

则四边形QGCH为矩形，

在RtZ^AOH中，：型=■1,

AH2

：.AH=2DH,

,：AH2+DH2=AD2,

（2DH）2+DH2=（3V5）2-

：.DH=CG=3m,

:.AH=2DH=6m,

BC=xm,则5G=(x-3)m,

在Rt7\A4C中，ZBAC=45°,

.\AC=BC=xm,

:・CH=DG=(x+6)m,

在Rtz\3DG中，ZBZ)G=30°,

.x-3V3

••----=—,

x+63

解得，x=W交出=15.3.

2

答：大树BC的高度约为15.3米.

【过关检测】

一、填空题

1.（2021・全国•九年级专题练习）如图，在一笔直的海岸线/上有相距4k〃的两个观测站，8站在A站

的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60。的方向上，从8站测得船C在北偏东30。的方向上，则船C到

【答案】2上

【分析】过点C作CD0AB于点D,然后根据等腰三角形和判定和性质以及解直角三角形的应用即可求出答

案.

【详解】过点C作CD0AB于点D,

根据题意得：0CAD=9O°-6O°=3O°,

0CBD=9O°-3O°=6O°,

回团ACB二团CBD-团CAD=30°,

回团CAB二回ACB,

团BC=AB=4km,

在Rt团CBD中，

0CD=BC»sin6O°=4x—=273（km）

2

团船C到海岸线I的距离是.

故答案为：2#）.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及解直角三角形的应用一方向角问题，解题的关键是熟练

运用锐角三角函数的定义.

2.（2023・湖北黄石•校考一模）永定塔是北京园博园的标志性建筑，其外观为辽金风格的八角九层木塔，

游客可登至塔顶，俯瞰园博园全貌.如图，在A处测得回CAD=30。，在B处测得回CBD=45。，并测得AB=

52米，那么永定塔的高CD约是米.（亚=1.4,6=1.7,结果保留整数）

【答案】74

【分析】首先证明BD=CD,设BD=CD=x,在RtEMCD中，由刖=30。，推出AD=«CD,由此构建方程即

可解决问题.

【详解】如图，0CDEL4D,I3CBD=45°,

00CDB=90°,0CBD=0DCB=45",

0BD=CD,设BO=CO=x,

在RtMC。中，回蜘=30°,

ELAD=^3CD,

S52+x=&x,

故答案为74,

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

二、解答题

3.（2023秋•九年级单元测试）如图所示，在一个坡度7=1:2的山坡CB的顶端3处竖直立着一个电视发射

塔A3.为测得电视发射塔的高度，小明站在山脚的平地。处测得电视发射塔的顶端A的仰角为40。，若测

得斜坡长为1006米，点C到点。的水平距离CD=20米，求电视发射塔A2的高度.（参考数值：

sin40°«0.64,cos40°«0.77,tan40°»0.84,结果保留整数）

A

、

、

、

CD

【答案】85米

【分析】如图，根据坡比设BE=x,EC=2x,在RtABEC中，根据勾股定理列出关于X的方程求出BE和CE；

在RfZXAED中，利用正切的定义求出AE问题得解.

【详解】解：如图，

A

、

、

、

、

ECD

作AB，DC交DC的延长线于点E，

在RtABCE中,Si=BE:CE=1:2,设=则CE=2lx,

BC=10075,

・•・根据勾股定理得Y+（2x『=（10075）2,

解得x=100,

0B£=1OO（米），CE=200（米），

El£>E=CE+CD=220（米），

在RtAADE中,

.AE

团tan40。=——

DE

团AE。220x0.84=184.8,

团AB=AE—BE。184.8—100=84.8。85（米），

答：电视发射塔AB的高度约为85米.

【点睛】本题考查了坡比的概念、仰角概念及锐角三角函数定义，要求学生能借助仰角、坡比构造直角三

角形并结合图形利用三角函数解直角三角形.

4.（2022春・北京东城•八年级校考阶段练习）一副直角三角板如图放置，点C在FZ）的延长线上，

AB0CF,回F=0AC8=9O°,0£=45°,EL4=60°,AC=10,试求CD的长.

【答案】15-5,/3

【分析】过点B作于点解R/0AC8求出BC,在RZ08MC中求出CM,BM,推出即

可求得答案.

【详解】解：

过点B作BMS\FD于点M,

在0AC2中，EIACB=9O0,0A=6O。，AC=10,

0EABC=30°,BC=AC»tan60°=1073,

EL4B0CF,

fflBCM=0ABC=3O°.

L1L

^\BM=BC9sin30°=1073x—=573,

/?

CM=50cos30°=10有x^—=15,

2

在团EfD中，回尸=90°,回E=45°,

如ED尸=45°,

^MD—BM—5y/3>

0CD=CM-M£>=15-5G

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质.关键是能通过解直角三角形求出线段CM,MD

的长.

5.（2020秋•山东德州•九年级统考期末）如图，在社会实践活动中，某数学兴趣小组想测量在楼房CD顶上

广告牌DE的高度，他们先在点A处测得广告牌顶端E的仰角为60。,底端D的仰角为30°,然后沿AC方向

前行20m,到达B点，在B处测得D的仰角为45°（C,D,E三点在同一直线上）.请你根据他们的测量数

据计算这广告牌DE的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：75=1.414,73«1.732）.

E

【答案】广告牌的高度为54.6米.

【分析】由题可知：NDBC=45°,ZC=90°,AB=20,ZQ4C=3O。/E4c=60。，先得至(jCD=CB,在三角

形ACD中，利用正切列出关于CD的等式并解出，从而求出BC的值，加上AB的值得到AC的值，在三角

形ACE中利用正切得到CE的长度，最后用CE-CD即为所求.

【详解】解：0ZZ)BC=45°,ZC=90°

ZBDC=45°

/.BC=CD,

DCDC

tanZDAC=-----=

ACAB+BCAB+DC

又・・・AB=20,ZZMC=30°

・"。°=就先w

Z)C=10+10A/3

BC=10+10A/3,

AC=AB+BC=20+10+10A/3=30+106,

在忒△ACE中,

EC

tanZEAC=——

AC

EC

即tan60°=---------尸,

30+10V3

，EC=304+30

:.ED=EC-DC=2073+20®54.6

答：广告牌的高度为54.6米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利

用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的关键.

6.（2022春•江苏盐城•九年级校考阶段练习）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的

俯角为45。，。处的俯角为30。，乙在山下测得C,。之间的距离为100米.已知3,C,。在同一水平

面的同一直线上，求山高（结果保留根号）.

【答案】付君+50）米

【分析】设=由题意可知NAC3=45。，ZADB=3Q°,CD=100米，即可得AB=3C=x,

BD=x+100,在RtAADB中，由tan30。=竺可得走=",由止匕即可求得苫=50若+50,即可得山

BD3x+100

高A3为（506+50）米.

【详解】解：设A3=x,

由题意可知：ZACB=45°,NADS=30。，

团AB=BC=x

团BD—BC+CD=x+\00,

在RtAAD3中，

团tan30。=——,

BD

[r?]—V3=---X---

3x+100

解得：X=50A/3+50,

El山高A3为（5。石+50）米.

【点睛】本考查了解直角三角形的应用，正确构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是

解决问题的关键.

7.（2021•贵州铜仁・统考三模）如图，小明去观赏一棵千年古银杏树，当走到点A处时，测得银杏树

的仰角为30。，当向树前进40米到8处时，又测得树顶端C的仰角为75。.请求出这棵千年古银杏树的

高.（结果精确到0.1米）.（参考数据：tan750=2+6，73=1.732,&=1.414）

【答案】27.3米

—cn

【分析】通过解直角AACD得到：AD=V3CD；通过解直角ABCD得到BD=一

tan/5

【详解】设CD=x米.

在RSACD中，H3A=30°,

CD

[Utan30=-----,

AD

团AD=QX,

团BD=AD-AB=6X-40,

4—CD

在Rt回BCD中，tan75°=——,

BD

02+73=^—

岳-40

解得x=27.3,

答：这棵千年古银杏树的高为27.3米.

【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属

于中考常考题型.

8.（2020•天津和平•三模）学完三角函数知识后，某校"数学社团”的小明和小华决定用自己学到的知识测量

纪念塔的高度.如图，8是高为1m的测角仪，在。处测得塔顶端A的仰角为40。，向塔方向前进40m在

E处测得塔顶端A的仰角为63.4。，求纪念塔的高度（结果取整数）.

参考数据：sin40°»0.64,cos40°«0.77,tan40°«0.84,tan63.4°«2.00.

A

【答案】纪念塔A3的高度约为59m.

【分析】根据正切的定义分别用AG表示出EG、DG,再在Rt^AEG中列出算式求出AG的长，计算即可.

【详解】解：根据题意，ZADG=40°,ZAEG=63.4°,DE=CF=40,CD=BG=1.

AQ

在RtAADG中，tanNAZ）G=-----,

DG

DG=AG..

tan40

4G

:.EG=DG-DE=----------40.

tan40

AG

在RtZXAEG中，tan44EG=——，

EG

AG

AG=EG-tan63.4°=tan63.4°|o-40

Itan40）

AG=40xtan63.4°xtan40。〜40x2.00x0.84~57g

tan63.4°-tan40°2.00-0.84

AB=AG+BG®57.9+1«59.

答：纪念塔A3的高度约为59m.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定

义是解题的关键.

9.（2020•天津红桥•三模）如图，垂直于地面的灯柱A3被一钢缆CZ）固定，现需要在点C的上方2m的E

处增加一条钢缆ED进行加固.已知NCDB=45。，ZEDB=53°,求。E的长（结果取整数）.参考数据：

sin53°«0.80,cos53°«0.60,tan53°«1.33.

E

C

DB

【答案】10m

【分析】在RtZXCBO中，根据团CDB的正切函数得到BC=BD,在RtAEQB中，根据团EDB的正切函数和余弦

DjT）O

函数得到£B=3Z>tan53。，DE=——,最后根据EB=EC+BC,得到30=———,即可求解.

cos53°tan530-l

【详解】解：根据题意，EC=2.

Be

在Rt^CBD中，tanZCDB=—,^BC=BD-^n45°=BD.

BD

在RSED3中，tanZEDB=—,cosZEDB=—,

BDDE

BD

回石8=BDtan53。，DE=------.

cos53°

2

^EB^EC+BC,^BDtan530=2+BD.回BD=--------.

tan530-l

^DE=BD=--------3-------。10

cos53°（tan530-1）-cos53°

答：DE的长度约为10m.

【点睛】此题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的应用是解题关键.

10.（2020•河南•九年级统考学业考试）周日，妈妈带小岚到商场的攀岩墙处玩耍如图，AD是一攀岩墙，

小岚从攀岩墙底部。处向上攀爬，妈妈站在距离攀岩墙3根的B处，当他到达C处时，妈妈看向他的仰角

为30°,当他到达墙顶A处时，妈妈看向他的仰角为75°（小岚妈妈的身高均忽略不计），此时攀岩教练开始

释放手中的绳子，使小岚以L5m/s的速度下落到C处，再减速下落到地面，则他从A处下落到C处需要

多长时间？（结果保留整数，参考数据：

sin!5°x0.97,cos75°®0.26,tan7sa：3.73,6a：1.73）30°?

A

DB

【答案】小岚从A处下落到C处需要6s

【分析】在曲ABCD中，利用三角函数解直角三角形可得CD；在HAAS。中，利用三角函数解直角三角形

可得AD,进而得到AC的长度，即可求解.

【详解】解：根据题意可知，ZCBD=30°,ZABD=75°

CD

在必ABCD中，tanZCB£)=—

BD

CD

即tan30。=T

回CD=3tan30°a1.73(m)

AZ)

在中，tanZABD=—

BD

即tan75。=羊

.'.AD=3tan75°~11.19(/ra)

AC=AD-CD^9.46(m)

9.46+1.576（s）

答：小岚从A处下落到C处需要6s.

【点睛】此题主要考查利用三角形函数解直角三角形，熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键.

11.（2021秋•山东济宁•九年级统考期末）如图，某轮船在海上向正东方向航行，在点A处测得小岛。在北

偏东60。方向，之后轮船继续向正东方向行驶1.5/z到达8处，这时小岛。在船的北偏东30。方向36海里

处.

（1）求轮船从A处到B处的航速.

（2）如果轮船按原速继续向正东方向航行，再经过多少时间轮船才恰好位于小岛。的东南方向？

【答案】（1）24海里/小时.（2）—叵小时.

4

【分析】（1）过。作利用特殊三角函数解直角三角形，分别求得OC、BC、AC的长，进而可求

得AB的长，再根据速度=路程+时间解答即可；

（2）如图，根据题意可判断回OCD为等腰直角三角形，则CD=OC,进而可得BD的长，再由时间=路程除速

度求解即可.

【详解】（1）过。作OC_LAB,

由题意得03=36海里，=60°,ZOAC=30°,

OC=OBsin600=18y/3（海里），

BC=OBcos60°=18（海里），

3

ABAC-BC=54-18=36（海里）,

二速度：Ke船=1|=24（海里/小时）.

（2）如图，

ABD

由题意，ZCOD=45°,。点在。的东南方向，

MOCD为等腰直角三角形，

EIO£）=OC-tan45°=18百（海里），

.•.BD=BC+C£>=18+18A/3（海里），

「=18+186=3（小时），

244

...经过过3叵小时后到达.

4

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，理解方位角的概念，熟练运用三角函数解

直角三角形是解答的关键.

12.（2020•河南•模拟预测）二七纪念塔位于郑州市二七广场，是独特的仿古，它是为纪念京汉铁路工人大

罢工而修建的纪念性建筑物.学完三角函数知识后，某校"数学社团"的刘明和王华决定用自己学到的知识

测量二七纪念塔的高度.如图，CD是高为1米的测角仪，在D处测得塔顶端A的仰角为40。，向塔方向前

进38米在E处测得塔顶端A的仰角为60。，求二七纪念塔AB的高度（精确到1米，参考数据

【答案】二七纪念塔AB的高度约为62米

【分析】由题意根据正切的定义分别用AG表示出EGDG,进而根据Z）G-EG=38列出算式求出AG的

长，计算即可.

4G

【详解】解：在RtAAEG中，tanZAEG=——,

EG

EG=———=—AG®0.58AG,

tanZAEG3

AG

在Rt^ADG中,taa/ADG-,

DG

AG

:.DG=——X---=1.2AG,

tanZADG0.84

­.­DG-EG=38,

.•.1.2AG—0.58AG=38,

「.AGa61.3,

/.AB=61.3+1«62.

答：二七纪念塔AB的高度约为62米.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念以及熟记锐角三角函数的

定义是解题的关键.

13.（2020春•内蒙古通辽•九年级校考期末）某人在A处测得大厦的仰角回BAC为30。，回ACB=90。沿AC方

向行40米至D处，测得仰角EIBDC为45。，求此大厦的高度BC.（ga1.7）

【答案】54米

【分析】先设BC=x米；根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形RtMBC和RtEIBCD,解三角形可

求得AC、CD的数值，再根据AD=AC-CD=40,进而可求出答案.

【详解】解：设BC=x米，

在RfflABC和RtEIBCD中,

B3BAC=30°,0BDC=45°,AD=40米

0CD=x,AC=BC-tan600=V3X,

0AD=AC-CD=4O,

0>/3x-x=4O,

Elx=20（V3+1）=54米.

答：该大厦的高度是54米.

【点睛】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函

数解直角三角形.

14.（2023春•重庆渝北•九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB,小明在斜坡的

坡脚。处测得宣传牌底部8的仰角为45。，沿斜坡OE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31。，已知

斜坡DE的坡度3:4,DE=10米，0c=22米，求宣传牌AB的高度.（测角器的高度忽略不计，参考数

据：sin31%=0.52,8s31°-。86,tan31°®0.6)

【答案】宣传牌AB的高度为2米.

【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C,则CF=EG,CG=EF,然后在RtAEFD、RtABCD、中

解直角三角形即可.

【详解】解：过E分别作8、AC的垂线，设垂足为歹、G,

贝。=EG,CG=EF,

在RtAEFD中，

・•,斜坡DE的坡度3:4,DE=10米，

.,.设£F=3x米，DF=4x米，

DE=ylEF2+DF2=5x=10，

:.x—2,

:.EF=6^,DP=8米，

在RtABCD中，ZBDC=45°,

，BC=CD=22米，

:.BG=BC-CG=22-6=16（米），

在RtAAEG中，AG=EGtan31°=30x0.6=18（米），

:.AB=AG-BG=18-16=2（米）.

答：宣传牌A3的高度为2米.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直角三角形，将实

际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键.

15.（2023春•湖南永州•九年级统考期中）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用

仪器测得到塔尖D的仰角aDAC=15。，向塔正前方水平直行260m到达点B,测得到塔尖的仰角aDBC=

30。，若小明的眼睛离地面1.6m,你能计算出塔的高度QE吗？写出计算过程.

【答案】出塔的高度DE为131.6m.过程见解析.

【分析】先根据等腰三角形的判定可得比＞=AB=260m,再根据直角三角形的性质可得

CD=1BD=130m,然后根据线段的和差即可得.

2

【详解】解：由题意得：AB=260m,AF=BG=CE=1.6m,DE.LACf

・・•ZDAC=15°,ZDBC=30°,

ZADB=ZDBC-ZDAC=15°,

:.ZADB=ZDAC,

BD=AB=260m,

在RtZXBCD中，CD=-BD=130m,

2

DE=CD+CE=130+1.6=131.6(m),

即塔的高度OE为13L6m.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形的外角性质、直角三角形的性质，线段和差等知识点，熟

练掌握等腰三角形的判定是解题关键.

16.（2022・河南周口・周口市第一初级中学校考模拟预测）（如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定

将园内的滑滑板的倾斜角由45。降为30。，已知原滑滑板的长为4米，点、D、B、C在同一水平地面上.

（1）改善后滑滑板会加长多少米？

（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造

是否可行？请说明理由.

（参考数据：&=1.414,6=1.732,后=2.449,以上结果均保留到小数点后两位）

【答案】⑴1.66米；（2）这样改造能行.

【分析】（1）滑滑板增加的长度实际是（AD-AB）的长.在放AABC中，通过解直角三角形求出AC的

长，进而在RdACD中求出的长得解；

（2）分别在放反48。、RdAC。中求出BC、C。的长，即可求出8。的长，进而可求出改造后滑滑板前方

的空地长.若此距离大于等于3米则这样改造安全，反之则不安全.

【详解】（1）在R/EL4BC中，/ABC=45。,

^AC=BC=—AB=—x4=2y/2,

22

RQAC。中，ZADC=30°

f

AD=---------=2AC=4V2,

sin30°

AD-AB=4A/2-4®1.66（米）

答：改善后滑滑板会加长L66米;

（2）RtAACD中,ZADC=30°,

4rr-f—

CD=---------=A/3AC=2V6,

tan30°

0BC+6-CD=2^+6-2A/6«2.828+6-4.898®3.93>3.

团这样改造能行.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，在直角三角形中正确利用三角函数，特别是特殊角的三角函数

值是解题的关键.

17.（2015•上海・统考中考真题）（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）

如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段表示高架道路旁的一排居民楼.已知点A到跖V的距离为

15米，54的延长线与相交于点O,且/3£W=30。，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内

会受到噪音的影响.

（1）过点A作的垂线，垂足为点”.如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P

处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？

（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板.当汽车行驶到点。时，它与这一排居民楼的距离

QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参

考数据：V3»1.7）

【答案】（1）36米；（2）89米

【分析】（1）联结AP,直接在RAAPH中利用勾股定理解出尸〃即可；（2）从题中可得到的信息是

PA=CQ=39m,因此需要安装的隔音板至少要包含PQ这一段.第（1）小题中已解得PH,故需要求出

HQ,在用AZ）的和RfADQC中用两次30。的三角函数，即可解得D"和代入「。=9+£>。-计

算即可.