高考数学专项复习训练之概率统计

2025年高考数学专项题型点拨训练

概率统计

【题型一】条件概率

【题型二】全概率公式与贝叶斯公式

【题型三】离散型随机变量的分布列和概率性质

【题型四】二项分布

【题型五】超几何分布

【题型六】正态分布

概率属于解答题必考题，大多考察两方面，一个是超几何分布与二项分布的区别，还有就是线性回归

方程与独立性检验。小题中新教材新加的全概率公式和条件概率是重点，当然古典概型和相互独立事件的

判断以及正态分布也是需要熟练掌握的。今年还需对冷门的知识点，比如用样本方差估计总体方差、最小

二乘法、残差等知识点的掌握和理解。均是书本上提到的内容，但长久未考，学生都容易忽视。

易错点一：回归方程

_n_及

X(X,一元)(X—y)EX，％—w

(1)回归方程为y=bx+a,其中£=J------------=得----------,a=y-bx.

方(西一无了之玉2_麻2

z=li=l

（2）通过求Q=Z（X-6受-。）2的最小值而得到回归直线的方法,即使得样本数据的点到回归直线的距

«=1

离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.

例（2024.天津.高考真题）莺是鹰科的一种鸟，《诗经・大雅•旱麓》曰：“莺飞戾天，鱼跃余渊”.莺尾花因花

瓣形如莺尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种莺尾花的花萼长度和花

瓣长度（单位：cm）,绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为/*=0.8642,利用最小二乘法求得相应

的经验回归方程为y=0.7501x+0.6105,根据以上信息，如下判断正确的为（）

花萼长度

A.花瓣长度和花萼长度不存在相关关系

B.花瓣长度和花萼长度负相关

C.花萼长度为7cm的该品种莺尾花的花瓣长度的平均值为5.8612cm

D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是Q8642

变式1：（2024•青海海南•一模）近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展,

销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点.某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得

到研发投入x（亿元）与经济收益，（亿元）的数据，统计如下：

研发投入X/亿元12345

经济收益y/亿元2.546.5910.5

（1）计算的相关系数小并判断是否可以认为研发投入X与经济收益y具有较高的线性相关程度：（若

0.3<|r|<0.75,则线性相关程度一般，若H>0.75,则线性相关程度较高）

（2）求出y关于X的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益.

参考数据：t（X,-元）2=10,£（%-刃2=44.5,5/445

i=\i=l

附：相关系数一不-线性回归方程的斜率B........................,截距&=y-匾.

宓%-寸肉%-可2"%一寸

变式2：（2024・全国•模拟预测）某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物

生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现

统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化

天数X12345678910

作物高度y/cm9101011121313141414

（I）观察散点图可知，天数无与作物高度y之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度y关于天

数x的线性回归方程亍=液+&（其中之方用分数表示）；

（2）小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为21.3cm,请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度

的残差.

力（占一可（»-刃10

参考公式：5=J-----------------，&=歹-会.参考数据：W>/=710.

i=l

易错点二：独立性检验的意义

独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断.

例(2024•吉林•模拟预测)短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游

热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客

调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.

(1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值£=0。01的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是

否与收看短视颍有关联：单位：人

短视频

游客合计

收看未看

南方游客

北方游客

合计

(2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之

一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.

(i)求经过i次传递后球回到甲的概率；

(ii)记前加次传递中球传到乙的次数为X,求X的数学期望.

n(ad-bc)2fjn\jn

参考公式：z2=其中〃=a+〃+c+d；E

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)Ii=lJi=l

药品①和治疗甲流药品甲，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100

个样本数据，得到如下2X2列联表:

甲流病毒

预防药品①合计

感染未感染

未使用242145

使用163955

合计4060100

(1)根据a=0。5的独立性检验，分析预防药品①对预防甲流的有效性;

(2)用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品+对该动物进行

治疗，已知治疗药品叩的治愈数据如下：对未使用过预防药品①的动物的治愈率为0.5,对使用过预防药品

①的动物的治愈率为0.75,若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动

物中被治愈的动物只数为X,求X的分布列与数学期望.

n{ad-be)2,,

附：72=--------------:-------,n=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

抢分通关

【题型一】条件概率

一般地，当事件B发生的概率大于0时(即尸(8)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件

概率，记作P(A|B),而且P(A|8)=寡.

।—।

典例精讲

【例1】(多选)(2024.湖南娄底.一模)对于事件A与事件8,若AuB发生的概率是0.72,事件B发生的概

率是事件A发生的概率的2倍，下列说法正确的是()

A.若事件A与事件3互斥，则事件A发生的概率为0.36

B.P(B\A)=2P(A|B)

C.事件A发生的概率的范围为[0.24,0.36]

D.若事件A发生的概率是0.3,则事件A与事件8相互独立

【例2】(2024•北京石景山•一模)一袋中有大小相同的4个红球和2个白球.若从中不放回地取球2次，每

次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到红球”为事件8,则尸(叫A)=()

4234

A.—B.-C.-D.一

15555

【例3】(2024.辽宁沈阳・二模)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列

的6个爻组成，爻分为阳爻"--------------''和阴爻"---------”，如图就是一重卦.在所有重卦中随

机取一重卦，记事件"取出的重卦中至少有1个阴爻"，事件3="取出的重卦中至少有3个阳爻”.则

P(B|A)=()

BC.—D.—

-记6364

I—I

名校模拟

【变式1］（2024•山西•二模）一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地

往外取球（不放回），记事件A表示“第七次取出的球是黑球"，笈=1,2,…,5,则下面不正确的是（）

A.P（A）=-B.P（AA）=-

9i

C.P（A［+A）=而D.尸（&IA）=§

【变式2］（2024.全国.模拟预测）甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质

地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分.经

过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（）

209c210_211-212

A.B.-----C.D.

277277277277

【变式3］（23-24高二下•辽宁大连•阶段练习）小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1

31

级台阶的概率为了，走2级台阶的概率为7.小明从楼梯底部开始往上爬,在小明爬到第4级台阶的条件下，

44

他走了3步的概率是（）

,27n108-81八1

A.—B.-----C.D•—

6420520564

【题型二】全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式

一般地，设44,...4是一组两两互斥的事件，411M2U…LM”=a,且尸（4）＞0,i=l,2,…，小则对

任意的事件BUQ,有

P(B)=2P(Ai)P(B|A)

i=l

我们称上面的公式为全概率公式.

*贝叶斯公式:

一般地，设4,…,4是一组两两互斥的事件，AU4U…U4=。，且P（a）〉o,，=L2,…〃，则

对任意的事件30。4（5）＞0,有

p（a）尸（B4）尸（a）p（Bia）

P(A\B)=,z=1,2,•••,«.

iPCB）£p（4）PGBI4）

k=l

I—I

典例精讲

［例1］（2024.江西南昌.一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲

袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取

出的也是2个白球的概率为（）

“37-9〃18r1

A.B.—C.—D.—■

15075372

【例2】（2024•海南省直辖县级单位•一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计

理论，随机事件A,5存在如下关系:。（陋二用曹.若某地区一种疾病的患病率是0.05,现有一

种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，

有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的

可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（）

495995_10-21

A.----B.----C.—D.—

100010001122

【例3】（2024.全国.二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪

支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8,选“使命”队获胜的概率为0.7,单位在比赛中获胜的条件

下，选“使命”队参加比赛的概率为（）

7

D.

15

名校模拟

【变式1］（多选）（2024•山西朔州.一模）在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号

时，收到的信号字母不变的概率为。（0（/<1）,收到其他两个信号的概率均为三%.若输入四个相同的信

号MMMM,NNNN,PPPP的概率分别为Px,p2,Pi,且R+P?+幺=1.记事件弧，M［分别表示“输入

MMMM”“输入NNNN”“输入PPPP”,事件。表示“依次输出MVPM"，则（）

A.若输入信号则输出的信号只有两个M的概率为〃（l-a）2

B.尸⑷必）=02n:

C.尸⑷片）=《一j

DP（M1|D）=-——--------

'/（3a-1）p1+1-a

【变式2］（2024•江苏扬州•模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,

3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的

25%,30%,45%.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为.

【变式3］（2024.浙江丽水•二模）为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进

行监测识别.若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为Pi；若该区域没

有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为P2.已知该指定区域有珍稀动物活

动的概率为02现用2台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测识别，若任

意一台监测器识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.

⑴若Pi=0.8,p2=0.02.

（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；

（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率（精确到0.001）；

（2）若监测系统在监测识别中，当0.8W口W0.9时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍稀动物活动时，该区

域确有珍稀动物活动的概率至少为0.9；②若判定没有珍稀动物活动时，该区域确实没有珍稀动物活动的概

率至少为0.9.求心的范围（精确到0.001）.

（参考数据：,35.04=0§866,J%。=0.9861,0.982）

=09604

66

【题型三】离散型随机变量的分布列和概率性质

设离散型随机变量X的分布列为:

XX2XiXn

pPiP2PiPn

则⑴020,=1,2,…,〃；

(2)pi+pz+...+p»+...+p〃=l；

(3)E(X)+%2〃2+…+%R+…

(4)Q(X)=(X」一E(X))2小+(X2—E(X))2>2+…+(X”—E(X))2%.

随机变量的数学期望与方差

(1)如果E(〃)和E(。都存在，则E化+n)=E(?+E(").

(2)若〃=a忑+6,则E(〃)=aE(2+b,DM=a2D(^.

(3)期望与方差的转化：。©二改乎)一。©产

I—I

典例精讲

【例1】(2024•山西临汾•二模)已知质量均匀的正〃面体，”个面分别标以数字1到〃.

(1)抛掷一个这样的正“面体，随机变量X表示它与地面接触的面上的数字.若尸(X<5)=：求〃；

(2)在(1)的情况下，抛掷两个这样的正〃面体，随机变量Y表示这两个正"面体与地面接触的面上的数字和

的情况，我们规定：数字和小于7,等于7,大于7,Y分别取值0,1,2,求Y的分布列及期望.

【例2】(2024•浙江宁波•二模)三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动，红包的总金额数为

3〃(〃N2,〃eN)个单位.第一个人抢到的金额数为1到2〃-1个单位且等可能(记第一个人抢完后剩余的金额

数为W),第二个人在剩余的W个金额数中抢到1到W-1个单位且等可能，第三个人抢到剩余的所有金额

数，并且每个人抢到的金额数均为整数个单位.三个人都抢完后，获得金额数最高的人称为手气王(若有多

人金额数相同且最高，则先抢到最高金额数的人称为手气王).

(1)若〃=2,则第一个人抢到的金额数可能为1,2,3个单位且等可能.

Ci)求第一个人抢到金额数X的分布列与期望；

(ii)求第一个人获得手气王的概率；

(2)在三个人抢到的金额数为2,3,4的一个排列的条件下，求第一个人获得手气王的概率.

【例3】(2024.湖南.模拟预测)有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子,投掷时得到每种点数的概率均等，

现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望E(X)=()

,21八3r15

A.—B.-C.—D.—

16248

।—।

名校模拟

【变式1](2024•全国•模拟预测)在2002年美国安然公司(在2000年名列世界财富500强第16位，拥有

数千亿资产的巨头公司，曾经是全球最大电力、天然气及电讯服务提供商之一)宣布破产，原因是持续多

年的财务数据造假.但是据说这场造假丑闻的揭露并非源于常规的审计程序，而是由于公司公布的每股盈

利数据与一个神秘的数学定理一本福特定律一严重偏离.本福特定律指出，一个没有人为编造的自然

生成的数据(为正实数)中，首位非零的数字是1~9这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个

公式：随机变量4是一个没有人为编造的首位非零数字，则P(J=U=lg(l+J优=1,2,…,9),则根据本福

特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是8的概率约是（参考数据：坨2。0.301,lg3«0.477）

（）

A.0.046B.0.051C.0.058D.0.067

【变式2］（2024.贵州黔西•一模）高一（1）班每周举行历史擂台比赛，排名前2名的同学组成守擂者组，

下周由3位同学组成攻擂者组挑战，共答20题，若每位守擂者答出每道题的概率为:，每位攻擂者答出每

道题的概率为?.为提高攻擂者的积极性，第一题由攻擂者先答，若未答对，再由守擂者答；剩下的题抢答，

抢到的组回答，只要有一人答出，即为答对，记为1分，否则为0分.

（1）求攻擂者组每道题答对的概率々及守擂者组第1题后得分为。分的概率£；

（2）设X为3题后守擂者的得分，求X的分布列与数学期望E（X）.

【变式3］（2024・湖南益阳•模拟预测）新鲜是水果品质的一个重要指标.某品牌水果销售店，为保障所销售

的某种水果的新鲜度，当天所进的水果如果当天没有销售完毕，则第二天打折销售直至售罄.水果销售店

以每箱进货价50元、售价100元销售该种水果，如果当天卖不完，则剩下的水果第二天将在原售价的基础

上打五折特价销售，而且要整体支付包装更换与特别处理等费用30元.这样才能保障第二天特价水果售罄，

并且不影响正价水果销售，水果销售店经理记录了在连续50天中该水果的日销售量无（单位：箱）和天数

y（单位：天）如下表所示：

日销售量X（单位：箱）2223242526

天数y（单位：天）10101596

（1）为能减少打折销售份额，决定70%地满足顾客需求（即在100天中，大约有70天可以满足顾客需求）.请

根据上面表格中的数据，确定每天此种水果的进货量f的值.（以箱为单位，结果保留一位小数）

⑵以这50天记录的日需求量的频率作为日需求量的概率，设（1）中所求f的值满足，e\n0,n0+l）（n0eN*）,

请以期望作为决策依据，帮销售店经理判断每天购进此种水果是"。箱划算还是"o+1箱划算？

【题型四】二项分布

二项分布：一般地，在“次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率

为P，则事件A恰好发生％次的概率为尸（X=©=0»（l-p）"f,%=0,1,2,…，小则称随机变量X服从二

项分布，记作X~B（n,p）,并称p为成功概率.

事件N发生的概率

事件4发生的概率

P（XM［）=C：•（其中bO,12…,〃）

试验总次数

事件4发生的次数

二项分布的数学期望与方差：若X〜B(n,p),则E(X)="，D(X)=np(1-p)

典例精讲

【例1】(2024•河北邢台・一模)小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和8类题，小张回答A

类题正确的概率为0.9,小张回答8类题正确的概率为0.45.已知题库中2类题的数量是A类题的两倍.

(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；

(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题

目中恰好回答正确及个(左=0,1,2,L,10)的概率为A，则当上为何值时，外最大？

【例2】(2024•全国•模拟预测)某市物理教研员在一次高二全市统考后为了了解本市物理考试情况，从全市

高二参加考试的学生中随机抽取50名学生对其物理成绩(单位：分，成绩都在［30,100］内)进行统计，制

(1)求加的值，并以样本估计总体，求本次高二全市统考物理成绩的中位数(同一组中的数据用该组区间的

中点值为代表)；

(2)从该市高二参加考试的学生中随机抽取3人，记这3人中物理考试成绩在(60,70］内的人数为X,求X的

分布列及数学期望.

【例3】(2024•全国•模拟预测)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概

率为：，向右移动的概率为2.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位

置，贝I］尸(X>0)=()

.4-3-2-10123456^

A,917

B.工D.——

243243CI81

r—1

名校模拟

【变式1】（2024•辽宁・模拟预测）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单

位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是（）

55c25

A2LDD.----

1024512128

【变式2】（2024•山东•模拟预测）已知随机变量X~3（2,p）,其中。随机变量F的分布列为

Y012

21

P——qq

33

表中。＜”（7,则。（丫）的最大值为..我们可以用加=£P（X=左）m黑三口来刻画X与F的相似

左=。

程度，则当。（x）=g,且。"）取最大值时，丝市M

【变式3］（2024•北京西城•一模）10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下:

每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛.三位选手甲、乙、丙的资格赛成绩如下:

环数6环7环8环9环10环

甲的射出频数11102424

乙的射出频数32103015

丙的射出频数24101826

假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的射击成绩相互独立.

（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由;

（2）若甲、乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率;

⑶甲、乙、丙各射击10次，用X,«=1,2,3）分别表示甲、乙、丙的10次射击中大于4环的次数，其中

”{6,7,8,9},写出一个。的值，使。（X3）＞0（X2）＞D（XJ.（结论不要求证明）

【题型五】超几何分布

超几何分布列

「k「n-k

在含有/件次品的N件产品中，任取〃件，其中恰有X件次品，则P（X=k）=MN乂,左=0』,2,…，m,

品

X01m

「001「n-tn

p

G

若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从超几何分布

超几何分布列的数学期望与太差

KMn・M・(N-n)(N-M)

若X〜H(n,M,N),则E(X)=R.D(X)=

N\N-1)

i—।

典例精讲

[例1](23-24高三上•北京西城•期末)生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中

学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使

用的一款跑步软件，结果如下：

跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四

中学生80604020

大学生30202010

假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.

(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件

一的概率；

(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记X为这3人中最

喜爱使用跑步软件二的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为▲，巧，X3,匕，其方差为s；；样本中的大

学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为为,%，丫3，%，其方差为S；；*1，X2,尤3，X4,%,%,

%，%的方差为S；.写出s；,的大小关系.(结论不要求证明)

【例2】(2024•云南昆明•模拟预测)某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A,B两名同学中产生，测试方

案如下：A,8两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确

3

作答其中的3个，8能正确作答每个问题的概率都是二，A,8两名同学作答问题相互独立.

4

(1)求A,B两名同学恰好共答对2个问题的概率；

(2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由.

【例3】(2024•江西鹰潭.模拟预测)设随机变量X~"(10,M/000)(2WM4991且MeN*),当

H(2;10,M/000)最大时，E(X)=.

名校模拟

【变式1](2024•陕西西安.三模)每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退

休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查,

调查情况如下表：

年龄段(单位：岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]

被调查的人数101520m255

赞成的人数612n20122

(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在[35,45)的概率为：，求出表格中加，”的值；

(2)若从年龄在[45,55)的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项

调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为X,求X的分布

列及数学期望.

【变式2](2024•新疆・二模)水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采

购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：

等级标准果优质果精品果礼品果

个数/个10254025

(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；

(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取20个，再从抽取的20个水果中随机地抽取2个，用X表示抽

取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望E(X).

【变式3](2024•北京怀柔•模拟预测)某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了

500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)分配情况等数据，并将样本数

据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九组,绘制成如图所示的

频率分布直方图.

频率/组距

0.15--------------1—।

a---------------------

05

O.4

0.

.03

0.02

0.01

0.0

。2

681012141618时间(小时)

(1)求a的值；

(2)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],

(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动

时间在。4,16]内的学生人数为X,求X的分布列和期望；

(3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“七优)”表示这20名学

生中恰有左名学生参加公益劳动时间在(10,12](单位：小时)内的概率，其中％=0,1,2,L,20.当吕左)

最大时，写出发的值.(只需写出结论).

【题型六】正态分布

正态分布的定义

对任意的尤GR<x)>0,它的图象在X轴的上方.可以证明无轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称兀V)

为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线，如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数

2

为/(x),则称随机变量X服从正态分布(normaldis-tribution),记为X~N(u,o).特别地，当w=0,o=l时，称随机变量

X服从标准正态分布.即X〜N(0,l).

1

若随机变量X的概率分布密度函数为/Xx)=J与h,X^R,

正态分布的期望和方差

参数H反映了正态分布的集中位置，。反映了随机变量的分布相对于均值H的

离散程度。

若X~N(〃，/),则E(X)=〃，D(X)=/.

正态分布的3c原则

假设X〜N(U,o2),可以证明：对给定的k£N*,P(u-koWXWu+ko)

是一个只与k有关的值。

2b

j<--68.27%

.........95.45%............

.........99.73%............

典例精讲

[例1]（2024•山西•二模）某高校对参加军训的4000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，

现随机抽取200名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.

八频率/组距

0.035-------------厂

0.025---------厂

a---------------------

0.010-p

---—――~>

°5060708090100成绩/分

⑴根据频率分布直方图，求出。的值并估计这200名学生测试成绩的平均数（单位：分）.

⑵现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤

病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励200元、300元、500元，不通过则不奖励.学

生甲在每个环节中通过的概率依次为，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲

在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量4,求占的分布列和数学期望E传）.

（3）若该高校军训学生的综合成绩X