高考数学总复习《双曲线》专项测试卷（含答案）

高考数学总复习《双曲线》专项测试卷含答案

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一、单项选择题

1.已知双曲线的方程为不一f=1,过点尸（1,0）的直线/与双曲线只有一个公共点，则这样的直线/有

（）

A.4条B.3条

C.2条D.1条

2.过双曲线C：]=1的左焦点作倾斜角为袭的直线/,则直线/与双曲线C的交点情况是（）

A.没有交点

B.只有一个交点

C.有两个交点且都在左支上

D.有两个交点且两交点分别在左、右两支上

f丫22

3.双曲线勺一彳=1与直线y=—1x+制mGR）的公共点的个数为（）

A.0B.1

C.0或1D.0或1或2

4.已知直线>=丘+1与双曲线/一5=1交于A,B两点,且[48|=8^2,则实数上的值为（）

A.±巾B.±■或土

C.+y/3D.±

22

5.已知双曲线%蚤一V方=1的左焦点为人，过品的直线/交双曲线左支于A,8两点，则直线/斜率的取

值范围为（）

A.（-祟D

B.（一%U+oo）

C.（V|）

D.（-00,一和俘，+8）

6.过双曲线一一9=4上任一点M（尤。,州）作它的一条渐近线的垂线段，垂足为N,。是坐标原点，则

AMON的面积是（）

A.1B.2

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C.4D.不确定

7.（2024.山东烟台模拟）过双曲线C：5—5=1（。>0,方。）的焦点且斜率不为。的直线交C于4B两

点,。为的中点，若kAB・koD=W，则C的离心率为（）

A.就B.2

C.y[3D.

8.已知双曲线C：4-g=l（a>0,6>0）的左、右焦点分别是F2,其中周B|=2C,过右焦点尸2的

直线/与双曲线的右支交于A,8两点，则下列说法中错误的是（）

2

A.弦43的最小值为2詈Z?

B.若但8|=机，则△BAB的周长为2m+4”

b2

C.若A8的中点为且A8的斜率为3贝

D.若直线AB的斜率为小,则双曲线的离心率ed[2,+功

二、多项选择题

2

9.（2024・河北唐山模拟）已知双曲线C：J-x=l（a>0）,其上、下焦点分别为B,F2,。为坐标原点.过

双曲线上一点M（xo,泗）作直线/,分别与双曲线的渐近线交于尸，Q两点，且点M为PQ的中点，则下列说

法正确的是（）

A.若Ly轴，则I尸。1=2

B.若点M的坐标为（1,2）,则直线/的斜率为:

C.直线P。的方程为詈-XK=1

D.若双曲线的离心率为乎，则△OPQ的面积为2

10.（2024•湖北重点中学联考）关于双曲线C:彳一彳=1,下列说法正确的是（）

27

A.该双曲线与双曲线方一方=1有相同的渐近线

B.过点网3,0）作直线/与双曲线C交于A,B两点,若|A8|=5,则满足条件的直线只有一条

c.若直线/与双曲线c的两支各有一个交点，贝I直线/的斜率空；

D.过点尸（1,2）能作4条直线与双曲线C仅有一个交点

三、填空题与解答题

第2页共12页

11.过双曲线X2—5=1的左焦点Q作倾斜角为亲的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|=.

12.（2024・湖北武汉模拟）写出一条同时满足下列条件①②的直线/:.

①经过点（y[2,1）;②与双曲线/一＞2=1有且只有一个公共点.

13.双曲线5一*=1的右顶点为A,右焦点为尸，过点尸作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲

线交于点B,则的面积为.

273

14.（2024・广东肇庆模拟）已知圆（》+2）2+9=彳的圆心为〃，圆N:（x—2）2+尸=^的圆心为N,一

动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）已知定点P（|,。），过点N的直线/与曲线C交于A,B两点,证明：ZAPN=ZBPN.

高分推荐题

15.（2022・新高考全国I卷）已知点A（2,l）在双曲线C:三一手7=1（。乂）上，直线/交C于尸，。两点,

aa—1

直线AP,A。的斜率之和为0.

⑴求/的斜率；

（2）若tan/=2也，求△B4Q的面积.

解析版

一、单项选择题

I.已知双曲线的方程为一一9=1,过点P（l,0）的直线/与双曲线只有一个公共点，则这样的直线/有

第3页共12页

)

A.4条B.3条

C.2条D.1条

解析：因为双曲线的方程为/一;=1,则R1,O)是双曲线的右顶点，所以过尸(1,0)且和x轴垂直的直线

是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过尸(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所

以符合要求的直线有3条.

答案：B

2.过双曲线C:£一5=1的左焦点作倾斜角为袭的直线/,则直线/与双曲线C的交点情况是()

A.没有交点

B.只有一个交点

C.有两个交点且都在左支上

D.有两个交点且两交点分别在左、右两支上

解析：直线/的方程为了=芈。+行)，代入C:整理得23/—8713^-160=0,J=(-

8V13)2+4X23X160>0,所以直线/与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横

坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上.

答案：D

X2V2?

3.双曲线g一彳=1与直线y=-1x+"z(〃zeR)的公共点的个数为()

A.0B.1

C.0或1D.0或1或2

22

解析：双曲线的渐近线方程为y=±y,当，〃=0时，直线y=一§x与双曲线没有公共点；当*0时，

直线y=—)%+m与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线只有一个公共点.综上，双曲线；=1与直线y

2

=一的公共点的个数为。或L

答案：C

4.已知直线>=丘+1与双曲线一一9=1交于A,3两点，且|A3|=8y[2,则实数左的值为()

A.土币B.±仍或土

C.±y[3D.±~

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解析：由直线与双曲线交于A,B两点,得际±2.将>=依+1代入％2—7=1,得（4—R）f—2日-5=0,

2k5

由/=4炉+4x（4—严）、5>0,得3<5.设A（xi,巾），8（x2,竺），则xi+x2=,二胃,无的=一匚三，所以［48|=

^=8地，解得左=±馅或±-^豆.

答案：B

5.已知双曲线元一百=1的左焦点为B,过B的直线/交双曲线左支于A,B两点,则直线/斜率的取

值范围为（）

(V9

-4)U(l+H

c.(一£|)

D.(-8,—U(j,4-00

3

解析：双曲线的渐近线方程为〉=土不，当直线/与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点.

3

当直线/的斜率大于零时，要与双曲线左支交于两点，则需直线/的斜率公不当直线/的斜率小于零

3

时，要与双曲线左支交于两点，则需直线/的斜率％1.故选B.

答案：B

6.过双曲线一一丁=4上任一点M（尤。,州）作它的一条渐近线的垂线段，垂足为N,。是坐标原点，则

AMON的面积是（）

A.1B.2

C.4D.不确定

解析：双曲线的渐近线方程为y=ir,设4,必分别为点M（xo,yo）到直线x—y=0,x+y=0的距离，

ko-Volko+vol|xo—y§|i

则由d2=——•———=一『=2,因为两条渐近线垂直，所以SAM0N=gdM2=L

答案：A

7.（2024•山东烟台模拟）过双曲线C:J-p=l（o>0,b>0）的焦点且斜率不为。的直线交C于A,B两

点，。为的中点，若kAB・koD=；,则C的离心率为（）

A.y[6B.2

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C.y[3D.-2

解析：不妨设过双曲线C的焦点且斜率不为0的直线方程为y=k（x-c）9度0,令4为，》）,5（X2,m）.由

V£

~-/2=1,DffiWc

<°消去y并整理得（从-+—（层/^十层为二。.则xi+X2=一万，处冗2=

y=kx—c9

记■心+岸白（〃2左2c妨2c\"1b21

D229

〃2左2_。2，[a^-b7严—二）.则左0。=萩，由kAB-k0D=y可得萩,％=，•则有。=2。2,即3层=2。2,

则双曲线c的离心率e=；=母色故选D.

答案：D

?2

8.已知双曲线C：，一方=1（。>0,6>0）的左、右焦点分别是人，外,其中|尸网=2c,过右焦点后的

直线/与双曲线的右支交于A,8两点，则下列说法中错误的是（）

A.弦AB的最小值为瓷

B.若[43|=机，则△RAB的周长为2机+4。

b2

C.若AB的中点为M,且的斜率为3则4OAM=U

D.若直线A8的斜率为小,则双曲线的离心率ed[2,+s）

2庐

解析：对于A,弦A2的最小值为通径二故A正确；对于B,由双曲线的定义得四1|+|8月|—四|

=4a,得|A尸il+出尸i|=4a+m,所以△EA8的周长为|4尸i|+|B尸i|+|AB|=4a+2m,故B正确;对于C,设

22

即1

-

7-2

X1+X2X1—X2yi-ry2yi—y2=0,则在-丁1+竺yi-丁2_

於2

A(xi,yi),B(X29>2),则2两式相减得一

-crP

-2-2

。

0,则了一中垢心g0,则kOM-k=-^,故C正确；对于D,若直线AB的斜率为小，贝IJ不小，所以/<3。2,

所以02<4",所以l<e<2,故D错误.故选D.

答案：D

二、多项选择题

2

9.（2024•河北唐山模拟）已知双曲线C:J-x=l（a>0）,其上、下焦点分别为尸i,F2,。为坐标原点.过

双曲线上一点M（xo,%）作直线/,分别与双曲线的渐近线交于尸，Q两点，且点M为PQ的中点，则下列说

法正确的是（）

A.若Ly轴，则|PQI=2

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B.若点M的坐标为(1,2),则直线/的斜率为:

C.直线P。的方程为答一xg=l

D.若双曲线的离心率为乎，则△OPQ的面积为2

解析：若轴，则直线/过双曲线的顶点，M(0,±a),双曲线的渐近线方程为y=±tu,易得P,Q

两点的横坐标为±1,；.|尸。|=2,故A正确；若点M的坐标为(1,2),则“="易得双曲线的渐近线方程

yi-V2

为y2—2/=0,设P(xi,yi),。(入2,丁2),贝!Jy彳一2屑=0,另一2弟=0,两式作差可得，负一强=2看一2M即

X\—X2

X1+X22V1—V2

=2x—―■-,•・"2x/l,故B错误；若M(x°,加)，如…)，如，⑼利用点差法同样可得g一

州十丁2

2

9X1+X20^X0

=azx-;-=-，----工--直线尸。的方程为y—州=3"(%—xo),即yoy一找=。2%0%一/看，yoy一次如尸4一〃2焉=

yi+y2州

足，.•.署一如X=l,故C正确；若双曲线的离心率为孚，则双曲线的方程为?一无2=1,.•.渐近线的方程为

圆1

A-xox=l,2

y=±2x,设P(xi,2xi),2(X2,-2x2),.•・SZ\OPQ=2|%I%2|,联立方程j可得为=丁，同理

yo—

[y=2x,

,—22—288

可得X2=，-9-SAOPQ=2\XIX2\=2-~~•=71―K=Z=2,故D正确.故选ACD.

yo+2xo比一2必为+240优一4局4

答案：ACD

10.(2024.湖北重点中学联考)关于双曲线C:f-f=l,下列说法正确的是()

27

A.该双曲线与双曲线：=1有相同的渐近线

B.过点网3,0)作直线/与双曲线C交于A,B两点,若|相|=5,则满足条件的直线只有一条

C.若直线/与双曲线C的两支各有一个交点，贝I」直线/的斜率

D.过点尸(1,2)能作4条直线与双曲线C仅有一个交点

解析：双曲线c：f-f=l的渐近线方程可表示为:—^=o,双曲线看―5=1的渐近线方程可表示为

7-J=0.整理后都是y=±”x,故A正确；由于双曲线的实轴长为2a=4,.•.过焦点尸与左、右两支都

相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4,+◎,存在关于x轴对称的两种情况，使其弦长为5,另

外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5,故满足条件的直线有三条，如图所示，故B错误；

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由于双曲线的渐近线的斜率为普，焦点在X轴上，•••若直线/与双曲线c的两支各有一个交点，则

直线/的斜率如图所示，故C正确;

如图所示,

过点R1,2）能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切,

故D正确.故选ACD.

答案：ACD

三、填空题与解答题

11.过双曲线％2一5=1的左焦点为作倾斜角为亲的直线与双曲线交于A,B两点,则|AB|=.

解析：易得双曲线的左焦点B（—2,0）,直线A8的方程为〉=芋（苫+2）,与双曲线方程联立，得8x2

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—4x—13=0./=16+4x8x13>0.设A(xi,yi),8(x2,yi),则制+&=1,制&=—竽，\AB\=A/1+1-

答案：3

12.(2024.湖北武汉模拟)写出一条同时满足下列条件①②的直线/：.

①经过点(V2,1);②与双曲线x2—丁=1有且只有一个公共点.

解析：显然直线/的斜率存在，设直线方程为丫-1=蛇一曲,代入双曲线的方程得(1一节/一2岚1

-也如一2+2正左一2M=0.当1一产=0时，仁±1,此时直线方程为y-l=x-g或=也),

即y=x+l—6或y=—x+l+也.当1一斤#)时，』=4后(1一^)2-4(1-^)(-2+2巾k-2a)=0,

解得左=P,此时直线方程为y-l=V2(x-m)，即丫=V2.r-1.

答案：y=5-1或产x+1-/或y=-x+1+6(只需答出其中之一即可)

22

13.双曲线X至一V髭=1的右顶点为A,右焦点为八过点尸作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲

线交于点B,则的面积为.

/丫24

解析：双曲线勺一行=1的右顶点为43,0),右焦点为网5,0),渐近线的方程为＞=±可尤.不妨设直线

的方程为y=/(x-5),代入双曲线的方程整理，得/一。-5)2=9,解得x=,，y=-j|,所以2点，-Q.

1113232

所以S^AFB=^AF\\yB\=2(。一〃＞1阳=联＜(5—3)又记=正.

32

答案：百

273

14.(2024.广东肇庆模拟)已知圆M：。+2)2+产=彳的圆心为加，圆N:Q—2)2+产=彳的圆心为N,一

动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)已知定点P©,。)，过点N的直线/与曲线C交于A,B两点,证明：ZAPN=ZBPN.

⑴解：如图，

第9页共12页

设圆E的圆心E(x,y),半径为r,

-J3

则|EA/|=r+3，\EN\=r--^~,

所以|EM-|EN|=2V3<|MN|=4.

由双曲线的定义可知，E的轨迹是以M,N为焦点，实轴长为2/的双曲线的右支,

所以曲线C的方程为专一y2=i,x＞小

⑵证明：由题意知直线I的斜率不为零.

设4(尤1,力)，Bg,yi),直线/的方程为尤=冲+2,

由于直线/与曲线C交于A,8两点，

故-y[3<m</,

由[?一/=1，苫之事,

\<x=my+29

消去x并整理得(小一3城+4股+1=0,A=16m2—4(m2—3)>0,

〃4m

%xi=myi+2,X2=m)；2+2,yi#0,竺#0,

]14—

1Im-V1+2的2+，1%+丫21

MPkBPy\yi2yly22]

m2—3

即乂尸+无p=0